1. SOPRONI EGYETEM
FAIPARI MÉRNÖKI KAR
Dr. Szalai József
egyetemi tanár
M SZAKI MECHANIKA II.
SZILÁRD TESTEK SZTATIKÁJA
(Rugalmasság- és szilárdságtan)
Jegyzet
faipari-, papíripari-, erd - és környezetmérnök hallgatók számára
3. javított és átdolgozott kiadás
Letölthet az MMTI honlapjáról: http://mechanika.fmk.nyme.hu
Kézirat
Sopron, 2006

2. 2
Bírálók:
Dr. Roller Béla Dr. Thamm Frigyes
a m szaki tudomány doktora a m szaki tudomány kandidátusa
egyetemi tanár ny. egyetemi adjunktus
Ezúton mondok köszönetet Bátki Károlynak a M szaki Mechanika Tanszék adjunktu-
sának, aki áldozatos munkával vállalta a jegyzet "utolsó" kinyomtatott változatának tartalmi,
stilisztikai, gépelési hibáinak felkutatását és javítását, valamint Busa Donátnak a tanszék de-
monstrátorának a jegyzet képleteinek újraszerkesztéséért. A jegyzet végs formattálását Kará-
csonyi Zsolt nappali doktorandusz végezete 2006 nyarán.

3. 3
Tartalomjegyzék
SZILÁRD TESTEK SZTATIKÁJA
1. Rugalmasságtani és szilárdságtani alapfogalmak 8
1.1. A rugalmasságtan és a szilárdságtan tárgya és feladata 8
1.2. A feszültség fogalma 9
1.3. Alakváltozás jellemz k 12
1.4. A szilárd anyag viselkedése egyszer igénybevételek és különböz
igénybevételi módok hatására 14
1.4.1. Terhelési módok 14
1.4.2. A szilárd testek valóságos mechanikai viselkedése 16
1.5. Idealizált anyagtörvények 29
2. Rugalmasságtani alapösszefüggések 33
2.1. A szilárd test alakváltozása 33
2.1.1. Eltolódás 33
2.1.2. Deformációs állapot 34
2.1.3. F alakváltozások 38
2.1.4. A deformációs állapot grafikus ábrázolása 42
2.1.5. A teljes alakváltozási folyamat felbontása és értelmezése 49
2.1.6. Geometriai (kinetikai) egyenletek 55
2.1.7. Összeférhet ségi (kompatibilitási) egyenletek 55
2.2. Sztatikai összefüggések 57
2.2.1. Feszültségi állapot 57
2.2.2. F feszültségek 61
2.2.3. A feszültségi állapot grafikus ábrázolása 62
2.2.4. Sztatikai egyensúlyi egyenletek 64
2.3. A munka és a potenciális energia 66
2.3.1. Az elemi munka 67
2.3.1.1. A küls elemi munka 67
2.3.1.2. A bels elemi munka 68
2.3.2. A teljes (véges) munka 70
2.3.3. A kiegészít (konjugált) munka 70
2.3.4. Idegen és saját munka 71
2.3.5. A potenciális (helyzeti) energia 72
2.3.5.1. A küls er k potenciális energiája 74
2.3.5.2. A bels er k potenciális energiája 75
2.3.6. A kiegészít (konjugált) potenciális energia 76

4. 4
2.4. Anyagtörvények 77
2.4.1. Az anizotrop anyag általános Hooke-törvénye 77
2.4.2. A faanyag általános Hooke-törvénye 81
2.4.3. Az izotrop anyag általános Hooke-törvénye 83
2.4.4. Klimatikus hatások következtében fellép alakváltozási és feszültségi állapot 85
2.5. A rugalmasságtani feladatok megoldási módszerei 87
2.5.1. Alapegyenletek és kerületi feltételek 87
2.5.2. A Navier-féle egyenletek 89
2.5.3. A Beltrami-féle egyenletek 91
2.5.4. Eltolódás- és feszültségfüggvények 91
2.5.5. Közelít eljárások, kísérleti módszerek 92
2.5.6. Síkbeli rugalmasságtani feladatok 92
2.6. Munka- és energia tételek 95
2.6.1. A virtuális elmozdulás, virtuális munka, virtuális kiegészít munka 96
2.6.2. A virtuális munka elve 97
2.6.2.1. A virtuális elmozdulások tétele 97
2.6.2.2. A virtuális er k tétele 98
2.6.3. A potenciális energia állandó-érték ségének tétele 98
2.6.3.1. Az egyensúlyi állapotok osztályozása 100
2.6.4. A kiegészít potenciális energia minimum tétele 101
2.6.5. A saját munka tétele 102
2.6.6. A munkával és energiával kapcsolatos egyéb tételek 102
3. Tönkremeneteli elméletek 104
3.1. Az izotrop anyagok tönkremeneteli elméletei 105
3.1.1. A Coulomb-féle tönkremeneteli elmélet 106
3.1.2. A Mohr-féle tönkremeneteli elmélet 110
3.1.3. A bels alaktorzulási energia elmélete 112
3.1.4. A tönkremeneteli elméletek elemzése 114
3.2. A természetes faanyag tönkremeneteli kritériuma 115
4. Er tani méretezés 117
4.1. Az er tani méretezés fejl dése 119
4.1.1. Egységes (osztatlan) biztonsági tényez s méretezési eljárás 120
4.1.2. Osztott biztonsági tényez s méretezési eljárás 122
4.1.3. Valószín ségelméleti alapon történ méretezési eljárás 123
4.2. A Magyarországon hatályos méretezési eljárások 124
4.2.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési eljárások 125
4.2.2. Fél-valószín ségi módszerrel kiegészített határállapot alapján történ
méretezési eljárás 127

5. 5
4.2.2.1. Er tani számítás 127
4.2.2.2. A szerkezet határállapotai 128
4.2.2.3. A határállapot jellemz i 129
4.2.2.4. Terhek és hatások 129
4.2.2.5. Az állapotjellemz k mértékadó értékei 131
5. Rudak rugalmasság- és szilárdságtana 132
5.1. A keresztmetszetek jellemz i 133
5.1.1. Síkidomok másodrend nyomatéka 134
5.1.2. A másodrend nyomatékok tételei 134
5.1.3. Egyéb keresztmetszeti jellemz k 140
5.2. Húzó és nyomó igénybevétel 141
5.2.1. Prizmatikus rúd tiszta húzása és nyomása 141
5.2.2. Változó keresztmetszet rudak húzása és nyomása 147
5.2.3. Nyomott felületek érintkezési feszültségei 148
5.2.4. Húzott és nyomott rudak önsúlyának figyelembevétele 149
5.2.4.1. Önsúlyával terhelt húzott rúd 150
5.2.4.2. Egyenletes szilárdságú húzott és nyomott rúd 151
5.2.5. Összetett keresztmetszet rudak 153
5.2.6. Er tani méretezés 166
5.2.6.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer 156
5.2.6.2. "Fél" valószín séggel kiegészített határállapot módszer 157
5.3. Nyíró igénybevétel 158
5.3.1. Prizmatikus rúd tiszta nyírása 158
5.3.2. Közelít leg tiszta nyírásnak kitett szerkezeti elemek vizsgálata 161
5.3.3. Összetett keresztmetszet nyírása 164
5.3.4. Er tani méretezés 166
5.3.4.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer 166
5.3.4.2. "Fél" valószín séggel kiegészített határállapot módszer 168
5.4. Hajlító igénybevétel 169
5.4.1. Prizmatikus rúd tiszta hajlítása 169
5.4.2. Változó keresztmetszet rudak tiszta hajlítása 178
5.4.3. Egyenletes szilárdságú hajlított rudak 178
5.4.4. Összetett keresztmetszt rudak hajlítása 180
5.4.4.1. A rétegz dés mer leges a hajlítónyomaték vektorára 181
5.4.4.2. A rétegz dés párhuzamos a hajlítónyomaték vektorával 182
5.4.4.3. Eltér húzó- és nyomórugalmassági modulusszal rendelkez anyagú
rudak tiszta hajlítása 185
5.4.5. Er tani méretezés 186

6. 6
5.4.5.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer 186
5.4.5.2. "Fél" valószín séggel kiegészített határállapot módszer 187
5.5. Csavaró igénybevétel 187
5.5.1. Kör (és körgy r ) keresztmetszet rudak tiszta csavarása 187
5.5.2. Vékony falú, zárt szelvény prizmatikus rudak tiszta csavarása 192
5.5.3. Téglalap keresztmetszet prizmatikus rudak tiszta csavarása 193
5.5.4. Vékony falú, nyitott szelvény prizmatikus rudak tiszta csavarása 195
5.5.5. Er tani méretezés 196
5.5.5.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer 196
5.5.5.2. "Fél" valószín séggel kiegészített határállapot módszer 197
5.6. Hajlítás és nyírás 198
5.6.1. A hajlítónyomaték vektora mer leges a keresztmetszet
szimmetriasíkjára 198
5.6.2. A hajlító igénybevétel nyomatékának vektora párhuzamos a keresztmetszet
szimmetriatengelyével 204
5.6.3. Közönséges hajlításnak kitett prizmatikus rúd alakváltozása 208
5.6.3.1. Egyenes hajlításnak kitett rúd alakváltozása 209
5.6.3.2. Ferde hajlításnak kitett rúd alakváltozása 209
5.6.3.3. A közönséges hajlításnak kitett rúd nyírásból származó alakváltozása 213
5.6.4. Összetett keresztmetszet közönséges hajlítása 215
5.6.4.1. A rétegek síkja mer leges a hajlítónyomaték vektorára 216
5.6.4.2. A rétegek síkja párhuzamos a hajlítónyomaték vektorával 216
5.6.5. Er tani méretezés 218
5.6.5.1. Megengedett méretezésen alapuló méretezési módszer 218
5.6.5.2. "Fél" valószín séggel kiegészített határállapot módszer 219
5.7. Hajlítás és normál igénybevétel 220
5.7.1. Er tani méretezés 224
5.7.1.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer 224
5.7.1.2. "Fél" valószín séggel kiegészített határállapot módszer 225
5.8. Általános összetett igénybevétel 225
5.8.1. Er tani méretezés 226
5.8.1.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer 226
5.8.1.2. "Fél" valószín séggel kiegészített határállapot módszer 226
5.9. Görbe tengely rudak 226
5.9.1. Egyszeresen szimmetrikus keresztmetszet görbe tengely rudak
küls terhelésb l származó feszültségeinek meghatározása 228
5.9.2. Görbe tengely rudak alakváltozásának számítása 235
5.9.3. Er tani méretezés 236

