asdfgvbnhgrerfgv

1. MÜHAZİRƏ 2
MÜƏYYƏN İNTEQRALIN XASSƏLƏRİ.
MÜƏYYƏN İNTEQRALIN
HESABLANMASI
«RİYAZİYYAT və STATİSTİKA»
kafedrasının müdiri prof. Əhmədov Natiq Q.
2021

2. PLAN
1. Müəyyən inteqralın bərabərliklə ifadə edilən xassələri
2. Müəyyən inteqralın bərabərsizliklə ifadə edilən xassələri
3. Orta qiymət haqqında teorem
4. Sərhədi dəyışən olan inteqral
5. Nyuton-Leybnis düsturu
6. Müəyyən inteqralda dəyişəni əvəzetmə düsturu
7. Müəyyən inteqralda hissə-hissə inteqrallama düsturu

3. 1. Müəyyən inteqralın bərabərliklə ifadə edilən xassələri
Müəyyən inteqralın aşağıdakı xassələri var:
10) 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
20) 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
30) 𝑎
𝑏
1𝑑𝑥 = 𝑏 − 𝑎
40) Əgər 𝑓(𝑥) funksiyası [𝑎; 𝑏]–də inteqrallanandırsa, onda həmin funksiya ∀ 𝑎1; 𝑏1 ⊂
𝑎; 𝑏 parçasında da inteqrallanan funksiyadır.
50) ∀𝛼 ədədi üçün 𝑎
𝑏
𝛼𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝛼 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 bərabərliyi doğrudur.

4. 60) Əgər 𝑓(𝑥) funksiyası [𝑎; 𝑏]–də inteqrallanandırsa, onda 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 şərtini ödəyən
∀ "𝑐" ədədi üçün
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑐
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
bərabərliyi doğrudur.
70) Əgər 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) funksiyaları [𝑎; 𝑏]–də inteqrallanandırsa, onda ixtiyari 𝜆 və 𝜇
həqiqi ədədləri üçün 𝜆 ∙ 𝑓 𝑥 + 𝜇 ∙ 𝑔(𝑥) funksiyası [𝑎; 𝑏]–də inteqrallanan funksiyadır və
𝑎
𝑏
(𝜆 ∙ 𝑓 𝑥 + 𝜇 ∙ 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = 𝜆
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝜇
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
bərabərliyi doğrudur.
80) Əgər 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) funksiyaları [𝑎; 𝑏]–də inteqrallanan funksiyalardırsa, onların 𝑓(𝑥) ∙
𝑔(𝑥) hasili də həmin parçada inteqrallanan funksiyadır.

5. 2. Müəyyən inteqralın bərabərsizliklə ifadə edilən xassələri
10) Əgər [𝑎; 𝑏]–də 𝑓(𝑥) ≥ 0 olarsa, onda 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0 –dır.
20) [a;b]–də inteqrallanan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) funksiyaları üçün 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ; (𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 ) şərti
ödənilərsə,
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
bərabərsizliyi doğrudur.
30) Əgər 𝑓(𝑥) funksiyası [𝑎; 𝑏]–də inteqrallanan funksiyadırsa, |𝑓(𝑥)|funksiyası da həmin
parçada inteqrallanan funksiyadır və
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
bərabərsizliyi doğrudur.

6. 3. Orta qiymət haqqında teorem
Teorem 1: (ümumiləşmiş orta qiymət haqqında teorem) Əgər: 1) f (x) , g (x) funksiyaları
a;b-də inteqrallanandırsa;2) xa;b üçün m  f (x)  M -dirsə; 3) g(x) funksiyası a;b-
də işarəsini dəyişmirsə, onda elə   m;M ədədi var ki,
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜇
𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 (1)
bərabərliyi doğrudur.

