1. Үзэгдлийн магадлалыг нэмэх ба үржих, үзэгдлүүдийн гүйцэд бүлэг, эсрэг
үзэгдэл, үзэгдлүүдийн үл хамаарах чанар, нөхцөлт магадлал, бүтэн
магадлалын томъёо, Бейсийн томъёо, үзэгдлүүдийн ядаж нэг нь явагдах
магадлал
Үзэгдлүүдийн үл хамаарах чанар, хялбар томъёонууд
2.1 Нөхцөлт магадлал ,Үзэгдлүүдийн үл хамаарах чанар
Хэрэв А үзэгдэл явагдах магадлал В үзэгдлийн явагдах ба эс явагдахаас хамаарахгүй
байвал А, В үзэгдлүүдийг хамааралгүй гэнэ. Эсрэг тохиолдолд хамааралтай гэнэ. В
үзэгдэл явагдсан нөхцөлд А үзэгдлийн магадлалыг авч үзэх шаардлага гарч болно. Ийм
үед А-ийн магадлалыг, В нөхцөл дахь А-үзэгдлийн магадлал гэж нэрлээд 𝑃𝐵(𝐴) буюу
P(A/B) гэж тэмдэглэдэг.
Жишээ3.1 Хайрцагт 3 цагаан, 2 хар өнгийн бөмбөг байжээ. Хайрцагнаас 2 удаа нэг нэг
бөмбөг таамгаар авах туршилт хийе.
А-“Анхны авалтанд цагаан бөмбөг байх” үзэгдэл
В-“дараагийн авалтанд цагаан бөмбөг байх” үзэгдэл бол В үзэгдлийн магадлал нь А-
үзэгдлийн явагдах ба эс явагдахаас хамаарна.
Иймд:
5
3
)
(
A
P бөгөөд хэрэв А-үзэгдэл явагдсан бол
4
2
)
(
B
P , А үзэгдэл явагдаагүй бол
4
3
)
(
B
P юм. Иймд
4
2
)
/
(
A
B
P болж байна. Үүнийг уншвал: А-үзэгдэл явагдсан нөхцөл
дахь В –үзэгдлийн магадлал
Хэрвээ 𝑝(𝐴1 + 𝐴2+. . . +𝐴𝑛 ) = 𝑝(𝐴1) + 𝑝( 𝐴2)+.. . +𝑝(𝐴𝑛) байна.
В-нөхцөл дахь А-үзэгдлийн магадлал нь А ба В үзэгдлүүдийн үржвэрийн
магадлалыг В үзэгдлийн магадлалд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.
Өөрөөр хэлбэл:
)
(
)
(
)
/
(
B
P
AB
P
B
A
P буюу )
/
(
)
(
)
( B
A
P
B
P
AB
P
(2.1)
Үүний адилаар
)
/
(
)
(
)
( A
B
P
A
P
AB
P
(3.2)
(3.1) ба (3.2) томъёог нэгтгэвэл:
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
( B
A
P
B
P
A
B
P
A
P
AB
P
(2.3)
(3.3) томъёог хамааралтай үзэгдлүүдийн магадлалыг үржүүлэх теорем гэж нэрлэнэ.
(3.3)- томъёог хоёроос дээш тооны үзэгдлүүд дээр бичвэл:
1 2 1 2 3 1 1 2 1
( ... ) ( ) ( ... / ) ( ) ( / )
k k
P A A A P A P A A A A P A P A A
...
)
/
...
( 2
1
4
3 A
A
A
A
A
P k
)
...
/
(
)...
/
(
)
/
(
)
( 1
2
1
2
1
3
1
2
1
k
k A
A
A
A
P
A
A
A
P
A
A
P
A
P (2.4)
Хэрэв
)
(
)
/
( A
P
B
A
P
нөхцөл биелэгдэж байвал А-г В-ээс үл хамаарах үзэгдэл гэнэ. Энэ тохиолдолд (3.3) томъёо
2. )
(
)
(
)
( B
P
A
P
AB
P
(2.5)
(3.5)-томъог хамааралгүй үзэгдлүүдийн магдлалыг үржүүлэх теорем гэнэ
(3.5)- томъёог хоёроос дээш тооны үзэгдлүүд дээр бичвэл:
)
(
...
)
(
)
(
)
...
