ガウスボンネの計算

1. 3 次元座標空間 R3 内の曲面 S のパラメータ表示
p = p(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
に対し,S の点 p での u-方向の接ベクトルを pu,v-方向の接ベクトルを pv,単 位法ベ
クトルを n = pu ×pv とする.ただし,a × b はベクトル a, b のベクトル |pu ×pv |積
を,|a| は a の長さを表す.以下の問に答えよ.
(1) n の u-方向の微分 nu および v-方向の微分 nv を第一基本形式,第二基本 形式の係数を
用いて,pu, pv, n の一次結合で表せ.
証明 [小林昭七]曲線と曲面の微分幾何p51
(2) 曲面 S のガウス曲率を K とするとき,次を示せ. nu×nv =Kpu×pv
証明 [小林昭七]曲線と曲面の微分幾何p58
(3) xz-平面の円 (x − 2)2 + z2 = 1 を z-軸の周りに回転して得られるトーラス Tのガウス曲
率を K, 面積要素を dA とするとき 𝑇
𝐾𝑑𝐴 = 0を示せ。
証明 またTはp(u,v)=((2+1cosu)cosv,(2+1cosu)sinv,rsinu) 0≦u,v≦２πと現わせる。
Pu=(-sinucosv,-sinucosv,cosu) Pv=((2+cosu)(-sinv),cosusinv,sinu) –n=(cosucosv,cosusinv,sinu)
E=1 F=0 G=(2+cosu)2
dA=|PuxPv|dudv= 𝐸𝐺 − 𝐹2dudv=(2+cosu)dudv K=cosu/(2+cosu) 𝑇
𝐾𝑑𝐴 = 0
2𝜋
0
2𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢𝑑𝑣=0