2. ผลการเรียนรู้
1. เขียนกราฟเมื่อกาหนดจุดยอด(vertex)
และเส้นเชื่อม(edge)ให้ และระบุได้ว่า
กราฟที่กาหนดให้เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่
2. นาความรู้เรื่องกราฟไปใช้แก้ปัญหาบางประการได้

3. • กราฟเบื้องต้น
• ดีกรีของจุดยอด
• กราฟออยเลอร์
• การประยุกต์ของกราฟ

4. ตัวอย่าง 1
กำหนดสถำนกำรณ์ว่ำจังหวัดหนึ่งมี 6 อำเภอ คือ A , B , C , D , E
และ F
โดยที่อำเภอ A , B และ F มีถนนเชื่อมติดต่อกัน
อำเภอ C มีถนนเชื่อมไปยังอำเภอ B , E และ D
อำเภอ A และ E มีถนนเชื่อมติดต่อกัน
และอำเภอ D และ F มีถนนเชื่อมติดต่อกัน
เขียนแผนภำพโดยให้จุดแทนอำเภอ
และเส้น เชื่อมโยงระหว่ำงจุดสองจุดแทนถนน
A
B
C
D
F
E

5. A
B
C
D
FE
ลองทากราฟแบบอื่นๆตามเงื่อนไขนี้
ลงในเอกสารประกอบการเรียนนะจ๊ะ

6. กรำฟ G ประกอบด้วยเซตจำกัด 2 เซต
1. เซตที่ไม่เป็นเซตว่ำงของจุดยอด (Vertex)
แทนด้วยสัญลักษณ์ V(G)
2. เซตของเส้นเชื่อม (edge) ที่เชื่อมระหว่ำงจุดยอด
แทนด้วยสัญลักษณ์ E(G)

7. ตัวอย่างของกราฟ

8. พิจารณากราฟที่กาหนด
A
B
C
D
จำกกรำฟ G ที่กำหนดให้จะได้ว่ำ
V(G) = {A , B , C , D}
E(G) = 

9. ข้อสังเกต
• V(G) ได้หรือไม่ 
• E(G) ได้หรือไม่ 
ไม่ได้ เพราะถ้าไม่มีจุดยอดเลย ก็ไม่มีอะไร
ให้พิจารณาเป็นกราฟได้เลย
ได้

10. กำหนดกรำฟ G ดังรูป
จำกกรำฟ G ที่กำหนดให้จะได้ว่ำ
V(G) = {A , B , C , D}
E(G) = {e1 , e2 , e3 , e4 } หรือ
E(G) = {AB , AC , BC , BD}

11. กำหนด V(G) = {a , b , c} และ E(G) = {ab , ac , bc}
สำมำรถเขียนกรำฟได้ดังนี้
a
b c
a
b
c
a b
c

12. • เส้นเชื่อม เป็นส่วนของเส้นตรง,เส้นโค้ง หรือ เส้นคดก็ได้
กราฟนี้ถือเป็นกราฟเดียวกัน

13. • เส้นเชื่อมสองเส้นอาจตัดกันได้ โดยจุดตัดไม่ถือเป็นจุดยอด

14. แบบฝึกหัด
(1)

19. ตัวอย่าง จงพิจำรณำเส้นในกรำฟ G ต่อไปนี้ว่ำเส้นใดเป็นวงวน
และเส้นใดเป็นเส้นเชื่อมขนำน
เส้น e1 หรือ ab
เส้น e2 หรือ ab
เส้น e3 หรือ ab
เส้น e5 หรือ cc

20. ลักษณะของเส้นเชื่อม
• เส้นเชื่อมขนาน (parallel edges)
• วงวน (loop)

21. H
R
สังเกตกันหน่อย
G

22. กราฟที่ไม่มีเส้นเชื่อมขนาน และไม่มีวงวน
เรียกว่า กราฟเชิงเดียว (simple graph)
กราฟที่มีเส้นเชื่อมขนาน
หรือ มีวงวน
เรียกว่ากราฟหลายเชิง
(multi graph)