( 2
1
2
1 k
k A
P
A
P
A
P
A
A
A
P
(2.6)
Хэрэв А- нь В-ээс үл хамаарах бол В нь А-аас үл хамаарна.
Жишээ 3.2: Оюутан магадлалын онолын шалгалтын 25 асуултын 5-ыг бэлдэж амжсангүй.
Шалгалтын билетийн 3 асуултанд бүгдэд нь амжилттай хариулж чадах үзэгдлийн
магадлалыг ол.
: А-“Бүх асуултанд зөв хариулах” үзэгдэл
i
A -“i -р асуултанд зөв хариулах” үзэгдэл 3
..
1
i
Тэгвэл А нь 3
2
1 A
A
A
A
болох ба )
/
(
)
/
(
)
(
)
(
)
( 2
1
3
1
2
1
3
2
1 A
A
A
P
A
A
P
A
P
A
A
A
P
A
P
болно.
1-р асуултанд зөв хариулах магадлал нь ,
25
20
)
( 1
A
P
1-р асуултанд зөв хариулсан нөхцөлд 2-р асуултанд зөв хариулах магадлал
,
24
19
)
/
( 1
2
A
A
P
1 ба 2-р асуултанд зөв хариулсан нөхцөлд 3-р асуултанд зөв хариулах магадлал
23
18
)
/
( 2
1
3
A
A
A
P болно. Ийнхүү
115
57
23
18
24
19
25
20
)
(
A
P болно.
Энэ бодлогыг магадлалын сонгодог тодорхойлолтоор бодвол:
115
57
)
( 3
25
3
20
C
C
A
P болж
ижил үр дүн гарч байна. .
Жишээ 3.3 Хоёр хайрцагны 1-р хайрцагт1 цагаан, 3 хар, 4 улаан харандаа, 2-р хайрцагт 3
цагаан, 2 хар, 3 улаан харандаа тус, тус байжээ. Хайрцаг бүрээс нэг, нэг харандаа таамгаар
авахад өнгө нь ижил байх үзэгдлийн магадлалыг ол.
: 1-р хайрцагнаас цагаан, хар, улаан өнгийн харандаа авах үзэгдлийн магадлал нь
харгалзан 1
1
1 ,
, D
C
B , 2-р хайрцгаас дээрх өнгийн харандаа авах үзэгдлийн харгалзан
2
2
2 ,
, D
C
B гэвэл бидний сонирхосон үзэгдэл 2
1
2
1
2
1 D
D
C
C
B
B
A
болно. Энд
2
1
2
1
2
1 ;
; D
D
C
C
B
B үзэгдлүүд нийцгүй учир:
)
(
)
( 2
1
2
1
2
1 D
D
C
C
B
B
P
A
P )
(
)
(
)
( 2
1
2
1
2
1 D
D
P
C
C
P
B
B
P
2
1
2
1
2
1 ;
; D
D
C
C
B
B хос хосоороо хамааралгүй үзэгдлүүд тул
8
3
8
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
1
2
1
2
1 D
P
D
P
C
P
C
P
B
P
B
P
A
P
8
2
8
3
64
21
8
3
8
4
.
2.2 Ядаж нэг үзэгдэл явагдах магадлал
Хэд хэдэн үзэгдлүүдийн алиных нь ч явагдах магадлал бусдынхаа явагдах ба эс явагдахаас
хамаарахгүй байвал тэдгээрийг хамааралгүй үзэгдэл гэнэ. Туршилтын дүнд n
A
A
A ,....,
, 2
1
гэсэн хоорондоо хамааралгүй n үзэгдэл явагдах боломжтой бөгөөд үзэгдэл тус бүрийн
явагдах магадлалууд n
n p
A
P
p
A
P
p
A
P
)
(
,....,
)
(
,
)
( 2
2
1
1 болог. Туршилтаар бүх
3. үзэгдлүүд, эсвэл аль нь ч явагдахгүй байж болно. Дээрх үзэгдлийн эсрэг үзэгдлийг
харгалзан
n
n q
A
P
q
A
P
q
A
P
)
(
,....,
)
(
,
)
( 2
2
1
1
гэе. Хэрэв А нь
n
i
Ai ..
1
үзэгдлүүдийн ядаж нэг нь явагдах үзэгдэл бол
n
q
q
q
q
A
P ...
