2. 2
1. Метод координат в пространстве.
§ 1. Координаты точки и координаты вектора.
1. Закончите предложения и заполните пропуски.
1. Прямоугольная система координат в пространстве задаётся
тремя попарно перпендикулярными прямыми,
пресекающимися в одной точке О - ____________________;
направлением, выбранным по каждой прямой и единицей
измерения отрезков. Прямые с выбранными направлениями
называются
___________________________________________. Их
обозначения 𝑂𝑋, 𝑂𝑌, 𝑂𝑍 и соответственно название: ось
абсцисс, ось ______________________ и ось
______________________.
Координатные плоскости обозначаются: 𝑂𝑥𝑦, _____________
______________. Точка О разделяет каждую из осей
координат на 2 луча. Луч, направление которого совпадает с
направлением оси, называется положительной полуосью, а
другой луч -
________________________________________________.
В прямоугольной системе координат каждой точке А
пространства сопоставляется тройка чисел, которые
называются её
__________________________________________________.
2. Дано: 𝐴1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) и 𝐴2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), тогда расстояние между
двумя точками вычисляется по формуле:
∣𝐴1 𝐴2 ∣ = √(𝑥2 − 𝑥2)2 + (______________)2 + (__________________)2
3. 3
3. Пусть 𝐴1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) и 𝐴2 (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)- произвольные точки,
точка𝐶(𝑥, 𝑦. 𝑧)середина отрезка 𝐴1 𝐴2, тогда координаты
середины отрезка находятся по формулам:
𝑥 =
𝑥1+𝑥2
2
, 𝑦 = ___________________ , 𝑧=______________________
4. Каждая координата суммы двух или более векторов равна _
_____________________________ соответствующих
координат этих векторов, т.е. если 𝑎(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1), 𝑏(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2),
то координаты вектора 𝑎 +
𝑏 =_________________________________
_____________________________________________________.
5. Каждая координата разности двух или более векторов
равна
___________________________________________________
соответствующих координат этих векторов, т.е. если
𝑎(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), 𝑏(𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2), то координаты вектора 𝑎 − 𝑏 =____
_____________________________________________________.
6. Каждая координата произведения вектора с (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ), на
число 𝑘 ≠ 0 равна ______________________
соответствующей координаты вектора на это число, т.е.
вектор𝑘𝑐 имеет координаты
__________________________________________.
2. Ответьте на вопросы.
1. Какие из точек 𝐴(1; −2; 7), 𝐵(6;0; 2), 𝐶(0; 4; 1), 𝐷(0;0; 3),
E(8; 5;0) лежат:
1) в плоскости 𝑂𝑥𝑦 ____________________________________,
2) на оси 𝑂𝑧__________________________________________,
3) в плоскости 𝑂𝑦𝑧____________________________________,
4) в плоскости 𝑂𝑥𝑧____________________________________.
2. Какие координаты (в общем виде) имеют точки, лежащие :
1) на оси𝑂𝑋: 𝐴 (______________________________________),
2) на оси𝑂𝑌: 𝐴 (______________________________________),
3) на оси𝑂𝑍: 𝐴 (______________________________________),
4. 4
4) на плоскости𝑂𝑥𝑦: 𝐴 (_______________________________),
5) на плоскости 𝑂𝑥𝑧: 𝐴 (_______________________________),
6)на плоскости𝑂𝑦𝑧: 𝐴 (_______________________________),
3. Как найти расстояние от точки𝐴 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )до начала
координат в системе 𝑂𝑥𝑦𝑧?
∣ 𝐴𝑂 ∣=______________________________________________.
4. Зная координаты векторов если 𝑎(2,3, −4), 𝑏(−1,2,1) и
с(3,0,2), найдите координаты векторов:
1) 𝑎 + 𝑏 = ____________________________________________
2) 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = _________________________________________
3) 2𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 =______________________________________
_____________________________________________________
5. Зная координаты точек 𝐴 (4,−3,2) иС(−2,4,−3), найдите
координаты вектора АС = _______________________________
_____________________________________________________
6. Вычислите длину вектора 𝐴𝐵, если 𝐴 (5,3,1) и 𝐵(4,5,−1)
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Выполните задания.