23. ตัวอย่าง จงพิจำรณำว่ำกรำฟที่กำหนดต่อไปนี้เป็น กรำฟเชิงเดียว(กรำฟอย่ำงง่ำย)
และ กรำฟใดเป็นกรำฟหลำยเชิง
G1 เป็นกราฟเชิงเดียว เนื่องจำกกรำฟ G1 ไม่มีเส้นเชื่อมขนำน และไม่มีวงวน
G2 เป็นกรำฟหลำยเชิง เนื่องจำก G2 มีวงวน
G3 เป็นกรำฟหลำยเชิง เนื่องจำก G3 มีเส้นเชื่อมขนำน
G4 เป็นกรำฟหลำยเชิง เนื่องจำก G4 มีวงวน และเส้นเชื่อมขนำน

24. กราฟใดเป็นกราฟเชิงเดียว และกราฟใดเป็นกราฟหลายเชิง
4G 5G 6G

26. กราฟเชิงเดียว ได้แก่ กราฟ G1 G2
กราฟหลายเชิงได้แก่ กราฟ G3 G4 G5

27. บริษัท เสียงใสจริงๆ มีตาแหน่งว่าง 4 ตาแหน่ง
นักร้อง 1 ตาแหน่ง
นักแสดง 1 ตาแหน่ง
นักพากษ์ 1 ตาแหน่ง
นักจัดรายการ 1 ตาแหน่ง
มีผู้มาสมัคร 4 คนซึ่งมีความสามารถแตกต่างกันดังนี้
แดน มีความสามารถด้านนักร้อง
บีม มีความสามารถด้านนักร้องนักแสดง และจัดรายการ
กอล์ฟ มีความสามารถด้านนักพากษ์ และจัดรายการ
ไมค์ มีความสามารถด้านนักร้อง นักแสดง
ต้องการให้แต่ละคนได้งานตามความสามารถใน
ตาแหน่งที่ว่างเพียงคนละ 1 ตาแหน่งเท่านั้น

28. แดน
จาลองปัญหาสถานการณ์นี้ด้วยกราฟ G โดยที่
V(G) = {แดน , บีม , กอล์ฟ , ไมค์, นักร้อง , นักแสดง , นักพากษ์ , นักจัดรายการ}
E(G) ={แดนนักร้อง, บีมนักร้อง , บีมนักแสดง, บีมนักจัดรายการ ,
กอล์ฟนักพากษ์ ,กอลฟ์ นักจัดรายการ ,ไมค์นักร้อง , ไมค์ นักแสดง}
บีม
กอลฟ์
ไมค์
นักร้อง
นักแสดง
นักพากษ์
นักจัดรายการ
สรุปว่า
แดน เป็น นักร้อง
บีม เป็น นักจัดรายการ
กอล์ฟ เป็น นักพากษ์
ไมค์ เป็น นักแสดง

29. ในกำรจัดตำรำงสอบของวิชำ 6 วิชำ คือ วิชำคณิตศำสตร์ วิชำภำษำอังกฤษ วิชำภำษำไทย
วิชำวิทยำศำสตร์ วิชำสังคมศึกษำ วิชำสุขศึกษำ โดยที่ทรำบว่ำ
มีนักเรียนบำงคนเรียนวิชำคณิตศำสตร์ และวิชำภำษำอังกฤษ
มีนักเรียนบำงคนเรียนวิชำคณิตศำสตร์ และวิชำภำษำไทย
มีนักเรียนบำงคนเรียนวิชำคณิตศำสตร์ และวิชำสุขศึกษำ
มีนักเรียนบำงคนเรียนวิชำสังคมศึกษำ และวิชำสุขศึกษำ
มีนักเรียนบำงคนเรียนวิชำสังคมศึกษำ และวิชำวิทยำศำสตร์
มีนักเรียนบำงคนเรียนวิชำภำษำไทย และวิชำวิทยำศำสตร์
มีนักเรียนบำงคนเรียนวิชำภำษำไทย และวิชำภำษำอังกฤษ
จะสำมำรถจัดตำรำงสอบทั้ง 6 วิชำใช้เวลำสอบ 3 คำบได้อย่ำงไร
นักเรียนจึงสำมำรถจึงจะสอบได้ครบทั้ง 6 วิชำ

