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Lógica temporal y flujos de tiempo

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Joan Casas Roma, 22 de mayo de 2015

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Lógica temporal y flujos de tiempo

  1. 1. L´ogica temporal y flujos del tiempo Joan Casas Roma 22 de mayo de 2015 Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 1 / 27
  2. 2. Presentaci´on Joan Casas Roma (jcasasrom@uoc.edu) Ingenier´ıa t´ecnica en Inform´atica de Gesti´on (UVic) M´aster en L´ogica y Filosof´ıa de la Ciencia (USAL) Estudiante de Doctorado (UOC): Knowledge Representation and Reasoning L´ıneas de investigaci´on: L´ogica formal y filos´ofica L´ogica epist´emica L´ogica intensional L´ogica h´ıbrida Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 2 / 27
  3. 3. Plan de ruta ¿Por qu´e una l´ogica temporal? Un poco de historia Manual de supervivencia l´ogico L´ogica temporal b´asica Sintaxis Sem´antica Flujos del tiempo y l´ogica temporal Extensiones de la l´ogica temporal Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 3 / 27
  4. 4. ¿Por qu´e una l´ogica temporal? L´ogica proposicional: Verdades atemporales: “El cuadrado de la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo es igual a la suma del cuadrado de sus catetos.” “Si el agua llega a 100o C, entonces hierve.” “James Moriarty es el archienemigo de Sherlock Holmes.” Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 4 / 27
  5. 5. ¿Por qu´e una l´ogica temporal? L´ogica proposicional: Verdades atemporales: “El cuadrado de la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo es igual a la suma del cuadrado de sus catetos.” “Si el agua llega a 100o C, entonces hierve.” “James Moriarty es el archienemigo de Sherlock Holmes.” L´ogica temporal: El valor de verdad de una proposici´on var´ıa con el tiempo: “Hoy es viernes.” Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 4 / 27
  6. 6. ¿Por qu´e una l´ogica temporal? L´ogica proposicional: Verdades atemporales: “El cuadrado de la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo es igual a la suma del cuadrado de sus catetos.” “Si el agua llega a 100o C, entonces hierve.” “James Moriarty es el archienemigo de Sherlock Holmes.” L´ogica temporal: El valor de verdad de una proposici´on var´ıa con el tiempo: “Hoy es viernes.” Razonamientos que involucran pasado, presente y futuro: “Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica, aprobar´e el examen de hoy y alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante.” Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 4 / 27
  7. 7. ¿Por qu´e una l´ogica temporal? (Ejemplo) “Hace unos d´ıas fu´ı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semana que viene ir´e tambi´en.” Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 5 / 27
  8. 8. ¿Por qu´e una l´ogica temporal? (Ejemplo) “Hace unos d´ıas fu´ı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semana que viene ir´e tambi´en.” L´ogica proposicional: un ´atomo para cada proposici´on p ∧ q ∧ r Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 5 / 27
  9. 9. ¿Por qu´e una l´ogica temporal? (Ejemplo) “Hace unos d´ıas fu´ı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semana que viene ir´e tambi´en.” L´ogica proposicional: un ´atomo para cada proposici´on p ∧ q ∧ r L´ogica temporal: un solo ´atomo en distintos instantes Pp ∧ p ∧ Fp Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 5 / 27
  10. 10. ¿Por qu´e una l´ogica temporal? (Ejemplo) “Hace unos d´ıas fu´ı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semana que viene ir´e tambi´en.” L´ogica proposicional: un ´atomo para cada proposici´on p ∧ q ∧ r L´ogica temporal: un solo ´atomo en distintos instantes Pp ∧ p ∧ Fp Mayor poder expresivo: el tiempo se hace expl´ıcito “Los l´ımites de mi lenguage son los l´ımites de mi mundo.” (Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (5.6).) Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 5 / 27
  11. 11. L´ogica y tiempo: un poco de historia Arist´oteles: “ma˜nana habr´a una batalla naval, o no la habr´a” ¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que ma˜nana habr´a una batalla naval? Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 6 / 27
  12. 12. L´ogica y tiempo: un poco de historia Arist´oteles: “ma˜nana habr´a una batalla naval, o no la habr´a” ¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que ma˜nana habr´a una batalla naval? La duraci´on del presente Ahora, hoy, esta semana, este a˜no... Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 6 / 27