7. 7
6. Lemezek rugalmasság- és szilárdságtana 236
6.1. A küls er k hatásvonala beleesik a középfelület síkjába 237
6.2. A küls er k hatásvonala mer leges a középfelület síkjára 238
6.2.1. Hengerpalást felületre deformált, sztatikailag határozott megtámasztású,
téglalap alakú lemez 246
6.3. Er tani méretezés 247
7. Stabilitási problémák 248
7.1. Hosszú, nyomott rudak kihajlása 249
7.1.1. Karcsú, nyomott rudak rugalmas kihajlása 250
7.1.2. Szerelési és gyártási pontatlanságok következtében fellép
rugalmas kihajlás 253
7.1.3. Hajlítónyomatékkal is terhelt, karcsú nyomott rudak rugalmas kihajlása 256
7.1.4. Parabolaív alakú tartók rugalmas kihajlása 258
7.1.5. Hosszú, nyomott rudak kihajlása az arányossági határt meghaladó feszültségek
esetén 261
7.1.6. Er tani méretezés 263
7.1.6.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer 263
7.1.6.2. "Fél" valószín séggel kiegészített határállapot módszer 264
7.2. Hajlított rudak kifordulása 266
7.2.1. Nyújtott téglalap keresztmetszet , egyenes tengely , hajlított rudak kifordulása 266
7.2.2. Nyújtott téglalap keresztmetszet , körív alakú, hajlított rudak kifordulása 271
7.2.3. Er tani méretezés 271
7.2.3.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer 272
7.2.3.2. "Fél" valószín séggel kiegészített határállapot módszer 272
8. Egyéb szerkezetek és testek rugalmassági és szilárdsági problémái 272
8.1. Alakváltozások és feszültségek az alkatrészek érintkezési helyének
környezetében 272
8.1.1. Koncentrált er vel terhelt rugalmas féltér 273
8.1.2. A rugalmas félsík feszültségi állapotai 279
8.1.3. Testek érintkezési helyének környezetében fellép feszültségek 283
8.2. Sztatikailag határozatlan szerkezetek 285
8.2.1. Törzstartó kialakításának módszere 286
8.2.1.1. Többtámaszú, egyenes tengely , sztatikailag határozatlan tartók 288
8.2.2. Castigliano II. és Menabrea tételén alapuló módszer 291
Felhasznált és ajánlott irodalom 294

8. 8
SZILÁRD TESTEK SZTATIKÁJA
1. Rugalmasságtani és szilárdságtani alapfogalmak
A szilárd testek sztatikájában alkalmazásra kerül fogalmak, absztrakciók egy részével
mint általános mechanikai alapfogalmakkal már korábban megismerkedtünk. Ilyenek voltak pl.
a tér, id , elmozdulás, er stb. Ezeken túlmen en természetesen a szilárd testek sztatikájának is
megvannak a speciális alapfogalmai, amelyekkel az alábbiakban foglalkozunk.
1.1. A rugalmasságtan és szilárdságtan tárgya és feladata
A mérnöki gyakorlat szinte minden területén szükség van olyan eljárásokra, amelyek
segítségével meghatározhatók az építmények, berendezések, gépek, azok szerkezeti elemeinek
igénybevétele, teherbíróképessége és alakváltozása annak érdekében, hogy ezek a m szaki léte-
sítmények kielégít biztonsággal m ködhessenek, feleljenek meg céljainknak. Ezeknek az eljá-
rásoknak a kidolgozása, elméleti és kísérleti megalapozása a m szaki mechanika feladata.
E feladat jellegéb l következik, hogy a sztatikában kiválóan bevált merev test fogalma
olyan absztrakció, amely itt nem alkalmazható. Helyette az alakítható test fogalmát kell beve-
zetnünk. Viselkedésük jellegzetességei szerint az alakítható testeket három nagy csoportba oszt-
hatjuk:
- szilárd testek, melyek mind az alak-, mind a térfogatváltoztatással szemben nagy ellenállást
tanúsítanak, de sohasem tökéletesen merevek,
- folyadékok, amelyek csak a térfogatváltozással szemben ellenállóak, alakjuk kis er hatásra is
könnyen és jelent s mértékben változik,
- gázok, amelyek alakjukat és térfogatukat már viszonylag kis er hatásra is jelent sen megvál-
toztatják.
A faipari-, papíripari-, erd - és környezetmérnökök számára a szilárd testek viselkedé-
sének ismerete a legfontosabb.
A szilárd testek mechanikai viselkedésének pontos leírása is igen nehéz feladat, ezért a
valóságos tulajdonságokat az egyszer bb matematikai kezelhet ség érdekében ideálisakkal kö-
zelítjük. A szerkezeti elemként használt anyagot mindenek el tt folytonos tömegeloszlásúnak,
azaz kontinuumnak tekintjük. Homogénnek nevezzük az anyagot, ha mechanikai tulajdonságai
minden pontjában azonosak, inhomogénnek, ha eltér ek. Izotrop anyagról beszélünk, ha vala-
mely pontban a felvehet összes irányban azonosak a mechanikai jellemz i. Ha a tulajdonságok
függenek az iránytól, anizotrop anyagról van szó.
Az egyik legfontosabb absztrakció azonban az anyagra ható terhelés és az általa létre-
hozott alakváltozás, illetve az alakváltozási folyamat idealizálása. A legegyszer bb, ugyanakkor
igen jól használható anyagmodell az ún. rugalmas test, melynek az a jellemz je, hogy a terhelés

9. 9
által létrehozott alakváltozás az er hatás megsz nésével szintén elt nik. Ilyen testekb l felépí-
tett szerkezetekkel és szerkezeti elemekkel foglalkozik a rugalmasságtan. Ha az er hatás és az
alakváltozás között lineáris kapcsolatot tételezünk fel, amint az a m szaki gyakorlatban el for-
duló feltételek mellett sokszor igen jó közelítéssel teljesül, lineáris rugalmasságtanról beszélünk.
Vannak azonban olyan anyagok is, amelyeknek nincs vagy nagyon kicsi a rugalmas alakválto-
zása, és a terhelés hatására maradandó - röviden - maradó alakváltozást szenvednek. Ezeket
képlékeny anyagoknak hívjuk s velük a képlékenységtan foglalkozik.
Hangsúlyozzuk, hogy a fenti ideális tulajdonságok a gyakorlatban tisztán szinte soha-
sem fordulnak el . A szerkezeti anyagok többsége kis részecskékb l, kristályokból, rostokból
áll, melyek önmagukban anizotropok. Makroszkopikus méretekben azonban a részecskék tulaj-
donságainak átlagértéke mutatkozik, s ilyen értelemben - különösen fémeknél és bizonyos m -
anyagoknál - indokolt a homogén és izotrop feltételezés. A természetben kialakult vagy mester-
ségesen létrehozott, rostos vagy réteges kialakítású anyagok - mint pl. a faanyag, rétegelt leme-
zek, bizonyos m anyagok - általában homogén anizotropoknak, esetleg inhomogén anizotro
pnak tekinthet k. Az alakváltozás szempontjából a valóságos anyagok egyszerre rugalmasan és
képlékenyen is viselkednek, és a két tulajdonság aránya rendkívül változatos lehet. A szerkezeti
anyagok nagy többségére azonban a nagy rugalmas és kismérték képlékeny alakváltozás jel-
lemz , és ez lehet vé teszi az ideálisan rugalmas lineáris modell alkalmazását.
A rugalmasságtan és a képlékenységtan képezi az alapját a szilárdságtannak, amelynek
segítségével meghatározhatjuk valamely szerkezeti elem teherbíró képességét, vagy adott terhe-
lésnél a tönkremenetellel szembeni biztonságot, illetve a tönkremenetel valószín ségét.
1.2. A feszültség fogalma
Vágjunk ketté egy egyensúlyi er rendszerrel terhelt testet valamely bels P pontján át
egy síkkal (1.1./a ábra). A merev testek sztatikájában beláttuk, hogy az így felszabadított sík
felületén általában egy megoszló, ún. bels er rendszernek kell ébrednie a két rész egyensúlyá-
nak biztosítására. Ezt a bels er rendszert a folytonos anyageloszlás feltételezése miatt folyto-
nosnak tekinthetjük és ered jét - érdekes módon - sztatikai eszközökkel is számíthatjuk, anélkül,
hogy ismernénk tényleges felületi megoszlását. A B er , ami a bal oldali testrészen ható, felü-
leten megoszló bels er rendszer ered je a jobb oldali testrészen ható küls er k ered jével
egyenl . A rugalmasságtan egyik feladata éppen az, hogy meghatározzuk ennek a bels er -
rendszernek a jellegét, min ségét és tényleges megoszlását. Ez a feladat sztatikailag határozat-
lan, hiszen végtelen sokféleképpen lehetne olyan er rendszert felvenni, melynek ered je éppen
B . A valóságnak megfelel er megoszlást, mint minden sztatikailag határozatlan feladatnál,
csak az alakváltozás figyelembevételével lehet egyértelm en meghatározni.
Jelöljük ki a síkmetszet P pontja körül egy elemi, ∆A nagyságú felületet és tegyük fel,
hogy az ezen ható felületi er rendszer ered je az elemi nagyságú ∆B er . A P pont körüli felü-

10. 10
let nagyságának csökkentésével ∆B is
változik. Az A felület minden határon túli
csökkentésével a ∆B / ∆A hányados egy, a
P pontban értelmezett határérték felé tart:
∆B dB
lim = = σn , 1.1
∆A→0 ∆A dA
melyet a P pont n jel síkmetszetéhez
tartozó feszültségvektorának nevezünk. A
feszültség kötött vektor, támadáspontja a
vizsgált P pont. (1.1)-ben az n index a
metsz síkra utal. E sík állását a
legegyszer bben a rá mer leges
egységvektorral (n =1 ), a sík
egységnyi normál - vektorával adhatjuk
meg.
1.1 ábra
A feszültségvektor általában a metsz sík minden pontjában más és más lesz. Ha a felü-
let valamely pontjának helyvektora ρ , akkor a hozzátartozó bels er rendszert a
σ n = σ n (ρ) 1.2.
vektor-vektor függvény határozza meg. Ha egy n normálisú síkon ismerjük (1.2) konkrét alak-
ját, akkor a bels er rendszernek a keresztmetszet súlypontjára vonakozó dinámját az alábbi
kifejezésekkel számíthatjuk:
B = ∫ dB = ∫ σ n ( ρ )dA ,
A A 1.3/a
WS = ∫ ( ρ − ρS ) × dB = ∫ ( ρ − ρS ) × σ n ( ρ ) dA 1.3/b
A A
A σ n feszültségvektor a felület n normálisával tetsz leges szöget zárhat be, s így álta-
lában felbontható egy normális irányú és egy arra mer leges (tehát a síkba es ) komponensre
(1.1/b. ábra). A normálvektorral párhuzamos

