2. 2
รูป 2. แสดงเวกเตอร์ที่เท่ากัน
2.3 เวกเตอร์ต รงข้า มกัน เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ ตรงข้าม
กัน เมื่อมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงข้ามกัน ดังรูป 3.
ตรงข้ามกับ
A
ตรงข้าม 2
2 ว
3 D
กับ หน่ 3 หน่ว-
B หน่ว
ย
ย
3
หน่ว หน่วย
C
= - 2
หน่ว ย ย
รูป -3. แสดงเวกเตอร์ตรงข้ามกัน = -
ย
2.4 การบวกลบเวกเตอร์
การบวก ลบ ปริมาณเวกเตอร์ หรือการหาเวกเตอร์ลัพธ์
สามารถทำาได้ 2 วิธีคือ
2.4.1 วิธ ีก ารเขีย นรูป โดยวิธีหางต่อหัว เวกเตอร์
ลัพธ์ที่ได้ จะมีขนาดและทิศจากหางเวกเตอร์ตัวแรก ถึงหัวลูกศรเวก
เตอร์ตัวสุดท้าย ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัว อย่า ง กำาหนดให้
D
B
C
A
1. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก
A
+ +
B
C
+
D
-
D
A B C
= +++ C = -+-
2. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก
A
-
B
+
C
-
D -
B
A
3. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก
B
-
C
+
D
-
A
-
= -+-
D
-
3. 3
2.4.2 วิธ ีก ารคำา นวณ การใช้วิธีคำานวณในการหา
เวกเตอร์ลัพธ์ ก็เพื่อคำาถูกต้องแน่นอนกว่า การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดย
วิธีสร้างรูป เพราะ การสร้างรูป ถ้าลากความยาวหรือทิศลูกศรคลาด
เคลื่อนเพียงเล็กน้อย ผลของเวกเตอร์ลัพธ์จะผิดไปจากเดิม
การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีคำานวณหาได้ดังนี้
ในกรณีนี้จะพิจารณาเวกเตอร์เพียง 2 เวกเตอร์เท่านั้น
ให้ และ
A
ทำามุม ซึ่งกันและกันดังรูป เวกเตอร์
B
ลัพธ์ ( ) จะมีขนาดเท่าใด และมีทิศอย่างไร
R
B
θ
วิธ ีค ิด เพื่อหาสมการที่ใช้ในการคำานวณ เริ่มจากการสร้างรูป
y
B รูป 1. แยก เพื่อหาขนาดเวก
θ เตอร์ลัพธ์
x
จาก
R
=
A
+
B
, เวกเตอร์
B
มีองค์
ประกอบคือ
B
X , Y
B
จะได้
R
=
A
+
B
X +
B
Y
B sin θ
รูป 2. เวกเตอร์ลัพธ์ หาได้โดย
θ
ใช้กฎพิทาธอรัส
จากกฎของพิทาธอรัส หาขนาดของเวกเตอร์ จะได้
cos θ
R = Bcos )2+ sin )2
( A+ θ (B θ
R = 2
A + cos +
2AB θ 2 2
B cos +
θ 2 2
B sinθ
R = 2
A +2AB θ + ( cos +2 )
cos B2 2
θ sinθ
แต่ cos2θ + sin2θ = 1 , R = 2
A +2AB θ +
cos B2
ดังนั้น สมการทั่วๆไปในการหาค่าขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ จากเวก
เตอร์ 2 เวกเตอร์รวมกัน จะได้
R = 2 2
A + +
B 2AB θ
cos
******
4. 4
หาทิศ ทางของเวกเตอร์ล ัพ ธ์ จากรูป ด้านล่างนี้ เวกเตอร์
R
ลัพธ์
R
จะมีทิศทำามุม กับแนวระดับ
sin θ
R
B B
α
A θ
B
cos
การหาทิศของเวกเตอร์ลัพธ์ θ คือ การหาค่ามุม
R
จาก tan α
ด้านข้ามมุ
ม
= ด้านชิด มุม
θ
จะได้
Bsin
tan α = A+ cos
B θ