1
)
( 3
2
1
(2.7)
байна. Өөрөөр хэлбэл n
A
A
A ,....,
, 2
1 гэсэн хамааралгүй үзэгдлүүдийн ядаж нэг нь явагдах
магадлал тэдгээрийн эсрэг үзэгдлүүдийн магадлалуудын үржвэрийг нэгжээс хассантай
тэнцүү байна.
Тухайн тохиолдолд
n
i
Ai ..
1
үзэгдлүүд бүгд ижил боломжтой
n
i
p
A
P i ..
1
,
)
(
бол
(3.7) томъёо
n
q
A
P
1
)
( (2.8)
хэлбэртэй болно. Энд: p
q
1 байна.
Жишээ 3.4 Буудлагын тамирчин бүр байг онох магадлал харгалзан
9
.
0
,
7
.
0
,
8
,
0 3
2
1
p
p
p байв. Тамирчин бүр байруу нэг удаа зэрэг буудахад ядаж нэг
нь оносон байх үзэгдлийн магадлалыг ол.
:
3
,
1
i
Ai - “i -р тамирчин онох” үзэгдэл
А- “Ядаж нэг нь онох” үзэгдэл гэе
Тамирчин бүрийн байг онох магадлал бусдынхаа онох, эс онохоос хамаарахгүй
тулхоорондоо хамааралгүй үзэгдлүүд юм.
1
.
0
9
.
0
1
)
(
;
3
.
0
7
.
0
1
)
(
;
2
.
0
8
.
0
1
)
( 3
3
2
2
1
1
q
A
P
q
A
P
q
A
P
учир (3.7) томъёо ёсоор 994
.
0
1
.
0
3
.
0
2
.
0
1
)
(
A
P
2.3 Гүйцэт магадлалын томъёо
n
H
H
H ,...,
, 2
1 нь дараах тохиолдолд бүтэн бүлэг үүсгэх хос хосоороо нийцгүй үзэгдлүүд
байг.
1) Бүх үзэгдлүүд харилцан хамааралгүй: Hi Hj =; i, j=1,2,...,n; ij;
2) Тэдгээрийн нэгдэл эгэл үзэгдлийн огторгуй үүсгэнэ. :
= n
H
H
H
2
1 .
А
4. Диаграммаас А-үзэгдэл )
,
1
( n
i
Hi үзэгдлүүдийн аль нэг нь явагдсан нөхцөлд явагддаг
байг. Өөрөөр хэлбэл, n
AH
AH
AH
A
...
2
1 . Энэ тохиолдолд )
,
1
( n
i
Hi үзэгдлийг
таамаглалууд гэнэ.
n
i
i
i H
A
P
H
P
A
P
1
)
/
(
)
(
)
(
(3.9)
Дэлгэрэнгүй бичвэл:
P(A) = P(A/ H1)P(H1) + P(A/ H2)P(H2) + ...+ P(A/ Hn)P(Hn)
n
i
i
H
P
H
A
P
1
)
(
)
/
( i
(3.9)-томъёог Гүйцэт магадлалын томъёо гэнэ.
Баталгаа. Үнэхээр: A =
n
H
A
H
A
H
A
2
1 , бүх i
H
A (i =
1,2,...,n) үзэгдлүүд харилцан хамааралгүй. Эндээс дээрх нийлбэрийн магадлал нь
P(A) = P( 1
H
A ) + P( 2
H
A ) +...+ P( n
H
A ) (1) болно.
Мөн үржвэрийн магадлалын томъёогоор P( i
H
A ) = P(A/Hi)P(Hi) (i = 1,2,...,n),
Үүнийг (1) томъёонд орлуулбал батлагдана.
Жишээ-1. Дэлгүүрт 3-н үйлвэрээс ирсэн гэрлийн шил худалдах ба бүх гэрлийн шилний
30-г 1-р үйлдвэр, 50-г 2-р үйлдвэр, 20-г 2-р үйлдвэр үйлдвэрлэсэн. Дэлгүүрт эдгээр
үйлдвэрүүдээс ирсэн бүтээгдэхүүнүүдийн харгалзан 5, 3 и 2 гологдол. Таамгаар 1
бүтээгдэхүүн авахад гологдол байх үзэгдлийн магадлал ол.
