'Essere meno sbagliato di'.

‘Essere meno sbagliato di’
Proposte di analisi e formalizzazione
Rossella Marrano
13 maggio 2013

Meno sbagliato di Primo modello formale Inadeguatezza Nuova proposta Feedback Conclusione
Struttura
1 Intuizioni di partenza: meno sbagliato di
2 Primo modello formale
3 Inadeguatezza del modello
4 Nuovo modello formale: gradi di conseguenza
5 Feedback sulle intuizioni
6 Conclusione: considerazioni di metodo
Rossella Marrano

Aristotele, Metaﬁsica, Γ 1008b 31–37
Inoltre, supposto anche che tutte le cose siano e non
siano in un dato modo, si dovrà pur ammettere che nella
natura delle cose esiste il più e il meno. Infatti, non
potremmo certo dire che sono allo stesso modo pari il due
e il tre, né potremmo dire che sbaglia nello stesso modo
chi confonde il quattro con il mille. Se, dunque, costoro
non sbagliano nello stesso modo, è evidente che uno dei
due sbaglia di meno e che, pertanto, è più nel vero.
Rossella Marrano

Isaac Asimov, The Relativity of Wrong
John, when people thought the Earth was ﬂat, they were
wrong . When people thought the Earth was spherical,
they were wrong. But if you think that thinking the Earth
is spherical is just as wrong as thinking the Earth is ﬂat,
then your view is wronger than both of them put together.
How do you spell “sugar”? Suppose Alice spells it
p-q-z-z-f and Genevieve spells it s-h-u-g-e-r. Both are
wrong, but is there any doubt that Alice is wronger than
Genevieve? For that matter, I think it is possible to argue
that Genevieve’s spelling is superior to the “right” one.
Rossella Marrano

Esempio 1:
(1a) Il triangolo è un cerchio.
(1b) Il quadrato è un cerchio.
Esempio 2:
(2a) Pisa è in Indonesia.
(2b) Pisa è in Puglia.
Cosa ci dicono gli esempi?
tutti gli enunciati sono sbagliati,
saremmo disposti ad accettare che gli enunciati (b) sono meno
sbagliati degli (a),
c’è un’intuizione di vicinanza alla risposta risposta giusta.
Rossella Marrano

Una metrica dell’errore?
Si può dire che una risposta è tanto più sbagliata quanto più si
allontana (in senso aritmetico, spaziale etc.) da quella giusta?
Questo fenomeno però non esaurisce l’intuizione del ‘meno
sbagliato di’ per due motivi:
1 esistono casi in cui non ha senso pensare in termini
quantitativi,
2 esistono casi in cui non ha senso parlare di approssimazione o
di avvicinamento ad una risposta giusta.
Rossella Marrano

Non solo distanza
Esempio 3:
(3a) 2+2=rosso
(3b) 2+2=7
Esempio 4:
(4a) Pisa è in cucina.
(4b) Pisa è in Puglia.
In questo caso non si può parlare di distanza, a rendere la risposta
(b) meno sbagliata della (a) è l’appropriatezza di categoria
rispetto alla domanda.
NB questo vale sempre e solo in riferimento a domande ben
determinate.
Rossella Marrano

Non solo approssimazione
Esempio: compito di matematica
Abbiamo un’espressione numerica il cui risultato è 1. L’alunno (a)
ottiene come risultato 3 dopo aver sbagliato una divisione, mentre
l’alunno (b) a causa di un errore di trascrizione ottiene come
risultato 300.
1 entrambe le soluzioni sono sbagliate;
2 non diremmo mai che la prima è meno sbagliata della seconda
perché il risultato si avvicina di più a quello corretto;
3 nella valutazione l’insegnante considererà ’meno sbagliato’
l’esercizio di (b);
4 subentrano considerazioni di rilevanza.
Generalizzazione: tema di filosofia
Non esiste una risposta giusta ad un tema di filosofia, nonostante
questo il correttore è in grado di ordinare le risposte.
Rossella Marrano

