2. PLAN
1. Müəyyən inteqralın tərifi
2. Funksiyanın inteqrallanması üçün zəruri şərt
3. Aşağı və yuxarı Darbu cəmləri,onların xassələri
4. Funksiyanın inteqrallanması üçün zəruri və kafi şərt
5. Kəsilməz funksiyanın inteqrallanması
6. Monoton funksiyanın inteqrallanması
3. 1. Müəyyən inteqralın tərifi
Tutaq ki, 𝑓(𝑥)(x)funksiyası sonlu [a;b] parçasında təyin edilmiş məhdud funksiyadır.
[a;b]–ni 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 nöqtələri vasitəsilə
𝑥0; 𝑥1 ; 𝑥1; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑛−1; 𝑥𝑛 bölgü parçalarına ayıraq. Bölgü nəticəsində alınmış
𝑥𝑘−1; 𝑥𝑘 (k=1, 𝑛) bölgü parçalarının uzunluqlarını ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑛−1; 𝑥𝑛 ilə işarə edək və 𝜆 =
max ∆𝑥1; ∆𝑥2; … ; ∆𝑥𝑛 işarələməsi aparaq.
∀ 𝜂𝑘 ∈ 𝑥𝑘−1; 𝑥𝑘 (k=1, 𝑛) nöqtələri seçməklə
𝜎 = 𝑓 𝜂1 ∆𝑥1 + 𝑓 𝜂2 ∆𝑥2 + ⋯ + 𝑓 𝜂𝑛 ∆𝑥𝑛 =
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝜂𝑘 ∆𝑥𝑘
(1)
cəmini quraq.
(1)-lə təyin edilən cəmə Riman inteqral cəmi deyilir.
4. Əgər 𝜆 → 0 olduqda bölgü nöqtələrinin və ∀ 𝜂𝑘 ∈ 𝑥𝑘−1; 𝑥𝑘 (k=1, 𝑛) nöqtələrinin
seçilməsindən asılı olmayaraq 𝜎 = 𝑘=1
𝑛
𝑓 𝜂𝑘 ∆𝑥𝑘
cəmi sonlu 𝐽 limitinə malikdirsə, onda 𝐽–yə f(x)funksiyasının [a;b]–də müəyyən inteqralı
deyilir və 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) simvolu ilə işarə edilir:
𝐽 = lim
𝜆→0
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝜂𝑘 ∆𝑥𝑘 =
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐽Əgər ixtiyari 𝜀 > 0 üçün elə 𝛿𝜀 >0 ədədi varsa ki, a;b-nin xırdalığı 𝛿𝜀 -dan kiçik olan
ixtiyari 𝜏 = 𝑥𝑘 (𝑘 = 0; 𝑘𝜏) bölgüsü və k xk-1 ; xk (k = 1; 𝑘𝜏) nöqtələri üçün (f ,
1 , ... , 𝑘𝜏
) – J olarsa, onda J-yə f (x) funksiyasının a;b-də müəyyən inteqralı deyilir.
5. 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 yazılışında f(x)inteqrallanan funksiya; f(x)dx inteqralaltı ifadə; a- müəyyən
inteqralın aşağı sərhəddi; b-müəyyən inteqralın yuxarı sərhəddi adlanır.
𝑓(𝑥) ≥ 0 olduqda 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 müəyyən inteqralı absis oxu, x=a; x=b paralel düz
xətləri və y=f(x) funksiyasının qrafiki ilə hüdüdlanmış fiqurun (əyrixətli trapesiyanın)
sahəsinə bərabərdir.
(1) inteqral cəminə daxil olan 𝑓 𝜂𝑘 ∆𝑥𝑘
toplananları oturacağı xk-1 ; xk, hündürlüyü isə
𝑓 𝜂𝑘 olan düzbucaqlıların sahələrinə, 𝜎 inteqral
cəmi isə həmin düzbucaqlıların sahələri cəminə
bərabərdir.
y
x y
0 x
y=f(x) 0 x1 x2
x0 xn
a b
B
6. 2.Funksiyanın inteqrallanması üçün zəruri şərt
Teorem 1: a;b-də inteqrallanan f (x) funksiyası, həmin parçada məhdud funksiyadır.