7. İsbatı:
g(x)  0 olduqda xa;b üçün alırıq:
m  f (x)  M  m g(x)  f (x) g(x)  M g(x) 
 𝑚
𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ≤
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀
𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 (2)
g(x)  0 olduqda xa;b üçün alırıq:
m  f (x)  M  m g(x)  f (x) g(x)  M g(x) 

𝑎
𝑏
𝑚𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
𝑎
𝑏
𝑀𝑔(𝑥)𝑑𝑥
 𝑚
𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥  𝑀
𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 (3)

8. 𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 0 (4)
olduqda (18) və (19)-a əsasən yaza bilərik: 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 0 (5)
Yəni (20) şərti ödənildikdə (17) bərabərliyi ixtiyari  üçün doğrudur.
𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ≠ 0
şərti ödəndikdə, 1) g(x)  0 olduqda
𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 > 0
və 2) g(x)  0 olduqda isə 𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 < 0

9. (18) və (19)-un hər iki tərəfini 𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥-ə bölək: 𝑚 ≤ 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥
≤ 𝑀 (6)
 ədədini  = 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥
(7)
qaydası ilə seçək. (23)-ə əsasən
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 .
(22)-yə əsasən m    M -dir.

10. Teorem 2: Əgər 𝑓(𝑥)funksiyası [𝑎; 𝑏]–də kəsilməz funksiyadırsa, onda ∃ 𝜂 ∈
[𝑎; 𝑏]nöqtəsi var ki,
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝜂 ∙ 𝑏 − 𝑎 (8)
bərabərliyi doğrudur.

11. 4. Sərhədi dəyışən olan inteqral
Φ 𝑥 =
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡; 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 (9)
funksiyasına yuxarı sərhəddi dəyişən inteqral deyilir.
Teorem 3: Əgər 𝑓(𝑥) funksiyası [𝑎; 𝑏]–də kəsilməz funksiyadırsa, onda (25)-lə
təyin edilən Ф(х) funksiyası [𝑎; 𝑏]–də kəsilməz funksiyadır.

12. İsbatı: x; x + ∆x ⊂ a; b parçasına baxaq. (25)-ə əsasən alırıq:
Φ x + ∆x − Φ 𝑥 =
𝑎
𝑥+∆𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 −
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
=
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 +
𝑥
𝑥+∆𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 −
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑥
𝑥+∆𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ⇒
⇒ Φ x + ∆x − Φ 𝑥 =
𝑥
𝑥+∆𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 (10)
(10)-nun sağ tərəfində yerləşən 𝑥
𝑥+∆𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 inteqralına (2) düsturunu tətbiq edək:
𝑥
𝑥+∆𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝜂 ∙ ∆𝑥; 11

13. (11)-i (10)-da yazaq:
Φ x + ∆x − Φ 𝑥 = 𝑓 𝜂 ∙ ∆𝑥 (12)
∆Φ = Φ x + ∆x − Φ 𝑥 olduğuna əsasən (12)-dən alırıq:
∆Φ = 𝑓 𝜂 ∙ ∆𝑥 (13)
𝑓(𝑥) funksiyası [𝑎; 𝑏]–də kəsilməz olduğundan [𝑎; 𝑏]–də məhduddur. (13)-də ∆𝑥 → 0
şərti ilə limitə keçək:
lim
∆𝑥→0
∆Φ = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝜂 ∙ ∆𝑥 = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝜂 ∙ lim
∆𝑥→0
∆𝑥 = 0
Arqumentin kiçik artımına funksiyanın kiçik artımı uyğun olduğundan alırıq ki,
Ф(х)funksiyası [𝑎; 𝑏]–də kəsilməz funksiyadır.