  13. 13. L´ogica y tiempo: un poco de historia Arist´oteles: “ma˜nana habr´a una batalla naval, o no la habr´a” ¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que ma˜nana habr´a una batalla naval? La duraci´on del presente Ahora, hoy, esta semana, este a˜no... Incipit y desinit: el principio y el fin Empezar a ser, empezar a dejar de ser, dejar de empezar a ser... Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 6 / 27
  14. 14. L´ogica y tiempo: un poco de historia Arist´oteles: “ma˜nana habr´a una batalla naval, o no la habr´a” ¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que ma˜nana habr´a una batalla naval? La duraci´on del presente Ahora, hoy, esta semana, este a˜no... Incipit y desinit: el principio y el fin Empezar a ser, empezar a dejar de ser, dejar de empezar a ser... La edad media: tiempo, l´ogica y teolog´ıa Libre albedr´ıo y providencia divina Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 6 / 27
  15. 15. Manual de supervivencia l´ogica Repasando conceptos b´asicos: Sintaxis: el lenguaje formal Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 7 / 27
  16. 16. Manual de supervivencia l´ogica Repasando conceptos b´asicos: Sintaxis: el lenguaje formal Sem´antica: la representaci´on de la realidad Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 7 / 27
  17. 17. Manual de supervivencia l´ogica Repasando conceptos b´asicos: Sintaxis: el lenguaje formal Sem´antica: la representaci´on de la realidad Valuaci´on: ¿qu´e es cierto y qu´e no lo es? p, ¬q, r ∧ s, ... Realidad (modelo)Prop. → {0, 1} (falso, cierto) Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 7 / 27
  18. 18. Manual de supervivencia l´ogica Repasando conceptos b´asicos: Sintaxis: el lenguaje formal Sem´antica: la representaci´on de la realidad Valuaci´on: ¿qu´e es cierto y qu´e no lo es? p, ¬q, r ∧ s, ... Realidad (modelo)Prop. → {0, 1} (falso, cierto) La l´ogica es una representaci´on de una parte de la realidad Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 7 / 27
  19. 19. L´ogica temporal b´asica: sintaxis Operadores de la l´ogica proposicional: ¬, ∧, ∨, →, ↔ Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 8 / 27
  20. 20. L´ogica temporal b´asica: sintaxis Operadores de la l´ogica proposicional: ¬, ∧, ∨, →, ↔ Operadores propios de la l´ogica temporal: Fα: en alg´un momento futuro se dar´a el caso que α; Pα: en alg´un momento pasado se dio el caso que α; Gα: en todo momento futuro se dar´a el caso que α; Hα: en todo momento pasado se dio el caso que α. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 8 / 27
  21. 21. L´ogica temporal b´asica: sintaxis Operadores de la l´ogica proposicional: ¬, ∧, ∨, →, ↔ Operadores propios de la l´ogica temporal: Fα: en alg´un momento futuro se dar´a el caso que α; Pα: en alg´un momento pasado se dio el caso que α; Gα: en todo momento futuro se dar´a el caso que α; Hα: en todo momento pasado se dio el caso que α. Los operadores temporales son interdefinibles: Gα ≡ ¬F¬α Hα ≡ ¬P¬α Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 8 / 27
  22. 22. L´ogica temporal b´asica: sintaxis Dos formas de utilizar los operadores temporales: Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 9 / 27
  23. 23. L´ogica temporal b´asica: sintaxis Dos formas de utilizar los operadores temporales: M´etrica (unidad de tiempo y ‘distancia’ temporal): (Unidad: d´ıa); “Ma˜nana vendr´e”: F(1)v (Unidad: d´ıa); “Hace una semana que hice el examen”: P(7)e Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 9 / 27
  24. 24. L´ogica temporal b´asica: sintaxis Dos formas de utilizar los operadores temporales: M´etrica (unidad de tiempo y ‘distancia’ temporal): (Unidad: d´ıa); “Ma˜nana vendr´e”: F(1)v (Unidad: d´ıa); “Hace una semana que hice el examen”: P(7)e No m´etrica (no especificamos la ‘distancia’ temporal): “Vendr´e esta semana”: Fv “Hice el examen hace unos d´ıas”: Pe Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 9 / 27
  25. 25. Algunos ejemplos sencillos “Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica (c), aprobar´e el examen de hoy (a) y alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante (i).” Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 10 / 27
