1. «Границя і неперервність функції»
Бярська ЗОШ № 1 І-ІІІ ст.
Києво-Святошинського р-ну
Київської області
Вч. Овчиннікова (Яськова) О.Й.
м. Боярка

2. Розділ. Границя і неперервність функції.
Поняття границі – одне з фундаментальних у математиці, воно є основою для вивчення
диференціального та інтегрального числення.
Поурочні розробки з даної теми для класів з поглибленим вивченням математики.
І урок.
Тема. Змінна величина. Обмежена та необмежена змінна величина.
Мета: Підготувати учнів до засвоєння поняття нескінченного процесу.
І. Вивчення нового матеріалу,
а) Вступ.
Давид Гільберт, один з найвидатніших математиків всіх часів, сказав, що
математика – це єдина симфонія нескінченного. Справді, математика надзвичайно
тісно переплітається з нескінченністю.
Загадка нескінченного вже багато віків лишається нездоланним викликом
людському генію, а математичне поняття нескінченності в кожну епоху розкриває
все нові й нові сторони свого невичерпного змісту.
Тож помандруємо цим океаном. Тут важко сказати: де затоки, а де акваторія.
Тому, як і в справжніх морських подорожах, нас інколи підстерігатимуть і
небезпеки глибин, і круті, хвилі, за якими часто зникатиме затишок нашого
скінченого світу і логіка його законів. Ця подорож часом вимагатимиме певних
зусиль, терпіння, працьовитості, навіть – мужності. Коли доведеться відмовлятися
від очевидних, як двічі по два – чотири, істин, підточених тією ж нескінченністю.
І так розпочинаємо подорож у світ великих досягнень людської думки.
Всі ми знаємо, що і наймогутніші річки починаються з ледве помітних
струмків. Так, десь у первісному суспільстві, понад 50 тисяч років тому, несміливі
сплески людської думки привели до формування спочатку уявлення, а потім і
поняття натурального числа.
Тривалий час натуральний ряд чисел був дуже коротким. Справді, що
доводилося лічити первісній людині? Дітей, дні, дороги до сусіднього племені,
забитих на полюванні звірів, зрубані дерева... Починали лічбу з одиниці, за якою
скоро зайняло своє місце 2. Кількісні оцінки чисельніших множин подавались
словами "багато" або "багато-багато": пальців на руці, зрубаних дерев – "багато",
риби в річці, зірок на небі – "багато-багато".
Поступово людина відкривала для себе все нові й нові числа натурального
ряду: 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9, 10, ... В мовах, легендах, казках різних народів збереглося
багато свідчень про те, яким довгим і складним був шлях до цих відкриттів. Іноді
людина навіть лякалася, знайомлячись з новими представниками чисел, намагалась
уникнути їх.
Проте в головному вона була послідовною – далі і далі подовжувала
натуральний ряд чисел. Цьому сприяла практика, яка ставила перед людиною все
складніші задачі, все чисельніші множини вводила в життя. Допомогти перелічити й
упорядкувати елементи цих множин могло тільки число.
Людині доводилося не тільки лічити, а й ділити на частини ціле, вимірювати
різні величини – відстань, площу, об'єм, масу тощо. Навіть за допомогою
найпростіших засобів вимірювання результат не завжди вдавалося виразити
натуральним числом. Потреба врахувати і частини одиниці виміру дала поштовх до
2

3. відкриття дробів – спочатку виду – n
1
, а потім і n
m
.
Так людина опинилася на розгалуженні двох доріг: одна вела до чимдалі більших
натуральних чисел: 1, 2, 3, … n; друга – в потаємні глибини малого: ;
1
1
;
1
;;
3
1
;
2
1
;1
+nn
 …
Людина ще не знала, як далеко можна зайти по кожній з них.
Числові безодні лякали і кликали.
Той поклик був владний і всесильний, бо кожен крок відкривав щось нове, а
крізь нагромадження випадковостей і несподіванок проглядали обриси кількісних
характеристик, які чітко були з'ясовані лише наприкінці XIX століття.
б) Мотивація навчання.
Вивчаючи різноманітні явища природи, ми зустрічаємось з різними
величинами, що їх характеризують: температура, вага, об'єм, атмосферний тиск,
швидкість руху, довжина, сила, площа, величина кута і т.д. При цьому виявляється,
що деякі величини зберігають у даному явищі стале значення, а інші змінюються:
одні можуть необмежено зростати, інші до певної величини.
І так, життя брало своє: треба було обчислювати площі і об'єми дедалі
складніших геометричних фігур, враховувати положення різних рухомих об'єктів в
заданий момент часу, розв'язувати складні задачі самої математики, а також фізики,
механіки, астрономії – задачі, які були вже не під силу математиці сталих величин.
В математику входили змінні. Одні коливалися навколо якихось невідомих
чисел, не наважуючись наблизитися до жодного з них, інші прямувати до
конкретних чисел, а треті, зростаючи, йшли в нескінченність.
Математики нарешті навчилися виражати найголовніші риси вічного і
безперервного руху, що робить світ таким різноманітним, завжди молодим і
прекрасним.
Це був величезний, революційний крок вперед. Поворотним пунктом стала у математиці
Декартова змінна величина. Так в математику ввійшов рух.
Рух увійшов не тільки в розв'язання задач, доведення теорем, а й в означення вже давно
відомих математичних понять, наповнив їх новим,. більш глибоким змістом.
ІІ. Сприймання й усвідомлення поняття змінної величини, обмеженої та необмеженої
змінної величини.
В математиці, фізиці, техніці і в повсякденному житті часто розглядаються
процеси (явища), в яких змінюється одна або декілька змінних величин. Самий
процес полягає в тому, що один його стан змінюється другим станом. Кожному
стану відповідають певні значення змінних.
Наприклад. 1) При рівномірному русі тіла змінюється час і шлях, а швидкість
залишається сталою.
2) При переміщенні вершини вписаного кута по дузі кола змінюється
довжина сторін кута, але не змінюється довжина дути, на яку він
спирається, а значить і величина кута. Не змінюються діаметр кола, його
довжина і площа крута.
Означення 1. Величина, числове значення якої залишається незмінним в
розглядуваному процесі, називається незмінною, сталою.
Означення 2. Величина, числове значення якої змінюється в розглядуваному
процесі, називається змінною.
3