32. คณิต ,ไทย อังกฤษ สอบพร้อมกันได้หรือไม่
ไม่ได้
วิชาที่สอบพร้อมกันได้
มีวิชาใดบ้าง คณิต และสังคม
คณิต กับวิทย์
คาบที่ 1
คาบที่ 2
คาบที่ 3
คณิต วิทย์
สุขศึกษา อังกฤษ
สังคม ไทย

33. 1. ที่จอดรถแห่งหนึ่งมีรถที่จอดประจำ 6 คัน ในช่วงเวลำต่ำงๆ ดังนี้
คันที่ 1 จอดเฉพำะช่วงเวลำ 7 นำฬิกำ ถึง 15 นำฬิกำ
คันที่ 2 จอดเฉพำะช่วงเวลำ 12 นำฬิกำ ถึง 21 นำฬิกำ
คันที่ 3 จอดเฉพำะช่วงเวลำ 9 นำฬิกำ ถึง 13 นำฬิกำ
คันที่ 4 จอดเฉพำะช่วงเวลำ 6 นำฬิกำ ถึง 24 นำฬิกำ
คันที่ 5 จอดเฉพำะช่วงเวลำ 8 นำฬิกำ ถึง 18 นำฬิกำ
คันที่ 2 จอดเฉพำะช่วงเวลำ 22 นำฬิกำ ถึง 8 นำฬิกำของวันถัดไป

34. 1.1 จงจำลองปัญหำนี้ด้วยกรำฟ โดยให้จุดยอดแทนรถแต่ละคัน
และจุดยอดสองจุดมีเส้นเชื่อมก็ต่อเมื่อรถที่แทนด้วยจุดทั้งสอง มีช่วงเวลำจอดรถซ้อนกัน
จาลองปัญหาด้วยกราฟ G
ให้จุดยอด 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 แทนรถคันที่ 1 ถึง รถคันที่ 6
จะได้ V(G) = { 1, 2, 3 ,4 , 5, 6}
E(G) = {12 , 13 , 15 , 16 , 23 ,24 , 25 ,35 45 ,46}
1
2
3
4
5
6
ต้องเตรียมพื้นที่จอดรถไว้อย่างน้อย 4 คัน

35. จุดยอด u และจุดยอด v ของกรำฟ
เป็นจุดยอดประชิด (adjacent vertices)
ก็ต่อเมื่อมีเส้นเชื่อมระหว่ำงจุดทั้งสอง
เส้นเชื่อม e ของกรำฟเกิดกับ(incident)จุดยอด v
ถ้ำจุดยอด v เป็นจุดปลำยจุดหนึ่งของเส้นเชื่อม e

36. a
e1
e2
b
e
c
d
e3
e4
e5
e6
ได้แก่ จุด b ประชิดกับ จุด a และ จุด e
จุด e ประชิดกับ จุด b จุด c และ จุด d
จุด c ประชิดกับ จุด e และ จุด d

37. จุดที่ไม่เป็นจุดยอดประชิด
เช่น จุด b และ c
a
e1
e2
b
e
c
d
e3
e4
e5
e6
เนื่องจากไม่มีเส้นเชื่อมระหว่างจุดแต่ละคู่นี้
จุด aและ e เป็นต้น

38. a
e1
e2
b
e
c
d
e3
e4
e5
e6
เส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด a คือ e1 และ e2
e1
c
เส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด b คือ e1 และ e3
เส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด c คือ e4 และ e5
เส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด d คือ e5 และ e6
เส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด e คือ e3 และ e4

41. บทนิยาม
• ดีกรี (degree) ของจุดยอด v ในกราฟ
คือ จานวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด v
•ใช้สัญลักษณ์ deg v แทน ดีกรีของ v