1. Постройте точки 𝐴 (2,3,4) ,
С(−2,−2,5),𝐵( −2,−3, −4), 𝐷(0,0, 3), 𝐸(2,0, 5), 𝐹(3,−2, 0).
5. 5
2. Найдите расстояние между двумя точками
1) 𝐴 (1,2,7) иС (3,4,6),
2) 𝐵( 1,0, 3), 𝐷(5,7, 4).
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Найдите расстояние от точки 𝐹 (2,−1,7)до осей координат.
Решение:
1) до оси 𝑂𝑋: _________________________________________
2) до оси 𝑂𝑌:__________________________________________
3) до оси 𝑂𝑍:__________________________________________
4. Отрезок АВ задан концом 𝐴 (7;−4; 5) и
серединойС(3; 2; 1,5). Найдите координаты конца
отрезка𝐵 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )/
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
5. Найдите периметр треугольника, образованного векторами
𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 , если 𝐴 (8;0; 6) , С(6; −2;5),𝐵(8; −4;6).
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
6. 6
_____________________________________________________
_____________________________________________________
6. Докажите, что четырёхугольник с вершинами 𝐴 (1; 4; 3) ,
С(2;5; 1),𝐵2;3; 5), 𝐷(3;4; 3) - параллелограмм.
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
§ 2. Скалярное произведение векторов.
1. Закончите предложения и заполните пропуски.
1. Угол между векторами 𝑂𝐴 и 𝑂𝐵 есть градусная мера между
____________________________________________________.
2. Если векторы 𝑎 и 𝑏 - сонаправлены, то угол между ними
считается равным ___________________________________.
3. Если угол между векторами равен 00
, то векторы
называются
______________________________________________.
4. Скалярным произведением векторов называется _________
_____________________________________________________
_____________________________________________________.
5. Скалярное произведение векторов если 𝑎(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) и
𝑏(𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2) выражается формулой:
𝑎 ∙ 𝑏 =________________________________________________
6. Косинус между ненулевыми векторами если 𝑎(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) и
𝑏(𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2) вычисляется по формуле: ____________________
_____________________________________________________
7. Для любых векторов 𝑎, 𝑏, 𝑐 и любого числа 𝑘 справедливы
равенства:
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 - ____________________________________ закон
7. 7
(𝑎 + 𝑏) ∙ с = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐- ______________________________
закон
𝑘 ∙ (𝑎 ∙ 𝑏) = (𝑘 ∙ 𝑎) ∙ 𝑏 - ________________________________
закон.
2. Ответьте на вопросы.
1. Какое необходимое и достаточное условие равенства нулю
скалярного произведения двух ненулевых векторов? ________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
2. Чему равен скалярный квадрат вектора? ________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Как найти произведение длин двух векторов, используя
формулу скалярного произведения? ______________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Выполните задания.
1. Даны векторы 𝑎(3; −2;1), 𝑏(4; −7; −3) и с(2;3; −1).
Вычислите:
1) 𝑎 ∙ 𝑏 = _____________________________________________
_____________________________________________________
2) 𝑎 ∙ 𝑎 = _____________________________________________
_____________________________________________________
3) 𝑎 ∙ 𝑐 = _____________________________________________
_____________________________________________________
2. При каких значениях 𝑛 перпендикулярны векторы
𝑎(3; 0;−6), 𝑏(4; 7; 𝑛)?
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Найдите косинус угла между векторами 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷, если
𝐴 (3; −2; 4),С (6; −3;2), 𝐵( 4; −1; 2), 𝐷(7; −3; 1).
8. 8
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
4. Даны векторы 𝑑 = −2𝑖 − 4𝑗 + 3𝑘 и 𝑚 = 4𝑖 − 2𝑗 − 3𝑘.
Вычислите:
1) 𝑑 ∙ 𝑚 = ____________________________________________
2) 𝑑 ∙ 𝑖 = _____________________________________________
3) (𝑑 + 𝑚) ∙ 𝑗 = ________________________________________
_____________________________________________________
4. Выберите правильный ответ из предложенных.
1. Даны векторы 𝑎(7;2; −1), 𝑏(−4; 3; 1). Найдите
координаты вектора 2𝑎 + 𝑏:
А. (1;8;2). Б. (10; 7; -1). В. (10; 7; 1).