4. Зростаючі і спадаючі величини.
Означення 3. Змінна величина називається зростаючою, якщо кожне
наступне числове значення більше від кожного з
попередніх.
Означення 4. Змінна величина називається спадною, якщо всяке
наступне числове значення її менше кожного із попередніх.
1. Вказати сталі і змінні величини в таких процесах і охарактеризувати змінні:
а) Рух поїзда між двома станціями. В даному процесі сталі величини: кількість
вагонів в составі, кількість пасажирів, склад обслуговуючого персоналу і т.д.
Змінними є: час і віддаль, рахуючи від пункту відправлення (зростаючі), кількість
палива в тендері і запас води (це спадаючі змінні величини – обмеженні).
б) Процес піднімання каменя, кинутого вертикально вгору (камінь рухається в однорідному
полі). Сталі величини в даному процесі: маса каменя, об'єм, вага, прискорення вільного падіння g;
змінними величинами є: швидкість підйому каменя (спадає), висота підйому і час підйому
(зростають).
в) Дано тупокутний трикутник ABC, вершина С якого
переміщується вправо по прямій, паралельній основі
АВ, як видно на малюнку.
В даному процесі сталі величини: сума внутрішніх
кутів, сума зовнішніх кутів, основа АВ, висота h,
площа.
Змінні: довжини сторін АС і ВС, периметр, величина
куга В – зростає, але обмежена кутом 180°. величини
кутів А і С - спадають.
г) будемо вписувати в коло радіуса R правильні багатогокутники, починаючи з трикутника,
а потім кожний раз подвоюватимемо число сторін. Тут змінюються наступні змінні:
1) число сторін многокутника (необмежено зростає),
2) величина внутрішнього кута багатокутника (необмежено прямує до 180°, тому що
величина внутрішнього кута правильного, багатокутника визначається за формулою:
( )
nn
n °
−°=
−° 360
180
2180
, при 0
360
, →
°
+∞→
n
n , а величина внутрішнього кута до
180°
3) периметр зростає, але обмежений довжиною кола;
4) площа зростає, але обмежена площею круга.
2. Приклади обмеженої і необмеженої змінної величини.
1) 0
1
→
n
, де ∞→n , тобто n = 1, 2, 3, …, n.
2) +∞→n (натуральний ряд) – необмежена змінна величина.
3. Змінні зростаючі і спадаючі складають разом клас монотонних змінних.
Означення. Якщо значення змінної перебільшують любе наперед задане додатне
число, то змінна величина називається необмеженою, (число сторін
правильного багатокутника)
Якщо значення змінної величини необмежено
A B
C
h
4

5. наближається до певного сталого числа так, що різниця
між цим сталим і значенням змінної стає і залишається як
завгодно малою, то величина називається обмеженою.
(величина внутрішнього кута правильного багатокутника).
III. Закріплення.
1. Яка величина називається сталою ? змінною ? Приклади.
2. Зростаючі і спадаючі змінні величини. Приклади.
3. Навести приклади процесів і вказати на сталі і змінні величини, охарактеризувати
змінні величини.
4. Навести приклади обмежених і необмежених змінних величин.
5

6. II урок.
Тема. Нескінченно мала й нескінченно. Числова послідовність.
Мета. Дати поняття нескінченно малої і нескінченно у числової послідовності.
І. Вивчення нового матеріалу.
1. Нескінченно велика змінна величина.
а) Розглянемо натуральний ряд чисел: 1, 2, 3, …, n +∞→n необмежено зростає до +,
бо немає найбільшого числа.
б) 3 курсу алгебри відомо, що всяке дійсне число можна зобразити точкою на
числовій осі. '
Змінну величину можна геометрично представити рухомою точкою.
Зростаючій змінній відповідає точка, яка переміщується по числовій осі в додатному
напрямку (вправо) [+]; спадній змінній величині відповідає точка, що рухається у
від'ємному напрямку осі (вліво) [–].
в) Сума внутрішніх кутів багатокутника виражається формулою: S = 2 d ( n – 2 ) , де n –
будь-яке натуральне число, більше 3. Із зростанням +∞→n величина S є нескінченно велика.
Дійсно, S= 2 d n – 4 d при +∞→n , +∞→dn2 , a constd −4 . Різниця між нескінченно великою
2dn сталою 4d також являється нескінченно великою.
Отже сума внутрішніх кутів багатокутника при необмеженому зростанні n є величина
нескінченно велика.
Означення 1. Величина (змінна) х називається нескінченно великою в даному
процесі, якщо яке б велике не було додатнє число N наступить такий
стан процесу, після якого абсолютна величина х стає і залишається
більше N, тобто х > N .
Закріплення:
Приклад 1. Чи можна назвати змінну виду у = – n , де n – будь-яке натуральне
число, нескінченно великою ?
Так. Змінна у = – n приймає значення: –1, –2, –3, ... Абсолютні величини цих
значень є: 1,2, 3,... тобто числа натурального ряду. Тут абсолютна величина значень
змінної у з продовженням процесу стає і залишається більше любого наперед
заданого додатного числа N, яке б велике воно не було. Отже, дану змінну можна
назвати нескінченно великою.
Приклад 2. Дано прямокутний трикутник ABC, C = 90°; Вершина В переміщається по
катету ВС, так, що довжина катета СВ перебільшує довжину будь-якого наперед заданого відрізка,
яким би великим він не був.
Показати, що довжина гіпотенузи АВ а даному
процесі є величина нескінченно велика.
Розв'язання.
1) З умови слідує, що довжина катета СВ в процесі
перебільшить любий, заданий наперед відрізок,
який би великий він не був.
2) Відомо, що гіпотенуза АВ > катета СВ (АВ
>СВ). Отже, гіпотенуза в даному процесі також
може перебільшити любий насамперед заданий
відрізок, яким би великим він не був, тобто в
даному процесі величина гіпотенузи АВ є нескінченно велика величина.
Приклад 3. Чи є нескінченно великою змінна виду:
A
B
C
6