*****
ตัว อย่า ง จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก มีขนาด 4 หน่วย และ
A
B
มีขนาด 3 หน่วย โดยเวกเตอร์ทั้งสองทำามุมระหว่างกันดังนี้
0 องศา , 60 องศา , 90 องศา และ 180 องศา ตามลำาดับ
โดยวิธีสร้างรูป และ วิธีคำานวณ
วิธ ีท ำา
ขนาด 4 หน่ว ย และ
A
ขนาด 3 หน่ว ย ทำา มุม
B
ระหว่า งกัน 0 องศา
สร้า งรูป
ขนาด 4 หน่วย และ ขนาด
3 หน่วย
ขนาด 7
หน่วย
คำา นวณ จากสมการทั่วไป R = , 2
B2
A + + 2AB θ
cos
จะได้ = 0 องศา
R = 2 2
A + + cos
B
, cos 0° =
2AB 0°
1
R = 2
B2
A + + 2AB
,(A+B
)2 = A2 + 2AB +B2
R = ( A+ )2
B
จะได้ R = A+ B
แทนค่า R = 4 + 3 = 7 หน่วย
5. 5
A
ขนาด 4 หน่ว ย และ
B
ขนาด 3 หน่ว ย ทำา มุม
ระหว่า งกัน 60 องศา
สร้า งรูป
B
ขนาด
R
B
6 6 3 หน่วย
0°
A
A
ขนาด 4 0°
คำา นวณ จากสมการทั่วไป ย R =
หน่ว 2
B2
A + + 2AB θ
cos
,
จะได้ = 60 องศา
แทนค่า R = 2
B2
A + + cos °
2AB 60
, cos
1
60° = 2
1
R = 2 2
4 +3 +2 4 ( 3 ( )
( ) )
2
R = + +
16 9 12
R = 37
R = 6.08 หน่วย
A
ขนาด 4 หน่ว ย และ
B
ขนาด 3 หน่ว ย ทำา มุม
ระหว่า งกัน 90 องศา
สร้า งรูป
ขนาด
R
B
B
3 หน่วย
9 9
0°
A
ขนาด 4
A 0°
หน่วย
คำา นวณ จากสมการทั่วไป R = , 2
B2
A + + 2AB θ
cos
จะได้ = 90 องศา
แทนค่า R = , cos 2
B2
A + + cos °
2AB 90
90° = 0
R = A +2
2
B
R = 4 +2
2
3
R = +
16 9
R = 25
R = 5 หน่วย
ขนาด 4 หน่ว ย และ
A
ขนาด 3 หน่ว ย ทำา มุม
B
ระหว่า งกัน 180 องศา
6. 6
สร้า งรูป
ขนาด 4 หน่วย และ
B
A B
ขนาด 3 หน่วย
ขนาด 1
A
R
หน่วย
คำา นวณ จากสมการทั่วไป R = 2
,
B2
A + + 2AB θ
cos
จะได้ = 180 องศา
R = 2
B2
, cos
A + + cos °
2AB 180
180° = -1
R = 2
B2
A + − 2AB
,(A-B)
2
= A2 - 2AB +B2
R = ( A− )2
B
จะได้ R = A- B
แทนค่า R = 4 - 3 = 1 หน่วย
จากตัว อย่า งข้า งบนนี้ส รุป เกี่ย วกับ ขนาดของเวกเตอร์ล ัพ ธ์
ได้ว ่า
1. เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศไปทางเดียวกัน จะทำามุมระหว่าง
กัน …0.. องศา
ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากการเอาขนาดมารวมกัน ( R
= A + B)
2. เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศตรงข้ามกัน จะทำามุมระหว่างกัน
…180.. องศา
ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากการเอาขนาดมาลบกัน ( R
= A - B)
3. เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศทำามุมระหว่างกัน องศา
ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากสมการ R =
2 2
A + +
B 2AB θ
cos
4. เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศทำามุมระหว่างกัน 90 องศา
ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากสมการ R = A +2
2
B