2. Чему равен косинус угла между векторами 𝑎(0;1; −1),
𝑏(1;2; 0)?
А.
2
√5
Б.
5
√10
В.
2
√10
3. Известно, что ∠( 𝑎𝑐) = ∠( 𝑏𝑐) = 600
; ∣ 𝑎 ∣ = 3,
∣ 𝑏 ∣=∣ 𝑐 ∣= 1. Вычислите (𝑎 − 𝑏) ∙ 𝑐.
А. 0,5 Б. -1 В. 1
2. Тела вращения.
§ 1. Цилиндр.
1.Сделайте рисунок цилиндра и закончите предложения.
1. Цилиндром называется тело,
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
9. 9
На рисунке обозначьте: основания, образующую и ось
цилиндра.
2. Высота цилиндра - __________________________________
_____________________________________________________
3. Радиус цилиндра - __________________________________
_____________________________________________________
4. Осевое сечение цилиндра - ___________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
5. Площадь полной поверхности цилиндра состоит из_______
_____________________________________________________
_____________________________________________________
2. Заполните пропуски.
1) У цилиндра образующие _____________________________
_____________________________________________________
2) Ось цилиндра __________________________________
образующим.
3) Основания цилиндра _______________________________ и
лежат в ___________________________ плоскостях.
4) Сечение цилиндра, плоскостью параллельной основанию
есть ________________________________________________.
5) Развёрткой боковой поверхности цилиндра является ______
_____________________________________________________
6) Площадь боковой поверхности цилиндра находится по
формуле: 𝑆бок = _______________________________________
3. Ответьте на вопросы.
1. Как получить цилиндр вращением прямоугольника (ответ
поясните рисунком)?
10. 10
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
2. Какое из изображённых тел является цилиндром?
1) 2)
3)
4) 5)
№__________________________________________________
3. Дайте определение равностороннего цилиндра. _________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
4. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью,
перпендикулярной оси цилиндра? _______________________
_____________________________________________________
4. Выберите правильный ответ.
1. Радиус основания цилиндра 3 си, высота 8 см. Чему равна
диагональ осевого сечения?
А. 10 см Б. 12 см В. 11 см
Чему равен угол между диагональю осевого сечения и
диаметром основания цилиндра с теми же данными?
(сделайте рисунок).
А. arcsin0,8 Б. arcsin 0,6 В. arcsin 0,7
12. 12
6. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2
, а
площадь основания - 5 м2
. Найдите высоту цилиндра.
А. √5𝜋 Б. √3𝜋 В. √2𝜋
7. Чему равна площадь развёртки боковой поверхности
цилиндра, радиус основания которого 2 см, высота – 10 см?
А. 10 см2
Б. 20𝜋 см2
В. 40𝜋 см2
§ 2. Конус.
1. Сделайте рисунок цилиндра и закончите предложения.
1. Конусом называется тело,
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
2. На рисунке обозначьте:
основание____________________________________________
вершину_____________________________________________
образующую__________________________________________
высоту_______________________________________________
3. Сделайте рисунок усечённого конуса, обозначьте его:
основание ___________________________________________
образующую _________________________________________
высоту_______________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
4. Осевым сечением конуса, называется ___________________
13. 13
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
5. Формула площади боковой поверхности конуса:
𝑆бок = ________________________________________________
6. Формула площади полной поверхности конуса:
𝑆полн = _______________________________________________
7. Формула площади полной поверхности усечённого конуса:
𝑆полн = _______________________________________________
2. Заполните пропуски.
1. У прямого конуса основание высоты совпадает с
________________________________ основания.
2. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его
вершину есть -
____________________________________________, у
которого боковые стороны являются образующими конуса
(сделайте рисунок).
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Осевое сечение конуса есть - __________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
4. Осевое сечение усечённого конуса есть - ________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Ответьте на вопросы.
14. 14
1. Вращением какой фигуры можно получить конус? Ответ
поясните рисунком.
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
2. Какая фигура получается при вращении равнобедренного
треугольника вокруг его оси симметрии? _________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Что представляет собой сечение конуса плоскостью,
перпендикулярной оси конуса?
____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
4. Выберите правильный ответ.
1. Образующая конуса равна 7 см. Угол между образующими
равен 600
. Чему равен диаметр основания?