7. 12, −= knякщоn
ny =
Nkдеknякщо ∈= ,2,0
Змінна yn набирає значень:, у1, у2, у3, у4, ... тобто 1, 0, 3, 0, 5, 0... Значення цієї змінної
може перейти будь-яке насамперед задане число, наприклад 1000, що можливо коли n = 1001, але
в наступному процесі значення змінної при n = 1002 буде 0, а це не відповідає означенню
нескінченно великої (тут значення змінної, стає більшим N, але не залишається більшим N при
подальшій зміні). Отже, змінна yn не є нескінченно велика величина.
2. Поняття про нескінченно малу.
Приклад 1. Якщо внести в кімнату брилу льоду, який почне танути, то об'єм цього
льоду зменшується і з продовженням (протіканням) процесу таяння залишається меншим любого
дуже малого об'єму. Так як лід в кімнаті розтане, то об'єм його перетвориться в нуль.
Приклад 2. Розглянемо дріб
n
y
1
= або
n
x
1
= , +∞→n . X буде приймати значення:
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1 будь-яке значення x значення менше всіх попередніх значень. Отже, величина х
спадає. Так як не існує найбільшого натурального числа, то не існує і найменшого значення х. Яке
б мале додатне число не було задане, наприклад 0,00001, значення х в процесі зміни зробиться і
буде залишатись меншим цього числа. В даному прикладі:
100000
11
<=
n
x , якщо n > 100000.
Приклад 3. Розглянемо змінну виду:
n
x
n
)1(−
= , де n = 1, 2, 3, …
Змінна х приймає значення: ,
6
1
,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1 −−− .
Зобразимо процес зміни х рухомою точкою на осі ОХ:
Ця точка коливається навколо точки нуль, однак віддалі її від т. 0 з
протіканням процесу збільшення n все зменшуються і зменшуються. При цьому віддаль
рухомої точки від т. 0, рівна
n
x
1
= в процесі зміни х може бути зроблена як завгодно малою.
Означення 2. Змінна х називається. нескінченно малою в даному процесі, якщо
яким би малим не було задане число >0, настане такий стан
процесу, після якого абсолютна величина х стає і залишається
меншою , тобтох
Примітка. Нескінченно мала не може бути рівна ні якому числу, яке б мале воно
не було, крім нуля.
Закріплення:
Приклад 1. Чи можна змінну виду
n
y
1
−= , де n= 1, 2, 3,... називати н. м. ?
Змінна у приймає значення: ,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1 −−−−
Абсолютні значення будуть: ,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1 (правильний дріб)
Отже, модуль значень у зменшується із протіканням процесу, залишаючись меншим б-
якого наперед заданого додатного числа, яким би малим воно не було.
1−
3
1
−
5
1
− 0
6
1
2
1
4
1 1
x
7

8. Отже, змінна виду
n
y
1
−= ,де n= 1, 2, 3,... є нескінченно мала величина.
Нехай в коло радіуса R вписано правильний
багатокутник, сторона якого АВ=аn; а апофема ОМ=Kn. З
прямокутного OBM :
2
0 n
n
a
KR <−< ,
але an0, отже і R–Kn0, тому різниця R–Kn є величина
нескінченно мала.
Приклад 3. Розміри молекули становлять 10-10
– 10-7
м – тобто це дуже малі
частки. Чи можна назвати їх н.м.в.?
Ні, бо число 10-10
м характеризує розмір молекули, а н.м.в. – характеризує не
розмір величини, а характер її зміни.
4. Навести приклади великих і малих величин та нескінченно малих і нескінченно великих
величин.
3. Поняття числової послідовності.
Особливо важливе значення в математиці мають процеси, в яких окремі стани
можуть бути послідовно пронумеровані натуральними числами.
Такий, наприклад, процес подвоєння числа сторін багатокутника, вписаного в
коло. Тут І стан процесу n1=3 (коли в коло вписаний трикутник), ІІ стан – n2=6, III
стан – n3=12 і т. д. Тут значення змінної пронумеровані (до нескінченності).
Такі змінні називаються послідовностями.
Означення. Змінна, яка приймає всі свої значення в певному відміченому
номерами порядку назив. послідовністю; окремі значення цієї змінної
назив. членами послідовності. Таким чином, кожний член
послідовності має свій номер, який вказує на місце цього члена в
послідовності.
Приклади:
1) Простим прикладом є послідовність натуральних чисел:
1, 2, 3, ... формула загального члена хn = n.
2) Послідовність всіх чисел, обернених натуральним:
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1 1, формула загального члена
n
xn
1
=
3) Послідовність всіх непарних чисел:
1, 3, 5, 7, ... загальний член an = 2n–1.
4)1, 0, 1, 0, 1, 0,...
( )
2
11
1+
−+
=
n
nx
5) 5, 5, 5, 5, ... хn =5.
При будь-якому способі завдання послідовності, кожний її член визначається номером
місця, яке він займає, тому
Послідовність – це функція від натурального аргументу.
6) хn = n2
, 1, 4, 9, … – зростаюча.
7) хn = –10n–1
, –1; –10; – 100; … – спадна.
A
B
R
O
M
K
a
a
n
2n
n
K2n
8

9. ІІІ урок.
Тема. Нескінченні числові послідовності. Обмежені і необмежені
послідовності. Поняття про границю послідовності.
Мета. Дати поняття про нескінченно великі числові послідовності, обмежені та
необмежені послідовності та дати поняття про границю послідовності.
Знати: Означення нескінченно великих числових послідовностей, обмежених і
необмежених та означення границі послідовності.
Вміти: Навести приклади н.в. послідовностей, обмежених та необмежених, та вміти
шукати границю послідовності.
І. Актуалізація опорних знань.
Фронтальне опитування.
1. Дати означення числової послідовності.
2. Навести приклади арифметичної і геометричної прогресії.
3. Дати означення н.м.в. та н.в.в. Навести приклади.
4. Яку величину називають сталою, а яку змінною. Дати приклади. Сформулювати
означення.
5. Навести приклади обмежених і необмежених змінних величин.
II. Вивчення нового матеріалу.
1. Ми з вами уже знаємо, що якщо кожному натуральному числу n поставлено у
відповідність деяке дійсне число аn, то сукупність чисел {аn}, де n =1, 2, 3, ... називається
числовою послідовністю або просто послідовністю; кожне число аn називається елементом або
членом цієї послідовності, а n – його номером.
Числова послідовність є частковим випадком функції, а саме, послідовність
являє собою функцію, визначену на множині натуральних чисел, яка приймає всі
свої значення у множині дійсних чисел.
Які існують способи задання послідовності?
а) Найбільш природнім є аналітичний спосіб задання послідовності. Він явно вказує, які дії
треба виконати над числом n, щоб одержати загальний член послідовності аn = f(n).
Наприклад.
1)Послідовність ,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1 має загальний член
n
an
1
=
2) Формула
1
)1( +
−= n
na задає послідовність: 1, -1, 1, -1, ...
б) Другим поширеним способом задання послідовності є рекурентний спосіб.
Він вказує, які дії треба провести над уже обчисленими членами послідовності а1, а2,
а3, …, аn, щоб одержати наступний член – аn + 1; крім того повинні бути задані
декілька перших членів – так звані початкові дані.
Приклад.
Послідовність Фібоначчі визначається умовою
аn+1 = аn + аn+1, n = 1, 2, ... і початковими даними а1 = 1, а2 =1.
Послідовність має вигляд: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Цю послідовність можна отримати і в аналітичній формі:















 −
−






 +
=
nn
na
2
51
2
51
5
1
, n = 1, 2, 3, ...
2. Означення 1. Якщо послідовність визначена на множині всіх натуральних чисел, то
10

10. таку послідовність називають нескінченною.
Означення 2. Якщо послідовність визначена на множині n перших
натуральних чисел, то її називають скінченною.
Означення 3. Послідовність, кожний член якої (починаючи з другого)
більший від попереднього, називається зростаючою
5,10, 15,20, ...
Означення 4. Спадаючою є та і тільки та послідовність, кожний член якої
(починаючи з другого) менший від попереднього.
1, 1/2. 1/4, 1/8, ... або 10; 8: 6; ...
Є послідовності, які не відносяться ні до зростаючих, ні до спадних.
10; – 6; 2; – 4; …
Навести приклади послідовностей – скінченних, нескінченних, зростаючих, спадних.
3. Обмежені і необмежені послідовності.
Розглянемо такі послідовності:
Nn
n
an ∈= ,
1
2 ; 222
1
,
3
1
,
2
1
,1
n
 (1)
Nnna
n
n ∈= −
,)1(
; ,
7
1
,6,
5
1
,4,
3
1
,2,1 (2)
Nnnan ∈−= ,2
-1, -4, -9, -16, … (3)
Nna n
n ∈−= +
,)1( 1
; 1, -8, 27, -64, … (4)
Усі члени послідовності (1) задовольняють нерівність 0< аn1, тому кажуть,
що послідовність обмежена зверху і знизу.
Члени послідовності (2) для всіх n задовольняють нерівність 0< аn, тому кажуть
що ця послідовність обмежена знизу, але не обмежена зверху.
Для членів послідовності (3) при будь-якому n виконується нерівність аn–1, тому
кажуть, що ця послідовність обмежена зверху, але не обмежена знизу.
Члени послідовності (4) такі, що не існує числа М такого, щоб для будь-якого n вони не
перевищували цього числа М, а також не існує числа m, для якого виконувалась би нерівність аn 
m при будь-якому n.
Отже послідовність (4) необмежена ні зверху, а ні знизу.
Сформулюємо відповідні означення.
Означення 1. Послідовність (аn) називають обмеженою зверху, якщо існує
таке число М, що для будь-якого n виконується нерівність
аn<М . Або послідовність (аn) називають обмеженою зверху,
якщо всі її члени менші одного і того ж числа M: аn<М,
n1,2,3,...
Означення 2. Послідовність (аn) називають обмеженою знизу, якщо існує таке число m,
що для будь-якого n виконується нерівність m  аn. Або
послідовність називається Обмеженою знизу, якщо всі її члени більші
одного й того ж числа m: аn  m, n=1,2,3,...
Означення 3. Послідовність (аn) називають обмеженою, якщо вона обмежена і
зверху і знизу, m<аn.<М, n=1,2,3,... В противному випадку вона
називається необмеженою.
11

11. Вияснити, які з даних послідовностей обмежені, необмежені:
1) n
an
1
= ; 2)
1−
=
n
n
an ;3) na n
n )1(−= ; 4)
13
2
+
=
n
n
an ; 5)
n
na 2= .
4. Поняття про границю послідовності.
а) Існування границі обмеженої змінної величин.
Перейдемо тепер до вивчення змінної величин, які прямують до границі, тобто коли
значення змінної величини прямують до якогось певного сталого числа А, яке називають
границею.
б) Розглянемо послідовність
1+
=
n
n
xn , де +∞→n , ,
6
5
,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
– зростає і має
границю 1, бо ε<− nx1 .
в) Розглянемо послідовність Nn
n
n
an ∈
−
= ,
13
, 3,
9
26
,
8
23
,
7
20
,
6
17
,
5
14
,
4
11
,
3
8
,
2
5
,2 → .
Члени цієї послідовності прямують до числа 3. Кажуть, що границя послідовності
n
n 13 −
дорівнює 3 і записують 3
13
lim =
−
∞→ n
n
n
Означення границі. Число А називають границею змінної величини х, якщо
різниця х–А в даному процесі є величина нескінченно мала.
Число А називають границею змінної величини х, якщо модуль різниці А–х
стає і залишається меншим будь-якого наперед заданого додатного числа, починаючи
з певного стану процесу і для всіх наступних його станів: |х–А|< .
Про змінну х говорять тоді, що вона має границю А, або прямує до границі А і записують х
 А або Axn
n
=
∞→
lim Limes – латинею "границя".
Або Число А називають границею послідовності (аn), якщо для будь-якого наперед заданого
додатного числа  можна вказати таке число N, що для всіх членів послідовності з номерами n N
виконується неперервність:
ε<− Aan
; Aan
n
=
∞→
lim
Знайти:
1) 303
2
lim3lim
1
2
3
lim
23
lim −−=−=
−
=
−
∞→∞→∞→∞→ n
n
n
n
n
nnnn
2) Довести, що 1
1
lim =
−
∞→ n
n
n
, n=1, 2, 3, …
За означенням границі складаємо різницю:
nnn
nn
n
n 111
1
1
=−=
−−
=−
−
, при ∞→n 0
1
→
n
є н.м.в.
Отже, 1
1
lim =
−
∞→ n
n
n
Ознака Вейєрштрасса
Існує ознака, яка за характером зміни змінної величини дає змогу встановити,
чи має ця змінна величина границю. Цю ознаку в минулому сторіччі встановив
12