İsbatı: Fərz edək ki, 𝐽 = 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
= 1 qəbul edək. Müəyyən inteqralın tərifinə əsasən elə 0 ədədi var ki, a;b-nin
xırdalığı -dan kiçik olan = xk bölgüsü və k xk-1 ; xk nöqtələri üçün –J 1-
dir: – 1 –J 1 J – 1 J +1 (2)
(2)-yə əsasən məhdud çoxluqdur. Tutaq ki, f (x) funksiyası a;b-də inteqrallanandır,
lakin a;b-də məhdud funksiya deyil. Deməli, f (x) funksiyası bölgü parçalarından heç
olmasa birində məhdud deyil. Müəyyənlik üçün qəbul edək ki, f (x) funksiyası x0;x1 bölgü
parçasında məhdud funksiya deyil. Yəni ixtiyari n üçün elə 1
(n) x0;x1 (n = 1, 2, ...)
nöqtəsi var ki, f(1
(n) ) n (3)
(3)-ə əsasən lim
𝑛→∞
𝑓 1
𝑛
= ∞ (4)
k xk-1;xk (k = 2, 3, ... , k) nöqtələrini qeyd edək.
7. 𝑘=2
𝑘𝜏
𝑓(𝑘)∆𝑥𝑘 (5)
cəmi müəyyən sonlu qiymət alır.
Qeyd edək ki,
lim
𝑛→∞
𝜎𝜏(𝑓, 1
𝑛
, 2 , … , 𝑘) = lim
𝑛→∞
𝑓 1
𝑛
∆𝑥1 +
𝑘=2
𝑘𝜏
𝑓(𝑘)∆𝑥𝑘 = ∞ (6)
(6)-ya əsasən alınır ki, 𝜎𝜏(𝑓, 1
𝑛
, 2 , … , 𝑘) inteqral cəmlərinin qiymətlər çoxluğu qeyri-
məhduddur. Bu isə (2)-yə ziddir. Yəni f (x) funksiyasının a;b-də məhdud olmadığı
haqqındakı fərziyyə doğru deyil.
Funksiyanın məhdudluğu funksiyanın inteqrallanması üçün zəruri şərtdir, lakin kafi şərt deyil.
9. 3.Aşağı və yuxarı Darbu cəmləri, onların xassələri
a;b-də ixtiyari = xk (k = 0; 𝑘𝜏) bölgüsü aparaq. k = xk-1;xk bölgü parçalarında f (x)
funksiyasının dəqiq aşağı sərhədini mk , dəqiq yuxarı sərhədini isə Mk ilə işarə edək:
𝑀𝑘 = 𝑠𝑢𝑝
𝑥∈∆𝑘
𝑓(𝑥) ; 𝑚𝑘 = 𝑖𝑛𝑓
𝑥∈∆𝑘
𝑓(𝑥)
Aşağıdakı cəmləri quraq:
𝑆𝜏 =
𝑘=1
𝑘𝜏
𝑀𝑘 ∙ ∆𝑥𝑘 (7)
𝑠𝜏 =
𝑘=1
𝑘𝜏
𝑚𝑘 ∙ ∆𝑥𝑘 (8)
S – yuxarı Darbu cəmi, s – aşağı Darbu cəmi adlanır.
10. f (x) məhdud funksiya olduqda mk , Mk sonludur və Darbu cəmləri ixtiyari bölgüdə
sonlu qiymətlər alır.
İxtiyari bölgü üçün
mk f (k) Mk mk xk f (k)xk Mk xk (k = 1; 𝑘𝜏)
𝑘=1
𝑘𝜏
𝑚𝑘 ∙ ∆𝑥𝑘 ≤ 𝑘=1
𝑘𝜏
𝑓 𝑘 ∙ ∆𝑥𝑘 ≤ 𝑘=1
𝑘𝜏
𝑀𝑘 ∙ ∆𝑥𝑘
𝑠𝜏 ≤ 𝜎𝜏 ≤ 𝑆𝜏 (9)
11. Darbu cəmlərinin aşağıdakı xassələri var:
1) İxtiyari iki müxtəlif 1 və 2 bölgüləri üçün 𝑠𝜏1
≤ 𝑆𝜏2
-dir.
