vgbhnjkhgyftdrfgyuhiouhygtu789i0-oi98uytuio

1. MÜHAZİRƏ 3
MATRİSLƏR VƏ DETERMİNANTLAR.
«RİYAZİYYAT və STATİSTİKA»
KAFEDRASININ MÜDIRI PROF.ƏHMƏDOV NATIQ
2021

2. PLAN
1.Matris anlayışı (düzbucaqlı, kvadrat, diaqonal, üçbucaq, simmetrik, əks
simmetrik,vahid matrislər). Matrislər üzərində əməllər və onların xassələri.
Matrisin transponirə edilməsi.
2.İkitərtibli və üçtərtibli determinantlar. n tərtibli determinant anlayışı
3.Minor və cəbri tamamlayıcı.

3. 1. Matris anlayışı (düzbucaqlı, kvadrat, diaqonal, üçbucaq, simmetrik, əks
simmetrik,vahid matrislər). Matrislər üzərində əməllər və onların xassələri.
Matrisin transponirə edilməsi.
m sayda sətir və sayda sütundan ibarət ədədlərdən tərtib edilmiş
düzbucaqlı şəklində olan cədvələ ölçülü matris deyilir.
ölçülü matris
və ya
kimi işarə edilir.
Cədvəli təşkil edən ədədlərinə matrisin elementləri deyilir.
Üfiqi vəziyyətdə düzülmüş elementlər bu matrisin sayda sətrini, şaquli
vəziyyətdə düzülmüş elementlər isə onun sayda sütununu təşkil edir.
yazılışında indeksi elementin yerləşdiyi sətrin, indeksi isə bu elementin
yerləşdiyi sütunun nömrəsini göstərir.
n
n
m
n
m















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11

 
n
j
m
i
aij ,
1
;
,
1 

"
"m
"
"n ij
a
"
"i "
" j

4. Bir çox hallarda matris və ya –
kimi işarə edilir.
Xüsusi halda olarsa, onda
matrisi ölçülü kvadrat matris adlanır.
Kvadrat matrisin sol yuxarı küncündən sağ aşağı küncünə doğru yönələn
dioqanala baş dioqanal və bu dioqanal boyu yerləşən elementlərinə isə
onun baş dioqanal elementləri deyilir. Sağ yuxarı küncdən sol aşağı küncə doğru
istiqamətlənən dioqanal yan dioqanal, həmin dioqanal boyu yerləşən
elementləri isə yan dioqanal elementləri adlanır.
 
n
j
m
i
a
A ij ,
1
;
,
1 

   
n
j
m
i
a
A ij ,
1
;
,
1 


n
m 















nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
n
nn
a
a
a ,...,
, 22
11
1
1
2
1 ,...,
, n
n
n a
a
a 

5. Uyğun elementləri bərabər olan eyni ölçülü matrislər bərabər matrislər adlanır.
Matrislər üzərində təyin olunan əməliyyatları nəzərdən keçirək.
1) Matrislərin toplanması.
Ölçüləri eyni olan 𝑚𝑥𝑛 ölçülü 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏 = 𝑏𝑖𝑗 (𝑖 = 1, 𝑚; 𝑗 = 1, 𝑛)
matrislərinin cəmi elə 𝑚𝑥𝑛 ölçülü 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 (𝑖 = 1, 𝑚; 𝑗 = 1, 𝑛) matrisinə deyilir ki,
onun 𝑐𝐼𝐽 elementləri 𝐴 və 𝐵-nin uyğun elementləri cəminə bərabərdir:
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗(𝑖 = 1, 𝑚; 𝑗 = 1, 𝑛)
Matrislərin toplanması aşağıdakı xassələrə malikdir:
10. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
20. 𝐴 + 𝐵 + 𝐷 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐷)

6. 1) Matrisin ədədə hasili.
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 (𝑖 = 1, 𝑚; 𝑗 = 1, 𝑛)matrisinin 𝜆 ədədinə hasili 𝑚𝑥𝑛 ölçülü elə 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗
matrisinə deyilir ki, onun 𝑐𝑖𝑗elementləri 𝐴 –nın uyğun elementlərinin 𝜆 ədədinə hasilinə
bərabərdir: 𝑐𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗(𝑖 = 1, 𝑚; 𝑗 = 1, 𝑛)
Matrisin ədədə hasili aşağıdakı xassələrə malikdir:
10.𝜆𝐴 = 𝐴𝜆
20 .𝜆 𝐴 + 𝐵 = 𝜆𝐴 + 𝜆𝐵
30. 𝜆 + 𝜇 𝐴 = 𝜆𝐴 + 𝜇𝐴
40. 𝜆𝜇 𝐴 = 𝜆(𝜇𝐴)
50.1 ∙ 𝐴 = 𝐴