12. німецький математик Вейєрштрасс.
Читається вона так: Монотонна обмежена змінна величина має границю.
Або: Монотонно зростаюча змінна має границю, якщо вона обмежена
зверху. Монотонно спадна змінна має границю, коли вона обмежена знизу.
Послідовності, які мають границі, називаються збіжними, в противному
випадку – розбіжними.
5. Необхідна умова існування граниш послідовності.
Теорема. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.
Іншими словами, обмеженість послідовності є необхідна умова існування
границі.
Останньою обставиною користуються для встановлення відсутності границі
послідовності.
Наприклад.
n
n )1(
,,
5
1
,4,
3
1
,2,1 −
 – необмежена, бо вона необмежена зверху і тому
границі не має.
6. Єдиність границі послідовності.
Теорема. Усяка послідовність має не більше однієї границі. Або, якщо
послідовність має границю, то ця границя єдина.
7. Основні теореми про границі.
Якщо послідовності an і bn мають границі aan
n
=
∞→
lim , bbn
n
=
→∞
lim , т о
1) nnnn baba limlim)lim( +=+ ; baba nn +=+ )lim( .
2) nnnn baba limlim)lim( −=− ; baba nn −=− )lim(
3) nnnn baba limlim)lim( ⋅=⋅ ; baba nn ⋅=⋅ )lim( .
4) 0lim;
lim
lim
lim ≠=





n
n
n
n
n
b
b
a
b
a
;
b
a
b
a
n
n
=





lim .
Отже:
T.l. Границя суми декількох змінних, які мають границі дорівнює сумі границь
доданків.
T.2. Границя різниці двох змінних х і у, що мають границі, дорівнює різниці границь
змінних зменшуваного і від'ємника.
Т.З. Границя добутку декількох змінних, що мають границі, дорівнює добутку
границь співмножників.
Т.4. Границя частки двох змінних, що мають границі, дорівнює частці від
ділення границі діленого на границю дільника, якщо границя дільника  0.
III. Розв'язання вправ на закріплення.
1. Як можна охарактеризувати відстань від поверхні Землі до метеорита, який
має впасти на землю ?
2. Чи можна "дуже малу величину" назвати н.м.в.? Наприклад величину
0,0000000001 = 10–10
.
Відповідь. Н.м. величину не можна плутати з часто вживаним у практиці поняттям "дуже
мала величина".
Так, величину 0,0000000001 = 10–10
не можна вважать н.м.в., бо термін н.м.в. за своїм
означенням описує не розміри величини, а характер її зміни.
13

13. 3. Відомо, що ,
3
2
lim =nx
2
1
lim =ny
Знайти границі таких змінних:
1) 6
1
1
2
1
3
2
limlim)(lim =+=+=+
∞→
nnnn
n
yxyx ;
2)
6
1
)(lim =−
∞→
nn
n
yx ; 3)
3
1
lim =
∞→
nn
n
yx ; 4) 3
1
1lim =
→∞
n
n
n y
x
;
5)
3
242
lim −=





+
−
∞→
n
n
nn
n
x
y
yx
; 6)
6
1
34
5
lim
22
=
−
++
∞→
nn
nn
n yx
yx
.
4. Знайти:
а) 1
02
02
1
2lim
1
2lim
2
2
1
2
lim
12
12
lim =
−
+
=






−






+
=
−
+
=
−
+
∞→∞→
n
n
n
n
n
n
nn
б)
( ) 2
12
438
lim
2
−=
−
+−
∞→ n
nn
n
. n
1
– н.м.в., 0
1
lim =
∞→ nn
5. Довести, що:
а) 3
1
53
lim =
+∞→ n
n
n
; б) 2
1
54
32
lim =
−
+
∞→ n
n
n
Доведення. За означенням границі маємо:
ε<
+
=
+
−=
+
−−
=−
+ )53(3
5
)53(3
5
)53(3
533
3
1
53 nnn
nn
n
n
, отже,
3
1
53
lim =
+n
n
; бо
)53(3
5
+n
є н.м.в. 0
)53(3
5
lim =
+∞→ nn
.
(точно такі самі правила обчислення границі функцій)
Д/з: р. VI, пп. 2-7; ст. 283 №№ 2(1,2,3,6,7), 3(1,2,10); № 4(1,2); №11.
14

14. IV. Урок.
Тема. Границя функції. Поняття про границю функції в точці.
Неперервність функції. Теореми про границі функцій.
Мета. Усвідомлення поняття про границю функції в точці, про неперервність функції та
сформулювати теореми про границі функцій.
Знати: Означення границі функції в точці, яка функція називається неперервною та знати
теореми про границі.
Вміти: використовувати означення границі функції, доводити справедливість даних
рівностей та обчислювати границі.
І. Активізація опорних знань.
Фронтальне опитування.
1. Дати поняття про границю послідовності.
2. Яка необхідна умова існування границі послідовності ?
3. Яка послідовність називається збіжною ? розбіжною ?
4. З'ясувати, які з послідовностей збіжні, а які розбіжні ?
а)
n
n
an
2
24 +
= ; б)
n
an
1
1+= ;
в) 12 −= n
na ; г) 12
−= nan ;
д)
2
3)3( +−
=
n
na ; е) 3
)1(
n
a
n
n
−
= .
5. Сформулювати ознаку Вейєрштрасса.
6. Сформулювати теореми про гранилі послідовностей.
Опитування по картках.
І учень. 1. Знайти границю:
84
32
lim
−
−
∞→ n
n
n
.
2. Якщо послідовність не обмежена, чи має вона границю ? Яка
необхідна умова існування гранилі ?
ІІ учень. 1. Знайти границю: 3
3
)13(
1
lim
+
−−
∞→ n
nn
n
.
2. Дати поняття про н.в.в.
ІІІ учень. 1. Довести 5
1
65
lim =
+
+
n
n
. Яким повинно бути n, щоб число 5
1
65
−
+
+
n
n
було меншим, ніж 0,1?
2. Дати поняття про н.м.в.
II. Вивчення нового матеріалу.
1. Границя функції. Поняття про границю функції в точці.
Поняття функції – важливе поняття математики взагалі і центральне поняття
вищої математики.
Так, розглядаючи будь-яку функцію y=f(x), ми маємо справу звичайно з двома змінними
величинами, одна з яких х змінюється незалежно, а друга – у в залежності від першої. Тому
говорити про границю функції можна тільки при умові, коли аргумент х прямує до певної границі.
15