2) Aşağı Darbu cəmi Riman inteqral cəmlərinin aşağı sərhəddi, yuxarı Darbu cəmi Riman
inteqral cəmlərinin yuxarı sərhəddidir:
𝑠𝜏 = 𝑖𝑛𝑓
1,…,𝑘𝜏
𝜎𝜏 𝑓 ,1, … , 𝑘𝜏
(10)
𝑆𝜏 = 𝑠𝑢𝑝
1,…,𝑘𝜏
𝜎𝜏 𝑓 ,1, … , 𝑘𝜏
(11)
İsbatı:
𝑠𝜏 =
𝑘=1
𝑘𝜏
𝑚𝑘∆𝑥𝑘 =
𝑘=1
𝑘𝜏
inf
𝑘∈∆𝑘
𝑓 𝑘 ∆𝑥𝑘 = inf
𝑘∈∆𝑘
𝑘=1
𝑘𝜏
𝑓 𝑘 ∆𝑥𝑘 = inf
𝑘∈∆𝑘
𝜎𝜏 𝑓 ,1, … , 𝑘𝜏
𝑠𝜏 =
𝑘=1
𝑘𝜏
𝑀𝑘∆𝑥𝑘 =
𝑘=1
𝑘𝜏
sup
𝑘∈∆𝑘
𝑓 𝑘 ∆𝑥𝑘 = sup
𝑘∈∆𝑘 𝑘=1
𝑘𝜏
𝑓 𝑘 ∆𝑥𝑘 = sup
𝑘∈∆𝑘
𝜎𝜏 𝑓 ,1, … , 𝑘𝜏
12. 3) Yeni bölgü nöqtələri əlavə etdikdə aşağı Darbu cəmləri azalmır, yuxarı Darbu cəmləri isə
artmır.
𝜔𝑘 𝑓 = 𝑠𝑢𝑝
𝑥;𝑥∈∆𝑘
( 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 )-ə
f (x) funksiyasının xk-1;xk parçasında bölgüsünə uyğun rəqsi deyilir.
Aydındır ki,
𝑆𝜏 − 𝑠𝜏 =
𝑘=1
𝑘𝜏
𝑀𝑘 ∆𝑥𝑘 −
𝑘=1
𝑘𝜏
𝑚𝑘 ∆𝑥𝑘 =
𝑘=1
𝑘𝜏
𝑀𝑘 − 𝑚𝑘 ∆𝑥𝑘 =
=
𝑘=1
𝑘𝜏
𝑠𝑢𝑝
𝑥∈∆𝑘
𝑓(𝑥) − 𝑖𝑛𝑓
𝑥∈∆𝑘
𝑓(𝑥) ∆𝑥𝑘 =
𝑘=1
𝑘𝜏
𝑠𝑢𝑝
𝑥;𝑥∈∆𝑘
( 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 ) ∆𝑥𝑘 =
=
𝑘=1
𝑘𝜏
𝜔𝑘 𝑓 ∆𝑥𝑘 𝑆𝜏 − 𝑠𝜏 =
𝑘=1
𝑘𝜏
𝜔𝑘 𝑓 ∆𝑥𝑘 (12)
13. f (x) funksiyası a;b-də məhdud olduqda 𝐽∗ = 𝑠𝑢𝑝
𝜏
𝑠𝜏 ədədinə f (x) funksiyasının aşağı
inteqralı, 𝐽∗ = 𝑖𝑛𝑓
𝜏
𝑆𝜏 ədədinə isə f (x) funksiyasının yuxarı inteqralı deyilir.
Qeyd edək ki, 𝐽∗ ≤ 𝐽∗ bərabərsizliyi doğrudur.
14. 4.Funksiyanın inteqrallanması üçün zəruri və kafi şərt
Teorem 2: 𝑎; 𝑏 -də məhdud olan f(x) funksiyasının inteqrallanan olması üçün zəruri və kafi
şərt
𝑙𝑖𝑚
𝜆→0
(𝑆𝜏 − 𝑠𝜏) = 0 (13)
bərabərliyinin ödənməsidir.
İsbatı:
a) Zərurilik: Fərz edək ki, 𝑎; 𝑏 -də məhdud f(x) funksiyası həmin parçada inteqrallanandır və
𝐽 = 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥-dir.