42. พิจารณากราฟต่อไปนี้
จุดยอด จานวนครั้งทั้งหมดที่
เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด
2
4
4
2
a
b
c
d

45. deg A =
deg B =
deg C =
deg D =
deg E =
2
3
2
3
0
พิจารณากราฟต่อไปนี้

46. deg A =
deg B =
deg C =
deg D =
deg E =
2
3
2
3
0
ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด = 2+3+2+3+0
 
10v
GVv


deg

47. หาจานวนเส้นเชื่อม และผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด
ในกราฟแต่ละกราฟต่อไปนี้
( )
deg
v V G
v

 =
( )
deg
v V G
v

 =
8
10
จานวนเส้นเชื่อม =
จานวนเส้นเชื่อม =
4
5

48. ( )
deg
v V G
v

 = 12
จานวนเส้นเชื่อม = 6
ผลรวมของดีกรี กับ จานวนเส้นเชื่อมของกราฟ
มีความสัมพันธ์กันอย่างไร
ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ
เท่ากับ
สองเท่าของจานวนเส้นเชื่อมในกราฟ

49. ทฤษฎีบทที่ 1
ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ
เท่ากับสองเท่าของจานวนเส้นเชื่อมในกราฟ
หรือ
จานวนเส้นเชื่อมในกราฟ เป็นครึ่งหนึ่งของ
ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ
ทฤษฎีบทที่สาคัญ

50. ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ
เท่ากับสองเท่าของจานวนเส้นเชื่อมในกราฟ
พิสูจน์
เนื่องจำกเส้นเชื่อมแต่ละเส้นในกรำฟเกิดกับจุดยอดเป็นจำนวน 2 ครั้ง
ดังนั้นเส้นเชื่อมแต่ละเส้นจะถูกนับ 2 ครั้งในผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด
นั่นคือ
ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกรำฟ เท่ำกับ
สองเท่ำของจำนวนเส้นเชื่อมในกรำฟ

51. 1. จงหำจำนวนเส้นเชื่อมของกรำฟที่มีผลรวมของดีกรีของ
จุดยอดทุกจุดในกรำฟเท่ำกับ 22
วิธีทา สมมติว่ากราฟมีเส้นเชื่อม n เส้น
จากทฤษฎีบทที่ 1
“ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ เท่ากับ
สองเท่าของจานวนเส้นเชื่อมในกราฟ”
ดังนั้น 22 = 2n
n = 11
กราฟมีเส้นเชื่อม 11 เส้น

52. วิธีทา
สมมติว่ำมีกรำฟที่มีจุดยอด 4 จุด ดีกรีของจุดยอดเท่ำกับ 1 , 1 , 2 และ 3
2. จงพิจำรณำว่ำเป็นไปได้หรือไม่ว่ำจะมีกรำฟที่มีจุดยอด 4 จุด
และดีกรีของจุดยอด คือ 1 , 1 , 2 และ 3 ตำมลำดับ
ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด คือ 1 + 1 + 2 + 3 = 7
เป็นจานวนคี่
ขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่1
ดังนั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะมีกราฟดังกล่าว

53. จุดยอดที่มีดีกรีเป็นจานวนคู่ เรียกว่า จุดยอดคู่
จุดยอดที่มีดีกรีเป็นจานวนคี่ เรียกว่า จุดยอดคี่
จุดยอดคู่ :
จุดยอดคี่ :
A และ D
B และ C

54. G1
G2 G3 G4
a a b
a dc
eb
a
b
c d
e
f
กรำฟ จำนวน
เส้นเชื่อม
ผลบวกของดีกรีของจุด
ยอดทุกจุดของกรำฟ
จำนวนจุด
ยอดคี่
จำนวนจุดยอดคู่
G1
G2
G3
G4