15. Приклади: 1) Побудувати графік функції f(x) = x + 1 і розглянути її поведінку при
значеннях х близьких до 1.
Пояснення. Якщо значення х наближаються (прямують) до
1, то значення у наближаються до 2. Кажуть, що границя
функції f(x) при х 1 дорівнює 2.
Це записують: 2)1(lim
1
=+
→
x
x
.
2)
1
1
)(
2
−
−
=
x
x
xg Ця функція не визначена в т. х=1, однак і
для неї існує границя при і вона також дорівнює 2.
2
1
1
lim
2
1
=
−
−
=
→ x
x
x
.
3) Для функції 1,
1,
1,1
)( →



<
≥+
= xпри
xякщоx
xякщоx
xf
границі не існує, оскільки не існує одного певного числа, до якого
наближається значення функції при х 1
)[( ))1;(1lim,;12)1(lim
11
−∞=∞+=+
→→
наxнаx
xx
4) Нехай f(x) = x2
, x(–;+). Знайдемо значення цієї функції f для деяких
x із околу точки x =3 (тобто з інтервалу (3– ; 3+ ), >0):
Із наведеної таблиці легко побачити, що чим ближче х до 3. тим ближче до числа 9
значення f(x), відповідне цьому х, тобто f(x)9. Кажуть, що функція f(x)має своєю границею число
9 у точці х=3 (або при х 3), і пишуть 9lim 2
3
=
→
x
x
.
5) Розглянемо функцію, задану на всій числовій осі, крім точки 2.
Розглянемо значення, які набуває дана функція, якщо аргумент набирає значення із деякого околу
точки 2, за винятком точки 2.
x 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1
f(x) 3,9 3,99 3,999 Функція
не існує
4,001 4,01 4,1
З таблиці неважко помітити, що значення функції f(x) мало відрізняється від числа
4, якщо x міститься поблизу від точки 2. Отже, при x 2, f(x) 4, записують: 4
2
4
lim
2
2
=
−
−
→ x
x
x
.
Узагальнення: Якщо при зміненні х, що наближається до деякого числа а, значення
функції прямує до певного числа b, то кажуть, що при х, яке прямує до а, функції має границю, що
дорівнює b.
Записують це так: bxf
ax
=
→
)(lim
Зауваження. Зазначимо, що точка а, в якій розглядається функція f(x), може
належати області визначення функції f(x), а може й не належати. При знаходженні
x 2.9 2,99 2,999 3 3,001 3,01 3,1
f(x) 8,41 8,9401 8,994001 9 9,006001 9,0601 9,61
O
y
x1 2 3
1
2
3
-1
y=x+1
O
y
x1 2 3
1
2
3
-1
y=x+1
O
y
x1 2 3
1
2
3
-1
y=x+1
16

16. границі функції в точці не розглядається значення функції в цій точці.
Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки а, крім самої точки а. Число b
називається границею функції f(x) в точці а (ха), якщо для будь-якого додатного числа 
знайдеться таке число >0, що для всіх ха, які задовольняють нерівність 0<|х – а | < , виконується
нерівність |f(x) – b|<. Це записують: bxf
ax
=
→
)(lim або f(x)  b при х  а.
2. Теорема про єдність границі.
Функція не може мати дві різні границі в точці. Отже, якщо функція f(x)
має границю при х  а, то ця границя єдина.
3. Теореми про границі функцій. Правила обчислення границь.
Знаходити границі функцій в точці, користуючись лише означенням границі
досить складно. Істотно спрощують справу такі теореми про границі функції, які
аналогічні відповідним теоремам про границі послідовностей.
1) Теорема 1. Якщо функції f(x) і g(X) мають границі в точці а, то границя суми (різниці)
функцій дорівнює сумі (різниці) їх границь. (Коротко: границя суми дорівнює сумі границь).
)(lim)(lim))()((lim xgxfxgxf
axaxax →→→
+=+
2) Теорема 2. Границя добутку функцій дорівнює добутку їх границь, якщо останні
існують.
)(lim)(lim))()((lim xgxfxgxf
axaxax →→→
⋅=⋅
Наслідок: якщо функція f(x) має границю b з т. а і k – стале число, то функція kf(x) також
має границю вт. а, причому )(lim)(lim xfkxkf
axax →→
=
Коротко: Сталий множник можна виносити за знак границі.
3) Теорема 3. Якщо функції f(x) і g(X) мають границі в точці х=а і границя функції g(X) 0,
то існує границя частки
)(
)(
xg
xf
в цій точці, причому:
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→
= , g(X) 0
Коротко: Границя відношення двох функцій дорівнює відношенню їх границь, якщо
останні існують і границя дільника відмінна від нуля.
III. Розв'язання вправ.
1. Обчислити границі:
а) ( )869lim 2
1
+−
→
xx
x
; б) 14
23
lim
2
2 −
+
→ x
x
x
.
Розв'язання:
а) застосувавши теореми про границі суми, різниці і добутку, дістанемо:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 11816119816limlim9
8lim6lim98lim6lim9lim869lim
11
1
2
111
2
1
2
1
=+⋅−⋅⋅=+⋅−⋅=
=+−=+−=+−
→→
→→→→→→
xx
xxxxxx
xx
xxxxxx
2. Обчислити границю:
2
65
lim
2
2 −
+−
→ x
xx
x
Розв'язання. Тут границя знаменника дорівнює нулю, тому використати теорему про
границю частки неможливо.
Оскільки при знаходженні границі в т. х=2 розглядаються лише х2, то розклавши
чисельник на множники і скоротивши дріб на х–2 маємо:
17