Fissando i punti
Gradualità nella bivalenza: una cosa o è sbagliata o non lo è
però accettiamo il fatto che “alcune siano più sbagliate di
altre”.
Su quale sia più sbagliata date due opzioni abbiamo intuizioni
largamente condivise.
L’aspetto soritico/quantitativo dell’avvicinarsi è solo una
componente di questa intuizione.
Riusciamo a confrontare due opzioni anche quando manca un
riferimento assoluto.
Rossella Marrano

Problema fondamentale
Si tratta di pura retorica? parlare di ‘più o meno sbagliato’ è una
metafora, un semplice modo di dire?
Questo è il problema al quale tenteremo di rispondere durante la
trattazione.
Rossella Marrano

Problema preliminare
C’è un’ovvia gradualità che riguarda il nostro livello di convinzione
nella verità degli enunciati (grado di credenza). Si tratta forse di un
problema epistemico?
Vediamo con un controesempio perché il fenomeno che stiamo
presentando eccede questa dimensione soggettiva.
Rossella Marrano

Controesempio
That handkerchief which I so
loved and gave thee. Thou
gavest to Cassio.
Othello
S(marrimento) Desdemona ha perso il fazzoletto.
F(urto) A Desdemona è stato rubato il fazzoletto.
R(egalo) Desdemona ha regalato il fazzoletto.
Rossella Marrano

Questi enunciati possono essere ordinati, non senza qualche
arbitrarietà, secondo due diversi ordini:
Meno sbagliato di:
1 S
2 F
3 R
Più probabile di (per Otello):
1 R
2 S
3 F
Rossella Marrano

La gradualità di cui stiamo parlando non coincide con la gradualità
della credenza, anzi: le due possono essere ortogonali.
La relazione ‘meno sbagliato di’ si distingue dalla relazione ‘più
probabile di’ perché la seconda misura i gradi di convinzione del
soggetto, mentre la prima ha una dimensione non soggettiva,
indipendente dal soggetto.
Indipendenza dal soggetto
Quando si parla di ‘sbaglio’ si pensa a qualcuno che sta sbagliando,
noi invece consideriamo una nozione impersonale di ‘essere
sbagliato’ più che quella di ‘sbagliarsi’.
Rossella Marrano

Un esercizio modesto
accettiamo l’intuizione nella forma minimale esposta, crediamo
che a livello informale non possa essere spinta oltre;
qualcosa viene a gradi ma non sappiamo di cosa si tratta, non
li chiamiamo gradi di verità perché
bisognerebbe fornire un fondamento teorico (es gradi di
corrispondenza),
vorrebbe dire condurre l’indagine pensando di avere già la
risposta,
vogliamo prendere sul serio l’intuizione (cioè concedere che
non si tratti di una metafora) e valutare delle proposte di
trattazione formali e interpretative.
Rossella Marrano

Primo modello formale
più o meno sbagliato ⇒ gradualità della verità degli enunciati
Proposta interpretativa
c’è qualcosa oltre alla verità assoluta e alla falsità assoluta,
la verità è una nozione graduata, esistono gradi intermedi di
verità,
aspetto soritico: i gradi vanno pensati come un continuo di
valori.
Proposta formale
ammettere l’esistenza di valori di verità diversi da 0 e 1,
ampliando il codominio della funzione di valutazione,
prendere come codominio l’intervallo reale unitario.
Rossella Marrano

La logica di Łukasiewicz
Linguaggio L = {p1, . . . , pn}.
Connettivi C = {¬, →}.
Enunciati EL.
Assiomi e regole
(A1) φ → (ψ → φ)
(A2) (φ → ψ) → ((ψ → χ) → (φ → χ))
(A3) ((φ → ψ) → ψ) → ((ψ → φ) → φ)
(A4) (¬φ → ¬ψ) → (ψ → φ)
(MP) φ φ→ψ
ψ
Deducibilità Γ ∞ φ ⇐⇒ esiste una Γ−dimostrazione di φ.
Rossella Marrano

