1. とにかく大きい数を考える
sappy
2014 年 9 月 14 日
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 1 / 17

2. 初級編
グラハム数
指数タワー a ↑↑ b
指数タワーの変形
さらに すごい 演算
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 2 / 17

3. 足し算・かけ算・ベキ乗
足し算を繰り返すとかけ算が生まれ、
かけ算を繰り返すとベキ乗が生まれた。
10 + 10 = 20
10 × 10 = 10 + 10 + · · · + 10 = 100
1010
= 10 × 10 × · · · × 10 = 100 億
繰り返すことにより、大きな数を作ることが出来る。
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 3 / 17

4. ベキ乗の次
定義 1
a ↑↑ b = aa...a
(b 個の a)
とても簡単な例 3 ↑↑ 2 = 33
= 3 × 3 × 3 = 27
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 4 / 17

5. ベキ乗の次
定義 1
a ↑↑ b = aa...a
(b 個の a)
とても簡単な例 3 ↑↑ 2 = 33
= 3 × 3 × 3 = 27
計算の順番は右から
3 ↑↑ 3 = 333
= 327
̸= 273
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 4 / 17

6. ベキ乗の次
定義 1
a ↑↑ b = aa...a
(b 個の a)
とても簡単な例 3 ↑↑ 2 = 33
= 3 × 3 × 3 = 27
計算の順番は右から
3 ↑↑ 3 = 333
= 327
̸= 273
例 1
3 ↑↑ 2 = 33
= 27,
3 ↑↑ 3 = 333
= 327
= 7625597484987 (７兆６千億ほど),
3 ↑↑ 4 = 3333
= 37625597484987
(３兆桁くらい)
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 4 / 17

7. ベキ乗の次
定義 1
a ↑↑ b = aa...a
(b 個の a)
とても簡単な例 3 ↑↑ 2 = 33
= 3 × 3 × 3 = 27
計算の順番は右から
3 ↑↑ 3 = 333
= 327
̸= 273
例 1
3 ↑↑ 2 = 33
= 27,
3 ↑↑ 3 = 333
= 327
= 7625597484987 (７兆６千億ほど),
3 ↑↑ 4 = 3333
= 37625597484987
(３兆桁くらい)
宇宙にある素粒子の数 · · · 1080
∼ 1085
≪ 103 兆
≒ 3 ↑↑ 4
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 4 / 17

8. 3 ↑↑ n で遊んでみる
10 のベキを用いて変形してみる
高校の復習
log10 3 ≒ 0.4771, 3 = 10log10 3
, (10a
)b
= 10a×b
, 10a
10b
= 10a+b
3 ↑↑ 3 = 327
≒ (100.4771
)27
≒ 1012.88
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 5 / 17

9. 3 ↑↑ n で遊んでみる
10 のベキを用いて変形してみる
高校の復習
log10 3 ≒ 0.4771, 3 = 10log10 3
, (10a
)b
= 10a×b
, 10a
10b
= 10a+b
3 ↑↑ 3 = 327
≒ (100.4771
)27
≒ 1012.88
3 ↑↑ (n + 1) = 33↑↑n
に注意すると
3 ↑↑ 4 ≒ 31012.88
≒ (100.4771
)1012.88
≒ 1010−0.3214+12.88
≒ 101012.56
3 ↑↑ 5 ≒ 3101012.56
≒ 100.4771×101012.56
≒ 1010−0.3214+1012.56
≒ 10101012.56
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 5 / 17

10. 3 ↑↑ n で遊んでみる
10 のベキを用いて変形してみる
高校の復習
log10 3 ≒ 0.4771, 3 = 10log10 3
, (10a
)b
= 10a×b
, 10a
10b
= 10a+b
3 ↑↑ 3 = 327
≒ (100.4771
)27
≒ 1012.88
3 ↑↑ (n + 1) = 33↑↑n
に注意すると
3 ↑↑ 4 ≒ 31012.88
≒ (100.4771
)1012.88
≒ 1010−0.3214+12.88
≒ 101012.56
3 ↑↑ 5 ≒ 3101012.56
≒ 100.4771×101012.56
≒ 1010−0.3214+1012.56
≒ 10101012.56
最後の式は
3101012.56
≒ 10101012.56
←!!!
を意味している。N：十分大だと、3N
と 10N
の差はほとんどない。
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 5 / 17

