AACIMP 2010 Summer School lecture by Vasyl Gorbachuk. "Applied Mathematics" stream. "Financial Mathematics" course. Part 3. More info at http://summerschool.ssa.org.ua

1. 1. Основи портфельної теорії
Сучасний портфельний теоретик, облаштований базами
даних, комп’ютерними алгоритмами та методами оцінювання,
може відстежувати кордони середнього та дисперсії (mean-
variance frontiers) для великих генеральних сукупностей
(universes) цінних паперів.
Щоб сказати, чи є середні та дисперсії достатніми критеріями
для вибору портфеля інвестором, звернімося до теорії
раціонального вибору за невизначеності. На відміну від
класичної мікроекономічної теорії фірми чи споживача [Arrow],
у портфельній теорії шукають набір правил, яких можуть
дотримуватися інвестори з певними обчислювальними
ресурсами. Отже, у портфельній теорії надають перевагу
наближеному методу, де всі кроки обчислюються на практиці, а
не точному методу, де якийсь крок не обчислюється.
Припустимо, що: ri t – передбачувана віддача (return) у час
(time) t на інвестований долар у цінний папір (ЦП) i 1,..., N ; d i t
– дисконтна (discount) ставка для ЦП i у час t ; X i – відносна
частка загальних інвестицій у ЦП i . Якщо не розглядати
короткий продаж (short sale) – продаж без покриття на термін (за
відсутності у продавця ЦП у момент продажу), то X i 0 ;
короткий продаж – це продаж зі ставкою на пониження.
Якщо Y – випадкова змінна, що приймає значення y i з
N
імовірністю pi , i 1,..., N , pi 1, то її сподіване
i 1
(expected; середнє) значення визначається
N
E E (Y ) pi y i ,
i 1
дисперсія (variance) – середнім випадкової змінної (Y E) 2

2. N N
2
V V (Y ) pi ( yi E) pi [( yi ) 2 E2 2 yi E ]
i 1 i 1
N N N
2 2
pi ( y i ) E pi 2E pi y i
i 1 i 1 i 1
2 2 2
E (Y ) [ E (Y )] 2[ E (Y )] E (Y ) [ E (Y )]2 , 2
стандартне відхилення – квадратним коренем дисперсії
(Y ) V,
коефіцієнт варіації – відношенням .
E
Коли R1 , R2 ,..., Rn – випадкові змінні, то їхня зважена сума
(sum; лінійна комбінація)
n
S i Ri
i 1
є також випадковою змінною [Uspensky], причому
n
E(S ) i E ( Ri ) .
i 1
Якщо n 2 , то
S 1 R1 2 R2 ,
Sj 1 R1 j 2 R2 j ,
E (S ) 1 E ( R1 ) 2 E ( R2 ) , (1)
2
V (S ) p1[ S1 E ( S )] p2 [S 2 E ( S )] 2
2
p1[ 1 R11 2 R21 1 E ( R1 ) 2 E ( R2 )]
2
p2 [ 1 R12 2 R22 1 E ( R1 ) 2 E ( R2 )]
p1[ 1 ( R11 E ( R1 )) 2 ( R21 E ( R2 ))] 2
p2 [ 1 ( R12 E ( R1 )) 2 ( R22 E ( R2 ))] 2

3. 2
2
( 1) p j ( R1 j E ( R1 )) 2
j 1
2
2
( 2) p j ( R2 j E ( R2 )) 2
j 1
2
2 1 2 p j ( R1 j E ( R1 ))( R2 j E ( R2 ))
j 1
( 1 ) V ( R1 ) ( 2 ) 2 V ( R2 ) 2 1 2Cov ( R1 , R2 ) .
2
(2)
Питання полягає у виборі таких значень 1, 2 , що
максимізують сподівання (1) при обмеженні (зверху) на
дисперсію (2).
За індукцією,
n n
V (S ) i j Cov ( Ri , R j )
i 1j 1
n n n
2
( i ) V ( Ri ) i j Cov ( Ri , R j ) .
i 1 i 1j i
Arrow K. Aspects of the theory of risk bearing. – Helsinki, 1965.
Markowitz H. Portfolio selection // Journal of finance. – 1952. – P.
77–91.
Markowitz H. M. Foundations of portfolio theory. Nobel Lecture,
December 7, 1990. – P. 279–287.
Uspensky J. V. Introduction to mathematical probability. – New
York: McGraw-Hill, 1937.