Signiﬁcato semantico dei connettivi: f¬(x) = 1 − x,
f→(x, y) = min{1, 1 − x + y}.
Valutazioni (V): funzioni v : L → [0, 1] che si estendono a
v : EL → [0, 1].
Conseguenza logica:
Γ |=∞ φ ⇐⇒ ∀v ∈ V se v(Γ) = 1 allora v(φ) = 1.
Completezza
∞ ⇐⇒ |=∞
Rossella Marrano

Inadeguatezza
Questo modello non è adeguato rispetto al nostro problema di
partenza.
Motivi
1 implausibilità e diﬃcoltà interpretative,
2 problema teorico-fondazionale che riguarda la polivalenza.
Rossella Marrano

Diﬃcoltà interpretative
1 aspetto quantitativo (numerico):
cosa vuol dire che un enunciato è vero con valore di verità
0.704638366?
cosa vuol dire che un enunciato con valore di verità
0.704638366 è più vero di un enunciato con valore di verità
0.704638346?
2 aspetto concettuale:
cosa vuol dire essere più vicino al vero?
cosa vuol dire essere un po’ vero? partecipare parzialmente
della verità?
Rossella Marrano

Problema fondazionale
Per logiche polivalenti come quella di Łukasiewicz si dimostra un
risultato che priva di dignità logica i valori diversi da 0 e 1:
Teorema di riduzione (Suszko, 1977)
Ogni logica tarskiana ha una semantica bivalente.
La dimostrazione fa leva sul fatto che la la nozione di conseguenza
logica preservi solo il valore massimo: essa crea una bipartizione
nell’insieme dei valori ({1} e [0, 1] {1}) rispristinando la bivalenza.
Dimostrazione del teorema
Discussione sul signiﬁcato del teorema
Rossella Marrano

Signiﬁcato del teorema
Tesi di Suszko
Da un punto di vista logico, esistono solo due valori di verità. Gli
altri valori non hanno peso logico, hanno un signiﬁcato soltanto
algebrico.
Non importa quanti elementi ha il codominio della funzione di
valutazione, se la nozione di conseguenza è vero-preservante in
senso tarskiano gli unici valori logici sono 0 e 1.
Rossella Marrano

Osservazione
I problemi evidenziati non sono problemi della logica di Łukasiewicz
in quanto tale, diventano delle diﬃcoltà nel momento in cui la si
vuole usare per modellare il problema di partenza.
Ad essere minata alla base è la legittimità dell’idea di considerare i
valori nell’intervallo come valori di verità:
manca la presa sull’intuizione per quanto riguarda l’aspetto
numerico;
la riduzione di Suszko introduce una disomogeneità, una
diﬀerenza qualitativa tra i valori (0 e 1 hanno uno stasus
privilegiato), mentre la proposta formale analizzata ha un
approccio quantitativo (1 è distinto da 0.9999 solo
quantitativamente).
Rossella Marrano

Via d’uscita
Il teorema di Suszko dice la parola deﬁnitiva sui valori compresi tra
0 e 1? dobbiamo concludere che il problema dei gradi intermedi è
malposto o è solo una metafora? esistono solo la verità assoluta e
la falsità assoluta?
Prendere i gradi seriamente
Esiste un modo per riabilitare i valori intermedi: immaginare una
relazione di conseguenza che li preservi.
L’idea dei gradi non è da rigettare come insensata in conseguenza
del teorema di Suszko.
Rossella Marrano

Il teorema di Suszko ci dice che:
La nozione di conseguenza tarskiana (deﬁnita come preservazione
della verità dalle premesse alla conclusione) è intrinsecamente
bivalente e in quanto tale sembra non riﬂettere l’idea semantica di
polivalenza.
La logicità dei valori risiede nel loro essere preservati nelle inferenze
logiche.
Rossella Marrano