11. 2 ↑↑ n でも遊んでみる
10 のベキを用いて変形してみる
高校の復習
log10 2 ≒ 0.3010, 2 = 10log10 2
, (10a
)b
= 10a×b
, 10a
10b
= 10a+b
2 ↑↑ 4 = 216
≒ (100.3010
)16
= 104.816
2 ↑↑ (n + 1) = 22↑↑n
に注意すると
2 ↑↑ 5 ≒ 2104.816
≒ (100.3010
)104.816
≒ 1010−0.5214+4.816
≒ 10104.295
2 ↑↑ 6 ≒ 210104.295
≒ 100.3010×10104.295
≒ 1010−0.5214+104.295
≒ 1010104.295
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12. 2 ↑↑ n でも遊んでみる
10 のベキを用いて変形してみる
高校の復習
log10 2 ≒ 0.3010, 2 = 10log10 2
, (10a
)b
= 10a×b
, 10a
10b
= 10a+b
2 ↑↑ 4 = 216
≒ (100.3010
)16
= 104.816
2 ↑↑ (n + 1) = 22↑↑n
に注意すると
2 ↑↑ 5 ≒ 2104.816
≒ (100.3010
)104.816
≒ 1010−0.5214+4.816
≒ 10104.295
2 ↑↑ 6 ≒ 210104.295
≒ 100.3010×10104.295
≒ 1010−0.5214+104.295
≒ 1010104.295
命題 1
2 ↑↑ (n + 1) < 3 ↑↑ n < 2 ↑↑ (n + 2)
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 6 / 17

13. a ↑↑ b を越えて
定義 2
a ↑↑↑ b = a ↑↑ a ↑↑ · · · ↑↑ a
b コ
これを a ↑3
b と書く
定義 3
a ↑n+1
b = a ↑n
a ↑n
· · · ↑n
a
b コ
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14. a ↑↑ b を越えて
定義 2
a ↑↑↑ b = a ↑↑ a ↑↑ · · · ↑↑ a
b コ
これを a ↑3
b と書く
定義 3
a ↑n+1
b = a ↑n
a ↑n
· · · ↑n
a
b コ
3 ↑3
3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) = 3 ↑↑ 7625597484987,
3 ↑4
3 = 3 ↑3
(3 ↑3
3) = 3 ↑↑ 3 ↑↑ · · · ↑↑ 3
3↑↑7625597484987 コ
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 7 / 17

15. グラハム数
G(x) = 3 ↑x
3 とする。
G(4) = 3 ↑↑↑↑ 3,
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 8 / 17

16. グラハム数
G(x) = 3 ↑x
3 とする。
G(4) = 3 ↑↑↑↑ 3,
G2
(4) = 3 ↑ · · · ↑
G(4) 本
3,
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 8 / 17

17. グラハム数
G(x) = 3 ↑x
3 とする。
G(4) = 3 ↑↑↑↑ 3,
G2
(4) = 3 ↑ · · · ↑
G(4) 本
3,
...
G64
(4) = 3 ↑ · · · ↑
G63(4) 本
3
この G64
(4) がグラハム数と呼ばれる数。
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 8 / 17

18. グラハム数
G(x) = 3 ↑x
3 とする。
G(4) = 3 ↑↑↑↑ 3,
G2
(4) = 3 ↑ · · · ↑
G(4) 本
3,
...
G64
(4) = 3 ↑ · · · ↑
G63(4) 本
3
この G64
(4) がグラハム数と呼ばれる数。
上記の定義から分かること…でかい。めちゃくちゃでかい。でも
有限の数。
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 8 / 17

19. 中級編
ふぃっしゅ数
アッカーマン関数
S 変換
グラハム数との比較
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 9 / 17

20. アッカーマン関数
定義 4
アッカーマン関数 A(m, k) を次で定める。
1. A(0, k) = k + 1
2. A(m, 0) = A(m − 1, 1) m ≥ 1 のとき
3. A(m, k) = A(m − 1, A(m, k − 1)) m, k ≥ 1 のとき
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 10 / 17

21. アッカーマン関数
定義 4
アッカーマン関数 A(m, k) を次で定める。
1. A(0, k) = k + 1
2. A(m, 0) = A(m − 1, 1) m ≥ 1 のとき
3. A(m, k) = A(m − 1, A(m, k − 1)) m, k ≥ 1 のとき
A(1, 0) = A(0, 1) = 2,
A(1, 1) = A(0, A(1, 0)) = A(0, 2) = 3,
A(1, 2) = A(0, A(1, 1)) = A(0, 3) = 4,
A(1, k) = k + 2,
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 10 / 17

