1. Autumn Fest 2012 J
Ninja of Train
writer: uwi
tester: komiya
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2. 問題概要
[0,H-1]の窓に対して時間[√D]だけかけてD移動
する動作を繰り返したとき時刻Tまでの動作の総数
を求めよ(語弊あり)。
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3. 注意点
● Hより長く飛べる場合があります！
○ サンプル3は
■ 0
■ 0→1,0→2,0→3
■ 0→1→2,0→1→3,0→1→4
■ 0→2→3,0→2→4
■ 0→3→4
■ 0→4(時間2かけて移動)
の11通り。
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4. 考え方
忍者が飛んでいる間は、目標地点の真上で降下し
ていると考える。
t=1
t=0
t=2
x
0 4
4

5. 考え方
車窓の系から見て、Dジャンプすると、移動距離は
D-[√D], 降下の最大の高さは[√D]-1になる。
D-[√D]<Hを満たすDについて考えれば良い。
t=1
t=0
t=2
x
0 4-√4
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6. 考え方
最大のDをPとおくと、状態数はH*[√P]. この中で
DPなり行列べき乗なり。
1. DP解法 (O((H[√P])^2*T))
2. 行列べき乗 (O((H[√P])^3*log T))
3. ??????? (O(H^3*[√P]^2*log T))
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7. 3. 行列べき乗高速化
[√P]*[√P]ごとのブロックにわけると、各ブロックは
下三角Toeplitz行列になっている。
http://en.wikipedia.org/wiki/Toeplitz_matrix
( )
1 1
1 1 1
1 1 1
1
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8. 3. 行列べき乗高速化
下三角Toeplitz行列同士の乗算はO(N^2)で行えるの
で、これを利用して高速化できる。
http://www.codeforces.com/problemset/problem/223/C (類題)
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9. 注意点
● %modが多くなってTLEする場合がある。
○ 各自工夫を。modを小さくしているのはこれのためです。
● 数え上げ項の扱い
○ ブロックのサイズは全て同じでしかも下三角Toeplitzじゃ
ないといけないので、数え上げ用のブロックを単位行列
のような形にしておく。
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10. 余談
● 最初は忍者が止まったままのものも考えたかっ
たが、Toeplitzにならずゲロムズになってしまっ
た。
● rngさんまじぱねぇ
○ ACした2人は0～H-1の中で進む組合せが限定的なこと
を利用してDP+Combinationで解いていました。
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