Proposta: gradi di conseguenza
La bivalenza delle logiche tarskiane risiede nella nozione di
conseguenza, allora per poter parlare seriamente di valori di verità
diversi da 0 ed 1 è proprio su di essa che si deve agire (non solo sul
codominio della funzione di valutazione).
Idea intuitiva
Accettiamo come valide non solo inferenze che ci fanno passare dal
vero al vero, ma anche inferenze la cui conclusione segue dalle
premesse con un grado non inferiore a quello delle premesse.
Proposta: La nozione di conseguenza deve essere deﬁnita in modo
da preservare non solo il valore massimo ma anche tutti gli altri
valori nell’intervallo.
Rossella Marrano

Definizione (Font)
Sia ≥ la relazione d’ordine definita sull’intervallo [0, 1].
Definizione 1.
Γ |=∞ φ ⇐⇒ ∀v ∈ V, per ogni a ∈ [0, 1]
se ∀γ ∈ Γ v(γ) ≥ a allora v(φ) ≥ a.
Sfruttando in maniera essenziale il fatto che [0, 1] è un reticolo
completo (o equivalentemente che ([0, 1], ≥) è un ordine lineare),
questa definizione è equivalente alla seguente:
Definizione 2.
Γ |=∞ φ ⇐⇒ ∀v ∈ V,
v(φ) ≥ inf { v(γ) | γ ∈ Γ } .
Rossella Marrano

Equivalenza tra 1. e 2.
Ragioniamo informalmente:
Γ |=∞ φ ⇐⇒ ∀v ∈ V, per ogni a ∈ [0, 1]
⇐⇒ ∀v ∈ V, non esiste a ∈ [0, 1]
∀γ ∈ Γ v(γ) ≥ a > v(φ).
⇐⇒ ∀v ∈ V,
esiste γ ∈ Γ v(φ) ≥ v(γ).
⇐⇒ ∀v ∈ V,
v(φ) ≥ inf { v(γ) | γ ∈ Γ } .
Rossella Marrano

Definizione
Chiamiamo logica di Łukasiewicz a infiniti valori che preserva i
gradi (e la indichiamo con Ł∞) la logica che si ottiene dalla logica
di Łukasiewicz a infiniti valori (Ł∞) sostituendo la nozione di
conseguenza tarskiana |=∞ con |=∞.
Definiamo inoltre:
Valori: ogni a tale che a ∈ [0, 1]
Gradi: ogni intervallo aperto [a) ⊆ [0, 1], cioè
[a) = [a, 1] = { x ∈ [0, 1] | a ≤ x }.
a è il valore che determina il grado [a).
Rossella Marrano

Preservazione
In che senso questa relazione si dice preservare i gradi?
La deﬁnizione
Γ |=∞ φ ⇐⇒ ∀v ∈ V, per ogni a ∈ [0, 1]
può essere riformulata come segue
Γ |=∞ φ ⇐⇒ ∀v ∈ V, per ogni a ∈ [0, 1]
se ∀γ ∈ Γ v(γ) ∈ [a) allora v(φ) ∈ [a).
Rossella Marrano

La nozione di conseguenza classica preserva solo il valore massimo,
cioè l’appartenenza all’insieme {1}:
Γ |=∞ φ ⇐⇒ ∀v ∈ V,
se ∀γ ∈ Γ v(γ) ∈ {1} allora v(φ) ∈ {1};
invece la nuova nozione di conseguenza preserva l’appartenenza a
tutti i sottointervalli [x, 1] ⊆ [0, 1] per ogni x ∈ [0, 1]:
Γ |=∞ φ ⇐⇒ ∀v ∈ V, per ogni a ∈ [0, 1]
se ∀γ ∈ Γ v(γ) ∈ [a) allora v(φ) ∈ [a).
Rossella Marrano

Che ruolo hanno i valori intermedi (gradi di conseguenza) nel nuovo
formalismo? cosa ci dice questa formalizzazione sul problema dal
quale siamo partiti?
1 prospettiva relazionale
2 dimensione non quantitativa
3 importanza logica dei valori diversi da 0 e 1.
Rossella Marrano