17. 132)3(lim
2
)3)(2(
lim
2
65
lim
22
2
2
−=−=−=
−
−−
=
−
+−
→→→
x
x
xx
x
xx
xxx
3. Обчислити границю: 1
1
lim
1 −
−
→ x
x
x .
Розв'язання.
211)1(lim
1
)1)(1(
lim
)1)(1(
)1)(1(
lim
1
1
lim
1111
=+=+=
−
+−
=
+−
+−
=
−
−
→→→→
x
x
xx
xx
xx
x
x
xxxx
4. Знайти границю: 32
3
14
43
lim
xx
xx
x −−
++
∞→
Розв'язання.
Поділимо чисельник і знаменник на х3
:
3
1
3
100
003
1
114
41
3
lim
14
43
lim
3
32
32
3
−=
−
=
−−
++
=
−−
++
=
−−
++
∞→∞→
xx
xx
xx
xx
xx
18

18. Неперервні функції.
Неперервність функції в точці.
З неперервними функціями ми зустрічались і широко використовували їх
властивості при побудуванні графіків найпростіших функцій, наприклад, у = ах +
b, у = ах2
, у = ах3
і т. д.
Поняття неперервності функції відіграє виключно важливу роль в
математичному аналізі. Це поняття дуже важливе і для знаходження границь, а
також властивість неперервності функцій використовується при розв'язуванні
нерівностей методом інтервалів.
Графіком неперервної функції є суцільна лінія. Чи існують функції, графіки
яких не є суцільними лініям на всій області визначення чи на деякому проміжку
[а;b] і чи є такі реальні функції на практиці ? Так, є.
Розглянемо приклади.
Багато фізичних процесів характеризуються тим, що поступова плавна зміна
фізичних величин змінюється скачками – кількісні зміни переходять в якісні.
O
l
P
(P , L)
O(P , l )êð.
O
(V)
x3 5
2
4
7
y
(t°)
Рис. 1 Рис. 2
1) Нехай тягар висить на нитці. По мірі збільшення навантаження нитка постаново
розтягується і відстань l тягаря від точки підвісу потроху збільшується. Але при деякому
критичному значенні навантаженні Р0 нитка обривається, тягар падає вниз і його відстань від
точки підвісу стрибкоподібно збільшується до значення L.
Графік залежності l від навантаження Р має вид (мал. 1)
2) Будемо нагрівати суміш водню і кисню (гримучий газ) при постійному тиску.
Об'єм газу буде постійно збільшуватись. При деякому критичному значенні Т0 температури
відбувається хімічна реакція сполучення Н2 і О2 , суміш вибуває і її об'єм стрибкоподібно
збільшується. Виникає нова якість: суміш водню і кисню перетворюється у водяну пару (мал. 2).
Бачимо, що розглядувані функції є розривними перша в т. Р0, друга в т. 3 хоч і
визначені в цих точках.
Розглянемо ще кілька функцій, графіки яких зображені на малюнку і з'ясуємо причину
розриву їхніх графіків у певних точках.
O
y
x1
1
-1 O
y
x1
1
-1 O
y
x1
1
-1
O
y
x
19

19. x
y
1
=
1
12
−
−
=
x
x
y 2
xy =



<−
≥+
=
0,1
0,12
x
xx
y
Функції x
y
1
= і
1
12
−
−
=
x
x
y , мають розриви в точках відповідно х=0 і х=1, бо в цих точках
вони не визначені; функція,розривна в точці х=0, бо в цій точці вона не має границі. Лише функція
у = х2
неперервна в будь-якій точці числової осі.
Нехай функція у = f ( x ) визначена в усіх точках проміжку [а; b] і нехай х0 є внутрішня
точка цього проміжку.
Означення. Функція у = f ( x ) називається неперервною в точці х0  [а;b], якщо
існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в
цій точці х0
Отже, функція у = f(x) в точці х0 буде неперервною тоді і тільки тоді, коли
виконуються умови:
1) функція у = f ( x ) визначена в точці х0, тобто існує число f( x 0 ) ;
2) для функції у = f ( x ) повинна існувати границя в точні х0
3) границя функції f ( x ) в точці х0 дорівнює значенню функції в цій точці:
)()(lim 0
0
xfxf
xx
=
→
Разом всі ці умови є необхідними і достатніми для того, щоб функція у = f ( x ) була
неперервною з точЦІ х0.
Дамо інше формулювання означення неперервності функції через приріст
функції і аргументу, яке часто застосовують на практиці при дослідженні функції на
неперервність.
Нехай задано функцію у = f(x), визначену в усіх точках деякого проміжку
(а; b).
Візьмемо дві довільні точки з цього проміжку х0 і х0+х, де х =х–х0. Тоді різницю х =х–х0
називають приростом аргументу, а число (різницю) )()()()( 000 xfxxfxfxfy −∆+=−=∆ -
приростом функції в т. х0.
Отже, функція у = f ( x ) називається неперервною в точці х0, якщо 0lim
0
=∆
→∆
y
x
.
Із останнього співвідношення випливає, що коли функція f ( x ) неперервна в точці
х0, то малому приросту аргументу відповідає малий приріст функції, або точніше приріст функції є
функція, нескінченно мата при 0→∆x .
Отже, можна дати означення неперервності функції в точці у такому вигляді:
Функція у = f ( x ) , визначена в кожній точці проміжку (а; b ), називається
неперервною в точці х0( a , b ) , якщо її приріст в цій точці є функція нескінченно мала
при 0→∆x
Якщо функція у = f ( x ) неперервна в кожній точці проміжку (а; b ), то вона називається
неперервною на цьому проміжку.
Слід пам'ятати такі теореми.
Теорема 1. Якщо функції f ( x ) і g( x ) є неперервними в точці х0, то в цій точці будуть
неперервними і функції f ( x ) = g( x ) ; f ( x )  g( x ) .
Теорема 2. Якщо функції f ( x ) і g( x ) є неперервними в точці х0, і g ( x )  0 , то в точці х0 є
неперервною також і функція
)(
)(
xg
xf
.
Теорема 3. Раціональна функція неперервна в усіх точках, де вона визначена.
Розв'язування вправ.
20

20. 1. Навести приклади функцій неперервних:
а) в будь-якій точці числової прямої;
б) при всіх значення х, крім х=2,
2
5
)(
−
=
x
xf .
2. Знайти точки розриву: 1) x
y
5
= ; 2) у = 3 х 2
– 2 х – 1 ; 3 )
2
3
2
−
+
=
x
x
y .
3. Дослідити функцію на неперервність і знайти значення функції в точці розриву:





