2. Джордж Буль
2 ноября 1815 г. – 8 декабря 1864 г.
В 1847 году опубликовал памфлет «Математический
анализ логики», в котором высказал идею, что логика
более близка к математике, чем к философии. В 1854
году опубликовал работу «Исследование законов
мышления, базирующихся на математической
логике и теории вероятностей». Работы 1847 и 1854
годов положили начало алгебре логики, или булевой
алгебре. Булева алгебра располагала тремя основными
операциями – И, ИЛИ, НЕ, которые позволяли
производить сложение, вычитание, умножение,
деление и сравнение символов и чисел. Таким
образом, Булю удалось подробно описать двоичную
систему счисления. В своей работе «Законы
мышления» (1854 г.) Буль окончательно
сформулировал основы математической логики.
3. Основные понятия булевой
алгебры
• Алгебра логики — это математический аппарат, с
помощью которого записывают, вычисляют,
упрощают и преобразовывают логические
высказывания.
• Логическое высказывание — это любoе
повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении
кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo
или лoжнo.
Например, высказывание «Париж – столица
Франции» истинно.
А высказывание «Сборная России –
чемпион Европы по футболу 2004 года»
ложно.
4. • Не все высказывания могут быть логическими. Например,
высказывание «Санкт-Петербург – лучший город на Земле» - не
логическое высказывание, потому что оно не имеет однозначного
ответа. Для кого-то оно истинно, а для кого-то ложно.
5. • Высказывания бывают общими,
частными или единичными.
Общее высказывание
начинается (или можно начать)
со слов: все, всякий, каждый, ни
один. Частное высказывание
начинается (или можно начать)
со слов: некоторые, большинство
и т.п. Во всех других случаях
высказывание является
единичным.
• «Все рыбы умеют плавать» -
общее высказывание.
• «Некоторые лисы – рыжие» -
частное высказывание.
• «Буква А – гласная» - единичное
высказывание.
6. Основные функции (логические операции) алгебры
логики следующие:
Конъюнкция (от лат.conjunctio, связываю):
• В естественном языке соответствует
союзу и;
A B A&B
• Обозначение &;
• В языках программирования 0 0 0
обозначается: and;
• Иное название: логическое умножение. 0 1 0
Конъюнкция – это логическая операция,
ставящая в соответствие каждым двум 1 0 0
простым высказываниям составное
высказывание, являющееся истинным
тогда и только тогда, когда оба 1 1 1
исходных высказывания истинны.
7. • Например, если есть высказывание A
«Трилогия «Властелин колец» была
написана Толкиеном» и B «Трилогия
«Властелин колец» была
экранизирована», то их можно связать
конъюнкцией: союзом «И». Получится:
«Трилогия «Властелин колец» была
написана Толкиеном И была
экранизирована». Результат этой
конъюнкции будет истинным, т.к. оба
элементарных высказывания, входящие
в еѐ состав, истинны.
8. Дизъюнкция (от лат.disjunctio,
различаю):
• В естественном языке соответствует A B AvB
союзу или;
• Обозначение v;
• В языках программирования
0 0 0
обозначается: or;
• Иное название: логическое 0 1 1
сложение.
Дизъюнкция – это логическая операция,
ставящая в соответствие каждым 1 0 1
двум простым высказываниям
составное высказывание, являющееся
ложным тогда и только тогда, когда 1 1 1
оба исходных высказывания ложны,
и истинным, когда хотя бы одно из
двух образующих его высказываний
истинно.
9. 1. Кролик с • Высказывание «Я беру
белыми лапами,
кролика с белыми лапами
но не с серыми
ушами. ИЛИ с серыми ушами» будет
истинным в трех случаях:
2. Кролик не с белыми
лапами, но с серыми
ушами.
3. Кролик и с
белыми лапами, и
серыми ушами.
Во всех этих трех случаях я кролика беру.
И только, если кролик не с белыми лапами
и не с серыми ушами – при всей любви к
животным, не возьму.
10. Инверсия (от лат.inversio, переворачиваю):
• В естественном языке соответствует словам Неверно, что… и
частице не;
• Обозначение ;
• В языках программирования обозначается: not;
• Иное название: отрицание.
Инверсия – это логическая операция, которая каждому простому
высказыванию ставит в соответствие составное высказывание,
заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.
A
0 1
1 0
12. Импликация (от лат.implico, тесно связаны):
•В естественном языке выражается связками «если …, то», «из …
следует», «… влечет …»;
•Обозначение →;
Импликация – это логическая операция, при которой высказывание
А→В ложно тогда и только тогда, когда A – истинно, а B – ложно.
В обычной речи описывает причинно следственную связь между
высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не
учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность.
Поэтому не надо смущаться «бессмысленностью» импликаций,
образованных высказываниями, совершенно не связанными по
содержанию. Например: «если лиса – рыжая, то у медведя четыре лапы».
13. Эквиваленция или двойная импликация:
В естественном языке выражается связками « тогда и только тогда»,
«необходимо и достаточно», «… равносильно …»;
Обозначение ↔ или ~.
Высказывание А ↔ B истинно тогда и только тогда, когда значения
A и B совпадают.
Например, высказывание: «12 делится на 6 тогда и
только тогда, когда 12 делится на 3» истинно.
А высказывание «21 делится на 6 тогда и только
тогда, когда 21 делится на 3» ложно.
Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:
А→B= vB.
Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и
конъюнкцию:
A↔B=( vB)&( vA).
14. Практическое применение
булевой алгебры
• В качестве заключения рассмотрим основные применения булевой
алгебры.
• Первое практическое применение булевой алгебры - в вычислительной
технике. В этом случае булевы значения - это 0 и 1. Они представляют
собой состояние ячейки памяти объемом в 1 бит или наличие/отсутствие
напряжения в электрической схеме. Алгебра логики позволяет строить
сложные электронные узлы, элементы которых работают согласно этой
математической теории.
• Второе практическое применение булевой алгебры - в логических
построениях в математике. В этом случае булевы значения - это
"ложь" и "истина". Они определяют истинность или ложность некоторого
высказывания. Под высказываниями понимаются математические
формулы.
• Третье практическое применение булевой алгебры - в повседневных
рассуждениях. В этом случае булевы значения - это также "ложь" и
"истина". Они представляют собой оценку истинности или ложности
некоторого высказывания. Под высказываниями понимаются фразы,
которые удовлетворяют строго определенному списку свойств.