Prospettiva relazionale I
La deﬁnizione di gradi di conseguenza introduce una prospettiva
relazionale che mitiga le diﬃcoltà interpretative del formalismo
standard.
Dati due enunciati θ e φ ci sono due domande diverse che possiamo
porci:
1 trovare degli x e y tali che x, y ∈ [0, 1], v(θ) = x e v(φ) = y,
2 v(φ) ≥
?
v(θ).
Rossella Marrano

Prospettiva relazionale II
Nelle logiche che preservano gradi di verità il nostro interesse non è
tanto il grado di verità di ciascuno quanto la relazione d’ordine che
c’è tra essi.
Osservazioni sull’aspetto relazionale:
plausibilità cognitiva,
parallelismo con l’attribuzione di valori di probabilità e la
‘relazione non meno probabile di’.
Rossella Marrano

Dimensione non quantitativa I
Quanto è più vero?
Pur spostando l’accento sul confronto e non sull’attribuzione di un
valore assoluto potrebbe permanere una dimensione quantitativa.
Passaggio da una prospettiva cardinale ad una ordinale: non ci
interessa più la posizione esatta (e quindi la distanza) dei valori di
verità di due enunciati sull’intervallo reale, ma i rapporti d’ordine
tra i due.
Rossella Marrano

Dimensione non quantitativa II
assenza di un’intuizione numerica sul grado di verità di un
enunciato,
il confronto quantitativo (quanto un enunciato è più vero di un
altro) perde di senso in questo formalismo e questo
corrisponde all’intuizione per la quale espressioni come
“doppiamente vero”, “dieci volte più vero” sono solo metafore.
Rossella Marrano

Valori diversi da 0 e 1
i valori intermedi riacquistano importanza logica perché
1 vengono preservati nelle inferenze, al pari dell’1,
2 permettono l’ordine e quindi il confronto tra valori.
0 e 1 restano privilegiati per un solo aspetto: in quanto valori
estremi banalizzano la relazione d’ordine e permettono
l’attribuzione puntuale di valore.
1 se v(φ) = 1 allora v(φ) ≥ v(θ) per ogni θ ∈ EL:
|=∞ φ ⇐⇒ |=∞ φ.
2 se v(θ) = 0 allora v(φ) ≥ v(θ) per ogni φ ∈ EL:
θ |=∞ ⇐⇒ θ |=∞ .
questa riabilitazione rende pressante la risposta alla domanda:
come vengono interpretati?
Rossella Marrano

Per il modello precedente avevamo evidenziato due difficoltà:
1 implausibilità e difficoltà interpretative,
2 problema teorico-fondazionale che riguarda la polivalenza.
Modificandolo in maniera opportuna abbiamo ottenuto un modello
che le mitiga o le elimina:
1 l’aspetto relazionale e l’approccio non quantitativo hanno una
presa intuitiva ed una plausibilità maggiore;
2 una nozione di conseguenza che preserva gradi di verità riflette
meglio di quella vero-preservante l’idea semantica di
polivalenza logica.
Rossella Marrano

Nota metodologica
Stesso problema, due modi per affrontarlo:
Prospettiva epistemologica
Cosa sono o cosa dovrebbero
essere i valori di verità? Come
vengono interpretati? In che
rapporto sono con la denotazione
degli enunciati?
Si elabora una concezione
filosofica e si cerca un modello
formale adeguato.
Prospettiva logica
Come vengono usati questi valori
per definire una nozione di
conseguenza e quindi una logica?
Che legame c’è tra la polivalenza
logica e la nozione di
conseguenza?
Si è interessati alla costruzione di
un sistema logico e poi si
propongono questioni filosofiche
come possibili applicazioni.
Rossella Marrano

Verso una nuova prospettiva
si parte da concetti intuitivi che hanno un carattere
volutamente nebuloso,
non si anticipano vincolanti scelte interpretative,
si rendono sensibili i modelli alle intuizioni e non viceversa.
L’unire queste due prospettive ha ricadute importanti su entrambe
prese singolarmente ma il vantaggio più signiﬁcativo è l’occasione di
chiarire i rapporti tra le due.
Rossella Marrano

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