Презентация на тему Комплексные числа

1. Комплексные числаКомплексные числа
МБОУ Большемаресевская СОШ МордовияМБОУ Большемаресевская СОШ Мордовия
Класс: 11Класс: 11
Учебник: Алгебра и начало анализа. Ю. М.Учебник: Алгебра и начало анализа. Ю. М.
Колягин и др.Колягин и др.
(профильный уровень)(профильный уровень)
Учитель: Коршунов В.Ю.Учитель: Коршунов В.Ю.
Год создания: 201Год создания: 20166

2. ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ
ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ
ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Комплексные числа. Геометрическая
интерпретация комплексных чисел.
Действительная и мнимая часть, модуль и
аргумент комплексного числа. Алгебраическая
и тригонометрическая формы записи
комплексных чисел. Арифметические действия
над комплексными числами в разных формах
записи. Комплексно сопряженные числа.
Возведение в натуральную степень (формула
Муавра). Основная теорема алгебры.

3. Понятие комплексного
числа
Х+А=В - недостаточно положительных
чисел
А·Х + В=0 (А≠0) – разрешимы на
множестве рац.чисел
Х²=2 или Х³=5 - корни - иррациональные
числа
Х+5=2

4. Иррациональные
числа
Рациональные
числа
Действительные числа

5. Решение квадратных
уравнений
А · Х²+ В ·Х+ С =0
При D<0 действительных корней нет
Иррациональные
числа
Рациональные
числа
Действительные
числа
+

6. Иррациональные
числа
Рациональные
числа
Действительные
числа
+
Комплексные числа

7. Вид комплексного
числа
Х²=-1
Х=i -корень уравнения
i- комплексное число, такое , что
i²=-1
А + В· i
ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО
ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

8. А и В – действительные числа
i- некоторый символ , такой, что
i²= -1
А – действительная часть
В – мнимая часть
i – мнимая единица
А + В· i

9. Геометрическая
интерпретация комплексного
числа

10. Модуль комплексного числа
Z=А - В· i СОПРЯЖЕННОЕ Z= А + В· i
(Z) = Z
Комплексно сопряженные
числа.
Z = A + B i= 22
ВА +

11. Тригонометрическая форма
комплексного числа
Z =r
φ- аргумент аргумент
комплексного числа
Z=r cos φ + i Z sin φ =
= r (cos φ+ i sin φ)
Для Z=0 аргумент не
определяется

12. Т.к Z =r =
22
ВА +Z= А + В· i= cosφ+i sinφ
22
ВА +
22
ВА +
22
cos
BA
A
+
=ϕ
22
sin
BA
В
+
=ϕ
A
B
tg =ϕ

13. Сложение и умножение
комплексных чисел
Алгебраическая
форма
Геометрическая
форма
Сумма
(A+iB) + (C+iD)=
(A+C)+(B+D)I
Произведение
Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1)
Z2= r2(cos φ2+ i sin φ2)
Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2)]
Произведение
(A+iB) · (C+iD)=
(AC-BD)+(AD+BC)i

14. Если Z 1= Z2, то получим
Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²=
r² (cos2 φ+ i sin 2φ)
Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+
i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ)
)sin(cos
)]sin(cos[
ϕϕ
ϕϕ
ninr
irZ
n
nn
⋅+⋅
=⋅+⋅=
Формула Муавра
Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и
любого натурального числа n

15. Число Z называется корнем степени n из
числа ω (обозначается ), если (*)
Из данного определения вытекает, что
каждое решение уравнения
является корнем степени n из числа ω.
n
ω
ω=n
Z
ω=n
Z
Z= r (cos φ+ i sin φ) ω= ρ(cos ψ+ i sin ψ)
Zkk
nn
rили
Zkгдеknиr
ininr
n
n
n
∈+==
∈+==
⋅+=⋅+⋅
,
2
,
,2
)sin(cos)sin(cos
πψ
ϕρ
πψϕρ
ψψρϕϕ
Zkk
nn
ik
nn
Z n
k ∈+⋅++= )],
2
sin()
2
[cos(
πψπψ
ρ
Вторая формула Муавра

16. Вторая формула Муавра определяет все
корни двучленного уравнения степени n
.
0...
0,...,
0
1
1
1
1
числаыекопмплекснзаданныеaaгде
aZaZaZa
n
n
n
n
n
−
=++++ −
−
Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве
комплексных чисел ровно n-корней.
Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в
множестве комплексных чисел по крайне мере один корень

17. Пример:
Решить уравнение:
iix
ix
iix
k
Zk
k
i
k
x
r
r
Zk
k
kтогда
Zkkikir
irx
Zkkik
x
⋅−=+++=
−=+++=
⋅+=+=
=
∈
+
⋅+
+
⋅=
=
=
∈
+
=
+=
∈+⋅++⋅=⋅+⋅
⋅+⋅=
∈+⋅++⋅=−
−=
31))
3
4
3
sin()
3
4
3
(cos(2
2))
3
2
3
sin()
3
2
3
(cos(2
31)
3
sin
3
(cos2
...2,1,0
)),
3
2
sin
3
2
(cos2
2
8
,
3
2
23
)),2sin()2(cos(8)3sin3(cos
)sin(cos
)),2sin()2(cos(88
8
3
2
1
3
3
3
ππππ
ππππ
ππ
ππππ
ππ
ϕ
ππϕ
ππππϕϕ
ϕϕ
ππππ

18. Свойства сложения и
умножения
Переместительное свойство:
Сочетательное свойство:
Распределительные свойство:
Z1 + Z2 = Z1 +Z2
Z1 · Z2 = Z1 ·Z2
Z1 ·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3
(Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +(Z2+Z3) (Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)

19. Геометрическое изображение
суммы комплексных чисел

20. Вычитание и деление
комплексных чисел
Z+ Z2 = Z1
Вычитание – операция, обратная сложению:
Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- Z2 )
Z= Z1 - Z2 –разность
Деление – операция, обратная умножению:
Z · Z2 = Z1
Разделив обе части на Z2 получим:
02
2
1
≠= Z
Z
Z
Z

21. Геометрическое изображение
разности комплексных чисел

22. Примеры:
Найти разность и частное комплексных
чисел iZиiZ 4354 21 +=+=
Решение:
ii
Z
Z
iiiZZ
41
1
41
32
2516
5344
2516
4534
1)54()43(
1
2
12
+=
+
⋅−⋅
+
+
⋅+⋅
=
−−=+−+=−