7. 3) Matrislərin hasili:
matrisi ilə matrisinin
hasili , elə ölçülü matrisinə deyilir ki, onun
elementləri
qaydası ilə müəyyən edilir.
hasili yalnız matrisinin sütunları sayı matrisinin sətirləri sayına
bərabər olduqda təyin edilir.
matrisinin –ci sətri ilə -ci sütununun kəsişməsində yerləşən
elementi matrisinin –ci sətrinin və matrisinin –ci sütununun uyğun
elementlərinin hasilləri cəminə bərabərdir.
Matrislərin hasili aşağıdakı xassələrə malikdir:
10
.
20
.
Matrislərin hasili ümumi halda yerdəyişmə xassəsinə malik deyil:
  
n
j
m
i
a
A ij ,
1
;
,
1 

   
p
j
n
i
b
B ij ,
1
;
,
1 

 B
A
C 

p
m   
p
j
m
i
c
C ij ,
1
;
,
1 

 ij
c
kj
ik
n
k
ij b
a
c 


1
B
A A B
B
A
C 
 i j ij
c
A i B j
   
BD
A
D
B
A 
  ;
BD
AD
D
B
A 

   AD
AB
D
B
A 


BA
AB 

8. Baş dioqanal elementlərindən başqa digər bütün elementləri sifra bərabər olan
kvadrat matrisinə dioqanal matris deyilir.
Xüsusi halda dioqanal matrisdə 𝑑1 = 𝑑2 = ⋯ = 𝑑𝑛 = 𝑑 olarsa, həmin matris skalyar
matris adlanır: 𝐷 =
𝑑 0 0 … 0
0 𝑑 0 … 0
… … … … … … …
0 0 0 … 𝑑
.
Skalyar matris üçün 𝐴𝐷 = 𝐷𝐴bərabərliyi doğrudur.
𝑑1 = 𝑑2 = ⋯ = 𝑑𝑛 = 1 olarsa, alınan 𝐸 =
1 0 0 … 0
0 1 0 … 0
… … … … … … …
0 0 0 … 1
matrisinə vahid matris
deyilir.

9. Bütün elementləri sıfır olan matris sıfır matris adlanır:
𝑂 =
0 0 0 … 0
0 0 0 … 0
… … … … … … …
0 0 0 … 0
Vahid və sıfır matrislər üçün
𝐴𝐸 = 𝐸𝐴 = 𝐴
𝐴𝑂 = 𝑂𝐴 = 𝑂, 𝐴 + 𝑂 = 𝑂 + 𝐴 = 𝐴
bərabərlikləri doğrudur.

10. matrisinin bütün sətirlərinin onun uyğun nömrəli
sütunları ilə əvəz edilməsindən alınan matrisinə -nın
transponirə edilmiş matrisi deyilir.
və matrisləri üçün
bərabərliyi doğrudur.
Əgər kvadrat matrisi özünün transponirə edilmiş
matrisi ilə üst-üstə düşürsə, yəni dirsə, onda simmetrik matris adlanır.
kvadrat matrisi üçün olarsa, əks simmetrik
matris adlanır. Əks simmetrik matrisin baş dioqanal elementləri sıfra bərabərdir.
Hər bir















nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
(1)
kvadrat matrisə qarşı onun determinantı adlanan bir ədəd qarşı qoyulur.
  
n
j
m
i
a
A ij ,
1
;
,
1 


  
m
j
n
i
a
A ij
T
,
1
;
,
1
~ 

 A
A B
  T
T
T
A
B
AB 

  
n
j
n
i
a
A ij ,
1
;
,
1 


ji
ij a
a  A
  
n
j
n
i
a
A ij ,
1
;
,
1 

 ji
ij a
a 
 A

11. 2. İkitərtibli və üçtərtibli determinantlar. n tərtibli determinant anlayışı
Əgər (1) kvadrat matrisinin tərtibi 𝑛 = 1 –dirsə, onda həmin matris yalnız 𝑎11
elementindən ibarətdir və birtərtibli 𝐴 = 𝑎11 matrisinə uyğun bir tərtibli deteriminant
𝑎11-ə bərabərdir.
(1)-də 𝑛 = 2 olduqda 𝑑𝑒𝑡 𝐴 =
𝑎11𝑎12
𝑎21𝑎22
= 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21 (2)
qaydası ilə təyin edilən ədədə 𝐴 =
𝑎11𝑎12
𝑎21𝑎22
matrisinin determinantı deyilir.
(1)-də n=3 olduqda 𝑑𝑒𝑡 𝐴 =
𝑎11𝑎12𝑎13
𝑎21𝑎22𝑎23
𝑎31𝑎32𝑎33
= 𝑎11𝑎22𝑎33 + 𝑎21𝑎32𝑎13 + 𝑎12𝑎23𝑎31 −
−𝑎31𝑎22𝑎13 − 𝑎32𝑎23𝑎11 − 𝑎21𝑎12𝑎33
qaydası ilə təyin edilən ədədə 𝐴 =
𝑎11𝑎12𝑎13
𝑎21𝑎22𝑎23
𝑎31𝑎23𝑎33
matrisinin determinantı deyilir.