56. ทฤษฎีบทที่ 2
ทุกกราฟจะมีจุดยอดคี่เป็นจานวนคู่

57. ต่อไป สมมุติว่ำ กรำฟ G มีจุดยอดคี่ k จุด คือ v1 , v2 , v3 , . . . , vk และ
มีจุดยอดคู่ n จุด คือ u1 , u2 , u3 , . . . ,un
จำกทฤษฎีบทที่ 1 จะได้ว่ำ
(degv1 + deg v2 + deg v3 + . . .+ deg vk ) + (degu1 + deg u2 + degu3 + . . . + deguk) = 2q
เมื่อ q คือจำนวนเส้นเชื่อมของ G
พิสูจน์ ให้ G เป็นกรำฟ ถ้ำ G ไม่มีจุดยอดคี่
นั่นคือ G มีจำนวนจุดยอดคี่เป็นศูนย์ จะได้ว่ำ G มีจำนวนจุดยอดคี่เป็นจานวนคู่
ดังนั้น (degv1 + deg v2 + deg v3 + . . deg vk ) = 2q – (degu1 + deg u2 + degu3+ . . . degun)
เนื่องจำก degu1 , deg u2 , degu3 , . . . , deguk ต่ำงก็เป็นจำนวนคู่
แต่เนื่องจำก degv1 , deg v2 , deg v3 , . . . , deg vk เป็นจำนวนคี่
เพรำะฉะนั้น k จะต้องเป็นจำนวนคู่
จึงจะทำให้ degv1 + deg v2 + deg v3 + . . .+ degvk เป็นจำนวนคู่
สรุปได้ว่ำ กรำฟ G มีจุดยอดคี่เป็นจำนวนคู่
ดังนั้น 2q – (degu1 + deg u2 + degu3 + . . . degun) เป็นจำนวนคู่
นั่นคือ degv1 + deg v2 + deg v3 + . . .+ deg vk เป็นจำนวนคู่

58. 1) จงพิจารณาว่าเป็นไปได้หรือไม่ว่า
จะมีกราฟที่มีจุดยอด 4 จุด และดีกรีของจุดยอด คือ 1 , 1 , 2 และ 3 ตามลาดับ
วิธีทา สมมุติว่ามีกราฟที่มีจุดยอด 4 จุด
ดีกรีของจุดยอด คือ 1 , 1 , 2 และ 3 ตามลาดับ
จะได้ว่ากราฟมีจุดยอดคี่เป็นจานวน 3 จุด
ทุกกราฟจะมีจุดยอดคี่เป็นจานวนคู่ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 2
สรุปว่า ไม่มีกราฟที่มีสมบัติดังกล่าว

59. 2) ในห้องประชุมแห่งหนึ่งมีผู้เข้าร่วมประชุม
ทั้งหมด 23 คน เป็นไปได้หรือไม่ว่าผู้เข้าร่วม
ประชุมแต่ละคนจับมือทักทายผู้เข้าร่วมประชุม
คนอื่นเพียง 7 คนเท่านั้น
แนวคิด ให้จุดยอดแทนผู้เข้าร่วมประชุม และ
เส้นเชื่อมแทนการจับมือทักทาย
จะได้ กราฟมีจุดยอด 23 จุด แต่ละจุดมีดีกรี 7
นั่นคือ กราฟมีจุดยอดคี่เป็นจานวน 23 จุด
23 เป็นจานวนคี่ ขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 2 

60. 3) จงพิจำรณำว่ำเป็นไปได้หรือไม่ที่จังหวัดหนึ่ง ซึ่งมี 5 อำเภอ คือ อำเภอเมือง
และ อำเภออื่นๆอีก 4 เมือง มี 3 อำเภอ ที่แต่ละอำเภอมีถนนเชื่อมกับอำเภออื่นอำเภอ
ละ 3 สำย มี 1 อำเภอ มีถนนเชื่อมกับอำเภออื่น 2 สำย มี 1 อำเภอ มีถนนเชื่อมกับ
อำเภออื่นทุกอำเภอ 1 สำย
อาเภอเมือง อาเภอ ข อาเภอ ค อาเภอ ง อาเภอ จ
ถนน
3
สาย
ถนน
3
สาย
ถนน
3
สาย
ถนน
2
สาย
ถนน
4
สาย
จุดยอดคี่ เป็นจานวนคู่