  26. 26. Algunos ejemplos sencillos “Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica (c), aprobar´e el examen de hoy (a) y alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante (i).” Pc → (a ∧ Fi) Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 10 / 27
  27. 27. Algunos ejemplos sencillos “Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica (c), aprobar´e el examen de hoy (a) y alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante (i).” Pc → (a ∧ Fi) “Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo ser´as; nunca llegar´as a ser bailar´ın (b).” Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 10 / 27
  28. 28. Algunos ejemplos sencillos “Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica (c), aprobar´e el examen de hoy (a) y alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante (i).” Pc → (a ∧ Fi) “Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo ser´as; nunca llegar´as a ser bailar´ın (b).” Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 10 / 27
  29. 29. Algunos ejemplos sencillos “Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica (c), aprobar´e el examen de hoy (a) y alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante (i).” Pc → (a ∧ Fi) “Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo ser´as; nunca llegar´as a ser bailar´ın (b).” Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb “Ayer supe que ma˜nana tengo un examen de l´ogica temporal (l) y no s´e nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo, ma˜nana suspender´e (s) y mi fracaso se recordar´a (r) por los siglos de los siglos.” Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 10 / 27
  30. 30. Algunos ejemplos sencillos “Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica (c), aprobar´e el examen de hoy (a) y alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante (i).” Pc → (a ∧ Fi) “Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo ser´as; nunca llegar´as a ser bailar´ın (b).” Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb “Ayer supe que ma˜nana tengo un examen de l´ogica temporal (l) y no s´e nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo, ma˜nana suspender´e (s) y mi fracaso se recordar´a (r) por los siglos de los siglos.” P(1)F(2)l ∧ n ∧ (¬e → F(1)s ∧ Gr) Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 10 / 27
  31. 31. L´ogica temporal b´asica: sem´antica La sem´antica nos permite representar un ‘mundo’ o ‘situaci´on’ y determinar cu´ando una f´ormula es verdadera. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 11 / 27
  32. 32. L´ogica temporal b´asica: sem´antica La sem´antica nos permite representar un ‘mundo’ o ‘situaci´on’ y determinar cu´ando una f´ormula es verdadera. El elemento central de la sem´antica es un modelo, que en l´ogica temporal permite representar: Distintos instantes de tiempo Qu´e instantes de tiempo est´an conectados entre ellos Qu´e f´ormulas son verdaderas en cada instante Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 11 / 27
  33. 33. L´ogica temporal b´asica: sem´antica Estructura Una estructura se define como un par E = (T, <). Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 12 / 27
  34. 34. L´ogica temporal b´asica: sem´antica Estructura Una estructura se define como un par E = (T, <). T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...) Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 12 / 27
  35. 35. L´ogica temporal b´asica: sem´antica Estructura Una estructura se define como un par E = (T, <). T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...) < es una relaci´on binaria llamada relaci´on de precedencia Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 12 / 27
  36. 36. L´ogica temporal b´asica: sem´antica Estructura Una estructura se define como un par E = (T, <). T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...) < es una relaci´on binaria llamada relaci´on de precedencia Si un par de instantes de tiempo (s, t) pertenece a <, entonces diremos que “s es anterior a t” Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 12 / 27
  37. 37. L´ogica temporal b´asica: sem´antica Valuaci´on Diferentes valuaciones para cada instante de tiempo Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 13 / 27
  38. 38. L´ogica temporal b´asica: sem´antica Valuaci´on Diferentes valuaciones para cada instante de tiempo Una valuaci´on en E es un mapa V : (T → (Prop → {0, 1})) O sea, una valuaci´on indica, para cada instante de tiempo, si una proposici´on es verdadera o falsa. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 13 / 27