12.  
1

n tərtibli kvadrat matrisə uyğun  
1

n tərtibli determinant anlayışı təyin
edildiyini hesab etməklə induktiv qaydada  
3

n
n tərtibli determinant anlayışını
daxil edək.
"
"n tərtibli A kvadrat matrisinin i –ci sətir və j -ci sütun elementlərinin
silinməsi nəticəsində alınan yeni  
1

n tərtibli kvadrat matrisin determinantı A
matrisinin ij
a elementinin tamamlayıcı minoru adlanır və i
j
M kimi işarə edilir.
  1
1
1
1
2
1
2
22
21
1
12
11
1
....
...
..........
..........
...
....
det j
j
n
j
j
nn
n
n
n
n
M
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A 




 , (3)
qaydası ilə təyin edilən ədədə n tərtibli (1) matrisinin determinantı deyilir.

13. 3.Minor və cəbri tamamlayıcı
Fərz edək ki, n tərtibli
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
....
...
..........
..........
...
....
2
1
2
22
21
1
12
11
determinantı
verilmişdir və k
k j
j
j
i
i
i
k ,...,
,
,
...,
,
,
, 2
1
2
1 -lar n
j
j
j
n
i
i
i
n
k k
k 









 ...
1
;
...
1
; 2
1
2
1
şərtlərini ödəyən natural ədədlərdir.
n tərtibli A matrisinin ixtiyari  
n
k
k  sayda k
i
i
i ...,
,
, 2
1 nömrəli sətirlərinin və
k
j
j
j ,...,
, 2
1 nömrəli sütunlarının kəsişməsində yerləşən elementlərdən düzəldilmiş k
tərtibli determinanta A matrisinin k tərtibli minoru deyilir və o, k
k
i
i
i
j
j
j
M ...
...
2
1
2
1
simvolu
ilə işarə edilir. n tərtibli A matrisinin  
n
k
k  sayda k
i
i
i ...,
,
, 2
1 sətir və k
j
j
j ,...,
, 2
1
sütun elementlərinin atılması nəticəsində alınan ( k
n  ) tərtibli matrisin determinantı
A matrisinin ( k
n  ) tərtibli tamamlayıcı minoru adlanır və o k
k
i
i
i
j
j
j
M ...
...
2
1
2
1
simvolu ilə işarə
edilir.
  k
k
k
k
k
k
i
i
i
j
j
j
j
j
i
i
j
j
j
i
i
i M
A ...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1






ifadəsinə
k
i
i
i
k
j
j
j
M
...
2
1
...
2
1 minorunun cəbri tamamlayıcısı deyilir.

14. Teorem 1: n tərtibli determinantı onun ixtiyari  
n
i
i ,
1
 nömrəli sətrinə görə
aşağıdakı qaydada ayırmaq olar:
  ,
1
det
1
i
j
ij
n
j
j
i
M
a
A 





 (4 )
Teorem 2: n tərtibli determinant üçün ixtiyari  
n
j
j ,
1
 nömrəli sütununa
nəzərən
  ,
1
det
1
i
j
ij
n
j
j
i
M
a
A 





 (5)
ayrılışı doğrudur.
Teorem 3: n tərtibli matrisin determinantı həmin matrisin ixtiyari  
n
i
i ,
1

nömrəli sətir elementlərinin öz cəbri tamamlayacıları ilə hasilləri cəminə bərabərdir:
,
det
1
ij
ij
n
j
A
a
A 



 (6)

15. Teorem 4: n tərtibli matrisin determinantı ixtiyari  
n
j
j ,
1
 nömrəli sütun
elementlərinin öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasilləri cəminə bərabərdir:
,
det
1
ij
ij
n
i
A
a
A 



 (7)
Əgər n


 ,....
, 2
1 ədədlərindən hər biri n
,..,
2
,
1 qiymətlərindən birinə bərabər
olarsa və onlar içərisində təkrar olunanı yoxdursa, n


 ,....
2
1 -ə n
,...,
3
,
2
,
1 natural
ədədlərindən düzəldilmiş yerdəyişmə deyilir. n