H1 - 1-р үйлдвэрээр хийгдсэн байх магадлал,
H2 - 2-р үйлдвэрээр хийгдсэн байх магадлал,
H3 - 3-р үйлдвэрээр хийгдсэн байх магадлал:
P(H1) = 3/10, P(H2) = 5/10, P(H3) = 2/10.
А –сонгосон бүтээгдэхүүн гологдол байх үзэгдэл.
A/Hi - сонгосон бүтээгдэхүүн i-р үйлдвэрийн гологдол шил байх үзэгдэл
P (A/H1) = 5/10; P(A/H2) = 3/10; P(A/H3) = 2/10
Бүтэн магадлалын томъёогоор
500
17
100
2
10
2
100
3
10
5
100
5
10
3
)
(
A
P
5. Жишээ 3.5 Аялагч О хотоос гарахад очих газрын зам 3 салсан учир аль нэгийг нь таамгаар
сонгон авах шаардлагатай болжээ. Сонгосон зам тус бүр дахин хэд хэд салаалсан байсан
бөгөөд аль ч замаар нь явсан очих газраа хүрч болох байлаа. Хэрэв аялагч аль ч замаар нь
явах боломжтой гэвэл А- хотод очих үзэгдлийн магадлалыг ол. Зураг3.1 –д замын
схемийг үзүүлэв.
1
H -“эхний удаа 1-р замыг сонгон авах” үзэгдэл
1 2
H -“2-р замыг сонгон авах” үзэгдэл
О 2 3
H -“3-р замыг сонгон авах” үзэгдэл
3 Таамгаар сонгон авч буй тул эдгээр замуудын аль
нэгийг
Зураг3.1 сонгон авах боломж ижил. Өөрөөр хэлбэл:
3
1
)
(
)
(
)
( 3
2
1
A
P
H
P
H
P
В-“Аялагч А хотод очих ” үзэгдэл гэе. Тэгвэл 1-р замыг сонгон авсан нөхцөлд А хотод
очих үзэгдлийн магадлал
3
1
болно. Өөрөөр хэлбэл, ,
3
1
)
/
( 1
H
B
P Үүнчлэн ,
2
1
)
/
( 2
H
B
P
4
1
)
/
( 3
H
B
P болно. (3.9) томъёо ёсоор:
36
13
4
1
3
1
2
1
3
1
3
1
3
1
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
( 3
3
2
2
1
1
H
A
P
A
P
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
A
P
Жишээ 3.6 Таны баруун халаасанд 3ш 20-тын мөнгө, 4ш 15-тын мөнгө, зүүн халаасанд 6
ш 20-тын, 3ш 15-тын мөнгө байсан гэе. Та баруун халааснаасаа таамгаар 5 мөнгө авч зүүн
халаасандаа хйигээд дараа нь зүүн халааснаасаа таамгаар 1 мөнгө авсан байг. Таны зүүн
халааснаасаа авсан мөнгө 20-тын мөнгө байх үзэгдлийн магадлалыг ол.
: Энэ тохиолдолд дараах 3 таамаглал байж болно.
1
H -Баруун халааснаас “1ш 20-тын, 4ш 15-тын мөнгө авах “үзэгдэл
2
H -“ Баруун халааснаас 2 ш 20-тын, 3ш 15-тын мөнгө авах “үзэгдэл
3
H -“ Баруун халааснаас 3 ш 20-тын, 2ш 15-тын мөнгө авах “үзэгдэл
А-Сонирхсон үзэгдэл
Тэгвэл
7
1
)
( 5
7
4
4
1
3
1
C
C
C
H
P ,
7
4
)
( 5
7
3
4
2
3
2
C
C
C
H
P ,
7
2
)
( 5
7
2
4
3
3
3
C
C
C
H
P
i
H нөхцөл дахь А үзэгдлийн магдлал нь дараах байдалтай байна.
,
14
7
)
/
( 1
H
A
P ,
14
8
)
/
( 2
H
A
P
14
9
)
/
( 3
H
A
P . Иймд
(3.9) томъёо ёсоор 54
.
0
14
9
7
2
14
8
7
4
14
7
7
1
)
/
(
)
(
)
(
3
1
i
i
i H
A
P
H
P
A
P
3.4 Байесийн томъёо
H1,H2,...,Hn - бүтэн групп үүсгэх үзэгдэл ба А – ямар нэг үзэгдэл. Дараах нөхцөлт
магадлалын томъёо авъя.