  39. 39. L´ogica temporal b´asica: sem´antica Modelo Un modelo se define como M = T, <, V Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 14 / 27
  40. 40. L´ogica temporal b´asica: sem´antica Modelo Un modelo se define como M = T, <, V Est´a formado por una estructura (que contiene T y <) y una valuaci´on que determina los valores de verdad que toman las proposiciones en cada instante de tiempo. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 14 / 27
  41. 41. L´ogica temporal b´asica: sem´antica Modelo Un modelo se define como M = T, <, V Est´a formado por una estructura (que contiene T y <) y una valuaci´on que determina los valores de verdad que toman las proposiciones en cada instante de tiempo. Una estructura puede pensarse como la base o el esqueleto de un modelo: La estructura E determina los instantes de tiempo y la relaci´on entre ellos. La valuaci´on V determina el valor de las proposiciones, pero no influye en la ‘forma’ del mundo que estamos representando. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 14 / 27
  42. 42. L´ogica temporal b´asica: sem´antica Para los operadores temporales, una f´ormula α es verdadera en un instante de tiempo t de un modelo M = T, <, V , si se cumplen las condiciones (siendo t y s dos instantes de tiempo distintos en nuestro modelo): M, t Fα si para alg´un s tal que t < s, se cumple M, s α M, t Pα si para alg´un s tal que s < t, se cumple M, s α M, t Gα si para todo s tal que t < s, se cumple M, s α M, t Hα si para todo s tal que s < t, se cumple M, s α Estos operadores “trasladan” la f´ormula α hasta un instante de tiempo distinto al instante en que se eval´ua la f´ormula. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 15 / 27
  43. 43. Estructuras, relaciones y propiedades Recuperamos la noci´on de estructura E = (T, <); o sea, la ‘forma’ de los instantes del mundo temporal que estamos representando. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 16 / 27
  44. 44. Estructuras, relaciones y propiedades Recuperamos la noci´on de estructura E = (T, <); o sea, la ‘forma’ de los instantes del mundo temporal que estamos representando. La relaci´on < puede cumplir ciertas propiedades en funci´on de como se relacione con los elementos del conjunto T: Transitividad: ∀xyz((x < y) ∧ (y < z)) → (x < z) Irreflexividad: ∀x¬(x < x) Linealidad: ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x) Infinitud: ∀x∃y(x < y) ∧ (x = y) L´ımite superior: ∃x∀y(y < x) ∨ (y = x) · · · · · · Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 16 / 27
  45. 45. Tiempo, propiedades y f´ormulas Diferentes im´agenes del tiempo: lineal, c´ıclico, ramificado... Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 17 / 27
  46. 46. Tiempo, propiedades y f´ormulas Diferentes im´agenes del tiempo: lineal, c´ıclico, ramificado... La forma y el comportamiento de los flujos del tiempo pueden cumplir algunas de estas propiedades. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 17 / 27
  47. 47. Tiempo, propiedades y f´ormulas Diferentes im´agenes del tiempo: lineal, c´ıclico, ramificado... La forma y el comportamiento de los flujos del tiempo pueden cumplir algunas de estas propiedades. Algunas (no todas) de estas propiedades se pueden expresar mediante f´ormulas de la l´ogica temporal: Transitividad ∀xyz((x < y) ∧ (y < z)) → (x < z) FFα → Fα Futuro lineal ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x) FPα → (Pα ∨ α ∨ Fα) Futuro infinito ∀x∃y(x < y) ∧ (x = y) Gα → Fα Densidad ∀xy(x < y) → ∃z((x < z) ∧ (z < y)) Fα → FFα · · · · · · · · · Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 17 / 27
  48. 48. L´ogica temporal y flujos del tiempo Se pueden “dise˜nar” sistemas de l´ogica temporal que determinen, mediante f´ormulas del lenguaje, la forma y el comportamiento del flujo del tiempo que se quiera representar. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 18 / 27
  49. 49. L´ogica temporal y flujos del tiempo Se pueden “dise˜nar” sistemas de l´ogica temporal que determinen, mediante f´ormulas del lenguaje, la forma y el comportamiento del flujo del tiempo que se quiera representar. El lenguaje de la l´ogica temporal nos permite hablar sobre el flujo del tiempo, y viceversa: una forma del tiempo determinada har´a v´alidas unas f´ormulas determinadas en nuestro sistema l´ogico. Veamos algunos ejemplos... Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 18 / 27