22. アッカーマン関数
定義 4
アッカーマン関数 A(m, k) を次で定める。
1. A(0, k) = k + 1
2. A(m, 0) = A(m − 1, 1) m ≥ 1 のとき
3. A(m, k) = A(m − 1, A(m, k − 1)) m, k ≥ 1 のとき
A(1, 0) = A(0, 1) = 2,
A(1, 1) = A(0, A(1, 0)) = A(0, 2) = 3,
A(1, 2) = A(0, A(1, 1)) = A(0, 3) = 4,
A(1, k) = k + 2,
A(2, 1) = A(1, A(2, 0)) = A(1, A(1, 1)) = A(1, 3) = 5,
A(2, 2) = A(1, A(2, 1)) = A(1, 5) = 7,
A(2, k) = 2k + 3,
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 10 / 17

23. アッカーマン関数の計算
確認
アッカーマン関数 A(m, k) の計算ルール
1. A(0, k) = k + 1
2. A(m, 0) = A(m − 1, 1) m ≥ 1 のとき
3. A(m, k) = A(m − 1, A(m, k − 1)) m, k ≥ 1 のとき
A(3, 0) = A(2, 1) = 5,
A(3, 1) = A(2, A(3, 0)) = A(2, 5) = 13,
A(3, 2) = A(2, A(3, 1)) = A(2, 13) = 29,
A(3, 3) = A(2, A(3, 2)) = A(2, 29) = 61,
A(3, k) > 2k
,
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 11 / 17

24. アッカーマン関数の計算
確認
アッカーマン関数 A(m, k) の計算ルール
1. A(0, k) = k + 1
2. A(m, 0) = A(m − 1, 1) m ≥ 1 のとき
3. A(m, k) = A(m − 1, A(m, k − 1)) m, k ≥ 1 のとき
A(3, 0) = A(2, 1) = 5,
A(3, 1) = A(2, A(3, 0)) = A(2, 5) = 13,
A(3, 2) = A(2, A(3, 1)) = A(2, 13) = 29,
A(3, 3) = A(2, A(3, 2)) = A(2, 29) = 61,
A(3, k) > 2k
,
A(4, 1) = A(3, A(4, 0)) = A(3, A(3, 1)) = A(3, 13) > 213
> 2 ↑↑ 3,
A(4, 2) = A(3, A(4, 1)) > A(3, 2 ↑↑ 3) > 2 ↑↑ 4,
A(4, k) > 2 ↑↑ (k + 2) > 3 ↑↑ k,
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 11 / 17

25. アッカーマン関数からふぃっしゅ数へ
先ほどの計算から
A(m, k) > 3 ↑m−2
k
アッカーマン関数は任意の ↑n
と同等以上の強さをもつ。
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 12 / 17

26. アッカーマン関数からふぃっしゅ数へ
先ほどの計算から
A(m, k) > 3 ↑m−2
k
アッカーマン関数は任意の ↑n
と同等以上の強さをもつ。
記号の定義
N：自然数全体の集合、F = {f : N → N}：関数全体の集合、
S = {N × F → N × F}：S 変換全体の集合
定義 5
関数 f に対して、2 変数関数 Bf (x, y) を次で定める。
1. Bf (0, y) = f (y)
2. Bf (x, 0) = Bf (x − 1, 1) x ≥ 1 のとき
3. Bf (x, y) = Bf (x − 1, Bf (x, y − 1)) x, y ≥ 1 のとき
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 12 / 17

27. ふぃっしゅ数
特別な元 S ∋ S0 : (n, f ) → (m, g) を次で定める。
g(x) = Bf (x, x), m = g(n)
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 13 / 17

28. ふぃっしゅ数
特別な元 S ∋ S0 : (n, f ) → (m, g) を次で定める。
g(x) = Bf (x, x), m = g(n)
定義 6
SS : N × F × S → N × F × S
を SS(n, f , S) = (Sf (n)
(n, f ), Sf (n)
) で定める。
f0(x) = x + 1 として、ふぃっしゅ数を SS63
(3, f0, S0) と定める。
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 13 / 17

29. グラハム数と比較する
まず SS(3, f0, S0) を計算してみる。
SS(3, f0, S0) = (S
f0(3)
0 (3, f0), S
f0(3)
0 ) = (S4
0 (3, f0), S4
0 )
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 14 / 17

30. グラハム数と比較する
まず SS(3, f0, S0) を計算してみる。
SS(3, f0, S0) = (S
f0(3)
0 (3, f0), S
f0(3)
0 ) = (S4
0 (3, f0), S4
0 )
この１回目の S0 変換を計算する。
Bf0 = A (アッカーマン関数) に注意すると、
S0(3, f0) = (A(3, 3), f1) = (61, f1) ここで f1(x) = A(x, x).
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 14 / 17