14. Teorem 4: Əgər 𝑓(𝑥) funksiyası [𝑎; 𝑏]–də kəsilməz funksiyadırsa, onda Φ 𝑥 =
𝑎
𝑥
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 –yuxarı sərhəddi dəyişən inteqralın ”𝑥” –ə nəzərən törəməsi
inteqralaltı funksiyanın ”𝑥” nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdir:
𝑎
𝑥
𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
/
= 𝑓 𝑥 (14)

15. İsbatı:
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
′
= 𝛷′ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→0
𝛷 𝑥 + 𝛥𝑥 − 𝛷 𝑥
𝛥𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→0
𝑥
𝑥+𝛥𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝛥𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→0
𝑓 𝜂 ⋅ 𝛥𝑥
𝛥𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→0
𝑓 𝜂 = 𝑓 𝑥 ⇒
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
′
= 𝑓 𝑥
𝑄 𝑥 = 𝑥
𝑏
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 inteqralına aşağı sərhəddi dəyişən inteqral deyilir (burada 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 -
dır).
Eyni qayda ilə göstərmək olar ki,
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
′
= −𝑓 𝑥 (15)

16. Əgər 𝑓(𝑥) funksiyası [𝑎; 𝑏]–də kəsilməz funksiyadırsa, onda ∀ 𝑥0 ∈ 𝑎; 𝑏 üçün
𝐹 𝑥 = 𝑥0
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 (16)
funksiyası 𝑓(𝑥) funksiyasının [𝑎; 𝑏]–də təyin edilən ibtidai funksiyalarından biridir.
𝑓(𝑥) funksiyasının ixtiyari iki müxtəlif ibtidai funksiyası bir-birindən yalnız sabitlə
fərqləndiyindən yaza bilərik:
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥0
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 (17)
(burada C-ixtiyari sabitdir )

17. 5. Nyuton-Leybnis düsturu
Teorem 5: Əgər 𝑓(𝑥) funksiyası [𝑎; 𝑏]–də kəsilməz funksiyadırsa və 𝐹(𝑥)
funksiyası onun ixtiyari ibtidai funksiyasıdırsa, onda
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = |
𝐹 𝑥 𝑎
𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 (18)
bərabərliyi doğrudur.

18. İsbatı: 𝑓(𝑥) funksiyasının Φ(𝑥) = 𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ibtidai funksiyası 𝑓(𝑥)–in digər 𝐹(𝑥) ibtidai
funksiyasından (17)-yə əsasən yalnız sabitlə fərqlənir:
𝑎
𝑥
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 (19)
(19)-da 𝑥 = 𝑎 yazaq: 𝑎
𝑎
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹 𝑎 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝐶 = −𝐹(𝑎) (20)
(20)-nı (19)-da nəzərə alaq:
𝑎
𝑥
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹 𝑥 − 𝐹 𝑎 (21)
(21)-də 𝑥 = 𝑏 yazaq:
𝑎
𝑏
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎
(18)-ə Nyuton-Leybnis düsturu deyilir.

19. 6. Müəyyən inteqralda dəyişəni əvəzetmə düsturu
Teorem 6: Əgər 𝑓(𝑥) funksiyası ∆𝑥 parçasında, 𝑥 = 𝜑(𝑡) funksiyası ∆𝑡
parçasında təyin edilmiş kəsilməz funksiyalardırsa və 𝜑(∆𝑡) ⊂ ∆𝑥 -dirsə, onda
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝛼
𝛽
𝑓(𝜑 𝑡 ) ∙ 𝜑/(𝑡)𝑑𝑡 (22)
düsturu doğrudur (burada 𝛼 ∈ ∆𝑖, 𝛽 ∈ ∆𝑖; 𝜑 𝛼 = 𝑎; 𝜑 𝛽 = 𝑏-dır).