  50. 50. Flujo de tiempo lineal t0 t1 t2 (...) tn tn+1 (...) Propiedad F´ormula Transitiva ∀xyz((x < y) ∧ (y < z) → (x < z)) FFα → Fα Irreflexiva ∀x(¬(x < x)) · · · Lineal ∀xy((x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)) FPα → (Pα ∨ α ∨ Fα) PFα → (Pα ∨ α ∨ Fα) Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 19 / 27
  51. 51. Flujo de tiempo c´ıclico (...) t1 t2 t3 t4 t5 t6tntn+1 Propiedad F´ormula Transitiva ∀xyz((x < y) ∧ (y < z) → (x < z)) FFα → Fα Reflexiva ∀x(x < x) · · · Lineal ∀xy((x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)) FPα → (Pα ∨ α ∨ Fα) PFα → (Pα ∨ α ∨ Fα) Infinitud ∀x∃y(x < y) ∧ (x = y) Gα → Fα Hα → Pα Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 20 / 27
  52. 52. Flujo de tiempo ramificado (...) t0 t1 t3 t4 t5 t6 t2 (...) (...) (...) (...) (...) Propiedad F´ormula Transitiva ∀xyz((x < y) ∧ (y < z) → (x < z)) FFα → Fα Irreflexiva ∀x(¬(x < x)) · · · Pasado lineal ∀xy((x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)) PFα → (Pα ∨ α ∨ Fα) Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 21 / 27
  53. 53. Otros flujos temporales (...) t1 t2 t3 t4 (...) (...) (...) (...) (...) t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 Aplicaciones con flujos temporales “at´ıpicos”: algoritmos, situaciones hipot´eticas... Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 22 / 27
  54. 54. Extensiones de la l´ogica temporal: since y until Dos nuevos operadores temporales: ‘Since’: Sαβ (desde que α, es el caso que β) ‘Until’: Uαβ (hasta que α, ser´a el caso que β) Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 23 / 27
  55. 55. Extensiones de la l´ogica temporal: since y until Dos nuevos operadores temporales: ‘Since’: Sαβ (desde que α, es el caso que β) ‘Until’: Uαβ (hasta que α, ser´a el caso que β) Permiten establecer relaciones temporales entre proposiciones: “Desde que cay´o el techo (t), la casa se moja (m); estar´e resfriado (r) hasta que lo arreglemos (a)!” Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 23 / 27
  56. 56. Extensiones de la l´ogica temporal: since y until Dos nuevos operadores temporales: ‘Since’: Sαβ (desde que α, es el caso que β) ‘Until’: Uαβ (hasta que α, ser´a el caso que β) Permiten establecer relaciones temporales entre proposiciones: “Desde que cay´o el techo (t), la casa se moja (m); estar´e resfriado (r) hasta que lo arreglemos (a)!” Stm ∧ Uar Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 23 / 27
  57. 57. Extensiones de la l´ogica temporal: intervalos de tiempo Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantes independientes. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 24 / 27
  58. 58. Extensiones de la l´ogica temporal: intervalos de tiempo Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantes independientes. Sem´antica: los instantes de tiempo del conjunto T visto anteriormente sirven para formar intervalos, de forma que: El intervalo de tiempo [s, t] est´a compuesto por todos los instantes de tiempo u tales que s ≤ u ≤ t. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 24 / 27
  59. 59. Extensiones de la l´ogica temporal: intervalos de tiempo Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantes independientes. Sem´antica: los instantes de tiempo del conjunto T visto anteriormente sirven para formar intervalos, de forma que: El intervalo de tiempo [s, t] est´a compuesto por todos los instantes de tiempo u tales que s ≤ u ≤ t. Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores: Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 24 / 27
  60. 60. Extensiones de la l´ogica temporal: intervalos de tiempo Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantes independientes. Sem´antica: los instantes de tiempo del conjunto T visto anteriormente sirven para formar intervalos, de forma que: El intervalo de tiempo [s, t] est´a compuesto por todos los instantes de tiempo u tales que s ≤ u ≤ t. Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores: D α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alg´un instante entre s y t. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 24 / 27