4. 2. Деривативи у динамічному середовищі
Спільна робота Шоулза та Блека [Black, Scholes], отримана
для публікації у 1970 р., виходила з перевірки CAPM, розробки
інвестиційних продуктів, характеристик гарантів (warrants),
спроб створення портфеля з 0 і пошуку кількості акцій
такого портфеля у кожному періоді. Слідуючи неопублікованим
працям Трейнора [Traynor], Блек використав ряд Тейлора для
зміни ціни w ( x, t ) гаранта (опціона):
1
w( x, t ) wx x wt t [ wx x ( x) 2 t wt t ( t ) 2 x] , (1)
2
де x – поточна ціна відповідних звичайних акцій, t – час до
погашення, t – зменшення часу до погашення гаранта,
2 2
w w w w
wx , wt , wx x , wt t .
x t x2 t2
Нехтуючи членом
wt t ( t ) 2 x 0 , (2)
Блек використав CAPM, щоб описати співвідношення між
сподіваною віддачею на гарант і ринок та сподіваною віддачею
на звичайну акцію і ринок. Підставляючи (1) у CAPM, стає
очевидним, як утворити портфель з 0 , тобто з очікуваним
рівнем віддачі, рівним (постійній) відсотковій ставці.
Розглянемо віддачі за дуже короткий проміжок часу t 0
для двох альтернативних інвестиційних стратегій:
1) купити w x акцій за ціною x кожна й дістати віддачу wx x ;
2) придбати гарант за ціною w ( x, t ) й дістати віддачу w ( x, t ) ,
а також придбати облігації на суму wx x w і дістати віддачу
r ( wx x w) t , де r – відсоткова ставка облігації за одиницю
часу.

5. Оскільки обидві стратегії мають однакові інвестиції і ризик,
то за відсутності арбітражу віддачі стратегій 1) і 2) мають бути
теж однакові:
wx x w ( x, t ) r ( wx x w) t .
Звідси, враховуючи співвідношення (1) і (2), випливає
диференціальне рівняння Блека–Шоулза:
1
wx x wx x wt t wx x ( x) 2 t r ( wx x w) t ,
2
1
wt t wx x ( x) 2 t r ( wx x w) t 0 ,
2
1
wt wx x ( x) 2 r ( wx x w) 0 . (3)
2
Оскільки стандартне відхилення ціни x за одиницю часу
можна наближати як
| x|
( x) ,
| x|
то
( x) 2 x 2 2 , (4)
де вважаємо таке відхилення (x) постійним протягом дуже
короткого проміжку часу.
Використовуючи наближення (4) у рівнянні (3), зводимо
рівняння Блека–Шоулза до рівняння математичної фізики
[Горбачук, Горбачук]
1
wt wx x x 2 2 r ( wx x w) 0 . (5)
2
Початкова умова для гаранта – це
w ( x, t * ) max{ x c; 0} , (6)
де t * – дата погашення (maturity) гаранта, c – ціна виконання
(exercise price) опціона колл (call option), коли його власник має
право купити гарант за ціну c з премією.

6. Оскільки задача (5), (6) пошуку w не враховує сподівану
віддачу звичайних акцій, то можна вважати цю сподівану
віддачу постійною і рівною r у наступний короткий проміжок
часу. Тому за CAPM такі акції мають 0 . Враховуючи також
припущення (x) , розподіл віддач звичайних акцій при
закінченні (expiration) гаранта має логнормальний розподіл.
Тоді для пошуку термінального значення (terminal value)
гаранта можна скористатися відомою формулою Шпренкле
[Sprenkle], але не для поточної вартості (present value) гаранта.
Коли розглядувані акції мають 0 , то, згадуючи конструкцію
альтернатив 1) і 2), гарант теж має 0 у кожний період часу, а
тому має постійну віддачу r у кожний період часу.
Якщо оцінювати гарант, виходячи з фактичної сподіваної
віддачі розглядуваних акцій, то дисконтна ставка для вартості
гаранта залежить від часу і змінюється зі змінами цін звичайних
акцій, що виключає 0 . Використовуючи формулу Шпренкле,
де сподівана віддача звичайних акцій і дисконтна ставка для
гаранта дорівнюють постійній відсотковій ставці r , отримуємо
формулу Блека–Шоулза для ціни опціона
w( x, t ) x N (d1 ) c N (d 2 ) exp[ r (t t * )] , (7)
де N (d ) – кумулятивна функція щільності нормального
розподілу, (t * t) – кількість періодів дії опціона, що
залишилися,
2
x
ln r (t * t)
c 2
d1 ,
*
t t
d 2 d1 t* t .
З рівнянь (5) і (7) оцінюємо wx N ( d1 ) .

7. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для
дифференциально-операторных уравнений. - К.: Наук. думка,
1984. – 284 с.
Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities //
Journal of political economy. – 1973. – P. 637–654.
Scholes M. A. Derivatives in a dynamic environment. Nobel Lecture,
December 9, 1997. – 28 p.
Sprenkle C. Warrant prices as indications of expectations // Yale
economic essays. – 1961. – 1. – P. 179–232.
Treynor J. L. Implications for the theory of finance. – 1961a.
Treynor J. L. Toward a theory of market value of risky assets. –
1961b.