20. İsbatı: 𝑓(𝑥)-in [𝑎; 𝑏]–də ixtiyari ibtidai funksiyasını 𝐹(𝑥) −lə işarə edək:
𝐹/ 𝑥 = 𝑓 𝑥 ; 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]
𝐹(𝜑 𝑡 ) funksiyası 𝑓(𝜑 𝑡 ) ∙ 𝜑/(𝑡) funksiyasının ∆𝑖-də ibtidai funksiyasıdır:
𝑑
𝑑𝑡
𝐹(𝜑 𝑡 ) = 𝐹/ 𝜑 𝑡 ∙ 𝜑/ 𝑡 = 𝑓 𝜑 𝑡 ∙ 𝜑/ 𝑡 (23)
(34)-ə əsasən (39)-dan alırıq:
𝛼
𝛽
𝑓 𝜑 𝑡 ∙ 𝜑/ 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹 𝜑 𝑡
𝛼
𝛽
= 𝑓 𝜑 𝛽 − 𝑓 𝜑 𝛼 =
= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 =
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
(38) düsturu müəyyən inteqralda dəyişəni əvəzetmə düsturu adlanır.

21. 7.Müəyyən inteqralda hissə-hissə inteqrallama düsturu.
Teorem 7: Əgər 𝑎; 𝑏 – də kəsilməz 𝑢(𝑥); 𝑣(𝑥) funksiyaları [𝑎; 𝑏]–də kəsilməz
törəmələrə malikdirlərsə,onda
𝑎
𝑏
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)
𝑎
𝑏
− 𝑎
𝑏
𝑣𝑑𝑢 (24)
bərabərliyi doğrudur.

22. İsbatı:
𝑢 ∙ 𝑣 / = 𝑢/(𝑥) ∙ 𝑣 𝑥 + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣/(𝑥) ⇒
⇒ 𝑢 𝑥 ∙ 𝑣/ 𝑥 = (𝑢 ∙ 𝑣)/ − 𝑢/(𝑥) ∙ 𝑣 𝑥 ⇒
⇒
𝑎
𝑏
𝑢 𝑥 ∙ 𝑣/ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
(𝑢 ∙ 𝑣)/𝑑𝑥 −
𝑎
𝑏
𝑣(𝑥)𝑢/(𝑥)𝑑𝑥 ⇒
⇒
𝑎
𝑏
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)
𝑎
𝑏
−
𝑎
𝑏
𝑣𝑑𝑢
(24)-a müəyyən inteqralda hissə-hissə inteqrallama düsturu deyilir

23. Nəticə:
Biz müəyyən inteqralın xassələri ilə tanış olduq.Yuxarı sərhədi dəyişən müəyyən
inteqralın tərifini verdik, Nyuton-Leybnis dusturu, müəyyən inteqralda dəyişəni
əvəzetmə və hissə-hissə inteqrallama üsullarını nəzərdən keçirdik.

24. Yoxlama sualları:
1)Darbu cəmi nədir?
2)Funksiyanın inteqrallanan ölması üçün zəruri və kafi şərti deyin.
3) Müəyyən inteqralın xassələrini qeyd edin.
4)Nyuton-Leybnis düsturunu yazın.
5) Müəyyən inteqralda dəyişəni əvəzetmə düsturunu yazın.

25. Ədəbiyyat:
1. Кудрявцев Л.Д.Краткий курс математического анализа Т. I, II, Москва,2003
2.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Москва,
2004
3. Шипачев В.С Курс высшей математики. Москва .2005
4. Кремер Н.Ш Высшая математика для экономистов, Москва. ЮНИТИ 2010
5. Малугин В.А. Математическийанализ.Москва,2010
6. Д.Письменный Конспект лекций по высшей математике 1-ая и 2-ая часть Москва.2018
7. Əhmədov N.Q. Xətti cəbr və riyazi analiz. Bakı, 2015
8. Alməmmədov M.S., Qarayev M.İ., Quluzadə T.H. İqtisadcılar ücün ali riyaziyyat kursundan
mühazirələr, Bakı-2015
9. Alməmmədov M.S., Qarayev M.İ., T.H.Quluzadə Xətti cəbr, analitik həndəsə və riyazi analiz
kursundan məsələlər və misallar. Bakı -2