11. 11
σ nn = σ n n 1.4
komponenst normálfeszültségnek, a metsz síkkal párhuzamos
σ nm = σ n m 1.5
komponenst nyíró- vagy csúsztatófeszültségnek nevezzük. Könnyen beláthatjuk, hogy az m
irány egységvektorát az
n × (σ n × n )
m=
(σ n × n)
vektorkifejezéssel számíthatjuk.
A feszültségvektort tehát mindig megadhatjuk komponenseinek összegeként:
σ n = σ nn n + σ nm m ⋅ 1.6
A feszültségösszetev k σ nn és σ nm koordinátáinak, illetve a feszültségvektor abszolút
értékének dimenziója az (1.1) definícióinak megfelel en er /felület, mértékegysége az SI-ben 1
2
N/m = 1 Pa = 1 pascal. Ez az egység a m szaki gyakorlatban nagyon kicsiny mennyiség, cél-
6 6 6 2
szer a 10 -szorosát használni: 10 N/m = 10 Pa = 1 MPa = 1 N/mm . Az utolsó azonosság
alátámasztja az egyébként nem túlságosan szemléletes MPa használatát, mert mér száma azonos
a N/mm2 egység mér számával, aminek fizikai értelmezése lényegesen szemléletesebb.
Itt jegyezzük meg, hogy a σ nn és σ nm mennyiségnek megfelel két indexes jelölés-
módhoz a továbbiakban is konzekvensen ragaszkodunk. Vegyük észre, hogy az els index min-
dig annak a síknak a normálisára utal, amelyhez a feszültségvektor tartozik, a második pedig
arra az irányra, amellyel a feszültségkomponens párhuzamos. Számos szakirodalom σ nn helyett
σ n , σ nm helyett τ nm vagy τ n jelölést használ. A két indexes jelölésmódnak azonban kés bb
sok el nye lesz. Egyel re csak annyit tartsunk szem el tt, hogy ha a két index megegyezik,
normálfeszültségr l, ha különbözik, nyírófeszültségr l van szó.
Tétel: Adott pontban az ellentett irányítású síkokhoz tartozó feszültségvektorok egymásnak
ellentettjei.
Bizonyítás: Az akció-reakció elv értelmében, ha a P pont körül felvett ∆A felülethez tartozó
er a bal oldali testrészen ∆B , akkor ugyanezen felülethez a jobb oldali testrészen, azaz a - n
normálisú felületen - ∆B bels er tartozik. (1.1) felhasználásával:
− ∆B + ∆B
σ −n = lim = − lim = −σ n .
∆A → 0 ∆A ∆A → 0 ∆A

12. 12
1.3. Alakváltozási jellemz k
Vegyünk fel a szilárd
test va lamely P pontjának sz k
környezetében egy tetsz leges
helyzet A pontot, melynek
helyét az elemi hosszúságú ∆r
helyvektorral adjuk meg. A
deformáció után az A pont a P
ponthoz képest a ∆r , helyvek-
torú A' pontba kerül. Ha a ∆r
helyvektor hosszát elég
kicsinek vesszük úgy is
fogalmazhatunk, hogy az
alakváltozás során a ∆r vektor
a ∆r , vektorrá transzformá-
lódik (1.2.ábra). A
1.2. ábra
∆ δ = ∆r , − ∆r 1.8
vektor nyilvánvalóan jellemz a P pont környezetének alakváltozására, ezért torzulásvektornak
nevezzük. A torzulásvektor és ∆r hányadosának ∆r →0 átmenettel képzett határértéke a de-
formáció vagy alakváltozási vektor:
∆δ dδ
lim = = εn ⋅ 1.9
∆r → 0 ∆r dr
Az n index a ∆r vektorral azonos irányítású n egységvektorra utal.
A deformációvektor (1.9) szerint a nagyon kicsi, de egységnyi hosszúságú irányvektor-
hoz tartozó torzulásvektor. Egy adott n irányhoz a szilárd test minden pontjához rendelhet egy
deformációvektor, amelyet az
ε n = ε n (ρ) 1.10
vektor-vektor-függvénnyel adhatunk meg.

13. 13
Az alakváltozási vektort - hasonlóan a feszültségvektorhoz - felbonthatjuk egy n irányú
és egy arra mer leges összetev re (1.3. ábra):
ε n = ε nn n + ε nm m 1.11
A két alakváltozási komponens fizikai
értelmezése céljából vezessük be a
fajlagos hosszváltozás fogalmát, amely
egy l hosszúságú elem deformáció
során elszenvedett λ
hosszváltozásának és eredeti hosszának
hányadosa.
A fajlagos hosszváltozás pozitív, ha az
alakváltozás során az elem hosszabb,
negatív, ha rövidebb lesz. Az 1.3. ábra
alapján határozzuk meg a P pontban
felvett n egységvektor fajlagos
hosszváltozását:
1.3. ábra
λ n − n 1 + ε nn − 1
,
= ≅ = ε nn ⋅ 1.12
l n 1
Határozzuk meg az n és az n , vektorok által bezárt szöget is:
ε nm
ϕ ≅ tgϕ = = ε nm . 1.13
1 + ε nn
A fenti két kifejezésben kihasználtuk azt a megkötést, hogy a szilárd test alakváltozása
csak kicsi lehet, olyan kicsi, hogy az n , ≅ 1 + ε nn ; ε nn << 1 és tg ϕ ≅ ϕ összefüggések gya-
korlatilag elfogadhatók.
(1.12) és (1.13) szerint a deformációvektor n irányú vetülete az adott n irányhoz tarto-
zó fajlagos hosszváltozás, n -re mer leges vetülete pedig az n egységvektor deformáció során
szenvedett szögelfordulása. ε nn és ε nm dimenzió nélküli mennyiségek. A szakirodalom sokszor
az ε nn = ε n és ε nm = 1
2 γ nm = 1
2 γn jelölést alkalmazza.

14. 14
1.4. A szilárd anyag viselkedése egyszer igénybevételek és különböz igénybevételi módok
hatására
A szerkezeti anyagok különböz technikai feltételek mellett mutatott mechanikai visel-
kedésének kísérleti vizsgálata és kutatása a m szaki gyakorlat számára igen nagy jelent ség ,
mert ez képezi az alapját a szilárd anyagok elméleti-mechanikai modellezésének és a
teherbíróképesség kimutatásának. Az anyag szilárdsági jellemz in azokat a tulajdonságokat
értjük, amelyek az anyagokat a mechanikai igénybevételekkel szemben tanúsított ellenállásuk
(alakváltozás, törés, stb.) szempontjából írják le. Ezeket a tulajdonságoknak és jellemz knek a
kutatása és meghatározása az anyagtudomány feladata.
1.4.1. Terhelési módok
Az anyagok teherbíróképességét - az anyagmin ség mellett - az igénybevételek fajtája
és a terhek jellege határozza meg. Az igénybevételek fajtáival, meghatározásukkal a merev tes-
tek sztatikájában megismerkedtünk.
A terhelés jellege szerint sztatikus és dinamikus terhelésr l beszélünk.
- Sztatikus terhelés:
A küls és bels er k a terhelési folyamat alatt minden pillanatban sztatikai egyensúly-
ban vannak, az alakváltozás nagyon lassan megy végbe, az alakváltozási sebesség gyakorlatilag
nulla. A sztatikus terhelés feltétele az, hogy a teher nagyságának változása lassú, azaz a teherát-
adási sebesség kicsi legyen.
Ide tartoznak azok a terhelések, amelyek a szerkezetre úgy adódnak át, hogy nulláról
indulva maximális értéküket lassan és egyenletesen érik el. Ilyen teherátadási módot alkalmaz-
nak pl. az anyagok ún. rövid idej vagy pillanatnyi sztatikus szilárdságának meghatározásánál.
A sztatikus terhek közé soroljuk azokat a terheket is, amelyek helyüket és nagyságukat hosszú
id n át sem változtatják meg. Ezeket tartós állandó terheknek nevezzük. Ilyen terhelésnek te-
kinthet pl. a szerkezetek önsúlyából származó er .
- Dinamikus terhelés:
A terhelési folyamat során a küls és bels er k nincsenek sztatikai egyensúlyban, így a
szerkezetben, illetve annak bizonyos részeiben váltakozó el jel gyorsulások, s ezek következ-
tében rezgés jelleg alakváltozások keletkeznek. Dinamikus terhelésnél a teherátadás sebessége
nem hanyagolható el, s t bizonyos esetekben végtelen nagynak veend .
Ide soroljuk azokat a terheléseket, amelyek ütközés- vagy lökésszer en adódnak át,
azaz a teherátadás pillanatszer en megy végbe, valamint azokat, amelyek hosszú id n át hatnak,
de nagyságuk az id ben viszonylag gyorsan változik. Ez utóbbiakat tartós változó (váltakozó)

15. 15
terhelésnek nevezzük. A változás lehet véletlenszer (sztochasztikus), poliharmonikus és tiszta
harmonikus (1.4. ábra). A periódikusan változó terheléseknél Fmax és Fmin az igénybevétel fels
és alsó értéke.
A terhelés amplitúdója:
Fmax − Fmin
Fa =
2
középértéke pedig:
Fmax + Fmin
Fm = Fmin + Fa =
2
1.4. ábra

16. 16
Lüktet terhelésr l (igénybevételr l) beszélünk, ha
Fmin
≥0
Fmax
és leng terhelésr l (igénybevételr l), ha
Fmin
<0 .
Fmax
A sztatikus, a lüktet és a leng terhelés a méretezési el írások I, II. és III. típusú terhe-
lésnek is nevezik.
1.4.2. A szilárd testek valóságos mechanikai viselkedése
A szilárd testek mechanikai viselkedése szempontjából az alakváltozással és a tönkre-
menetellel kapcsolatos jellemz k a legfontosabbak. Az alakváltozás és a tönkremenetel jellege
és sajátosságai a különböz terhelési módoknak megfelel en rendkívül sokfélék lehetnek.
A szilárd test fizikája keretében megkísérlik az anyag szerkezeti felépítéséb l levezetni
annak mechanikai viselkedését. Az elmélet sikeresen értelmezi a mechanikai tulajdonságok
nagy részét, kvantitatív kiértékelésre azonban - az anyag szerkezeti felépítésében mindig megje-
len rendellenességek, szabálytalanságok, az ún. diszlokációk miatt - nem alkalmas. E miatt a
mérnöki tudományokban egyel re a fenomenológiai szemléletmód az uralkodó. A fenomenoló-
giai módszer alkalmazása során lemondunk a jelenség fizikai magyarázatáról és megelégszünk
annak leírásával.
A mechanikai viselkedés - azaz a terhelés módja, jellege, valamint az alakváltozás és a
tönkremenetel közötti kapcsolat - minél pontosabb leírására gondosan megtervezett és nagy-
számú kísérletet kell elvégezni. Ezek kiértékelése után lehet következtetni a különböz anyagok
mechanikai tulajdonságainak min ségi és mennyiségi jellemz ire.
A különböz igénybevételek esetén az er k jellegének megfelel en a szilárdsági tulaj-
donságok vizsgálatához
rövid idej
- sztatikus
tartós
rövid idej
- dinamikus
tartós
kísérleteket alkalmaznak.
A következ kben a fenti kísérleti módszerek és lehet ségek közül a legalapvet bbeket,
illetve a legjellemz bbeket ismertetjük.

