関西大学総合情報学部　「応用数学（解析）」（担当：浅野晃）

1. A.Asano,KansaiUniv.
2015年度秋学期 応用数学（解析）
浅野 晃
関西大学総合情報学部
第３部・微分方程式に関する話題
生存時間分布と半減期
第１０回

2. A.Asano,KansaiUniv.

3. A.Asano,KansaiUniv.
今日は
「寿命」を扱う微分方程式

4. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命は「確率変数」
人間の寿命は，各個人によってばらばら
機械の寿命も，同じ型でも個体によって
ばらばら

5. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命は「確率変数」
人間の寿命は，各個人によってばらばら
機械の寿命も，同じ型でも個体によって
ばらばら
その理由は「偶然」

6. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命は「確率変数」
人間の寿命は，各個人によってばらばら
機械の寿命も，同じ型でも個体によって
ばらばら
その理由は「偶然」
寿命は［確率変数］であるという

7. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命は「確率変数」
人間の寿命は，各個人によってばらばら
機械の寿命も，同じ型でも個体によって
ばらばら
その理由は「偶然」
寿命は［確率変数］であるという
寿命がいくらである確率がどのくらい
であるかを表すのが［確率分布］

8. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命の確率分布を考える
寿命を表す確率変数 T
（時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
これを寿命の確率分布といいます。
誕生した人が死亡する時刻は，確率変数であり，これ
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「T > t である
」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が
します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後
の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，
つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存し

9. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命の確率分布を考える
寿命を表す確率変数 T
（時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
これを寿命の確率分布といいます。
誕生した人が死亡する時刻は，確率変数であり，これ
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「T > t である
」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が
します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後
の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，
つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存し
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する
確率

10. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命の確率分布を考える
寿命を表す確率変数 T
（時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
これを寿命の確率分布といいます。
誕生した人が死亡する時刻は，確率変数であり，これ
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「T > t である
」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が
します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後
の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，
つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存し
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する
確率

11. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命の確率分布を考える
寿命を表す確率変数 T
（時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
これを寿命の確率分布といいます。
誕生した人が死亡する時刻は，確率変数であり，これ
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「T > t である
」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が
します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後
の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，
つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存し
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する
確率

12. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命の確率分布を考える
寿命を表す確率変数 T
（時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
これを寿命の確率分布といいます。
誕生した人が死亡する時刻は，確率変数であり，これ
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「T > t である
」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が
します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後
の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，
つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存し
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する
確率

13. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命の確率分布を考える
寿命を表す確率変数 T
（時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
これを寿命の確率分布といいます。
誕生した人が死亡する時刻は，確率変数であり，これ
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「T > t である
」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が
します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後
の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，
つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存し
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する
確率
単位時間
あたり

14. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命の確率分布を考える
寿命を表す確率変数 T
（時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
これを寿命の確率分布といいます。
誕生した人が死亡する時刻は，確率変数であり，これ
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「T > t である
」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が
します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後
の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，
つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存し
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する
確率
単位時間
あたり

15. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命の確率分布を考える
寿命を表す確率変数 T
（時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
これを寿命の確率分布といいます。
誕生した人が死亡する時刻は，確率変数であり，これ
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「T > t である
」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が
します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後
の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，
つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存し
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する
確率
単位時間
あたり
次の瞬間

16. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命の確率分布を考える
寿命を表す確率変数 T
（時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
これを寿命の確率分布といいます。
誕生した人が死亡する時刻は，確率変数であり，これ
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「T > t である
」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が
します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後
の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，
つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存し
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する
確率
単位時間
あたり
次の瞬間

17. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命の確率分布を考える
寿命を表す確率変数 T
（時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
これを寿命の確率分布といいます。
誕生した人が死亡する時刻は，確率変数であり，これ
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「T > t である
」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が
します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後
の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，
つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存し
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する
確率
単位時間
あたり
次の瞬間
l(t) は
時刻tまで生存している人が
次の瞬間に死ぬ危険の度合

18. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命の確率分布を考える
寿命を表す確率変数 T
（時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
これを寿命の確率分布といいます。
誕生した人が死亡する時刻は，確率変数であり，これ
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「T > t である
」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が
します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後
の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，
つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存し
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する
確率
単位時間
あたり
次の瞬間
l(t) は
時刻tまで生存している人が
次の瞬間に死ぬ危険の度合
［ハザード関数］

19. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
累積分布関数と「生存関数」
確率変数 T に対して
を［累積分布関数］
の確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます
F(t) = P(T ≤ t)
命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼び
危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関
で時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている
死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法
(t) は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／
すこともできます。

20. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
累積分布関数と「生存関数」
確率変数 T に対して
を［累積分布関数］
の確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます
F(t) = P(T ≤ t)
命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼び
危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関
で時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている
死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法
(t) は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／
すこともできます。
この場合
寿命が t 以下である確率

21. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
累積分布関数と「生存関数」
確率変数 T に対して
を［累積分布関数］
の確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます
F(t) = P(T ≤ t)
命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼び
危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関
で時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている
死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法
(t) は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／
すこともできます。
この場合
寿命が t 以下である確率
て，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
る確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード
のに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あ
き，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現し
個体の集団について考えると，大数の法則によって，累
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている
［生存関数］

22. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
累積分布関数と「生存関数」
時刻 t の時点で
まだ生きている確率
確率変数 T に対して
を［累積分布関数］
の確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます
F(t) = P(T ≤ t)
命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼び
危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関
で時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている
死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法
(t) は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／
すこともできます。
この場合
寿命が t 以下である確率
て，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
る確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード
のに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あ
き，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現し
個体の集団について考えると，大数の法則によって，累
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている
［生存関数］

23. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
累積分布関数と「生存関数」
時刻 t の時点で
まだ生きている確率
ハザード関数は「瞬間瞬間の死亡の危険」
確率変数 T に対して
を［累積分布関数］
の確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます
F(t) = P(T ≤ t)
命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼び
危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関
で時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている
死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法
(t) は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／
すこともできます。
この場合
寿命が t 以下である確率
て，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
る確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード
のに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あ
き，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現し
個体の集団について考えると，大数の法則によって，累
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている
［生存関数］

24. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
累積分布関数と「生存関数」
時刻 t の時点で
まだ生きている確率
ハザード関数は「瞬間瞬間の死亡の危険」
確率変数 T に対して
を［累積分布関数］
の確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます
F(t) = P(T ≤ t)
命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼び
危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関
で時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている
死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法
(t) は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／
すこともできます。
この場合
寿命が t 以下である確率
て，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
る確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード
のに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あ
き，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現し
個体の集団について考えると，大数の法則によって，累
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている
［生存関数］
生存関数は，ある時間がたったとき，まだ生きている
確率

25. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

26. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

27. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
（条件付確率の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

28. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
（条件付確率の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

29. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
（条件付確率の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

30. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
（条件付確率の定義）
含まれる
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

31. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
（条件付確率の定義）
含まれる
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

32. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
（条件付確率の定義）
含まれる
次のような関数 l(t) を定義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T
この関数のうち，条件付き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「
t < T < t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存
に死亡する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったも
密度であり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存して
ということになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは
死亡する危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
さて，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考え
F(t) = P(T ≤ t)
F(t) は「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

33. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
（条件付確率の定義）
含まれる
次のような関数 l(t) を定義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T
この関数のうち，条件付き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「
t < T < t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存
に死亡する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったも
密度であり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存して
ということになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは
死亡する危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
さて，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考え
F(t) = P(T ≤ t)
F(t) は「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t
（累積分布関数の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

34. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
（条件付確率の定義）
含まれる
次のような関数 l(t) を定義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T
この関数のうち，条件付き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「
t < T < t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存
に死亡する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったも
密度であり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存して
ということになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは
死亡する危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
さて，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考え
F(t) = P(T ≤ t)
F(t) は「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t
（累積分布関数の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

35. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
（条件付確率の定義）
含まれる
次のような関数 l(t) を定義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T
この関数のうち，条件付き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「
t < T < t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存
に死亡する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったも
密度であり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存して
ということになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは
死亡する危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
さて，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考え
F(t) = P(T ≤ t)
F(t) は「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t
（累積分布関数の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

36. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
（条件付確率の定義）
含まれる
次のような関数 l(t) を定義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T
この関数のうち，条件付き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「
t < T < t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存
に死亡する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったも
密度であり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存して
ということになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは
死亡する危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
さて，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考え
F(t) = P(T ≤ t)
F(t) は「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t
（累積分布関数の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

37. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
（条件付確率の定義）
含まれる
次のような関数 l(t) を定義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T
この関数のうち，条件付き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「
t < T < t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存
に死亡する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったも
密度であり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存して
ということになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは
死亡する危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
さて，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考え
F(t) = P(T ≤ t)
F(t) は「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t
（累積分布関数の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

38. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
（条件付確率の定義）
含まれる
次のような関数 l(t) を定義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T
この関数のうち，条件付き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「
t < T < t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存
に死亡する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったも
密度であり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存して
ということになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは
死亡する危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
さて，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考え
F(t) = P(T ≤ t)
F(t) は「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t
（累積分布関数の定義）
出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
1 ′
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

39. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)

40. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)

41. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
（微分の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)

42. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
（微分の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，

43. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
（微分の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
とする［確率密度関数］関数を f(t) = F′(t) として，これまでに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F

44. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
（微分の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
とする［確率密度関数］関数を f(t) = F′(t) として，これまでに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
でに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)

45. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
（微分の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
とする［確率密度関数］関数を f(t) = F′(t) として，これまでに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
でに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)

46. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
（微分の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
とする［確率密度関数］関数を f(t) = F′(t) として，これまでに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
でに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時
する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の
あり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の
ことになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存して
る危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
刻 t の時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハ
亡の危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t)
刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を
立に死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって
である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時刻 t 以後 ∆
」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の時間あたりの
の ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の瞬間の死亡確
ります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存している人が，次
度合」で，これをハザード関数といいます。
率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード関数が
を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あるひと
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現していま
する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって，累積分布関
は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている個体の

47. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
（微分の定義）
（生存関数の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
とする［確率密度関数］関数を f(t) = F′(t) として，これまでに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
でに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時
する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の
あり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の
ことになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存して
る危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
刻 t の時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハ
亡の危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t)
刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を
立に死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって
である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時刻 t 以後 ∆
」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の時間あたりの
の ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の瞬間の死亡確
ります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存している人が，次
度合」で，これをハザード関数といいます。
率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード関数が
を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あるひと
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現していま
する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって，累積分布関
は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている個体の

48. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
（微分の定義）
（生存関数の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
とする［確率密度関数］関数を f(t) = F′(t) として，これまでに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
でに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時
する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の
あり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の
ことになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存して
る危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
刻 t の時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハ
亡の危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t)
刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を
立に死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって
である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時刻 t 以後 ∆
」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の時間あたりの
の ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の瞬間の死亡確
ります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存している人が，次
度合」で，これをハザード関数といいます。
率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード関数が
を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あるひと
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現していま
する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって，累積分布関
は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている個体の

49. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
（微分の定義）
（生存関数の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
とする［確率密度関数］関数を f(t) = F′(t) として，これまでに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
でに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時
する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の
あり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の
ことになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存して
る危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
刻 t の時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハ
亡の危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t)
刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を
立に死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって
である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時刻 t 以後 ∆
」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の時間あたりの
の ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の瞬間の死亡確
ります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存している人が，次
度合」で，これをハザード関数といいます。
率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード関数が
を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あるひと
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現していま
する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって，累積分布関
は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている個体の

50. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
（微分の定義）
（生存関数の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
とする［確率密度関数］関数を f(t) = F′(t) として，これまでに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
でに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時
する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の
あり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の
ことになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存して
る危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
刻 t の時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハ
亡の危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t)
刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を
立に死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって
である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時刻 t 以後 ∆
」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の時間あたりの
の ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の瞬間の死亡確
ります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存している人が，次
度合」で，これをハザード関数といいます。
率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード関数が
を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あるひと
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現していま
する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって，累積分布関
は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている個体の
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t +
P(
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t +
P(T > t)
（(2) 式と累積分布関数の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t +
（微分の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
（確率密度関数の定義と (3) 式より）=
f(t)
S(t)
得られます。ここで，(3) 式より
S′
(t) = (1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t)
すから，これを (4) 式に代入すると
l(t) = −
S′(t)
S(t)
いう微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存

51. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
（微分の定義）
（生存関数の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
とする［確率密度関数］関数を f(t) = F′(t) として，これまでに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
でに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時
する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の
あり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の
ことになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存して
る危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
刻 t の時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハ
亡の危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t)
刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を
立に死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって
である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時刻 t 以後 ∆
」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の時間あたりの
の ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の瞬間の死亡確
ります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存している人が，次
度合」で，これをハザード関数といいます。
率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード関数が
を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あるひと
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現していま
する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって，累積分布関
は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている個体の
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t +
P(
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t +
P(T > t)
（(2) 式と累積分布関数の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t +
（微分の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
（確率密度関数の定義と (3) 式より）=
f(t)
S(t)
得られます。ここで，(3) 式より
S′
(t) = (1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t)
すから，これを (4) 式に代入すると
l(t) = −
S′(t)
S(t)
いう微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存

52. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
（微分の定義）
（生存関数の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
とする［確率密度関数］関数を f(t) = F′(t) として，これまでに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
でに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時
する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の
あり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の
ことになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存して
る危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
刻 t の時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハ
亡の危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t)
刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を
立に死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって
である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時刻 t 以後 ∆
」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の時間あたりの
の ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の瞬間の死亡確
ります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存している人が，次
度合」で，これをハザード関数といいます。
率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード関数が
を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あるひと
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現していま
する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって，累積分布関
は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている個体の
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t +
P(
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t +
P(T > t)
（(2) 式と累積分布関数の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t +
（微分の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
（確率密度関数の定義と (3) 式より）=
f(t)
S(t)
得られます。ここで，(3) 式より
S′
(t) = (1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t)
すから，これを (4) 式に代入すると
l(t) = −
S′(t)
S(t)
いう微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存
以上から
∆→0 ∆ P(T > t)
累積分布関数の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
（微分の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
関数の定義と (3) 式より）=
f(t)
S(t)
3) 式より
S′
(t) = (1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t)
に代入すると
l(t) = −
S′(t)
S(t)
れます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確
という微分方程式が
得られる

53. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
（微分の定義）
（生存関数の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
とする［確率密度関数］関数を f(t) = F′(t) として，これまでに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
でに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時
する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の
あり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の
ことになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存して
る危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
刻 t の時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハ
亡の危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t)
刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を
立に死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって
である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時刻 t 以後 ∆
」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の時間あたりの
の ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の瞬間の死亡確
ります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存している人が，次
度合」で，これをハザード関数といいます。
率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード関数が
を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あるひと
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現していま
する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって，累積分布関
は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている個体の
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t +
P(
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t +
P(T > t)
（(2) 式と累積分布関数の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t +
（微分の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
（確率密度関数の定義と (3) 式より）=
f(t)
S(t)
得られます。ここで，(3) 式より
S′
(t) = (1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t)
すから，これを (4) 式に代入すると
l(t) = −
S′(t)
S(t)
いう微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存
以上から
∆→0 ∆ P(T > t)
累積分布関数の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
（微分の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
関数の定義と (3) 式より）=
f(t)
S(t)
3) 式より
S′
(t) = (1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t)
に代入すると
l(t) = −
S′(t)
S(t)
れます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確
という微分方程式が
得られる

54. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
微分方程式を解く方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している
です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C
ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
こでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
p は正の実数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du

55. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
微分方程式を解く方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している
です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C
ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
こでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
p は正の実数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
（両辺を積分）

56. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
微分方程式を解く方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している
です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C
ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
こでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
p は正の実数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
（両辺を積分）
う微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生
S(0) = 1 です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
うに，ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
て，ここでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
いて（λ, p は正の実数），(7) 式に代入すると，

57. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
微分方程式を解く方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している
です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C
ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
こでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
p は正の実数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
（両辺を積分）
う微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生
S(0) = 1 です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
うに，ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
て，ここでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
いて（λ, p は正の実数），(7) 式に代入すると，
時刻0，つまり誕生の瞬間
に生存している確率は１
つまり S(0) = 1

58. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
微分方程式を解く方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している
です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C
ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
こでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
p は正の実数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
（両辺を積分）
う微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生
S(0) = 1 です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
うに，ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
て，ここでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
いて（λ, p は正の実数），(7) 式に代入すると，
時刻0，つまり誕生の瞬間
に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから

59. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
微分方程式を解く方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している
です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C
ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
こでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
p は正の実数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
（両辺を積分）
う微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生
S(0) = 1 です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
うに，ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
て，ここでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
いて（λ, p は正の実数），(7) 式に代入すると，
時刻0，つまり誕生の瞬間
に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0

60. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
微分方程式を解く方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している
です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C
ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
こでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
p は正の実数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
（両辺を積分）
う微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生
S(0) = 1 です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
うに，ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
て，ここでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
いて（λ, p は正の実数），(7) 式に代入すると，
時刻0，つまり誕生の瞬間
に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0

61. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
微分方程式を解く方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している
です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C
ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
こでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
p は正の実数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
（両辺を積分）
う微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生
S(0) = 1 です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
うに，ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
て，ここでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
いて（λ, p は正の実数），(7) 式に代入すると，
時刻0，つまり誕生の瞬間
に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0

62. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
微分方程式を解く方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している
です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C
ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
こでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
p は正の実数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
（両辺を積分）
う微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生
S(0) = 1 です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
うに，ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
て，ここでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
いて（λ, p は正の実数），(7) 式に代入すると，
時刻0，つまり誕生の瞬間
に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0
1

63. 2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
微分方程式を解く方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している
です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C
ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
こでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
p は正の実数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
（両辺を積分）
う微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生
S(0) = 1 です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
うに，ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
て，ここでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
いて（λ, p は正の実数），(7) 式に代入すると，
時刻0，つまり誕生の瞬間
に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0
10