 ,....
, 2
1 yerdəyişməsindən mümkün
olan bütün j
i
 cütlərini düzəldək. Əgər j
i  olduqda j
i 
  olarsa, onda j
i

nizamsız cüt adlanır.
Teorem 5: n


 ,....
2
1 yerdəyişməsindən düzəldilmiş bütün mümkün nizamsız
cütlərin sayı  
n
N 

 ,....
, 2
1 olarsa, onda
   
n
N
n
n
n
a
a
a
A 







...
1
det 2
1
...
,....
,
2
1
1
2
1
 


 (8)
bərabərliyi doğrudur. (Burada cəmləmə n
,..,
2
,
1 ədədlərindən düzəldilmiş bütün
mümkün n


 ,....
2
1 yerdəyişmələri üzrə aparılır və onların sayı n !-a bərabərdir).
(8) düsturundan istifadə etdikdə n tərtibli determinant bilavasitə elementləri
vasitəsilə ifadə edilir.

16. Misal 1:




















3
0
6
5
1
0
,
2
1
0
3
2
1
В
A olarsa, B
A
С T
3

 matrisini tapın.











2
3
1
2
0
1
Т
А -dir.





























































7
3
17
13
3
1
9
0
18
15
3
0
2
3
1
2
0
1
3
0
6
5
1
0
3
2
3
1
2
0
1
3B
A
С T
.

17. Misal 2: 

















1
5
1
0
,
5
4
3
0
2
1
В
A olarsa, BA hasilini tapın.
B matrisi 2x2 ölcülü, A matrisi isə 2x3 ölcülüdür. C=BA işarələməsi aparaq.
5
5
1
0
5
14
4
1
2
5
8
3
1
1
5
5
5
1
0
0
4
4
1
2
0
3
3
1
1
0
23
22
13
21
23
22
22
12
21
22
21
22
11
21
21
23
12
13
11
13
22
12
12
11
12
21
12
11
11
11










































a
b
a
b
с
a
b
a
b
с
a
b
a
b
с
a
b
a
b
с
a
b
a
b
с
a
b
a
b
с
Nəticədə alırıq: 









5
14
8
5
4
3
BA
C .

18. Misal 3: 3
5
2
)
(
,
0
1
4
2 2











 x
x
x
f
A olarsa, )
(A
f tapın.





















































































































11
1
4
9
3
0
0
3
0
5
20
10
8
4
16
16
)
(
;
3
0
0
3
1
0
0
1
3
3
;
0
5
20
10
0
1
4
2
5
5
8
4
16
16
4
2
8
8
2
0
1
4
2
0
1
4
2
2
2
2
3
5
2
)
(
2
2
A
f
E
A
A
A
A
E
A
A
A
f

19. Misal 4. 








1
6
5
2
A matrisinin determinantını tapın.
28
5
6
1
2
1
6
5
2
det 






A
Misal 5.











1
3
0
2
1
5
0
2
1
A matrisinin determinantını tapın.
15
5
2
1
3
2
1
0
1
0
3
5
0
2
2
0
1
1
1
1
3
0
2
1
5
0
2
1
det 




















A

20. Misal 6.


















3
4
1
3
2
3
2
4
1
4
3
2
d
c
b
a
A
matrisinin determinantını hesablayın.
(4) –dən istifadə edərək determinantı 3-cü sətir elementlərinə nəzərən ayıraq:
d
c
b
a
d
c
b
a
M
a
M
a
M
a
M
a
M
a
A j
j
j
j
19
12
15
8
4
1
3
3
2
4
4
3
2
3
1
3
2
2
4
1
3
2
3
4
3
2
3
4
1
4
2
3
4
1
2
3
2
1
4
3
)
1
(
det
3
4
34
3
3
33
3
2
32
3
1
31
3
3
4
1
3




























 



21. Nəticə:
Matris anlayışı və onlar üzərində əməllər,matrisin xassələri öyrənildi.
Determinant, minor və cəbri tamamlayıcı anlayışları nəzərdən keçirildi.
Yoxlama sualları:
1. Matrisin tərifini deyin.
2. Determinant nədir?
3. Minorun tərifini deyin.
4. Cəbri tamamlayıcı nəyə deyilir?

22. Ədəbiyyat:
1. B.A.Ильин,Э.Г.Позняк. Линейная алгебра. Mосква ,2005
2. И.М.Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. Издат. “Наука” Mосква, 1971
3. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. Издат. “Наука”, Mосква, 1971
4. Х.Д.Икрамов. Задачник по линейной алгебре. Издат. “Наука” Mосква, 1975
5. H.D.Orucov. Xətti cəbr. Bakı-2014
6. N.Q.Əhmədov. Xətti cəbr və riyazi analiz. Bakı -2015