Chuyên trang toán THCS: https://www.toaniliad.com Nhận gia sư online. Liên hệ: th.Toàn 0946 108 579 c) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và P là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC sao cho P, O, E không thẳng hàng. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF đi qua một điểm cố định.

1. Hệ thống phát triển Toán ILIAD Việt Nam
www.ToanIliad.com– Hotline: 0946.108.579
----------------------***--------------------------
Đăng ký học tập bồi dưỡng Toán lớp 5 | Thầy Toàn – 0946.108.579 1
BÀI HÌNH SỐ 6: PTNK – ĐHQG TP. HỒ CHÍ MINH VÒNG II
NĂM 2015 - 2016
Giáo viên giảngdạy: Thầy Toàn
Điện thoại: 0946.108.579
Email: toanlv1987qn@gmail.com
Website: www.ToanILIAD.com
Bài 4: Cho tam giác ABC (AB < AC) có góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là
trung điểm của cạnh BC, E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, F là điểm đối xứng của
E qua M.
a) Chứng minh EB2 = EF.EO
b) Gọi D là giao điểm của AE và BC. Chứng minh các điểm A, D, O, F cùng thuộc một
đường tròn.
c) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và P là điểm thay đổi trên đường tròn
ngoại tiếp tam giác IBC sao cho P, O, E không thẳng hàng. Chứng minh rằng tiếp tuyến
tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF đi qua một điểm cố định.
Giải
a) Ta có: E, M, O, F thẳng hàng, ME = MF; EF ⊥ 𝐵𝐶
=> ∆𝐵𝐸𝐹 cân tại B => 𝐵𝐸𝐹̂ = 𝐵𝐹𝐸̂.
Mặt khác OB = OE => 𝑂𝐵𝐸̂ = 𝐵𝐸𝐹̂.
Ta có: 𝐵𝐹𝐸̂ = 𝐵𝐸𝐹̂ = 𝑂𝐵𝐸̂ => ∆𝐵𝐸𝐹~∆𝑂𝐵𝐸 (g – g)
=> EB2 = EF.OB => EB2 = EF.OE
b) Không làm mất tổng quát giả sử O nằm giữa M và F.
Ta có: 𝐵𝐴𝐸̂ =
1
2
𝑠đ 𝐵𝐸⏜ =
1
2
𝑠đ 𝐶𝐸⏜ = 𝐸𝐵𝐷̂
=> ∆𝐸𝐵𝐷~∆𝐸𝐴𝐵 (g – g) => EB2 = ED.EA.
Do đó: EF.OE = ED.EA =>
𝐸𝑂
𝐸𝐴
=
𝐸𝐷
𝐸𝐹
=> ∆𝐸𝑂𝐷~∆𝐸𝐴𝐹 (c – g – c) => 𝐸𝑂𝐷̂ = 𝐸𝐴𝐹̂ => tứ giác ADOF nội tiếp.

2. Hệ thống phát triển Toán ILIAD Việt Nam
www.ToanIliad.com– Hotline: 0946.108.579
----------------------***--------------------------
Đăng ký học tập bồi dưỡng Toán lớp 5 | Thầy Toàn – 0946.108.579 2
c) Ta có: 𝐵𝐼𝐸̂ = 𝐴𝐵𝐼̂ + 𝐵𝐴𝐼̂ ; 𝐴𝐵𝐼̂ = 𝐼𝐵𝐶̂ ; 𝐵𝐴𝐼̂ = 𝐶𝐵𝐸̂
=> 𝐸𝐵𝐼̂ = 𝐼𝐵𝐶̂ + 𝐶𝐵𝐸̂ = 𝐴𝐵𝐼̂ + 𝐵𝐴𝐼̂ = 𝐵𝐼𝐸̂
=> ∆𝐸𝐵𝐼 cân tại E => EB = EI. Mà EB = EC nên EB = EI = EC => E là tâm đường tròn
ngoại tiếp ∆𝐼𝐵𝐶.
Do đó: EP = EB nên EP2 = EF.EO =>
𝐸𝑃
𝐸𝐹
=
𝐸𝑂
𝐸𝑃
Xét ∆𝐸𝑃𝑂 𝑣à ∆𝐸𝐹𝑃 có: 𝑃𝐸𝑂̂ chung và
𝐸𝑃
𝐸𝐹
=
𝐸𝑂
𝐸𝑃
=> ∆𝐸𝑃𝑂 ~ ∆𝐸𝐹𝑃 (c – g – c) => 𝐸𝑃𝑂̂ = 𝐸𝐹𝑃̂
=> EP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF.
Vậy tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF đi qua điểm E cố định.