rtygesdrftgearfducbghjbskdfghjbjkfdbgksjabdkjhfbjkhdgfudifocuvjasbdioup4q8yu5torhnlkjhngdfkshjavhtglkyeoridqvb aoebrfsaidhbfvohbrfvpasybde isajf voiahoiehoisadhkjfhasoid jhoiash foisadhokjif hoswaehdagpfhwerpin[osio gisdj hgoiswhpoiu r qqawh4rt jheoidjh goiaerj hgpi sdfh g;oi dasoi arjrhhairdtgfgbisdabdgrhkxkjdfghvnbjndfhjkgaer; lonburbyveguidfrohfshjsrgftahiusehjiutgerdjfgffhjkggfskjrdsgtjivlndfghgfhgfghfdfghyuiyrfyiuery98wyerpoigdfijhkfgoibukwetljrpojgklsdan;dfi[pojrtertfhysfdfgter

1. 1. MÜƏYYƏN İNTEQRAL
Misal1: [-1;4] parçasında 1
)
( 
 x
x
f funksiyası üçün 
 inteqral cəmini
hesablayın.
[-1;4] parçasının uzunluğu 5-dir. [-1;4] parçasını “n” sayda bərabər hissəyə bölək.
Alınmış ]
;
[ 1 i
i x
x  )
;
1
( n
i  parçalarının uzunluğu
n
xi
5

 -dir. i
 nöqtələri olaraq
]
;
[ 1 i
i x
x  parçalarının orta nöqtələrini seçək:
2
1 i
i
i
x
x 
 
 )
;
1
( n
i 
Qeyd edək ki,
;
)
1
(
5
1
1
n
i
xi





n
i
xi
5
1



2. i
i
f 
 
1
)
(


  


 










n
i
i
i
n
i
i
n
i
n
i
i
i
i
x
x
n
n
n
x
f
1
1
1
1 1
)
2
1
(
5
)
1
(
5
)
1
(
5
)
( 





















































 



 

 


)
2
1
2
(
)
2
1
1
(
25
2
1
25
2
1
5
5
2
5
1
2
)
1
(
5
1
1
5
2
1
2
1
1 n
i
n
i
n
n
n
i
i
n
n
i
n
i
n
i
 5
,
12
5
,
12
2
25
2
2
)
1
(
25
2
)
...
3
2
1
(
25
)
2
1
(
...
)
2
1
3
(
2
2
2
2






























 

n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

3. Misal2: 

2
1
2
dx
x inteqralını müəyyən inteqralın tərifinə əsasən (inteqral cəminin
limiti kimi) hesablayın.
[-1;2] parçasını “n” sayda bərabər hissəyə ayıraq:
;
3
n
xi 
 );
;
1
( n
i  2
)
( x
x
f 
i
 nöqtələri olaraq alınmış ]
;
[
];...;
;
[
];
;
[ 1
2
1
1
0 n
n x
x
x
x
x
x  parçalarının sol uclarını
götürək. Nəticədə alırıq:
;
n
)
1
i
(
3
1
x 1
i





n
i
3
1
xi 



4. ;
n
)
1
i
(
3
1
x 1
i





n
i
3
1
xi 




 








 






n
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
n
n
x
f
1
2
1
2
1
)
1
(
3
1
3
)
(
3
)
( 










































 



 

...
81
18
1
36
12
1
9
6
1
1
3
)
1
(
9
)
1
(
6
1
3
2
2
2
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
i
n
i
n
n
i



































 



 2
2
2
2
36
9
)
1
(
6
...
18
12
6
)
1
...
1
1
(
3
)
1
(
9
)
1
(
6
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n



























 )
)
1
(
...
3
2
1
(
9
))
1
(
...
3
2
1
(
6
3
)
1
(
9
...
81 2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
2
2
9
9
6
)
1
2
(
6
)
1
(
9
2
)
1
(
6
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n



















5. 3
2
9
9
6
lim
2
9
9
6
lim
lim
2
2
2
2
2
1
2



























 n
n
n
n
n
n
dx
x
n
n
n


(burada
6
)
1
2
)(
1
(
...
3
2
1 2
2
2
2 






m
m
m
m olduğu nəzərə alındı)

6. Misal3: 
b
a
x
dx
2
inteqralını müəyyən inteqralın tərifinə əsasən (inteqral
cəminin limiti kimi) hesablayın (burada 0<a<b-dir).
[a;b]-ni “n” sayda hissəyə ayıraq:
].
;
[
];...;
;
[
];
;
[ 1
2
1
1
0 n
n x
x
x
x
x
x  ]
;
[ 1 i
i
i x
x 

 nöqtələrini i
i
i x
x 1


 qaydası ilə seçək.

7. Nəticədə alırıq:
  



  
 























n
i i
i
n
i i
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
1 1
1 1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
)
(



 
ab
a
b
b
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x n
n
n
















































1
1
1
1
1
1
...
1
1
1
1
1
1
0
1
3
2
2
1
1
0
 
ab
a
b 





0
lim

8. Misal4: dx
ax

1
0
inteqralını müəyyən inteqralın tərifinə əsasən hesablayın. (a>0-
dır).
[0;1] parçasını “n” sayda bərabər hissəyə ayıraq:
n
xi
1

 )
;
1
( n
i 
x
a
x
f 
)
(
i
 nöqtələri olaraq ]
;
[
];...;
;
[
];
;
[ 1
2
1
1
0 n
n x
x
x
x
x
x  parçalarının sol uclarını götürək:
);
1
(
1
)
1
(
1
0
1 




 i
n
i
n
xi
;
1
1
0 i
n
i
n
xi 



9. 
