6. )
(
)
(
)
/
(
A
A
H
P
P
A
H
P k
k
(*)
Туршилт хийгдэж санамсаргүй А- үзэгдэл явагдсан гэе. Тэгвэл А- үзэгдэл явагдсаны дараа
P(Hk /A) –Hk үзэгдлийн нөхцөлт магадлал яаж өөрчлөгдөх вэ? гэсэн бодлого авч үзье.
Үржвэрийн магадлалын дүрмээр (*) томъёоны хүртвэр
P
A
Hk = P
k
H
A = P(A /Hk) P(Hk) болно.
(*)томъёоны хуваарь
P(A)
n
i
i
H
P
H
A
P
1
)
(
)
/
( i болно.
Эндээс (*) томъёо нь дараах хэлбэртэй болно.
n
i
i
i
i
i
i
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
A
H
P
1
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
Энэ томъёог Байесийн томъёо гэнэ.
Жишээ 3.7 ямар нэг салбарын нийт бүтээгдэхүүний 30%-ийг I үйлдвэр, 25%-ийг II
үйлдвэр, үлдсэн хувийг III үйлдвэр хийдэг байжээ. I үйлдвэрийн хийсэн бүтээгдэхүүний
1%, II -ын 1,5%, III-ын 2% тус тус гологдол байдаг байв. Хэрэглэгчийн худалдаж авсан
бүтээгдэхүүн гологдол байв. Энэхүү гологдол I үйлдвэрийн бүтээгдэхүүн байх үзэгдлийн
магадлалыг ол.
1
H -“бүтээгдэхүүн I үйлдвэрийнх байх ” үзэгдэл
2
H -“бүтээгдэхүүн II үйлдвэрийнх байх ” үзэгдэл
3
H -“бүтээгдэхүүн III үйлдвэрийнх байх ” үзэгдэл
А-“Худалдаж авсан бүтээгдэхүүн гологдол байх” үзэгдэл бол
,
45
.
0
)
(
,
25
.
0
)
(
,
30
.
0
)
( 3
2
1
H
P
H
P
H
P
02
.
0
)
/
(
,
015
.
0
)
/
(
,
01
.
0
)
/
( 3
2
1
H
A
P
H
A
P
H
A
P гэж өгөгдсөн тул
015
.
0
02
.
0
45
.
0
015
.
0
25
.
0
01
.
0
30
.
0
)
/
(
)
(
)
(
3
1
i
i
i H
A
P
H
P
A
P
(3.10) томъёог ашиглан сонирхсон үзэгдлийн магадлалыг олъё.
2
.
0
015
.
0
01
.
0
3
.
0
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
( 3
1
1
1
1
i
i
i H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
A
H
P .
Жишээ 3.8 Хоёр тамирчин бие биеээсээ үл хамааран байруу нэг нэг удаа бууджээ. I
тамирчин байг онох магадлал 0.8, II тамирчин байг онох магадлал 0,4. Байруу буудсаны
дараа хэн нэг нь оножээ. I буудагч байг оносон байх үзэгдлийн магадлалыг ол.
: Туршилт явагдахын өмнө дараах таамаглалууд байж болно.
7. Н1- “I ба II тамирчны хэн нь ч онохгүй ”, 2
H - “I ба II тамирчин хоёулаа онох”
3
H -”I нь онож , II нь онохгүй ”, 4
H - “I онохгүй , II нь онох”
Таамаглал тус бүрийн магадлал:
32
.
0
4
.
0
8
.
0
)
(
12
.
0
6
.
0
2
.
0
)
( 2
1
H
P
H
P
08
.
0
4
.
0
2
.
0
)
(
48
.
0
6
.
0
8
.
0
)
( 4
3
H
P
H
P
Байг 1 онох үзэгдлийг А-аар тэмдэглэж, дээрх таамаглал тус бүрийн үе дэх А үзэгдлийн
магадлалыг олбол:
,
1
)
/
(
,
0
)
/
(
,
0
)
/
( 3
2
1
H
A
P
H
A
P
H
A
P 1
)
/
( 4
H
A
P
Харин туршилт явагдсаны дараа (байг нэг оносны дараа) ,
1
H 2
H - таамаглалууд
боломжгүй болох бөгөөд ,
3
H 4
H таамаглал тус бүрийн магадлал:
7
6
1
08
.
