2 solow model

1. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Современные модели экономического роста Лекция 2. Модель Солоу В. Хачатуров Экономический факультет Санкт-Петербургский Государственный Университет 24 апреля 2009 года В. Хачатуров Модели роста

2. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Outline 1 Введение Основная структура 2 Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние В. Хачатуров Модели роста

3. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Может ли экономика расти с положительным темпом, просто сберегая и инвестируя в физический капитал? Средние темпы роста с 1960 по 2000 год для 112 стран составляли 1.8%, при этом средняя инвестированная часть ВВП составляла 16% Для 38 стран Африки средние темпы роста составляли 0.6%, сбережения – 10% Для 9 стран, составляющих “азиатское экономическое чудо”, средний темп роста 4.9%, сбережения 25% Судя по всему, есть положительная связь между ростом и инвестициями В. Хачатуров Модели роста

9. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Однако для стран OECD: рост 2.7%, инвестиции 24% Следовательно, это не всё. Однако неплохая отправная точка. Начнём с модели, где единственным источником роста будет накопление физического капитала В. Хачатуров Модели роста

12. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Общее в постановке моделей 1 Домашние хозяйства являются собственниками факторов производства и активов в экономике, включая права собственности в фирмах 2 Домохозяйства выбирают, какую часть дохода направлять на потребление, а какую cберегать 3 Домохозяйства выбирают, работать ли и сколько именно, сколько иметь детей 4 Фирмы нанимают факторы производства (капитал, труд) и используют их дл производства товаров, которые приобретаются домохозяйствами и другими фирмами 5 Фирмы имеют доступ к технологии производства, которая позволяет им преобразовывать факторы в товары 6 Товары и факторы продаются и покупаются на рынках, где встречаются домохозяйства и фирмы. Цены определяются балансом спроса и предложения. В. Хачатуров Модели роста

18. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Экономика “Робинзона Крузо” Для начала, упростим ещё сильнее: исключим рынки и фирмы Рассмотрим некоторого агента, совмещающего в себе стороны производства и потребления: Робинзона на острове “Social planner”, “benevolent dictator” Позднее мы покажим, что децентрализованное распределение приводит к точно таким же результатам В. Хачатуров Модели роста

22. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Факторы производства В реальном мире фирмы используют множество факторов Мы сведём их все к трём K(t) – физический капитал L(t) – труд T(t) – знания В. Хачатуров Модели роста

25. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Физический капитал K(t) Сырьё длительного использования: станки, машины, здания, шагающие экскаваторы, карандаши и так далее Не может быть использован несколькими производителями одновременно: является конкурентным благом (rival good) В. Хачатуров Модели роста

26. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Физический капитал K(t) Сырьё длительного использования: станки, машины, здания, шагающие экскаваторы, карандаши и так далее Не может быть использован несколькими производителями одновременно: является конкурентным благом (rival good) В. Хачатуров Модели роста

27. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Труд L(t) Люди: количество работников, сколько они работают, их физическую силу, здоровье и так далее. Также является конкурентным благом, так как в каждый момент времени человек занимается одним делом. В. Хачатуров Модели роста

28. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Труд L(t) Люди: количество работников, сколько они работают, их физическую силу, здоровье и так далее. Также является конкурентным благом, так как в каждый момент времени человек занимается одним делом. В. Хачатуров Модели роста

29. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Технология T(t) Машины и люди не могут ничего произвести, пока не знают, как. Их знания – фактор производства. Технология может развиваться со временем: тот же объём физического капитала и труда приносит больший выпуск в 2000 году, чем в 1960, из-за развития технологии. Технологии различаются между странами: в Замбии тот же объём K и L принесёт меньший выпуск, чем в Японии. Технологии являются неконкурентными: разные люди могут одновременно использовать одни и те же технологии без уменьшения их количества друг у друга Однако знания о технологиях можно сделать исключающими, то есть технически или законодательно исключить других людей из пользования неконкурентным благом (патенты) В. Хачатуров Модели роста

34. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Предполагаем нашу экономику односекторной Производится один вид товара, который либо может потребляться в количестве C(t), либо инвестироваться в количестве I(t). Например, ферма, где производятся животные, которых можно либо есть, либо использовать для создания новых животных В. Хачатуров Модели роста

37. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Экономика закрыта: домохозяйства не могут импортировать или экспортировать товар Отсутствуют государственные закупки В такой экономике весь выпуск делится на потребление и инвестиции: Y (t) = C(t) + I(t) Вычитая C(t) из обеих частей и учитывая, что весь выпуск в экономике равен доходу: S(t) ≡ Y (t) − C(t) = I(t) В. Хачатуров Модели роста

41. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Сбережения Пусть s(·) – часть выпуска, которая сберегается (норма сбережений) Тогда 1 − s(·) – часть, которая потребляется. Рациональные домохозяйства выбирают норму сбережений, исходя из своих функций полезности, коэффициентов дисконтирования будущего потребления и так далее. Пока мы будем предполагать, что s(·) экзогенно задана и равна константе: 0 ≤ s(·) = s ≤ 1 В. Хачатуров Модели роста

45. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Сбережения Заметим, что поскольку в нашей экономике S(t) = I(t), то норма сбережений определяет норму инвестиций Иными словами, норма сбережений определяет, какая часть национального дохода будет инвестирована В. Хачатуров Модели роста

46. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Сбережения Заметим, что поскольку в нашей экономике S(t) = I(t), то норма сбережений определяет норму инвестиций Иными словами, норма сбережений определяет, какая часть национального дохода будет инвестирована В. Хачатуров Модели роста

47. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Выбытие капитала Предполагаем, что капитал является однородным В каждый момент времени фиксированная доля δ > 0 имеющегося запаса капитала выбывает (амортизируется, изнашивается) и не может быть использована в производстве Однако до этого момента каждая единица капитала обладает одинаковой производительностью, вне зависимости от способа её производства В. Хачатуров Модели роста

50. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Таким образом, получаем следующее выражение для динамики капитала в нашей модели: Динамика капитала ˙K(t) = I(t) − δK(t) = sY (t) − δK(t) Здесь точка означает дифференцирование по времени, ˙K(t) ≡= ∂K(t) ∂t , 0 ≤ s ≤ 1. В. Хачатуров Модели роста

51. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Динамика труда Число занятых меняется в зависимости от роста населения, степени безработицы, продолжительности рабочего дня и так далее В нашей модели мы предполагаем, что все работают одинаковое количество времени, обладают одинаковыми навыками (которые мы принимаем за единицу) Таким образом, доступная рабочая сила совпадает с общим населением В. Хачатуров Модели роста

54. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура В реальной экономике рост населения отражает имеющуюся рождаемость, смертность и миграцию В нашем случае рост экзогенно задан постоянной величиной: ˙L L = n ≥ 0 Решение этого дифференциального уравнения (с L(0) = 1): L(t) = ent В. Хачатуров Модели роста

57. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Технология Будем пока предполагать, что T(t) постоянна, и технологический прогресс отсутствует. В. Хачатуров Модели роста

58. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Наша задача состоит в определении динамики K(t) и Y (t). Как только мы поймём динамику, мы поймём, с какими темпами растут эти величины в модели. Это поведение существенным образом зависит от вида производственной функции. В. Хачатуров Модели роста

59. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Основная структура Наша задача состоит в определении динамики K(t) и Y (t). Как только мы поймём динамику, мы поймём, с какими темпами растут эти величины в модели. Это поведение существенным образом зависит от вида производственной функции. В. Хачатуров Модели роста

60. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Производственная функция Производственной функцией называется функция, отражающая взаимосвязь производственных затрат и выпуска продукции, в номинальной или реальной форме. ВАЖНО: ПФ отражает максимально возможный выпуск для данного уровня затрат. Y (t) = F(K(t), L(t), T(t)) В. Хачатуров Модели роста

63. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние ПФ называется неоклассической, если она удовлетворяет следующим условиям: Постоянная отдача от масштаба. Если умножить каждый аргумент на одну и ту же положительную константу λ, то вся функция умножится на ту же константу: F(λK, λL, T) = λF(K, L, T), ∀λ > 0 (1) Выражаясь правильным языком, однородность степени 1 по K и L. ВАЖНО: Не по T. Вспомним, что T – неконкурентное благо. В. Хачатуров Модели роста

68. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Положительная и убывающая предельная производительность факторов ∂F ∂K > 0, ∂2F ∂K2 < 0 (2) ∂F ∂L > 0, ∂2F ∂L2 < 0 (3) В. Хачатуров Модели роста

69. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Положительная и убывающая предельная производительность факторов ∂F ∂K > 0, ∂2F ∂K2 < 0 (2) ∂F ∂L > 0, ∂2F ∂L2 < 0 (3) В. Хачатуров Модели роста

70. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Условия Инады (Inada, 1963) Предельная производительность капитала (труда) стремится к бесконечности при стремлении капитала (труда) к нулю, и наоборот: lim K→0 ∂F ∂K = lim L→0 ∂F ∂L = ∞ (4) lim K→∞ ∂F ∂K = lim L→∞ ∂F ∂L = 0 (5) В. Хачатуров Модели роста

71. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Условия Инады (Inada, 1963) Предельная производительность капитала (труда) стремится к бесконечности при стремлении капитала (труда) к нулю, и наоборот: lim K→0 ∂F ∂K = lim L→0 ∂F ∂L = ∞ (4) lim K→∞ ∂F ∂K = lim L→∞ ∂F ∂L = 0 (5) В. Хачатуров Модели роста

72. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Существенность факторов F(0, L) = F(K, 0) = 0 F(∞, L) = F(K, ∞) = ∞ Вообще говоря, следует из первых трёх свойств. В. Хачатуров Модели роста

75. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Простые свойства темпов роста Пусть x(t), y(t) – непрерывные функции, с темпами роста gx , gy соответственно. Тогда: 1 z(t) = x(t) + y(t) ⇒ gz = gx + gy 2 z(t) = x(t) y(t) ⇒ gz = gx − gy 3 z(t) = xα(t) ⇒ gz = αgx 4 Домашнее задание: докажите. В. Хачатуров Модели роста

79. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Переход к выражениям на душу населения Нас интересуют не столько абсолютные, сколько относительные показатели, так как именно они являются базой для сравнения. Следовательно, имеет смысл изучать динамику подушевых значений. В силу однородности ПФ, при λ = 1/L: Y = F(K, L, T) = LF(K/L, 1, T) = Lf (k) (6) Здесь k ≡ K/L – капитал на душу населения, y ≡ Y /L – выпуск на душу населения, а функция f (k) ≡ F(k, 1, T), T = const.Это позволяет нам записать ПФ в интенсивной форме: y = f (k) Выпуск на душу населения зависит только от имеющегося капитала на душу населения. В. Хачатуров Модели роста

85. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Прямым дифференцированием можно убедиться в следующем: ∂Y ∂K = f (k) (7) ∂Y ∂L = f (k) − kf (k) (8) Вопрос: каков экономический смысл этих величин? В. Хачатуров Модели роста

86. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Прямым дифференцированием можно убедиться в следующем: ∂Y ∂K = f (k) (7) ∂Y ∂L = f (k) − kf (k) (8) Вопрос: каков экономический смысл этих величин? В. Хачатуров Модели роста

87. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Пример: ПФ Кобба-Дугласа Y = AKα L1−α (9) Здесь A > 0 отражает уровень технологии, α константа, 0 < α < 1. В интенсивной форме: y = Akα (10) Домашнее задание: Проверить, что ПФ Кобба-Дугласа является неоклассической. Проверить, что для ПФ Кобба-Дугласа часть дохода, выплачиваемая владельцам капитала, и часть дохода, выплачиваемая работникам, постоянны и равны α и 1 − α соответственно. В. Хачатуров Модели роста

91. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Вспомним, как задавалась динамика капитала: ˙K(t) = I(t) − δK(t) = sY (t) − δK(t) Разделим обе части на L: ˙K/L = sf (k) − δk Теперь посмотрим на ˙k: ˙k ≡ d(K/L) dt = ˙K/L − nk, n = ˙L/L Подставляя, получаем Фундаментальное уравнение модели Солоу ˙k = sf (k) − (n + δ)k (11) В. Хачатуров Модели роста

95. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Модель Солоу В. Хачатуров Модели роста

96. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Рассмотрим долгосрочный период. Стационарное состояние Ситуация, когда переменные модели растут с постоянными (возможно, нулевыми) темпами, называется стационарным состоянием (steady state) модели. Иногда говорят, что в модели имеется сбалансированный рост, когда темпы постоянны и положительны. В. Хачатуров Модели роста

99. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние В модели Солоу стационарное состояние соответствует ˙k = 0 в фундаментальном уравнении (11), или точке k∗ на графике. (А есть ли другие неподвижные точки? Они нам интересны?) Алгебраически, стационарное состояние соответствует решению уравнения: sf (k∗ ) = (n + δ)k∗ В. Хачатуров Модели роста

102. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние В стационарном состоянии k = const. Следовательно, y∗ = f (k∗ ) = const (12) c∗ = (1 − s)f (k∗ ) = const (13) Темпы роста в стационарном состоянии В модели Солоу подушевые значения k, y, c в стационарном состоянии не растут. Растут ли абсолютные значения (levels)? С каким темпом? Что произойдёт, если случится сдвиг в ПФ? (Скажем, из-за скачка в технологии производства)? Что произойдёт, если случится скачок в сбережениях? Как это отразится на значениях темпов роста в стационарном состоянии? В. Хачатуров Модели роста

108. Введение Неоклассическая модель Солоу-Свона Производственные функции Фундаментальное уравнение в модели Солоу Стационарное состояние Мораль на сегодня В приведённом виде модель Солоу не объясняет причин долгосрочного роста выпуска на душу населения. В. Хачатуров Модели роста

2 solow model

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (10)

Similar to 2 solow model

Similar to 2 solow model (20)

2 solow model