 )
...
(
1
1
1
)
(
1
2
1
0
1
1
1
1
n
n
n
n
n
i
n
i
n
i
n
i
i
i a
a
a
a
n
a
n
n
a
x
f i

 









)
1
(
1
1
)
1
)
((
1
1
1
1
0
n
n
n
n
a
n
a
a
a
a
n
a
a
a
n
a
a
n
a
dx
a
n
n
n
n
x
ln
1
)
1
(
lim
1
)
1
(
1
lim
lim 1
1
0
1
0














 


  n
x
x
x n
1
,...,
,
max 2
1 





-dir və 0

 şərti 

n şərtilə
ekvivalentdir.
(burada a
t
at
t
ln
1
lim
0



limitindən istifadə edilidi.)

10. Misal5: 2
2
2
1
...
2
1
n
n
n
n
n
S




 cəminin 

n olduqda limitini müəyyən inteqralın
vasitəsilə hesablayın.
;
1
1
...
2
1
1
1
...
2
1 1
1
2
2
2 








 









n
k n
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S (1)
f(x)=x funksiyasının [0;1]-də Riman cəmini hesablayaq. [0;1] parçasını “n” sayda
bərabər hissələrə bölək.

11. i
 nöqtələri olaraq alınmış bölgü parçalarının sol uclarını, yəni
n
n
n
n
1
,...,
2
,
1
,
0

nöqtələrini götürək.















 
 n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f n
n
n
k
k
k ...
1
2
1
1
1
0
)
(
...
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1
1







 


n
n
k
S
n
k
1
1
2  






1
0
1
0
2
0 2
1
2
lim
lim
x
xdx
Sn
n


 .

12. Misal6:
n
n
n
n
S
2
1
...
1
2
1
1





 cəminin 

n olduqda limitini müəyyən
inteqralın vasitəsilə hesablayın.
;
1
1
1
1
1
...
2
1
1
1
1
1
1
1
...
1
2
1
1
1






























n
i
n
i
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
(1)

13. x
x
f


1
1
)
( funksiyasının [0;1]-də Riman cəmini hesablayaq. [0;1] parçasını “n”
sayda bərabər hissələrə bölək. i
 nöqtələri olaraq alınmış bölgü parçalarının sağ
uclarını, yəni
n
n
n
n
,...,
2
,
1
nöqtələrini götürək.




















 
 n
n
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f n
n
n
k
k
k
1
1
1
...
1
2
1
1
1
1
1
1
)
(
...
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1
1





 






 




1
0
1
0
0
n
n
n 2
ln
1
x
ln
1
x
dx
lim
S
lim
;
S
.
2
ln
lim 



n
n
S

14. Misal7: 2
2
2
2
2
2
...
2
1 n
n
n
n
n
n
n
n
S






 cəminin 

n olduqda limitini tapın.




































 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
...
2
1
1
2
...
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
























2
2
1
1
...
2
1
1
n
n
n
;
1
1
1
1
2









n
k
n
k
n
(1)

15. 2
1
1
)
(
x
x
f

 funksiyasının [0;1]-də Riman cəmini hesablayaq. [0;1] parçasını “n”
sayda bərabər hissələrə bölək. i
 nöqtələri olaraq alınmış bölgü parçalarının sağ
uclarını, yəni
n
n
n
n
,...,
2
,
1
nöqtələrini götürək.




























 

...
1
2
1
1
1
1
1
1
)
(
...
)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
1
1
1 n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f n
n
n
k
k
k 





 




























1
0
1
0
2
0
1
2
2
1
)
(
1
1
lim
lim
1
1
1
1
1
1
arctg
arctgx
dx
x
S
S
n
k
n
n
n
n
n
n
n
n
k



.
4
0


 arctg

16. SƏRBƏST HƏLL ETMƏK ÜÇÜN ÇALIŞMALAR:
1. −2; 3 parçasında 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 funksiyası üçün 𝜎𝜏inteqral cəmini hesablayın.
2. 𝑥𝑑𝑥
1
2
inteqralını müəyyən inteqralın tərifinə əsasən (inteqral cəminin limiti
kimi) hesablayın.
3. 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡
𝜋
0
inteqralını müəyyən inteqralın tərifinə əsasən (inteqral cəminin limiti
kimi) hesablayın.
4. 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥
𝜋
2
0
inteqralını müəyyən inteqralın tərifinə əsasən (inteqral cəminin limiti
kimi) hesablayın.

17. 5. −3; 5 parçasında 𝑓 𝑥 = 4𝑥 + 1 funksiyası üçün 𝜎𝜏inteqral cəmini
hesablayın.
6. −2; 4 parçasında 𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 1 funksiyası üçün 𝜎𝜏inteqral cəmini hesablayın.
7. 𝑓 𝑥 = 2𝑥
funksiyası üçün 0; 10 parçasında aşağı və yuxarı Darbu cəmlərini
hesablayın.
8.
𝑑𝑥
𝑥
0 < 𝑎 < 𝑏
𝑏
𝑎
inteqralını müəyyən inteqralın tərifinə əsasən (inteqral
cəminin limiti kimi) hesablayın.