0
1
48
.
0
1
048
.
0
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
4
4
3
3
3
3
3
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
A
H
P
7
1
1
08
.
0
1
48
.
0
1
08
.
0
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
4
4
3
3
4
4
4
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
A
H
P
Иймд 1-р тамирчин байг онох үзэгдлийн магадлал нь
7
6
байна.
Бернуллийн схем: Туршилтын дүнд A ба A үзэгдлийн зөвхөн нэг нь явагдах бөгөөд A
үзэгдэл p магадлалтай илэрдэг гэе. Өөрөөр хэлбэл: ( ) , ( )
P A p P A q
)
1
( p
q
Дээрх туршилтыг нэгэн ижил нөхцөлд олон дахин давтан хийе. Ийм туршилтуудын
дараалалыг үл хамаарах, санамсаргүй туршилтын дараалал буюу Бернуллийн схем гэнэ.
Туршилтыг n удаа давтан хийхэд A үзэгдэл яг k удаа явагдах магадлалыг олъё.
Сонирхож буй үзэгдлээ ,
n k
A , түүний магадлалыг ( )
n
P k гэе.
i
A нь i-р ( 1, )
i n
туршилтанд A явагдах үзэгдэл болог.
Тэгвэл k
n
A , үзэгдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
1 2
1 2
, 1 ( 1)
... ... .... ... ...
k
n
n n k n
n k k k n k
C
A A A A
A A A A A A A
Эндээс
1 2 1 1 2 ( 1)
1 2 1 1 2 ( 1)
, ( ) ... ... .... ... ...
( ) ( )... ( ) ... ... ...
k
n
k
n
n k k n n k n k n
k n k k n k
k k n n k n k n
C
n k
C
p k A A A A A A A A A A
p A p A p A p A p A p A p A p A p A A p q p q
p A p
болно.
; ( 0, . )
) (1
( ) k k n k
n n k n
p k C p q
томъёог Бернуллийн томъёо гэнэ.
8. Жишээ 1. ,
A B хоёр тоглогч зоос хаяж тоглохоор болжээ. Хэрэв зоосыг хаяхад сүлдээрээ
2 удаа буувал А тоглогч хожихоор, 4 удаа хаяхад 3 удаа сүлд буувал В тоглогч хожихоор
тохирчээ. Аль тоглогчийн хожих боломж илүү вэ?
Бодолт: Зоосыг ижил нөхцөлд дахин давтан хаяж буй тул Бернуллийн схем болно.
Сүлдээрээ буух үзэгдлийг С гэвэл: .
2
1
,
2
1
)
(
)
(
q
p
C
P
C
P
А тоглогчийн хожих магадлал (1) ёсоор
8
3
2
1
2
1
3
)
2
(
2
1
2
2
3
3
q
p
C
P
В тоглогчийн хожих магадлал
4
1
2
1
2
1
4
)
3
(
3
1
3
3
4
4
q
p
C
P
)
2
(
3
P > )
3
(
4
P учир А тоглогчийн хожих магадлал давуу байна.
Туршилтыг n удаа давтан хийхэд A үзэгдэл 1
m -ээс багагүй 2
m -оос ихгүй байх
үзэгдлийн магадлал нь:
2
1
1 2
( )
m
m m n m
n n
m m
P m m m C p q
(2)
байна.
Жишээ 4.2 Үйлдвэрийн бүтээгдэхүүний хэрэглээнд тохирсон байх магадлал 0.9, хийгдсэн
4 бүтээгдэхүүнээс нэгээс багагүй 3 аас ихгүй нь хэрэглээнд тохирсон байх магадлалыг ол.
Бодолт: 1 2 3
4 ; 1; 2 ; 3
n m m m
ба хэргэлээнд тохирсон байх магадлал нь
0.9
p ба тохироогүй байх магадлал нь 1 0.9 0.1
q болно. (2) томъёог
хэрэглэвэл:
3
4 1 2 2 2 2 3 3
4 4 4 4 4
1
(1 3) 0.9 (0.1) (0.9) (0.1) (0.9) 0.1 0.3742
m m m
m
P m C p q C C C
Хамгийн их магадлалтай тоо: ( ) k k n k
n n
p k C p q
магадлал k-ийн ямар утганд хамгийн
их утгаа авах вэ?.
