TOEICやTOEFLテストは公正で公平な絶対的な評価値のように感じられるが他の試験と同様やはり確率的変動を伴う。TOEICを複数回受験するとどのくらい有利になるだろうか。

1. 1
Hideo Hirose
Hiroshima Institute of Technology
Hiroshima Japan
順序統計量とTOEICスコア
TOEICを複数回受験するとどのくらい有利になるか
copyright HH2015年7月

2. TOEICやTOEFLの評価法には項目反応理論（IRT）が使われており、
公正で公平な評価値が与えられるといわれている。絶対的な評価値の
ように感じられるが、他の試験と同様やはり確率的変動を伴う。
そこで、TOEICのスコアをどこかに提出するとき、ある一定期間内受
験の最高点を示すことができる。
順序統計量とは、データx1, ... , xnが与えられたとき、それらを小さい
順に並べたものをx(1), ... , x(n)とするときのi番目のデータ x(n) のことを
いう。最小値はx(1) で、 最大値は x(n)である。
そこで、TOEICをn回受験するときにスコアがどのように変化するか
を求めてみた。ここでは、平均的な大学でのスコアを仮定している。
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3. X(1) = min( X1, X2 ,L ,Xn )
X(n) = max( X1, X2 ,L , Xn )
P(X(1) > x) = P(min(X1, X2 ,L , Xn ) > x)
= P(X1 > x)P(X2 > x)L P(Xn > x)
= (1 − F(x))
n
f(1) (x) = nf (x)(1 − F(x))n−1
P(X(n) ≤ x) = P(max(X1, X2,L , Xn ) ≤ x)
= P(X1 ≤ x)P(X2 ≤ x)L P(Xn ≤ x)
= (F(x))
n
f(n) (x) = nf (x)(F(x))
n−1
P(X(1) ≤ x) = 1− (1− F(x))
n
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4. f(k) (x)dx = P(X(k) ∈dx)
= nf (x)dx
n −1
k −1
"
#
$ %
&
(F(x))k−1
(1− F(x))n−k
f(1) (x) = nf (x)(1 − F(x))
n−1
f(n) (x) = nf (x)(F(x))n−1
x
X(1)
X(k)X(2)
X(n)
x + dxk −1
n − k
f(k) (x) = n
n − 1
k − 1
"
#
$ %
&
f(x)(F(x))
k −1
(1 − F(x))
n− k
= P(∃
i, Xi ∈dx, X?1 ≤ x,L , X?(k−1) ≤ x)
€
X(1) ≤ x, , X(k−1) ≤ x)
= nP( X1 ∈dx, X?1 ≤ x,L , X?(k −1) ≤ x)
€
X(1) ≤ x, , X(k−1) ≤ x)
= nP( X1 ∈dx)P(X?1 ≤ x,L , X?(k−1) ≤ x)
€
X(1) ≤ x, , X(k−1) ≤ x)
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5. listening 5-495
reading 5-495
ある大学での
ETSによると
section毎で25点のぶれ、totalで50点のぶれが出る
sectionでは35点、totalでは50点上がったら、
実力が上がったと判定している
100
200
300
400
500
600
700
total2007
100 200 300 400 500 600 700
total2006
50
100
150
200
250
300
350
400
listening2007
50 100 150 200 250 300 350 400
listening2006
0
50
100
150
200
250
300
350
reading2007
0 50 100 150 200 250 300 350
reading2006
reading section
listening section
１回目
2回目
A
B
2回目B2回目B
１回目 A
１回目 Acopyright HH
T O E I C

6. T O E I C受験回数があがる
につれて
受験回数=1
受験回数=2
受験回数=3
受験回数=4
受験回数=5
受験回数=6
スコア スコア
頻度頻度頻度
頻度頻度頻度
平均=500
平均=547
平均=571
平均=586
平均=598
平均=607
スコアもあがる
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7. T O E I C多数回受験では
仮定
平均が500点、80点のぶれ（標準偏差）のとき
受験回数によってスコアはどのように伸びるか
400
500
600
700
1 2 3 4 5 6
受験回数
スコアの最大値の平均
スコアがあがる
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8. TOEICは複数回受験すると少し有利になる。
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