17. 17
A/ Sztatikus, rövid idej vizsgálatok
E csoportba tartoznak a tudománytörténetileg els ként elvégzett legegyszer bb anyag-
vizsgálatok. Az anyagok mechanikai tulajdonságait a bel lük készített próbatesteken határozhat-
juk meg. A kísérlet folyamán a próbatestet alkalmas er rendszerrel terheljük és mérjük az általa
létrehozott alakváltozást. A vizsgálat eredményeként egy
Y = Y( δ ) 1.14
függvényt kapunk, ahol Y - a terhelésnek megfelel igénybevétel nagysága, δ - a fellép alak-
változás (hosszváltozás, lehajlás, szögelfordulás, stb.) mértéke. Az Y = Y(δ ) függvényt ábrázo-
ló diagramot a próbatest jelleggörbéjének nevezzük.
A próbatest jelleggörbéje általában három részre osztható (1.5. ábra). Az els , 0A sza-
kaszon az igénybevétel nagysága és az általa létrehozott alakváltozás között a kapcsolat jó köze-
lítéssel lineáris.
Ha ezen a tartományon visszavesszük a terhelést, akkor a tehermentesítéshez tartozó jelleggörbe
egybeesik az 0A egyenessel. A test visszanyeri eredeti alakját és méreteit. Ezt a tulajdonságot
rugalmasságnak nevezzük. Nagyon pontos mérésekkel ugyan kimutatható, hogy az alakváltozás
sohasem t nik el teljesen, egy kis alakváltozás mindig - a legkisebb terhelés után is - marad
vissza, melyet maradó alakváltozásnak nevezünk.
Igy bár tökéletesen rugalmas anyag nincs, a m szaki gyakorlatban a szerkezeti anyago-
kat annak tekintjük, ha a terhelés nem éri el a rugalmassági határt.
A rugalmassági határ az A pontnak megfelel terhelés, az arányossági határ közelében van,
annál azonban kisebb és nagyobb is lehet. A rugalmassági határnál nagyobb igénybevételnél a
próbatest képlékeny állapotba kerül. Képlékeny állapotban ugyanakkora tehernövekedéshez
lényegesen nagyobb alakváltozás tartozik, mint a rugalmas állapothoz. Bizonyos anyagoknál
található olyan tehernagyság, melyet állandó értéken tartva az alakváltozás az id ben folyama-
tosan n . Ezt a jelenséget folyásnak nevezzük, a hozzá tartozó igénybevételt pedig folyáshatár-
nak. A folyás során keletkez alakváltozás mindig megmaradó alakváltozás. A rugalmassági
határt meghaladó terhelést - pl. a D pontnak megfelel igénybevételt - visszavéve a tehermente-
sítés vonala az OA egyenessel párhuzamos lesz. A D ponthoz tartozó teljes alakváltozás δ r
rugalmas része elt nik, csak a folyásból származó marad meg:
δ = δr + δm . 1.15
A próbatestet újra terhelve, annak jelleggörbéje gyakorlatilag az el z tehermentesítés vonala
lesz egészen a D pontig. Egy terhelési ciklus tehát megnöveli az anyag arányossági, illetve fo-

18. 18
lyáshatárát. Ezért a jelleggörbének ezt a második, AB részét felkeményedési szakasznak ne-
vezzük. E szakasz végén, a görbe B pontjában a próbatest terhelhet sége eléri a maximumot. A
1.5. ábra
hozzá tartozó igénybevételt tör igénybevételnek nevezzük, jóllehet a próbatest törése nem itt,
hanem a C pontban következik be. A harmadik, BC szakaszon indulnak be és teljesednek ki
azok a folyamatok (bels repedések, helyi keresztmetszetcsökkenés, stb.), melyek lerontják és
végül megszüntetik a küls terheléssel szembeni ellenállást.
A próbatestek jelleggörbéjének tényleges alakja nagyon sok befolyásoló tényez függ-
vénye. Ezek közül legfontosabbak:
- az anyagmin ség, az anyagmin ség,
- a próbatest geometriai jellemz i,
- az igénybevétel fajtája, jellege,
- a teherátadás sebessége,
- a kísérlet környezeti állapothatározói (h mérséklet, nedvességtartalom stb.).
A próbatestek jelleggörbéib l az anyag mechanikai viselkedésére következtethetünk, ha
sikerül a próbatest alakjának hatását kiküszöbölni. Az anyagtulajdonságok legfontosabb jellem-
z inek tárgyalására a húzó-, nyomó- és nyíróigénybevétellel történ , sztatikus, rövid idej vizs-
gálatokat mutatjuk be.
1. Húzó-vizsgálat
A húzókísérlethez a vizsgálandó anyagból egy kör vagy téglalap keresztmetszet , A0
terület , L hosszúságú egyenes rudat készítenek, melyet anyagvizsgáló gépben egy id ben vál-

19. 19
tozó F=F(t) nagyságú koncentrált er vel terhelünk sztatikusan (az F(t) tehát nulláról indul, az
id vel lineárisan növekszik, a teherátadás sebessége kicsi, de a tönkremenetelig eltelt id nem
több néhány percnél), úgy, hogy a rúd középs , l0 hosszúságú szakaszának minden keresztmet-
szete F nagyságú húzóigénybevételnek legyen kitéve. A próbatest jelleggörbéjét a bevezet ben
bemutatottaknak megfelel en fel lehet venni. Az anyagtulajdonságok kiértékeléséhez bevezet-
jük a
F( t )
σ( t ) = 1.16
A0
látszólagos normálfeszültséget és az
l( t ) − l 0 λ( t )
ε( t ) = = 1.17
l0 l0
fajlagos hosszváltozást (megnyúlást), ahol l(t) - az eredetileg l0 hosszúságú szakasz F(t)-hez
tartozó, megnyúlt hossza, λ (t) - az l0 szakasz hosszváltozása.
A terhelési folyamat során minden pillanatban hozzárendelhet a névleges feszültséghez
egy fajlagos hosszváltozási érték. Az (1.16) és (1.17) definíciókból következik, hogy a
σ = σ(ε ) függvénykapcsolat az (1.14) típusú F = F( λ ) függvénnyel, a próbatest jelleggörbéjé-
vel affin. Ugyanakkor a σ = σ(ε ) nem függ a próbatest geometriai méreteit l, nem szerkezeti,
hanem anyagjellemz , ezért az anyag látszólagos jelleggörbéjének, alakváltozási diagramjának
(húzódiagramjának) nevezzük. A próbatest jelleggörbéje és az anyag látszólagos jelleggörbéje
közötti affinitás miatt a két diagram jellege hasonló, ugyanazokra a szakaszokra bonthatók (1.6.
ábra). Az alakváltozási diagramok jellemz pontjainak meghatározása elvi és gyakorlati szem-
pontból is sok problémát jelenthet, ezért ezeket általában elfogadott, szabványok által rögzített
módszerekkel, eljárásokkal állapítják meg.
Ezen egyezmények szerint:
σ A - az anyag arányossági határa: a 0,0005 mm/mm maradó fajlagos hosszváltozáshoz tartozó
névleges feszültség,
σ R - az anyag rugalmassági határa: a 0,0002 mm/mm maradó fajlagos hosszváltozáshoz tartozó
névleges feszültség,
σ F - az anyag folyáshatára: a 0,002 mm/mm maradó fajlagos hosszváltozáshoz tartozó névleges
feszültség.
Az anyag látszólagos jelleggörbéjének ismeretében a fenti mennyiségeket úgy határoz-
zuk meg, hogy az ε tengelyen felmérjük a keresett határnak megfelel maradó fajlagos alak-
változás-értéket. Az e pontból kiinduló, a jelleggörbe lineáris szakaszával párhuzamos egyenes

20. 20
és a jelleggörbe metszéspontjához tartozó névleges feszültség adja a keresett jellemz t (1.6.
ábra).
A felkeményedési szakaszon a görbe legmagasabb pontjának megfelel σ B feszültséget
az anyag rövid idej , sztatikus húzószilárdáságnak nevezzük. A húzószilárdság - megállapodás
szerint - a legnagyobb húzóigénybevétel és a kezdeti keresztmetszet-terület hányadosa:
Fmax N max
σB = = ⋅ 1.18
A0 A0
A húzott próbatest alakváltozása nem egyedül a hosszirányú méretnövekedés, hanem
ezzel egyid ben - a hosszirányra mer legesen - a keresztmetszet síkjában is fellép hosszúságvál-
tozás, amelyet keresztirányú (harántirányú) fajlagos hosszváltozásnak nevezünk:
d( t ) − d 0
ε k (t) = , 1.19
d0
ahol a d(t) - a próbatest hossztengelyére mer leges síkban felvett, eredetileg d 0 hosszúságú
szakasz F(t) er höz tartozó, megváltozott hossza. Húzóigénybevételnél a keresztirányú méretek
kisebbek lesznek. A keresztirányú fajlagos hosszváltozás az alakváltozási diagram kezdeti, line-
áris szakaszán szintén lineáris kapcsolatban van a terhel er vel, illetve a névleges feszültség-
gel, így a hosszirányú fajlagos alakváltozással is. A folyási tartományban nagysága a hosszirá-
nyú fajlagos hosszváltozásnak a fele lesz. A jelleggörbe B pontjáig a keresztmetszet méretcsök-
kenése a próbatest teljes hosszában azonos. A jelleggörbe harmadik szakaszán azonban a próba-
test egy bizonyos helyen a többi keresztmetszethez képest lényegesen gyorsabban elvékonyo-
dik, behúzódik. Ez a jelenség a kontrakció. A próbatest szakadása a kontrahálódott keresztmet-
szetben következik be. A kontrakció jellemzésére a
A0 − A C
ψ= 1.20
A0
mér számot vezetjük be, ahol A C - a kontrahált keresztmetszet szakadás után mérhet területe.
Szakadási nyúlásnak nevezzük a fajlagos hosszváltozást a próbatest elszakadásának
pillanatában:
lC − l0
εC = 1.21
l0
ahol l C az eredetileg l 0 hosszúságú rúdszakasz megnövekedett hossza, melyet a két szakadt
rész összeillesztésével mérhetünk.

