全単射の性質

1. (1) 集合 V , W の間の2つの写像 f : V → W , g : W → V に対し,その合成
写像 g ◦ f : V → V は恒等写像であるものとする.このとき,以下の主
張について正 しければ証明し,誤りならば反例をあげよ.
(a) f は単射である.
答え 真
証明[斎藤毅]集合と位相p53
(b) f は全射である.
答え 偽
反例 V={1,2} W={3,4,5}として、f(1)=3 f(2)=4 g(3)=1 g(4)=2とすればg
◦ f は恒等写像であるが、fは全射ではない.
(c) g は単射である.
答え 偽
反例 V={1,2} W={3,4,5}として、f(1)=3 f(2)=4 g(3)=1 g(4)=g(5)=2とす
ればg ◦ f は恒等写像であるが、gは単射ではない.
(d) g は全射である.
答え 真
証明[斎藤毅]集合と位相p55