А. 14 см Б. 7 см В. 3,5 см
2. Площадь осевого сечения конуса равна 36 см2
, высота
конуса 12 см. Найдите радиус основания конуса.
А. 3 см Б. 5 см В. 8 см
3. Чему равна площадь боковой поверхности равностороннего
конуса, если его образующая равна 12 см?
15. 15
А. 72 см2
Б. 72𝜋 см2
В. 36𝜋 см2
4. В равностороннем конусе образующая равна 8 см. Чему
равна площадь осевого сечения конуса?
А. 15 см2
Б. 16 см2
В. ≈ 27, 6 см2
5. Площадь полной поверхности конуса равна 136𝜋 см2
,
радиус основания – 6 см. Найдите площадь его боковой
поверхности.
А. 100 см2
Б. 100𝜋 см2
В. 130𝜋 см2
§ 3. Шар и сфера.
1. Закончите предложения и выполните задания.
1. Сферой называется поверхность, ______________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
2. Шаром называется тело, ______________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Сделайте рисунок шара, обозначьте его:
центр - ______________________________________________
радиус- ______________________________________________
диаметр - ____________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
16. 16
4. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше
радиуса сферы (т.е. 𝑑 < 𝑅), то сечение сферы плоскостью
есть _
_____________________________________________________
и 𝑅2
− 𝑑2
_________________(>, <, =) 0.
5. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше
радиуса сферы (т.е. 𝑑 > 𝑅), то сфера и
плоскость_____________
_____________________________________________________
и 𝑅2
− 𝑑2
_________________(>, <, =) 0.
6. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно
радиусу сферы (т.е. 𝑑 = 𝑅), то сфера и плоскость
____________
_____________________________________________________
и 𝑅2
− 𝑑2
_________________(>, <, =) 0.
7. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, ___
_____________________________________________________
_____________________________________________________
8. Большим кругом называется сечение ___________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
9. Большой окружностью называется сечение _____________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
2. Ответьте на вопросы.
1. Вращением какой фигуры можно получить шар? Ответ
поясните рисунком и записями.
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
17. 17
_____________________________
2. Какая точка называется точкой касания? ________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Сколько общих точек с шаром имеет касательная прямая?
____________________________________________________
4. Какое условие должно выполняться, чтобы плоскость
пересекала шар?
__________________________________________
_____________________________________________________
5. Какая фигура получается в сечении шара плоскостью?
_____________________________________________________
6. Какая фигура получается в сечении сферы плоскостью?
_____________________________________________________
7. Сколько осей симметрии имеет шар? ___________________
8. Сколько плоскостей симметрии имеет шар? _____________
9. Чему равна формула площади сферы, радиуса 𝑅?_________
_____________________________________________________
3. Заполните пропуски.
1. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого
круга есть __________________ перпендикуляра, опущенного
их центра шара на секущую плоскость.
2. Центр шара является его _______________ симметрии.
3. Осевое сечение шара сеть_____________________________
4. Осевое сечение сферы есть ___________________________
5. Линия пересечения двух сфер есть _____________________
6. Плоскости равноудалённые от центра, пересекают шар по
___________________________________ кругам.
18. 18
4.Выберите правильный ответ.
1. Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости,
касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см.
Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки
сферы.
А. 2 см Б. 1 см В. 3 см
2. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 2 дм.
А. 16𝜋 дм2
Б. 14𝜋 дм2
В. 15𝜋 дм2
3. Площадь сечения сферы, проходящего через её центр,
равна 9 м2
. Найдите площадь сферы.
А. 30 м2
Б. 36 м2
В. 40 м2
4. Площадь сферы равна 324 см2
. Найдите радиус сферы.
А.
9
√ 𝜋
см Б. 3 см В. 3,5 см.
5. Как изменится площадь большого круга шара, если радиус
шара:
А Б В
Увеличить в
3 раза
уменьшится в
4 раза
увеличится в
4 раза
увеличится в
2 раза
Уменьшить в
3 раза
увеличится в
3 раза
уменьшится
в 3 раза
уменьшится в
9 раз
3. Объёмы тел.
§ 1. Объём прямоугольного параллелепипеда, прямой
призмы и цилиндра.
1. Закончите предложения.