21. 21
1.6. ábra
Különösnek t nhet, hogy a σ B húzószilárdság elérése után a jelleggörbe csökken
tendenciát mutat. Ennek az az oka, hogy a függ leges tengelyre a húzóer és az eredeti A 0
keresztmetszet-terület hányadosaként értelmezett, névleges feszültséget mértük fel. Az anyag
valódi jelleggörbéjét úgy kapjuk meg, hogy a fajlagos hosszváltozást a tényleges feszültség
függvényében ábrázoljuk. A tényleges feszültség pedig a húzóer és a csökken keresztmetszet-
terület hányadosa. A kísérletek tanúsága szerint a jelleggörbe lineáris szakaszán a keresztmet-
szeti méretek csökkenése olyan kicsi, hogy a látszólagos és a valódi jelleggörbe gyakorlatilag
egybeesik. Jelent s eltérés a 2. és különösen a 3. szakaszban tapasztalható (1.6. ábra). Különö-
sen bonyolulttá válnak a feszültségi és alakváltozási viszonyok a kontrahálódott keresztmetszet-
ben a szakadás pillanatában. Így a valódi húzószilárdság és a valódi szakadási nyúlás meghatá-
rozásához általában csak közelít számításokat alkalmaznak.
2/ Nyomó-vizsgálat
Nyomókísérletnél kör vagy derékszög négyszög keresztmetszet , d 0 minimális szé-
lesség , A 0 terület , L hosszúságú próbatesteket készítenek, melynek alsó és fels homloklap-

22. 22
jára F = F(t) nagyságú, sztatikusan m köd nyomóer hat. Általában igen nehéz olyan kísérleti
körülményeket kialakítani, hogy a próbatest minden keresztmetszete tiszta nyomásra legyen
igénybe véve. Az egyik zavaró hatás abból adódik, hogy a próbatest homlokfelülete és a nyo-
mólapok között jelent s súrlódóer ébred. A másik zavaró körülmény az, hogy a próbatest
hossztengelye bizonyos terhelésnél meghajlik. Ha a próbatest hosszát úgy vesszük fel, hogy az
ne legyen nagyobb legkisebb keresztmetszeti méretének 2-3-szorosánál (1,5d 0 ≤ L ≤ 3d 0 ) ,
akkor a hosszúság középs 2/3-ában az igénybevétel jó közelítéssel tiszta nyomás és a kihajlás
veszélye is minimális lesz. A próbatest jelleggörbéjét felvéve, a húzóvizsgálatnál definiált név-
leges normálfeszültséggel és fajlagos hosszváltozással - a különbség csak annyi, hogy nyomás-
nál mindkett negatív - megszerkeszthetjük az anyag jelleggörbéjét (1.7. ábra). A görbe jelleg-
zetes pontjait is ugyanúgy kell megkeresni, mint húzóigénybevételnél. El fordulhat - bizonyos
anyagoknál -, hogy a nyomószilárdságnak megfelel B pontot nem lehet meghatározni, mert ha
a próbatest anyaga nagy érték alakváltozásra képes, szétlapul a nyomópofák között anélkül,
hogy eltörne. Nyomáskor a keresztmetszeti méretek megnövekednek. Mivel a súrlódás gátolja a
homlokfelületek harántirányú elmozdulását, a próbatest oldala meggörbül, kidudorodik (a hen-
ger alakú próbatest hordóalakot vesz fel).
1.7. ábra
Az anyag valódi jelleggörbéjét a tényleges normálfeszültség és a fajlagos hosszváltozás
összekapcsolásával nyerjük. A keresztmetszet növekedése miatt a folyáshatárnál nagyobb fe-
szültségeken a valódi jelleggörbe közelebb kerül a koordinátarendszer vízszintes tengelyéhez.

23. 23
3/ Nyíró-vizsgálat
A nyíró kísérlet technikai és elméleti szempontból komoly problémát jelent, mert olyan
próbatest alakot és terhelési módot kialakítani, melynek hatására a próbatest egy bizonyos része
tiszta nyíróigénybevételnek van kitéve és a nyírásból származó nyírófeszültségek eloszlása is
egyenletes, igen nehéz, gyakorlatilag lehetetlen. A vizsgálatok többsége így csak a próbatest - és
nem az anyag - jelleggörbéjének meghatározására alkalmas. Néhány vizsgálati módszernél (pl.
egyenes rúd megcsavarásánál) azonban - bizonyos elvi feltételezések mellett - az anyag jelleg-
görbéjére is fontos következtetéseket tehetünk. A kísérleti tapasztalatok szerint a nyírófeszültség
két szakasz egymással bezárt szögét változtatja meg, azok hosszát nem.
Az anyag jelleggörbéjének felvételénél a vízszintes tengelyre a γ szögváltozást, a függ legesre
a nyírófeszültséget mérjük (1.8. ábra). Mivel a szögváltozás a keresztmetszet alakját csak eltor-
zítja, de területének nagyságát gyakorlatilag nem változtatja meg, az anyag látszólagos és valódi
jelleggörbéje jó közelítéssel egybeesik. A megállapodás szerint a τ A arányossági határnak a
0,0002, a τ F folyáshatárnak a 0,003 maradó szögváltozáshoz tartozó nyírófeszültséget tekintjük.
A különböz anyagok viselkedésének meghatározásához a sztatikus, rövid idej vizsgá-
latokat el írás szerint szobah mérsékleten (20 oC-on) végzik. Az így kapott jelleggörbék alakjá-
tól függ en a szerkezeti anyagok két nagy csoportba oszthatók.
- szívós anyagok, amelyek a rugalmas szakasz után még nagy képlékeny tartománnyal rendel-
keznek, a próbatest törését - ha egyáltalán el idézhet - jelent s alakváltozás el zi meg, a tönk-
remenetel két legfontosabb jellemz je a folyáshatár és a látszólagos szilárdság.
- rideg anyagok, amelyek képlékeny tartománya majdnem vagy teljesen hiányzik, a próbatest
alakváltozása a törés pillanatáig viszonylag kicsi és gyakorlatilag rugalmasnak tekinthet . A
törés sok anyagnál már 0,002 mm/mm vagy a 0,003 rad alatt bekövetkezik, így a folyáshatár
nem határozható meg. A tönkremenetel legfontosabb jellemz je s látszólagos szilárdság.
A szívós és rideg anyagok tipikus jellegzetességeinek tanulmányozására vizsgáljuk meg
az 1.9. ábrát, melyen egy kis széntartalmú acél és szürke öntött vas látszólagos jelleggörbéit
láthatjuk húzásnál és nyomásnál (a nyomó jelleggörbét is a pozitív síknegyedben ábrázoltuk). A
kis széntartalmú acél próbatest húzásnál karcsúsodás után szakadt el, nyomásnál olyan nagy
mérték összenyomódást szenvedett, hogy a nyomószilárdságot nem lehetett meghatározni. A
folyáshatár mindkét igénybevételnél azonos. A szürke öntött vasból készült próbatest kontrakció
nélkül szakadt el húzáskor, nyomásnál csekély összenyomódás után eltörött. A törésig fellép
deformáció olyan kicsi volt, hogy az egyik igénybevételnél sem lehet folyáshatár tmegha-
tározni. A húzó- és nyomószilárdság között azonban jelent s különbség van.
Az 1.10. ábrán lucfeny anyag látszólagos húzó és nyomó jelleggörbéjét láthatjuk 12
%-os faanyag-nedvességtartalomnál, rostiránnyal párhuzamosan. Ugyanaz az anyag húzásra

24. 24
ridegen, nyomásra inkább szívósan
viselkedett. A töréshez tartozó
keresztmetszeti alakváltozás mindkét
esetben elég kicsi, ezért a valódi
jelleggörbék alig különböznek a
látszólagosoktól.
A látszólagos húzó és nyomó
jelleggörbék különböz ségéb l azonban
nem kell feltétlenül a tényleges viselkedés
eltér jellegére következtetnünk.
Az 1.11. ábrán h kezeletlen acél
húzó és nyomó diagramjai láthatók. A
valódi jelleggörbék összehasonlításából
kit nik, hogy a szilárdság és az
alakváltozási folyamat jellege a két
igénybevételnél majdnem egyforma. Ez a
tulajdonság általában a szívós anyagokra
jellemz .
1.8 ábra
1.9. ábra

25. 25
1.10. ábra 1.11. ábra
B/ Sztatikus, tartós (hosszú idej ) vizsgálatok
A rövid idej sztatikus anyagvizsgálatok mellett fontos szerepe van azoknak a kutatá-
soknak, amelyek a feszültségi és az alakváltozási jellemz k id beli lefolyását vizsgálják. A
mechanikának ezt a tudományterületét reológiának nevezik. A reológiai jelenségek, illetve vizs-
gálatok közül két alapvet t említünk.
Ha a vizsgált anyagban akkora feszültséget hozunk létre, amely rövid idej sztatikus
vizsgálatok alapján még nem okoz tönkremenetelt - s t, még a rugalmas tartományon belül van
- és ezt a feszültséget állandó értéken tartjuk, akkor azt tapasztaljuk, hogy a deformáció az id -
ben folyamatosan növekszik. Az állandó terhelés mellett fellép alakváltozás-növekedést kú-
szásnak hívjuk. Az 1.12. ábrán különböz feszültségszintekhez tartozó kúszásgörbéket látunk.
Minél nagyobb a feszültség értéke, annál nagyobb a t = 0 pillanathoz tartozó kezdeti deformá-
ció és a kezdeti alakváltozási sebesség. A deformáció sebessége azután az id múlásával csök-
ken tendenciát mutat, majd egy bizonyos id elteltével - a görbék inflexiós pontjához tartozó

26. 26
id pontban - ismét növekszik. A megnövekedett alakváltozási sebesség ezután már viszonylag
rövid id alatt olyan nagy deformációt hoz létre, hogy a próbatest törik, tönkremegy. Ez az ún.
kúszási törés. A kúszás jelensége az anyag bels súrlódásával, viszkózus tulajdonságaival ma-
gyarázható. Az egyes feszültségszintekhez tartozó kúszás-görbék inflexiós pontjait összekötve
az id tartamszilárdság görbéjét kapjuk. Az id tartamszilárdság az a feszültség, amelyen az
anyag egy adott id pontban tönkremegy. Az 1.12. ábra alapján pl. a t 4 id ponthoz tartozó
id tartamszilárdság σ 4 . A nulla id ponthoz tartozó id tartamszilárdság a sztatikus. rövid idej
tör szilárdság. Azt a legkisebb feszültséget, amelynél a kúszásgörbe inflexiós pontja a végte-
lenbe esik, sztatikus tartós szilárdságnak nevezzük, hiszen nyilvánvaló, hogy ez a feszültség
soha nem okoz tünkremenetelt. A sztatikus tartós szilárdság kísérleti meghatározása rendkívül
bonyolult és elméletileg sem tökéletesen tisztázott feladat. Egyes szerz k a sztatikus tartós szi-
lárdságnak a sztatikus rövid idej szilárdság 50-60 %-át javasolják. A reológiai folyamatok
másik alapvet jelensége a feszültségrelaxáció vagy -ernyedés. Ez azt jelenti, hogy a deformáció
állandó értéken tartásához id ben csökken feszültségre van szükség. A feszültségcsökkenés
sebessége a kezdeti feszültség, illetve az általa létrehozott alakváltozás nagyságától függ és az
id múlásával fokozatosan csökken. Az 1.13. ábrán különböz deformációkhoz tartozó
feszültségrelaxációs görbéket láthatunk.
1.12. ábra