31. グラハム数と比較する
まず SS(3, f0, S0) を計算してみる。
SS(3, f0, S0) = (S
f0(3)
0 (3, f0), S
f0(3)
0 ) = (S4
0 (3, f0), S4
0 )
この１回目の S0 変換を計算する。
Bf0 = A (アッカーマン関数) に注意すると、
S0(3, f0) = (A(3, 3), f1) = (61, f1) ここで f1(x) = A(x, x).
２回目
S0(61, f1) = (Bf1 (61, 61), f2) ここで f2(x) = Bf1 (x, x)
f2(1) = Bf1 (1, 1) = Bf1 (0, Bf1 (1, 0)) = Bf1 (0, Bf1 (0, 1)) = f1(f1(1))
= A(A(1, 1), A(1, 1)) = A(3, 3) = 61
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 14 / 17

32. グラハム数と比較する
まず SS(3, f0, S0) を計算してみる。
SS(3, f0, S0) = (S
f0(3)
0 (3, f0), S
f0(3)
0 ) = (S4
0 (3, f0), S4
0 )
この１回目の S0 変換を計算する。
Bf0 = A (アッカーマン関数) に注意すると、
S0(3, f0) = (A(3, 3), f1) = (61, f1) ここで f1(x) = A(x, x).
２回目
S0(61, f1) = (Bf1 (61, 61), f2) ここで f2(x) = Bf1 (x, x)
f2(1) = Bf1 (1, 1) = Bf1 (0, Bf1 (1, 0)) = Bf1 (0, Bf1 (0, 1)) = f1(f1(1))
= A(A(1, 1), A(1, 1)) = A(3, 3) = 61
次に f2(2) を計算する。
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 14 / 17

33. 戦闘力、たったのグラハム数か
f2(2) = Bf1 (2, 2) = Bf1 (1, Bf1 (2, 1)) = Bf1 (1, Bf1 (1, Bf1 (2, 0)))
= Bf1 (1, Bf1 (1, Bf1 (1, 1))) = Bf1 (1, Bf1 (1, 61))
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 15 / 17

34. 戦闘力、たったのグラハム数か
f2(2) = Bf1 (2, 2) = Bf1 (1, Bf1 (2, 1)) = Bf1 (1, Bf1 (1, Bf1 (2, 0)))
= Bf1 (1, Bf1 (1, Bf1 (1, 1))) = Bf1 (1, Bf1 (1, 61))
Bf1 (1, 2) = Bf1 (0, Bf1 (1, 1)) = A(61, 61) > 3 ↑59
61 > 3 ↑4
3 = G(4)
Bf1 (1, 3) = Bf1 (0, Bf1 (1, 2)) = A(A(61, 61), A(61, 61))
> A(G(4) + 2, 3) > 3 ↑G(4)
3 = G2
(4)
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 15 / 17

35. 戦闘力、たったのグラハム数か
f2(2) = Bf1 (2, 2) = Bf1 (1, Bf1 (2, 1)) = Bf1 (1, Bf1 (1, Bf1 (2, 0)))
= Bf1 (1, Bf1 (1, Bf1 (1, 1))) = Bf1 (1, Bf1 (1, 61))
Bf1 (1, 2) = Bf1 (0, Bf1 (1, 1)) = A(61, 61) > 3 ↑59
61 > 3 ↑4
3 = G(4)
Bf1 (1, 3) = Bf1 (0, Bf1 (1, 2)) = A(A(61, 61), A(61, 61))
> A(G(4) + 2, 3) > 3 ↑G(4)
3 = G2
(4)
命題 2
Bf1 (1, n + 1) > Gn
(4)
そして当然 Bf1 (1, 61) ≫ 64 + 1
ゆえに f2(2) ≫ G64
(4) = グラハム数
S0 変換の２回目で f2(61) ≫ f2(2) ≫ グラハム数 を得た。
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 15 / 17

36. 君がッ 泣くまで 繰り返すのをやめないッ！
S0 変換をさらに２回して、ようやく１回目の SS 変換が終わる。
その後、さらに SS 変換を 62 回施して得られる数がふぃっしゅ数。
ちなみに２回目の SS 変換は S0 変換を（正確には S4
0 を）グラハ
ム数よりはるかに大きい回数繰り返すというもの。
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 16 / 17

37. 上級編
ふぃっしゅ数 ver.3
順序数
急成長階層
関数の入れ子とその階層
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38. 上級編
ふぃっしゅ数 ver.3
順序数
急成長階層
関数の入れ子とその階層
ということについて発表を行いましたが、上級編については不出
来だったのと、ふぃっしゅ数 ≫ グラハム数を示すことがハイライ
トだったのでこの版では省略しています。
sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 17 / 17