Хэрэв np q
бүхэл биш бол 0 np p
np q k
нөхцөл хангах 0
k тоо хамгийн их
магадлалтай тоо байна.
Хэрэв np q
бүхэл тоо бол 01 02
,
k k np p
np q
гэсэн утганд ( )
n
P k функц утгаа
авна.
9. Жишээ 3. Шоо хаях туршилтанд , шоо 3 нүдээрээ буух хамгийн их магадлалтай тоо 10
байхын тулд шоог хэдэн удаа хаявал зохих вэ.
Бодолт: А –“Шоог хаяхад 3 нүдээр буух” үзэгдэл. 0
1 5
( ) , ( ) , 10
6 6
p A p A k
1 5 1 1
10 59 65
6 6 6 6
n n n
Бодлого дасгал:
1. Спартакиадад I, II, III курсээс харгалзан 4, 6, 5 оюутан оролцов. Оюутан
сургуулийн шигшээ багт орох магадлал I курс бол 0.9, II курс бол 0,7, III курс бол 0.8
байв. Таамгаар сонгон авсан оюутнууд сургуулийн шигшээ багт орж байв. Аль курсын
оюутны хувьд энэ магадлал их вэ?
2. Бензин түгээгүүрийн хажуугаар ачааны ба хөнгөн тэрэг өнгөрдөг. Түүний
60% ачааны машин байдаг. Бензин авах магадлал нь ачааны машины хувьд
0.1, хөнгөн тэрэгний хувьд 0,2 байдаг. Бензин авахаар ирсэн машин ачааных
байх магадлалаыг ол.
3. Гурван хүн зэрэг буудахад байнд 2 сум туссан байна. I, II, III, хүний бай
онох магадлал нь 0.6, 0.5, 0.4, бол III хүн бай оносон байх магадлалыг ол.
4. Шалгалт өгөх 10 сурагчийн 3нь онц, 4 нь сайн, 2 нь дунд, 1 нь муу бэлджээ.
Шалгалтын билет 20 асуулттай ба онц бэлдсэн сурагч бүх 20 асуултанд,
сайн нь 16-д, дунд нь 10-т, муу нь 5 асуултанд л хариулж чадна. Таамгаар
авсан сурагч 3 асуултанд хариулав. Тэгвэл энэ сурагч: а) онц, б) муу,
бэлдсэн сурагч байх магадлалыг ол.
5. Хайрцагт 2 бөмбөг байв. (бөмбөг бүр хар юмуу цагаан өнгөтэй байр ёстой).
Дээр нь 1 цагаан бөмбөг нэмж хийгээд 1 бөмбөг таамгаар авахад тэр нь
цагаан байх магадлалыг ол.
6. Хайрцагт 12 улаан, 8 ногоон, 10 цэнхэр бөмбөг байв. 2 бөмбөг таамгаар
авахад тэр нь цэнхэр биш гэдэг нь мэдэгдэж байсан бол:
а) хоёула ногоо, б) улаан ба ногоон өнгөтэй байх магадлалуудыг ол.
7. Хүлээн авагччид 3 автоматаас бүтээгдэхүүн ирнэ I, II, III автоматын
гологдол бүтээгдэхүүний хувь нь 0.3%, 0.2%, 0.4% ба хүлээн авагчид
харгалзан 1000, 2000, 2500 бүтээгдэхүүн өгсөн бол хүлээн авагчид ирж буй
бүтээгдэхүүн гологдол байх магадлалыг ол.
8. Онгоц уруу 3 удаа буудна. I, II, III, буудалтуудаар онох магадлал нь 0.5, 0.6,
0.8 ба онгоцны унах магадлал I-р онолтод 0.3, II онолтод 0.6 ба III онолтод
унах магадлалыг ол.
9. Цагаан хайрцагт 12 улаан, 6 цэнхэр бөмбөг, шар хайрцагт 15 улаан, 10
цэнхэр бөмбөг байв. Хэрэв орхисон шоон дээр туссан оноо нь гуравт
хуваагдаж байвал цагаан хайрцагнаас, эсрэг тохиодолд шар хайрцагнаас
бөмбөг гаргана. Улаан бөмбөг гарах магадлалыг ол.