27. 27
1.13. ábra
C/ Dinamikus, rövid idej vizsgálatok
A rövid idej dinamikus igénybevételekhez tartozó anyagjellemz ket ún. üt kísérletek-
kel vizsgálják, ahol ismert tömeg meghatározott sebességgel ütközik a próbatestnek. Az anyag-
vizsgáló berendezés és a próbatest alakjának kialakításától függ en tetsz leges üt -igénybevétel
valósítható meg. A vizsgálat során a töréshez felhasznált munkát kell mérni, amelyb l úgy ka-
punk anyagjellemz t, hogy értékét elosztjuk a törési keresztmetszet területével. A hányadost
fajlagos üt munkának nevezzük:
Wtörõ
a= , 1.22
A0
mértékegysége: Nm/m2 = Nm-1.
A fajlagos üt munka az anyag szívósságát, illetve ridegségét jellemzi. Nagy fajlagos
üt munkánál nem kell azzal számolni, hogy az anyag hajlamos a nagyon veszélyes rideg törés-
re. Az üt kísérleteket els sorban az anyagok öregedésének vizsgálatára használják. Öregedésen
az anyagok hosszú id n át való tárolása (esetleg használata) alatt bekövetkez szilárdsági tulaj-
donság-változásokat értünk. Az öregedés egyik legfontosabb következménye éppen az anyagok
ridegebbé válása, ami a fajlagos üt munka csökkenésében jelentkezik.
D/ Dinamikus, hosszú idej vizsgálatok
Tartós változó (váltakozó) terhelés esetén az anyag szintén bizonyos öregedési, kifára-
dási tulajdonságokat mutat. Ezeknek az ún. fárasztó vizsgálatoknak az a célja, hogy megállapít-

28. 28
sák az anyag kifáradási határát, vagy más néven dinamikus tartós szilárdságát. A próbatest és az
ismétl d terhelés jellegét l függ en a vizsgált keresztmetszetben különböz váltakozó igény-
bevételek ébredhetnek. Az alkalmazott igénybevétel fels és alsó értékeinek megfelel feszült-
ségeket ismétl d fels és alsó feszültségnek nevezzük és σ if -fel és σ a -val jelöljük. A két
i
széls érték számtani közepe a középfeszültség:
σ if + σ a
i
σ ik = ⋅ 1.23
2
A középfeszültségt l való eltérés a feszültségamplitúdó:
σ if − σ a
i
σ =σ −σ =σ −σ =
i
e
i
f
i
k
i
k ⋅ i
a 1.24
2
Az anyag kifáradási
határán azt a σ if fels
feszültséget értjük, a-
melynek egy hozzá
tartozó σ alsó
i
a
feszültséggel való
végtelen sok is-
métl dése még éppen
nem okoz tönkremene-
telt. A fárasztóvizsgá-
latnál tehát egy adott
alsó feszültségszinthez
azt a
1.14. ábra
fels feszültséget kell meghatározni, amelyet a próbatest végtelen sok ismétl dés után is elbír.
Ha a terhelés n ismétlési számának függvényében ábrázoljuk azokat a σ if feszültséggörbéket,
aminél az egyes próbatestek eltörnek, az ún. Wöhler-görbéket kapjuk (1.14. ábra). A görbe
aszimptotikusan közelít egy értékhez, amely éppen a σ iB kifáradási határ. Mivel minden σ a -
i
hoz más görbe és határérték tartozik, minden anyagnak végtelen sok Wöhler-görbéje van, ami
gyakorlati szempontból igen kényelmetlen. Ha lemondunk a korlátozott ismétl dési számhoz
tartozó kifáradási határ ábrázolásáról és a kifáradási szilárdságokat az ismétl d középfeszült-
ség, illetve a feszültségamplitúdó függvényében ábrázoljuk, a Smith-féle diagramot kapjuk.
Ebben a diagramban a vízszintes tengelyre a középfeszültséget mérjük, a 45o-os d lés egye-
nesre pedig függ leges irányban felfelé és lefelé azokat a feszültségamplitúdókat, amelyeknél a

29. 29
8
próbatest végtelen ( gyakorlatilag 10 ) számú ismétl dés után sem megy tönkre (1.15. ábra). A
kifáradási határgörbe megrajzolása még így is nehéz, mert sok különböz jelleg (lüktet , len-
g ) terheléssel hosszú ideig tartó vizsgálatokat kell végezni. Emiatt sokszor megelégednek a
Smith-féle diagram közelít megszerkesztésével (szaggatott vonal).
1.15. ábra
Az ábra alapján könnyen beláthatjuk, hogy ehhez az anyag folyáshatárán kívül csak egy
leng és egy lüktet igénybevételhez tartozó kifáradási határt kell meghatározni. A pontos vagy
a közelít Smith-diagram ismeretében könnyen eldönthetjük, hogy a váltakozó tartós igénybe-
vétel okoz-e tönkremenetelt vagy sem. Ha a változó terhelést jellemz σ ik középfeszültségnek
és a σ ie feszültségamplitúdónak megfelel pont a határgörbe által körbezárt területre esik, az
anyag tönkremenetele elméletileg csak végtelen id múlva következik be.
1.5. Idealizált anyagtörvények
A rugalmasság- és szilárdságtani számításokhoz - mint kés bb látni fogjuk - szükség
van a feszültségeket és az alakváltozásokat összekapcsoló ún. anyagi összefüggésekre. Ezeket
az összefüggéseket a kísérletekkel meghatározott alakváltozási diagramok alapján kell felállíta-
ni. Láttuk azonban, hogy az anyagok tényleges viselkedését leíró jelleggörbék nagyon összetet-

30. 30
tek, a teljes alakváltozási görbe, azaz az anyagtörvény csak igen bonyolult függvénnyel, illetve
függvényekkel adható meg. Ilyen összetett függvények azonban az egyébként sem túlságosan
egyszer szilárdsági számításokat rendkívül megnehezítik, esetleg lehetetlenné teszik. Ezért van
szükség olyan idealizált anyagtörvények megalkotására, amelyek matematikailag egyszer en
leírhatók, ugyanakkor bizonyos alakváltozási és feszültségi tartományban a valóságos viselke-
dést jól visszaadják.
Az anyagok valóságos viselkedésének tanulmányozásánál láttuk, hogy a két alapvet
tulajdonság a rugalmasság és a képlékenység (idegen szóval plasztikusság), ezek különböz
arányban ugyan, de minden szerkezeti anyagban megtalálhatók. Az idealizálás egyik része ab-
ból áll, hogy a két tulajdonságot szétválasztjuk, függetlenné tesszük egymástól. Ideálisan ru-
galmas az anyag, ha a test a tehermentesítés után teljes mértékben visszanyeri eredeti alakját.
További, de igen fontos egyszer sítési lehet ség, ha a rugalmas tartományban a feszültség és az
alakváltozás közötti kapcsolatot lineárisnak tekintjük. Ideálisan képlékeny az anyag, ha a test
csak maradó alakváltozást szenved. Ennek legegyszer bb formájánál az alakváltozási sebesség
arányosan n a ható feszültséggel. Ideálisan képlékeny anyagnál a folyás csak egy meghatáro-
zott feszültségszinten, a valóságos anyag folyáshatárának megfelel értéken lép fel. A felkemé-
nyedési szakasz jellemzésére olyan képlékeny anyagmodellt kell választani, amelyben az alak-
változási sebesség nem lineáris, hanem annál bonyolultabb függvénykapcsolatban van a feszült-
séggel. Az idealizálás következ lépésében ezeket az egyszer alapmodelleket valamilyen mó-
don összekapcsoljuk. Az 1.16. ábrán az alapmodelleket, azok legegyszer bb kombinációit, illet-
ve a nekik mgfelel jelleggörbéket láthatjuk:
- lineárisan rugalmas (a. ábrarész),
- lineárisan képlékeny (b. ábrarész),
- lineárisan rugalmas-képlékeny (c. ábrarész),
- ideálisan rugalmas-képlékeny-felkeményed (d. ábrarész).
A valóságos anyagok jelleggörbéivel összehasonlítva, megállapíthatjuk, hogy az a. áb-
rának megfelel anyagmodell a rideg anyagok, a d. ábrának megfelel pedig a szívós anyagok
leírására látszik alkalmasnak.
A m szaki gyakorlatban - akár építészeti, akár gépészeti feladatokról van szó - az alak-
változás általában csak kicsi lehet, mert a nagy deformáció már jóval a törés el tt lehetetlenné
tenné a szerkezet használatát. A megengedett alakváltozás kis mértéke miatt a m szaki szerke-
zetek elemeiben a feszültség szinte sohasem haladja meg a rugalmassági, illetve az arányossági
határt. Ez a tény lehet séget ad arra, hogy a legegyszer bb, a lineárisan rugalmas anyagtörvényt
alkalmazzuk a m szaki szerkezetek rugalmasságtani és szilárdsági számításaiban.
A lineáris alakváltozási törvényt, mely szerint az alakváltozás arányos a ható er vel,
Hooke fogalmazta meg el ször, aki acéldrót húzásnál fellép alakváltozását vizsgálta. A lineáris
anyagtörvény a normálfeszültséggel és a fajlagos hosszváltozással kifejezve:

31. 31
σ = Eε 1.25
ahol
σ - a vizsgált elem keresztmetszetének pontjaiban ható húzó- vagy nyomófeszültség,
ε - a fajlagos hosszváltozás a normálfeszültség hatásvonalával párhuzamosan,
E - a rugalmassági vagy Young-féle modulusz.
1.16. ábra
A nyomófeszültséget és a neki megfelel fajlagos hosszúságcsökkenést negatív el jellel
látjuk el. Az anyagjelleggörbék, illetve a lineárisan rugalmas ideális anyagmodell jelleggörbéje
alapján könnyen beláthatjuk, hogy az E rugalmassági modulusz a lineáris szakasz iránytangen-
se:
σ
E = tgα = ⋅ . 1.26
ε
Az összefüggésb l következik, hogy E feszültségdimenziójú mennyiség. Szerkezeti
3 9
anyagok esetén praktikus mértékegysége: Mpa vagy GPa = 10 MPa = 10 Pa.