18. (12), (13)-ə əsasən alırıq ki, a;b-də məhdud olan f (x) funksiyasının inteqrallanan olması
üçün zəruri və kafi şərt
𝑙𝑖𝑚
→0
𝑘=1
𝑘𝜏
𝜔𝑘 𝑓 ∆𝑥𝑘 = 0 (23)
bərabərliyinin ödənməsidir.
Əgər f (x) funksiyası a;b-də inteqrallanandırsa, onda
𝑙𝑖𝑚
→0
𝑠𝜏 = 𝑙𝑖𝑚
→0
𝑆𝜏 =
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 .
19. 5.Kəsilməz funksiyanın inteqrallanması
Teorem 3: a;b-də kəsilməz f (x) funksiyası həmin parçada inteqrallanandır.
İsbatı: a;b-də kəsilməz f (x) funksiyası a;b-də məhdud və müntəzəm kəsilməz funksiyadır.
0 ədədi üçün elə 0 ədədi var ki, x – x şərtini ödəyən ixtiyari x a;b , x
a;b üçün f (x ) – f (x ) -dur.
a;b-də xırdalığı -dan kiçik olan ixtiyari = xk (k = 0; 𝑘𝜏) bölgüsü aparaq.
x xk-1;xk , x xk-1;xk nöqtələri üçün x – x xk – xk-1 = xk olduğuna əsasən
f (x ) – f (x ) -dur.
Yəni 𝜔𝑘 𝑓 ≤ 𝜀 (24)
(24)-ə əsasən 0 k (f ) xk xk
0 ≤ 𝑘=1
𝑘𝜏
𝜔𝑘 𝑓 ∆𝑥𝑘 ≤ 𝜀 𝑘=1
𝑘𝜏
∆𝑥𝑘 = 𝜀 𝑏 − 𝑎 𝑙𝑖𝑚
→0
𝑘=1
𝑘𝜏
𝜔𝑘 𝑓 ∆𝑥𝑘 = 0.
(23)-ə əsasən f (x) funksiyası a;b-də inteqrallanandır.
20. 6.Monoton funksiyanın inteqrallanması
Teorem 4: a;b-də monoton f (x) funksiyası həmin parçada inteqrallanandır.
İsbatı: Müəyyənlik üçün fərz edək ki, f (x) funksiyası a;b-də artan funksiyadır.
xa;b üçün alırıq:
f (a) f (x) f (b) (25)
(25)-ə əsasən f (x) funksiyası a;b-də məhduddur. = xk (k = 0; 𝑘𝜏) bölgüsü üçün
𝑚𝑘 = 𝑖𝑛𝑓
𝑥∈∆𝑘
𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑥𝑘−1 ,
𝑀𝑘 = 𝑠𝑢𝑝
𝑥∈∆𝑘
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑘
xk – xk-1 = xk ; x0 = a ; 𝑥𝑘𝜏
= 𝑏-dir.
22. Nəticə:
Riman mənada inteqralın tərifi verildi. Darbu cəmi anlayışı daxil edildi və onun
xassələri öyrənildi.Funksiyanın inteqrallanması üçün zəruri və kafi şərt isbat edidi.
23. Yoxlama sualları:
1.Müəyyən inteqralın tərifini deyin.
2.Darbu cəminin xassələrini sadalayın.
3. Funksiyanın inteqrallanması üçün zəruri və kafi şərti deyin.
24. Ədəbiyyat:
1. Кудрявцев Л.Д.Краткий курс математического анализа Т. I, II, Москва,2003
2.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Москва,
2004
3. Шипачев В.С Курс высшей математики. Москва .2005
4. Кремер Н.Ш Высшая математика для экономистов, Москва. ЮНИТИ 2010
5. Малугин В.А. Математическийанализ.Москва,2010
6. Д.Письменный Конспект лекций по высшей математике 1-ая и 2-ая часть Москва.2018
7. Əhmədov N.Q. Xətti cəbr və riyazi analiz. Bakı, 2015
8. Alməmmədov M.S., Qarayev M.İ., Quluzadə T.H. İqtisadcılar ücün ali riyaziyyat kursundan
mühazirələr, Bakı-2015
9. Alməmmədov M.S., Qarayev M.İ., T.H.Quluzadə Xətti cəbr, analitik həndəsə və riyazi analiz
kursundan məsələlər və misallar. Bakı -2
