Referat Edyty

1. Schemat Bernuolliego
Rozpatrzmy n identycznych niezależnych doświadczeo losowych, z których każde kooczy się jednym z
dwóch wyników. Modelem probabilistycznym każdego z tych doświadczeo jest więc para (Ω, Ρ),
gdzie Ω = {������1 , ������2 }. Tego rodzaju schemat doświadczeo nazywamy Schematem Bernuolliego. W
schemacie Bernuolliego przyjęto jedno ze zdarzeo elementarnych, np. ������1 - nazywad sukcesem a
drugie ������2 - nazywad niepowodzeniem.
Schemat Bernuolliego jest to ciąg n niezależnych identycznych doświadczeo losowych, takich że
każde z nich kooczy się sukcesem lub niepowodzeniem (przykładem jest wielokrotne rzucanie
monetą).
W dalszym ciągu dla wygody przyjmiemy ������1 = 1 (sukces) oraz ������2 = 0 (niepowodzenie), wiec opis
rozkładu prawdopodobieostwa na przestrzeni Ω = {1,0}.
Ρ 1 = ������, Ρ 0 = ������, ������ + ������ = 1
co można zapisad także w postaci
������, ������������������������������ ������ = 1
(*) Ρ ������ = ������������ ������1−������ =
������, ������������������������������ ������ = 0
Przestrzeo Ω(������) = Ω × Ω × … × Ω (n- czynników) jest to zbiór n- wyrazowych ciągów postaci
������1 , ������2 , … , ������������ , gdzie ������������ = 0 ������������������ 1 (k=1,2,…,n)
Zajmiemy się teraz obliczaniem prawdopodobieostwa zdarzenia ������������ polegającemu na tym, że w n
������
doświadczeniach schematu Benoulliego otrzymamy k sukcesów. Zdarzenie to jest alternatywą
zdarzeo, z których każde polega na otrzymaniu k sukcesów i n - k niepowodzeo w pewnej ustalonej
kolejności.
(**) ������������ =
������ ������1 +⋯+ ������������ =������ ������1 , ������2 , … , ������������
Prawdopodobieostwo każdego ze zdarzeo występujących pod znakiem alternatywy jest zgodne ze
wzorem (*) równe
Ρ ������1 , ������2 , … , ������������ = Ρ ������1 Ρ ������2 … Ρ ������������ = ������������1 +⋯+������������ ������������−(������1 +⋯+������������ ) = ������������ ������������−������
������
Liczba takich zdarzeo jest równa ������
(na tyle sposobów można wybrad spośród n- doświadczeo
(miejsc) k- doświadczeo (miejsc), które mają się zakooczyd sukcesem). A zatem w alternatywie (**)
jest ������ składników o identycznych prawdopodobieostwach ������������ ������ ������−������ . Stąd
������
������
������(������������ ) = ������(
������ ������1 +⋯+ ������������ =������ ������1 , ������2 , … , ������������ ) = ������1 +⋯+ ������������ =������ ������ ������1 , ������2 , … , ������������ = ������
������������ ������������−������ .
W ten sposób otrzymaliśmy ważny wzór na prawdopodobieostwo otrzymania k sukcesów w n
doświadczeniach schematu Bernuolliego, gdy prawdopodobieostwo sukcesu w jednym
doświadczeniu jest równe p:
������
(***) ������(������������ ) =
������ ������
������������ ������������−������ , ������ = 1 − ������, (������ = 0, 1, 2, … , ������).

2. Ogólnie:
Schemat n identycznych niezależnych doświadczeo losowych , z których każdemu odpowiada pewna
przestrzeo zdarzeo elementarnych Ω (niekoniecznie dwuelementowych). Przypuśdmy, że każdym z
tych doświadczeo interesuje nas pewne wyróżnione zdarzenie ������ ⊂ Ω, które nazywad będziemy
sukcesem, zdarzenie przeciwne ������′ będziemy nazywad niepowodzeniem. Taki schemat doświadczeo
też będziemy nazywad schematem Bernuolliego. Prawdopodobieostwo otrzymania k sukcesów w n
doświadczeniach dane wzorem (***), gdzie ������ = ������(������) jest prawdopodobieostwem sukcesu w jednym
doświadczeniu.
Przykład:
Symetryczna kostką sześcienna rzucamy pięd razy. Jakie jest prawdopodobieostwo, że co najmniej
cztery razy wypadnie liczba oczek mniejsza od 3?
1
������ = 3,
4 5
5 1 2 5 1 11
������ ������5 ∪ ������5 =
4 5 + =
4 3 3 5 3 243