1. Свойства объёмов:
1) равные тела имеют __________________________________
_____________________________________________________
2) если тело разбито на части, то его объём равен __________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
2. Объём прямоугольного параллелепипеда равен __________
19. 19
_____________________________________________________
3. Объём любой призмы равен___________________________
_____________________________________________________
4. Два тела называются равновеликими, если они имеют ____
_____________________________________________________
5. Объём цилиндра равен_______________________________
6. Призма считается вписанной в цилиндр, если её основания_
_____________________________________________________
7. Призма описана около цилиндра, если её основания ______
_____________________________________________________
_____________________________________________________
2. Ответьте на вопросы и выполните задания.
1. Запишите формулу объёма куба________________________
_____________________________________________________
2. Чему равен объём правильной четырёхугольной призмы,
если сторона основания равна 𝑐, а высота призмы – 𝐻 _______
_____________________________________________________
3. Запишите формулу объёма прямой треугольной призмы,
каждое ребро которой равно 𝑛___________________________
_____________________________________________________
4. Какую длину ребра имеет куб, равновеликий кубам с
рёбрами 5см, 6 см, 7
см?__________________________________
5. Запишите формулу объёма цилиндра___________________
6. Как относятся объёмы двух цилиндров с одинаковыми
высотами?____________________________________________
_
7. Как относятся объёмы двух цилиндров с одинаковыми
радиусами оснований?__________________________________
_____________________________________________________
3. Выберите правильный ответ.
20. 20
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см,
12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объём которого равен
объёму этого параллелепипеда.
А. 12 см Б. 11 см В. 13 см
2. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 11 см,
12 см и 15 см. Чему равен его объём?
А. 1800 см3
Б. 1980 см3
В. 1700 см3
3. Найдите объём правильной четырёхугольной призмы, у
которой каждое ребро равно 𝑎.
А. 𝑎3
Б. 4𝑎3
В. 3 𝑎3
4. Диагональ куба равна 4√3 м. Найдите его объём.
А. 48 м3
Б. 64 м3
В. 12 м3
5. Найдите объём цилиндра, если его радиус равен 2√2 см,
высота – 3 см.
А. ≈ 74,4 см3
Б. 24𝜋 см3
В. 24 см3
6. Диаметр основания цилиндра равен 16 см, высота – 8 см.
Чему равен его объём?
А. 2498 см3
Б. 121 см3
В. 128𝜋 см3
4. Решите задачи.
1. Диагональ куба 6 см. Найдите его объём (ответ округлите
до десятых). Сделайте рисунок.
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
21. 21
2. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны
7, 8 и 9 см. Найдите объём параллелепипеда.
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Найдите объём прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1 𝐵1 𝐶1, если ∠𝐵𝐴𝐶 =
900
, 𝐵𝐶 = 37 см, 𝐴𝐵 = 35 см, 𝐴𝐴1 = 1,1 дм. Сделайте
рисунок.
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
22. 22
4. Свинцовая труба (плотность свинца равна 11, 4 г/см3
) с
толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм.
Найдите массу трубы, если её длина равна 25 м.
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
§ 2. Объём наклонной призмы. Объём пирамиды и конуса.
1. Закончите предложения.
1. Объём наклонной призмы находится по формуле _________
_____________________________________________________
2. Объём пирамиды равен_______________________________
3. Объём конуса находится по формуле___________________
4. Объём усечённой пирамиды равен_____________________
_____________________________________________________
5. Объём усечённого конуса равен_______________________
_____________________________________________________
2. Ответьте на вопросы.
1. Объём наклонной призмы равен 27 д м3
. Чему равно ребро
равновеликого ей куба? _______________________________
____________________________________________________
2. Запишите формулу объёма правильной треугольной
призмы с высотой 𝐻 и стороной основания 𝑐
_________________
____________________________________________________
3. Запишите формулу объёма правильной четырёхугольной
призмы с высотой 𝐻 и стороной основания 𝑐 _____________
____________________________________________________
23. 23
4. Запишите формулу объёма правильной шестиугольной
призмы с высотой 𝐻 и стороной основания 𝑐 _____________
____________________________________________________
5. Как относятся объёмы двух конусов с одинаковыми
высотами? ___________________________________________
_____________________________________________________
6. Как относятся объёмы двух конусов с одинаковыми
радиусами оснований? _________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Выберите правильный ответ.