32. 32
A húzó- és nyomóvizsgálatnál láttuk, hogy nemcsak a feszültséggel párhuzamosan,
hanem arra mer legesen is fellép hosszváltozás. Ez a keresztirányú fajlagos hosszváltozás a
rugalmassági, illetve az arányossági határ alatt arányos a hosszirányú fajlagos hosszváltozással:
ε k = − νε 1.27
ahol
εk - a normálfeszültség hatásvonalára mer leges irányban a fajlagos hosszváltozás,
ν - a harántnyúlási vagy Poisson-tényez , amely dimenzió nélküli szám. A negatív el jel
arra utal, hogy hosszirányú megnyúláshoz (+ ε ) keresztmetszeti méretcsökkenés, hosszirányú
rövidüléshez (- ε ) keresztmetszeti méretnövekedés tartozik.
A nyíróvizsgálatok jelleggörbéi alapján bizonyos feszültségszintig a nyírófeszültség és
az általa létrehozott szögváltozás között is alkalmazható a lineáris rugalmasság törvénye:
τ = Gγ 1.28
ahol
τ - a vizsgált keresztmetszet adott pontjában ható nyírófeszültség,
γ - a szögváltozás
G - a nyíró-rugalmassági modulusz, ami most is a nyíró alakváltozási jelleggörbe lineáris
szakaszának iránytangenseként értelmezhet , feszültség dimenziójú mennyiség, célszer mér-
tékegysége: MPa vagy GPa.
Az (1.25), (1.27) és (1.28) összefüggéseket egyszer Hook-törvényeknek is szokták
nevezni.
A tökéletesen képlékeny, illetve a szívós anyagok mechanikai viselkedését a
képlékenységtan tárgyalja. Tehervisel szerkezetek bizonyos elemeinél el fordulhat, hogy a
keresztmetszet egyes részei képlékeny állapotba kerülnek, ami az egész szerkezet használható-
ságára még nincs káros hatással. Különböz gyártási technológiák során is fontos szerepe lehet
a képlékenységtannak, amennyiben éppen a maradó alakváltozás létrehozása a cél (pl. mélyhú-
zásnál).

33. 33
2. Rugalmasságtani alapösszefüggések
2.1. A szilárd test alakváltozása
2.1.1. Eltolódás
Vegyünk fel a 2.1. ábrán látható K helyzetnek megfelel , terhelés el tti állapotban a testben
tetsz legesen egy P és egy A
pontot. Tegyük fel, hogy a test a
terhelés befejeztével a K'-vel
jelölt helyzetbe kerül. A terhelés
el tt a PA pontokat összeköt
egyenes pontjai a terhelés után
valamilyen görbe vonalon
helyezkednek el. Azt mondjuk, a
test alakváltozást szenvedett,
deformálódott. Az alakváltozás
során a test tetsz leges A pontja
az A'-be kerül. A két pontot
összeköt vektort
eltolódásvektor- 2.1. ábra nak nevezzük.
Az ábra alapján:
u = ρ, − ρ ⋅ 2.1
Az eltolódásvektor általában a test minden pontján más, azaz a hely függvénye:
u = u( ρ ) ⋅ 2.2
Ezt a vektor-vektorfüggvényt, amelyben a ρ független változó értelmezési tartománya a test
összes lehetséges pontja, eltolódás-mez nek nevezzük. A (2.2) függvény a test deformáció so-
rán megváltozott alakját, illetve helyzetét egyértelm en megadja.
A rugalmasságtani feladatok megfogalmazása során felállítható összefüggések - ameny-
nyiben minden körülményt pontosan kivánunk figyelembe venni - általában nem lineárisak és
megoldásuk még egészen egyszer feladatoknál is áthidalhatatlan nehézségekbe ütközik. A
gyakorlati esetek többségében azonban olyan egyszer sít feltételezésekkel élhetünk, amelyek
az alapegyenletek lényeges egyszer södéséhez vezetnek. Az egyszer sít feltevések éppen az
eltolódásvektorra vonatkozó korlátként fogalmazhatók meg:
a) Csak olyan kis eltolódásokat engedhetünk meg, amelyek nagysága a test geometriai
méreteihez képest kicsinyek.
b) Az eltolódáskomponensek hely szerinti differenciálhányadosai (a ∂u x ∂x , ∂u x ∂y
stb), amelyek tulajdonképpen a hosszegységre es eltolódások) az egységnél lényegesen - leg-

34. 34
alább két nagyságrenddel - kisebbek és ezek egymással való szorzatai és egynél magasabb ren-
d hatványai is elhanyagolhatók.
A m szaki gyakorlatban felhasznált szilárd testek alakváltozásai általában kielégítik a
fenti megszorításokat.
Az els feltétel megengedi, hogy a sztatikai egyensúlyi egyenleteket a test alakváltozás
el tti helyzetében írjuk fel, azaz mind a terhel er ket, mind a feszültségeket, illetve ezek táma-
dáspontjait a deformálatlan testben felvett koordinátarendszerben adjuk meg. Ezt az eljárást a
megmerevítés elvének nevezzük.
A második feltétel lehet vé teszi, hogy az eltolódás-függvények hatványsorba fejtésénél
a másod- és az annál magasabb fokú tagok elhanyagolhatók - az egyenletek tehát lineárisak
lesznek - és a deformált testhez kötött koordinátarendszerbeli differenciálást a deformálatlan
testhez kötött koordinátarendszerbelivel helyettesítsük.
A fenti megszorításokat kielégít elméletet lineáris (vagy klasszikus) rugalmasságtan-
nak nevezzük.
2.1.2. Deformációs állapot
Az 1.3. pontban definiáltuk a test egy P pontjában az n egységvektorral megadott
irányhoz tartozó ε n alakváltozási vektort. A kiválasztott pontban azonban az irányvektor végte-
len sokféleképpen vehet fel, s mindegyikhez tartozik egy alakváltozási vektor. Egy adott pont-
ban tehát az irány függvénye:
ε n = ε n (n) ⋅ 2.3
Valamely pontban a deformációvektorok összességét a pont alakváltozási (deformációs)
állapotának nevezzük. E végtelen sok deformációvektor megadására természetesen nincs lehet -
ség, a (2.3) függvény konkrét alakjának ismeretében azonban tetsz leges irányhoz meghatároz-
hatjuk a deformációvektort.
Tétel: Egy pont deformációs állapotát a ponton át felvett, egymásra mer leges három irányhoz
tartozó alakváltozási vektor egyértelm en meghatározza.
Bizonyítás: Vegyünk fel egy testben egy elemi nagyságú derékszög hasábot (2.2. ábra), mely-
nek alapélei a P pontból kiinduló koordinátarendszer tengelyeivel párhuzamos ∆x = ∆xe x ,
∆ y = ∆ye y , ∆z = ∆ze z vektorok. A hasáb testátlójához rendelt ∆r vektor iránya és állása
az élhosszak alkalmas megválasztásával tetsz legesen változtatható:
∆r = ∆xe x + ∆ye y + ∆ze z⋅ ⋅
Amennyiben ∆r = ∆r elég kicsi, azaz a hasáb A csúcspontját a P pont infinitezimális környeze-
tében vettük fel, a deformáció során - az eltolódás nagyságára vonatkozó korlátozásokat fel-
használva - a hasáb élei és a hasábátló jó közelítéssel egyenesek, a szemközti síkok pedig pár-
huzamosok maradnak. Az eredetileg derékszög elemi hasáb tehát általános esetben elemi

35. 35
parallelepipedonná deformálódik. Legyen a ∆x , ∆y , ∆z és ∆r vektorok torzulásvektora
∆δ x , ∆δ y , ∆δ z és ∆δ r . A 2.2. ábra alapján az A' pont helyvektorát kétféleképpen is felírhat-
juk:
∆r ′ = ∆r + ∆δ r = ∆x + ∆δ x + ∆y + ∆δ y + ∆z + ∆δ z .
Rendezés és ∆r -rel történ osztás után:
∆δ r ∆δ x ∆δ y ∆δ z
= + + ⋅
∆r ∆r ∆r ∆r
Képezzük a fenti kifejezés határértékét, ha
∆r → 0
és vegyük figyelembe az (1.9) definíciót:
∆x ∆y ∆z
εn = εx ⋅ + εy + εz ⋅
∆r ∆r ∆r
A 2.2. ábráról megállapítható, hogy
2.2. ábra
∆x ∆y ∆z
= cos α x = n x , = cos α y = n y , = cos α z = n z , 2.4
∆r ∆r ∆r
ahol n x , n y , n z - az r vektor irányába es n egységvektor iránycosinuszai. Ezekkel a jelölé-
sekkel:
εn = εxn x + εyn y + εzn z , 2.5/a
amelyben ε x , ε y , ε z - a P pontbeli koordinátairányokhoz (az e x , e y , e z bázisvektorokhoz)
tartozó deformációvektorok. E három deformációvektor ismeretében (2.5/a) összefüggéssel
tetsz leges irányhoz tartozó alakváltozásvektort meghatározhatunk a tétel állításának megfele-
l en. A (2.5/a) összefüggés a (2.3) függvény konkrét alakja.
A P pontban tetsz legesen felvett koordinátarendszer tengelyeinek irányaihoz tartozó
deformációvektorokat általános térbeli esetben 3-3 komponenssel adhatjuk meg:
ε x = ε xx e x + ε xy e y + ε xz e z ,
ε y = ε yx e x + ε yy e y + ε yz e z , 2.5/b
ε z = ε zx e x + ε zy e y + ε zz e z .
Az ε ij (i,j = x, y, z) deformációkomponensek indexes jelölésmódját a továbbiakban is követke-
zetesen alkalmazzuk. Könny belátni, hogy az els index mindig arra az irányra utal, amelyhez

