Тема 3 Нерівності, які містять змінну під знаком модуля (2 год)

1. Модулем додатного числа називається саме це число, модулем
від’ємного числа називається число, йому протилежне, модуль нуля
дорівнює нулю.
Це означення можна коротко записати декількома способами.
|а|= або |а|= або |а|= або
|а|=
Для знаходження |а| за означенням необхідно знати знак числа а і
використати відповідну формулу. Наприклад, |5|=5, |-3|=-(-3)=3, | -2|=-(
-2)=2- .
На координатній прямій модуль числа – це відстань від початку
координат до точки, що зображує це число.
Дійсно, якщо а>0 (рис. 1), то відстань ОА = а = |а|. Якщо b<0, то відстань
ОВ = -b = |b|.
Модуль різниці двох чисел a i b – це відстань між точками a i b на
координатній прямій.
• Для доведення можна скористатися тим, що при паралельному
перенесенні вздовж осі координат на b одиниць абсциса відповідної
точки змінюється на b: до абсциси заданої точки додається число b,
тобто при b > 0 точка переноситься вправо, а при b < 0 – вліво.
Позначимо на координатній прямій числа a, b, a – b відповідно точками
A, B, C. На рисунку 2 ці точки зображено для випадку a>0 i b< 0, хоча
наведене далі обґрунтування не залежить від знаків a і b.
При паралельному перенесенні вздовж осі ОХ на b одиниць точка О
перейде в точку В, а точка С (з координатою a-b) у точку з
1. Модуль числа, алгебраїчне і геометричне тлумачення
модуля числа. Основні властивості модуля.

2. координатою a – b + b = a, тобто в точку А. Тоді СО=АВ. Але відстань
СО – це відстань від точки a – b до початку координат, отже СО = |a-b|,
а значить, і АВ= |a-b|.
b 0 a B O A C
B O A x b 0 a a-b x
Рис. 1 Рис. 2
Основні властивості модуля.
1. |а| Модуль будь-якого числа – невід’ємне число
2. |-а|=|а| Модулі протилежних чисел рівні
3. |а|, тобто -|а|≤а≤ |а| Кожне число не більше за його модуль.
4. При b>0 |a| ≤ b=-b ≤a≤b
5. При b>0 |а| ≥ b = a≤-b або a≥b
6. |a × b| = |а| × |b| Модуль добутку дорівнює добутку
модулів множників.
7. |аn
|=|a|n
|a|2
=a2
|a|2k
=a2k
8. |a+b|≤|a|+|b| Модуль суми не перевищує суми модулів
доданків.
9. ||а|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|