1. Найдите объём наклонной призмы, у которой основанием
является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см, а
боковое ребро, равное 8 см, составляет с плоскостью
основания угол в 600
.
А. 180√3см3
Б. 192√3см3
В. 192 см3
2. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота
которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.
А. 169√3см3
Б. 192√3см3
В. 196√3см3
3. Объём пирамиды равен 64 м3
. Найдите ребро
равновеликого ей куба.
А. 12 см Б. 8 см В. 4 см
4. Осевое сечение конуса – правильный треугольник со
стороной 6 см. Найдите объём конуса.
А. 9𝜋√3см3
Б. 11𝜋√3см3
В. 9𝜋 см3
4. Решите задачи.
1. Найдите объём пирамиды с высотой 2 м, основание
которой служит квадрат со стороной 3 м. Сделайте рисунок.
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
24. 24
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
2. Найдите объём конуса, если его образующая равна 13 см, а
площадь осевого сечения равна 60 см2
.
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 м и 6 м, а
образующая – 5 м. Найдите объём усечённого конуса.
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
25. 25
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
§ 3. Объём и поверхность шара и его частей.
1. Закончите предложения.
1. Объём шара находится по формуле_____________________
2. Объём шарового сегмента вычисляется по формуле_______
_____________________________________________________
3. Объём шарового сектора находится по формуле __________
_____________________________________________________
4. Шаровым слоем называется___________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
5. Объём шарового слоя вычисляется _____________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
2. Ответьте на вопросы.
1. Шар пересечён двумя параллельными плоскостями по
разные стороны от центра. На какие тела разбивается шар?
(сделайте рисунок).
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
26. 26
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
2. Запишите формулу объёма шара через его диаметр_______
_____________________________________________________
3. Как изменится объём шара, если его радиус увеличить в 4
раза?_________________________________________________
3. Выберите правильный ответ.
1. Диаметры трёх шаров равны 6, 8 и 10 см. Найдите диаметр
шара, объём которого равен сумме объёмов этих шаров.
А. 24 см Б. 12 см
2. Внешний радиус полого шара 9 см, толщина стенок 3 см.
Найдите объём, заключённый между стенками.
А. 1900 см3
Б. 2149 см3
3. Радиус основания шарового сегмента 8 см, его высота 4 см.
Найдите объём сегмента.
А. 416𝜋 см3
Б.
416𝜋
3
см3
4. Радиус окружности основания шарового сектора 60 см,
радиус шара 75 см. Найдите объём шарового сектора.
А. 112500𝜋 см3
Б. 120000 см3
5. Чему равна площадь сферического сегмента, если радиус
сферы равен 5 см, а высота – 3 см.?
А. 30 см2
Б. 15 𝜋 см2
В. 30𝜋 см2
4. Решите задачи.
1. Найдите объём шара и площадь его поверхности, если
радиус равен 4 см.
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
27. 27
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
2. Найдите радиус и объём шара, если площадь его
поверхности равна 64𝜋 см2
.
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
3. Сколько кубометров земли потребуется для устройства
клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом
основания 5 м и высотой 60 см?
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
28. 28
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
4. Сколько кожи пойдёт на покрышку футбольного мяча
радиуса 10 см?
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
5. Вычислите объём шара, описанного около куба, ребро
которого равно 1 м.
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
29. 29
6. Найдите площадь сферического пояса, если радиусы его
оснований 20 м и 24 м, а радиус сферы 25 м.
Решение:
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
30. 30
Содержание.
1. Метод координат в пространстве.
§ 1. Координаты точки и вектора………….. …………….. 2 - 6
§ 2. Скалярное произведение векторов……………………6 - 8
2. Тела вращения.
§ 1. Цилиндр. Площадь поверхности цилиндра………….8 - 12
§ 2. Конус. Площадь поверхности конуса……. ………...12 - 15
§ 3. Сфера и шар…………………………………………...15 - 18
3. Объёмы тел.
§ 1. Объём прямоугольного параллелепипеда,
прямой призмы и цилиндра………………………………18 - 21
§ 2. Объём наклонной призмы. Объём пирамиды и
конуса……………………………………………………………22
- 24
§ 3. Объём и поверхность шара и его частей…………….24 - 28