36. 36
a deformációvektor tartozik, a második index pedig arra a tengelyre, amellyel a deformációkom-
ponens párhuzamos. Az ε ij jelölés térben 9 komponenst szimbolizál. Helyettesítsük be (2.5/b)-t
(2.5/a)-ba:
( ) (
ε n = ε nx e x + ε ny e y + ε nz e z = ε xx e x + ε xy e y + ε xy e z n x + ε yx e x + ε yy e y + ε yz e z n y + )
( ) ( ) (
+ ε zx e x + ε zy e y + ε zz e z n z = ε xx n x + ε yx n y + ε zx n z e x + ε xy n x + ε yy n y + ε zy n z e y + )
( )
+ ε xz n x + ε yz n y + ε zz n z ez , 2.5/c
amely ε n komponenseire három skaláregyenletet jelent, amit az indexes jelölésmóddal röviden
megadhatunk:
⋅
ε nj = ∑ ε ij n i
i
, i,j = x, y, z. ⋅ 2.5/d
A (2.5) kifejezések szerint a deformációvektor komponensei az egységnyi irányvektor
komponenseinek homogén lineáris függvényei. Az ilyen homogén lineáris vektor-
vektorfüggvény együtthatói tenzormennyiséget alkotnak. A (2.5/d) egyenletrendszer ε ij
együtthatóit a tenzor komponenseinek nevezzük.
A matematika a tenzorok és a rajtuk értelmezhet m veletek sok fontos tulajdonságát
derítette fel. Ezek ismerete és az ún. tenzorális jelölésmód alkalmazása lényegesen megkönnyíti
a mechanika és különösen a rugalmasságtan tárgyalását. Mivel a tenzorelmélet szabatos mate-
matikai ismertetésére e tárgy keretein belül nincs lehet ség, a szakirodalomra utalva csupán a
legszükségesebb tudnivalókat mutatjuk be a felmerül igényeknek megfelel en.
A tenzort az el bbi homogén
lineáris függvénykapcsolaton
túlmen en úgy is definiálhatjuk,
hogy egy tetsz legesen vá-
lasztott koordinátarendszerbeli
komponensei a koordinátarend-
szer elforgatásakor meghatáro-
zott módon változnak. Vegyünk
egy r dimenziós (r-ed rend )
tenzort. Ez azt jelenti, hogy a
tenzorális (indexes) jelölésnél r
darab futó indexet használunk,
pl.
a i j k l ..... m n
, 2.6
1234.... ..r
2.3. ábra
ahol a három dimenziós térben minden futó index három értéket vehet fel, pl. az x, y, z vagy az
1, 2, 3 jelet. (2.6) a tenzor szimbolikus jelölése, a futó indexeknek konkrét jelet adva, a tenzor
egyik elemét, komponensét kapjuk. Ha a tér egy pontjára értelmezünk egy tenzort, akkor annak
komponenseit egy tetsz legesen választott koordinátarendszerben adhatjuk meg. Jelöljük ezeket

37. 37
a komponenseket (2.6)-tal. A 2.3. ábrának megfelel en vegyünk fel egy újabb koordinátarend-
szert, amely az el z höz képest elforgatott helyzet . Ebben az új (vessz s) koordinátarendszer-
ben a kezd pontban értelmezett tenzor komponensei a következ kifejezésnek megfelel en
változnak:
a i ' j' k 'l '...m ' n ' = ∑a ijkl ...mn
i , j,k , l ...m , n
β i 'i β j' jβ k ' k β l 'l ... β m ' m β n ' n , 2.7
ahol β i 'i = cos α i 'i - az új koordinátarendszer i' tengelyének a régi koordinátarendszer i-edik
tengelyével bezárt szögének cosinusza. Az iránycosinuszok rendszerét a szemléletesség kedvé-
ért táblázatba foglaltuk:
x y z
x' β x'x = cos α x'x β x'y = cos α x'y β x'z = cos α x'z
y' β y'x = cos α y'x β y'y = cos α y'y β y'z = cos α y'z
z' β z'x = cos α z'x β z'y = cos α z'y β z'z = cos α z'z
2.8
Mint látjuk, a β i'i iránycosinuszok egy 3x3-as mátrixba foglalhatók. Ezek a komponen-
sek azonban nem alkotnak tenzormennyiséget, mert rájuk a (2.7) m veleti szabály értelmét
veszti. A tenzort tehát a következ képpen definiálhatjuk: ha egy számhalmaz elemei a koordiná-
tarendszer elforgatásakor a (2.7) szabály szerint transzformálódnak, akkor az elemek
tenzormennyiséget alkotnak. Könnyen beláthatjuk, hogy egy r dimenziós tenzornak a három
dimenziós térben 3r, a két dimenziós térben 2r komponense van. Az is egyszer en ellen rizhet ,
hogy egy vektor három komponense is éppen a (2.7) szerint transzformálódik, tehát a vektorok
egy dimenziós tenzorok. A skalár, amelynek értékét a koordinátarendszerforgatás sem változtat-
ja meg, a fentiek értelmében nulla dimenziós tenzornak tekinthet . A két dimenziós tenzorok
elemeit igen szemléletesen egy 3x3-as mátrixba szokták rendezni és a tenzor mátrixreprezentá-
ciójáról beszélnek.
A tenzorok azonban nemcsak matematikai operátorként, hanem fizikai mennyiségként
is kezelhet k. Ha a tér egy pontjában valamilyen fizikai mennyiséget értelmezünk, akkor azt
tenzor-mennyiségként adjuk meg. Az alkalmazott tenzor dimenziója az értelmezend mennyi-
ség fizikai jellegét l függ. Nulla dimenziós tenzort használunk azoknak a mennyiségeknek a
megadásához, amelyek egyetlen skalárral jellemezhet k (pl. h mérséklet, nyomás, nedvesség-
tartalom, stb.). Egy dimenziós tenzorra, azaz vektorra van szükség az iránnyal, nagysággal és
értelemmel rendelkez mennyiségekhez (sebesség, gyorsulás, er , stb.). Vannak azonban olyan
összetett jelleg mennyiségek, amelyek kett vagy magasabb dimenziószámú tenzorokkal jel-
lemezhet k. Két dimenziós tenzor pl. az alakváltozási, a feszültségi állapot tenzora vagy a me-
rev test tehetetlenségi tenzora, négy dimenziós tenzor a szilárd testeket leíró rugalmas állandók

38. 38
és a szilárdsági jellemz k tenzora. A tenzor fizikai mennyiségként való értelmezése rávilágít a
következ problémára is. A tenzorral jellemzett fizikai mennyiség a koordinátarendszert l füg-
getlenül létezik. Egy tenzor komponenseit azonban mindig valamilyen koordinátarendszerben
kell megadni, reprezentációja mindig valamilyen, általunk többé-kevésbé önkényesen felvett
koordinátarendszerhez köt dik. Ugyanannak a tenzornak a komponensei tehát a különböz ko-
ordinátarendszerekben különböz k. De akármilyen koordinátarendszert is használunk, mindig
ugyanarról a fizikai mennyiségr l van szó, tehát a különböz koordinátarendszerekben meg-
adott tenzorkomponensek között meghatározott kapcsolatnak kell lennie. Ezt a kapcsolatot adja
meg a (2.7) transzformációs szabály.
A fenti kitér után foglalkozzunk ismét az alakváltozásokkal. A (2.5/d) összefüggés
ε ij tenzorát - mivel a komponensek alakváltozási jellemz k - alakváltozási (deformációs)
tenzornak nevezzük. A két dimenziós tenzor mátrixreprezentációja:
ε xx ε yz ε zx 
[ T ] ≡ [ε ]
ε ij

ε ε ε 

≡ ε xy ε yy ε zy  2.9
 xz yz zz 
A komponensek mártixbeli elhelyezkedésének rendszerét könnyen megjegyezhetjük, ha
észrevesszük, hogy az oszlopokban az x, y, z irányokhoz tartozó alakváltozási vektorok kompo-
nensei találhatók. Amennyiben a deformáció- és az irányvektort sor- illetve oszlopmátrixnak
tekintjük, a (2.5/c) összefüggést mátrix alakban is felírhatjuk:
ε xx ε yx ε zx   n x 
  
[ε nx ε ny ε nz ] ≡ ε xy ε yy ε zy   n y  2.5/e
ε ε ε   n 
 xz yz zz   z 
vagy szimbolikus jelöléssel:
ε n = Tε n . 2.5/f
Kés bb bizonyítani fogjuk, hogy az alakváltozási tenzor szimmetrikus, azaz ε ij = ε ji,
mátrixreprezentációban a f átlóra szimmetrikus elemek páronként megegyeznek. Az alakválto-
zási tenzor tehát 6 független adattal jellemezhet .
Tétel: A test egy pontjának alakváltozási állapotát az alakváltozási tenzor, illetve annak kom-
ponensei egyértelm en meghatározzák.
Bizonyítás: A (2.5) jel összefüggések valamelyikével az alakváltozási állapot bármely irány-
hoz tartozó deformációvektora meghatározható. A (2.5) kifejezések együtthatói pedig éppen a
deformációs tenzor komponenseivel egyeznek meg.
2.1.3. F alakváltozások
ε n deformációvektor általában egy n irány
Az (1.11) összefüggés értelmében az
ε nn és egy erre mer leges m irányú ε nm komponensre bontható. Ha n és m egységvektorok,

39. 39
akkor
( )
ε nn = ε n n = Tε n n ,
= ε m = ( T n ) m.
2.10/a,b
ε nm n ε
Tétel: Adott pont bármely alakváltozási állapota esetén mindig található három, egymásra me-
r leges irány, amelyekre az a jellemz , hogy a hozzájuk tartozó deformációvektoroknak csak
normális irányú összetev je van.
Bizonyítás: A fenti tétel fizikai szempontból azt jelenti, hogy vannak olyan irányok, amelyek-
nél a deformáció során csak hosszváltozás lép fel, szögváltozás pedig nem. A kérdéses irányban
felvett n i egységvektornak csak a hossza változik meg, az állása nem, a deformációvektor n i
irányú:
ε n i = ε i n i = Tε n i ,
ahol ε i - az n i rányba es fajlagos hosszváltozás, melyet az alakváltozási állapot f alakváltozá-
sának nevezünk, az n i irány pedig az alakváltozási állapot f alakváltozási tengelye vagy más
néven alakváltozási f iránya. A fenti egyenlet kanonikus alakja
(T ε )
− ε i E n i = 0, 2.11
ahol E - az egységtenzor, melynek mátrixában a f átló elemei eggyel, a többi elem nullával
egyenl . Az egységtenzort az indexes jelölésmódban a δ ij - Kronecker-delta szimbólummal
adjuk meg ( δ ij = 1 , ha i = j és δ ij = 0 , ha i ≠ j ).
(2.11)-nek csak akkor van a triviálistól különböz megoldása, ha együtthatómátrixa
szinguláris, azaz az együtthatómátrix determinánsa nulla:
Tε − ε i E = 0 , 2.12/a
részletesen kiírva:
ε xx − ε i ε yx ε zx
ε xy ε yy − ε i ε zy = 0. 2.12/b
ε xz ε yz ε zz − ε i
A determinánst kifejtve, ε i -re egy harmadfokú egyenletet kapunk, melyet az alakválto-
zási tenzor karakterisztikus egyenletének nevezünk:
ε 3 − D 1 ε i2 + D 2 ε i − D 3 = 0,
i 2.13
ahol
D 1 = ε xx + ε yy + ε zz = ∑ ε ii , 2.14/a
i
D 2 = ε xx ε yy − ε xy ε yx + ε xx ε zz − ε xz ε zx + ε yy ε zz − ε yz ε zy =