>+−
≤≤−
−<+
=
2,6
22,
2,3
)( 2
xякщоx
xякщоx
xякщоx
xf
в т. –2 графік робить "стрибок" вгору на 3 од. В
цій точці функція розривна, а в т. 2 функція
неперервна. В. т х=2, f ( – 2 ) = – 4 .
4. Знайти ОДЗ функцій:
а)
20
1
)(
2
−−
=
xx
xf ; В: (–; –4) ( 5 ; +  )
б) )4lg()( 3
xxxf −= ; В: (–2;0)  (2; +  )
O
y
x1 2 3
1
2
3
-1
4
4-4 -2
21

21. Тема. Контрольна робота на числові функції.
Мета. Перевірити, як учні засвоїли числові функції.
Виховна мета. Виховувати чесність, почуття відповідальності, наполегливість в
подоланні труднощів.
Розвиваюча мета. Розвивати в учнів вміння переборювати труднощі в навчанні,
розвивати пізнавальний інтерес до математики.
І. Контрольна робота.
1. Знайти область визначення функції:
А.
1
209
)( 2
2
−
+−
=
x
xx
xf
34
20
)( 2
+−
+
=
xx
x
xf
В: (–;–1)(1; 4] [5; +) В: [–2;1)(3; +)
В.
5
5
)( 2
−
=
x
x
xf
9
3
)( 2
−
=
x
x
xf
С. xy −= 4 7+= xy
2. Знайти границі функцій:
А. )2(;
532
22
lim 2
2
−+
+−
∞→ xx
xx
x
; 





+−
+
∞→ 7
1
;
357
73
lim 2
2
xx
xx
x
; 





−
−
→ 6
1
;
9
3
lim
9 x
x
x
; )2(;
1
1
lim
1 −
−
→ x
x
x
В. )0(;
1
32
lim 2
+−
−
→∞ xx
x
x
; )0(;
3
52
lim 24
2
+−
−
∞→ xx
x
x
; 





−
−
→ 6
1
;
64
16
lim 3
2
4 x
x
x
; 





−
−
+
−→ 2
9
;
9
27
lim 2
3
3 x
x
x
С.
53
5
lim
−∞→ x
x
x
;
x
x
x 7
56
lim
−
∞→
;
4
5
lim 2
2
2 −
−+
→ x
xx
x
;
1
34
lim 2
2
1 −
+−
→ x
xx
x
3. Побудувати графік функції і знайти значення функції з точках розриву:
А.







>−
≤≤
<
=
1,12
10,
0,
1
)( 2
xякщоx
xякщоx
xякщо
x
xf





≥−
≤≤−+
−<+
=
2,53
21,3
1,5
)( 2
xякщоx
xякщоx
xякщоx
xf
(т. розриву 0) (т. розриву 2)
В.




<−
≥−
=
1,31
1,1
2
1
)(
xякщоx
xякщоx
xf



≤−
>+
=
0,1
0,3
)(
xякщоx
xякщоx
xf
4. Розв'язати нерівність методом інтервалів.
А. );3(2;
2
1
4;
3
3
2
1
+∞∪





−−
−
<
+ xx
( ) )5;3(3;1;
1
1
5
4
∪
−
>
−
−
xx
x
В. 0)62)(39( <+− xx ; 0
43
12
>
−
−
x
x
.
5. Знайти границю:
А. nnn
n
−++
∞→
13lim 2
; nnn 234lim 2
−−
В: 1,5 В: –0,75.
Д/з ст. 284-5; №№ 11, 14(1), 15(1) – В, С
А - № 11(3, 4), 14(2-5), № 5(2; 6), № 16(2,3).
22

22. Тема. Аналіз контрольної роботи.
Мета. Систематизація знань учнів по темі:
"Границя і неперервність функції".
І. Систематизація практичних знань учнів.
1. Фронтальне опитування:
1) Що таке область визначення функції ?
2) 3 якої умови знаходимо область визначення функції, заданої за допомогою
кореня парного степеня, логарифма, дробу ?
3) Як знаходимо область визначення функції, яка є сумою, добутком, часткою
двох функцій?
4) Дати означення границі функції в точці, на нескінченності.
5) Сформулювати теореми про границі функцій.
6) Дати означення неперервності функції в точці.
7) Де застосовується неперервність функції ?
2. Розв'язування вправ:
1) Знайти область визначення 6-ї:
1
)253lg(
)(
2
−
−−
=
x
xx
xf ;
3
3
)(
+
−−=
x
x
xxg
]5,0;3[;253)( 2
−−−= xxxf
2) Обчислити границі функцій:
а) 





−
−
+−
→ 6
1
;
22
34
lim 2
2
2 x
xx
x
; )1(;
56
245
lim
2
1
−
−
−−
→ x
xx
x
; )3(;
2
92
lim
2
3 −
−
→ x
x
x
.
б) 





−
−−
+−
∞→ 2
1
;
22
13
lim 2
2
xx
xx
x
; ( )1;
24
1
lim 32
3
xxx
x
+−
−
.
в) ( )8;
4
16
lim
2
4 −
−
→ x
x
x
( )1,0;
25
5
lim 25 x
x
x −
+
−→
; 





−
−−
→ 81
2
;
27
334
lim 33 x
x
x
.
3) Побудувати графіки функцій:
21 +−= xу
13
32
−
+
=
x
x
y .
4) Розв'язати нерівність: 0
2
)5)(2(16 2
≤
+
−−−
x
xxx
, [–4; –2)[2; 4].
ІІ. Самостійна робота.
1. Знайти границю:
А. 1)
32
)3)(4(
lim 23 −+
+−
−→ xx
xx
x 2
2
2 5148
483
lim
xx
xx
x +−
+−
→
2) ( )11lim 22
−−+
∞→
xx
x
( )11lim 22
+−−++
∞→
xxxx
x
В.
16
1
lim;
14
53
lim 2
3
42
2
−
+
++
−
→∞→ x
x
nn
n
xn 1
13
lim;
32
3
lim 3
3
32
2
+
+−
−
−
→∞→ x
xx
nn
n
xn
С.
25
12
lim
−
+
∞→ n
n
n 33
5
lim
−
+
∞→ n
n
n
2. Довести, що
2
52
lim =
−
∞→ n
n
n 2
1
54
32
lim =
+
−
→∞ n
n
n
23