  61. 61. Extensiones de la l´ogica temporal: intervalos de tiempo Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantes independientes. Sem´antica: los instantes de tiempo del conjunto T visto anteriormente sirven para formar intervalos, de forma que: El intervalo de tiempo [s, t] est´a compuesto por todos los instantes de tiempo u tales que s ≤ u ≤ t. Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores: D α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alg´un instante entre s y t. α ◦ β es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si el intervalo se puede dividir por un tercer punto u tal que s < u < t y se cumple que α es cierto durante el intervalo [s, u] y β lo es durante el intervalo [u, t]. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 24 / 27
  62. 62. Extensiones de la l´ogica temporal: la l´ogica h´ıbrida La l´ogica h´ıbrida permite: Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje. Decir, con el propio lenguaje l´ogico, qu´e es cierto en un instante de tiempo espec´ıfico. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27
  63. 63. Extensiones de la l´ogica temporal: la l´ogica h´ıbrida La l´ogica h´ıbrida permite: Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje. Decir, con el propio lenguaje l´ogico, qu´e es cierto en un instante de tiempo espec´ıfico. Los nominales (i, j, k...) y el operador @: Los nominales identifican instantes de tiempo concretos. El operador @ permite “trasladar” una proposici´on hasta ese instante. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27
  64. 64. Extensiones de la l´ogica temporal: la l´ogica h´ıbrida La l´ogica h´ıbrida permite: Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje. Decir, con el propio lenguaje l´ogico, qu´e es cierto en un instante de tiempo espec´ıfico. Los nominales (i, j, k...) y el operador @: Los nominales identifican instantes de tiempo concretos. El operador @ permite “trasladar” una proposici´on hasta ese instante. “El d´ıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) es Nochebuena (b)” Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27
  65. 65. Extensiones de la l´ogica temporal: la l´ogica h´ıbrida La l´ogica h´ıbrida permite: Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje. Decir, con el propio lenguaje l´ogico, qu´e es cierto en un instante de tiempo espec´ıfico. Los nominales (i, j, k...) y el operador @: Los nominales identifican instantes de tiempo concretos. El operador @ permite “trasladar” una proposici´on hasta ese instante. “El d´ıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) es Nochebuena (b)” @j s ∧ @d b Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27
  66. 66. Extensiones de la l´ogica temporal: la l´ogica h´ıbrida La l´ogica h´ıbrida permite: Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje. Decir, con el propio lenguaje l´ogico, qu´e es cierto en un instante de tiempo espec´ıfico. Los nominales (i, j, k...) y el operador @: Los nominales identifican instantes de tiempo concretos. El operador @ permite “trasladar” una proposici´on hasta ese instante. “El d´ıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) es Nochebuena (b)” @j s ∧ @d b La l´ogica h´ıbrida permite formalizar proposiciones sobre instantes de tiempo espec´ıficos, cosa que los operadores convencionales F, G, P y H no permiten. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27
  67. 67. Como dir´ıa Leibniz... Recapitulemus! La l´ogica temporal ofrece: Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 26 / 27
  68. 68. Como dir´ıa Leibniz... Recapitulemus! La l´ogica temporal ofrece: Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucran el tiempo. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 26 / 27
  69. 69. Como dir´ıa Leibniz... Recapitulemus! La l´ogica temporal ofrece: Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucran el tiempo. Modelos que permiten representar determinados flujos del tiempo en los que enmarcar nuestro razonamiento. Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 26 / 27
  70. 70. Como dir´ıa Leibniz... Recapitulemus! La l´ogica temporal ofrece: Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucran el tiempo. Modelos que permiten representar determinados flujos del tiempo en los que enmarcar nuestro razonamiento. Extensiones: Nuevos operadores Intervalos de tiempo vs. instantes Identificar instantes espec´ıficos · · · Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 26 / 27
  71. 71. El fin de los tiempos ¡Gracias por vuestra atenci´on! (jcasasrom@uoc.edu) Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 27 / 27

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