Il documento discute il passaggio dai gradi di verità ai gradi di conseguenza, esplorando le implicazioni filosofiche e logiche di tale transizione. Analizza formalizzazioni come il teorema di Suszko, che stabilisce una semantica bivalente per logiche tarskiane, mettendo in discussione il significato di valori di verità oltre il vero e il falso. Si propone una riflessione su come interpretare valori di verità multipli e sulla connessione tra verità, conseguenza logica e le istituzioni semantiche.

1. Dai gradi di verità ai gradi di conseguenza
Rossella Marrano
18 marzo 2013

2. Struttura
1 Panoramica sul problema filosofico dei valori di verità.
2 Formalizzazione: logiche polivalenti e teorema di Suszko.
3 Discussione sul teorema, raffinamento dell’intuizione.
4 Nuova proposta formale: nozione di gradi di conseguenza.
5 Verità, conseguenza e formalizzazione: proposta teorica.
Rossella Marrano
Dai gradi di verità ai gradi di conseguenza

3. Frege
1891 Funzione e concetto.
1892 Senso e denotazione.
Un enunciato si comporta come un nome proprio (espressione
saturata) e la sua denotazione è un valore di verità: il VERO o il
FALSO.
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4. Verità come oggetto o come proprietà?
Rapporti tra i due:
Un enunciato è vero se e solo se il suo valore di verità è il VERO.
Cioè:
T (φ) ⇐⇒ v (φ) = .
Osservazioni:
dibattito ontologico-metafisico
rapporto sintassi/semantica
problemi di priorità?
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5. Valori di verità come valori logici
Frege, 1918
“The word ‘true’ indicates the aim of the logic as does
‘beautiful’ that of aesthetics and ‘good’ that of ethics.”
Łukasiewicz, 1921
“All true propositions denote one and the same object,
namely truth, and all false propositions denote one and
the same object, namely falsehood. I consider truth and
falsehood to be singular objects in the same sense as the
number 2 or 4 is. [...] Logic is the science of objects
of a special kind, namely a science of logical values.”
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6. Proposta di formalizzazione
I valori di verità rappresentano il codominio di una funzione di
valutazione che associa ad ogni enunciato del linguaggio il suo
valore di verità.
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7. Logica proposizionale
Linguaggio L = {p1 , . . . , pn }.
Connettivi C = {¬, ∧, ∨, →} più significato: {f¬ , f∧ , f∨ , f→ }.
Enunciati EL.
Valutazioni v ∈ V
definizione v : L → {0, 1} che si estende a v : EL → {0, 1}
proprietà:
composizionalità
bivalenza
noncontraddittorietà
Conseguenza logica
Γ |= φ ⇐⇒ ∀v ∈ V se v (Γ) = 1 allora v (φ) = 1.
Rossella Marrano
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8. Quali sono le modifiche minimali da fare per ottenere un’estensione
polivalente della logica precedente?
Linguaggio L = {p1 , . . . , pn }.
Connettivi C = {¬, ∧, ∨, →} più significato: {f¬ , f∧ , f∨ , f→ }.
Enunciati EL.
Valutazioni v ∈ V
definizione v : L → {0, 1} che si estende a v : EL → {0, 1}
proprietà:
composizionalità
bivalenza
noncontraddittorietà
Conseguenza logica
Γ |= φ ⇐⇒ ∀v ∈ V se v (Γ) = 1 allora v (φ) = 1.
La nozione di conseguenza logica non cambia.
Rossella Marrano
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9. Il passaggio da due a più valori di verità ha motivazioni filosofiche o
nasce da un interesse puramente matematico?
Łukasiewicz, 1922 Post, 1920
“To me, personally, the “One class of such systems, and
principle of bivalence does not we study these in detail, seems
appear to be self-evident. to have the same relation to
Therefore I am entitled not to ordinary logic that geometry in
recognize it, and to accept the a space of an arbitrary number
view that besides truth and of dimensions has to the
falsehood there exist other geometry of Euclid. [...] In
truth-values, including at least these systems instead of the two
one more, the third truth-values + and −, we have
truth-value.” m distinct ‘truth-values’ tl , t2 ,
..., tm where m is any positive
integer.”
Giustificazione filosofica Passaggio immediato
Rossella Marrano
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10. Che preceda o segua l’estensione del codominio, il momento
interpretativo è fondamentale.
Se 1 e 0 vengono interpretati come VERO e FALSO, che
interpretazione va associata agli altri valori? O, in altri termini, se 2
è l’insieme dei valori di verità, come vanno interpretati gli altri
possibili codomini?
In alcuni casi l’intuizione ci assiste:
tre valori: il terzo valore può essere visto come
insensato
non definito (possibile)
indeterminato
paradossale
quattro valori: vero, falso, né vero né falso, sia vero che falso.
...? ...
infiniti valori: gradi (continui) di verità.
Rossella Marrano
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11. Verità come nozione graduata
Abbiamo un’intuizione in merito e questa è presente anche senza
fare appello a frasi che coinvolgono predicati vaghi.
Esempio I:
(Ia) Il triangolo è un cerchio.
(Ib) Il quadrato è un cerchio.
Esempio II:
(IIa) Il triangolo è un quadrato.
(IIb) Il cerchio è un quadrato.
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12. Gli enunciati degli esempi sono tutti banalmente falsi; tuttavia c’è
un senso in cui saremmo disposti ad accettare che gli enunciati (b)
sono ‘meno falsi’ (o ‘più veri’ ?) degli (a). Nel primo caso per
un’intuizione aritmetica sul numero di lati (4 è più vicino ad infinito
di 3) e nel secondo per un’intuizione geometrica sulla forma.
Una cosa o è falsa o non lo è però accettiamo il fatto che “alcune
siano più false di altre”.
Come di formalizza questa intuizione?
La proposta più comune è quella di considerare l’intervallo reale
come codominio della funzione di valutazione ed interpretare i punti
come ‘gradi di verità’.
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13. Parentesi: sulla vaghezza
Il discorso sui gradi di verità è spesso legato a quello sulla vaghezza
semantica.
La scelta di non trattare questo problema è indipendente dalla
nostra convinzione o meno circa il contributo che le logiche
polivalenti possono dare alla chiarificazione di problemi legati alla
vaghezza. Non lo trattiamo in quanto pertinente alla sfera delle
applicazioni.
Noi siamo interessati ai fondamenti teorici delle logiche polivalenti e
il nostro target è indagare il ruolo di nozioni come la verità, la
conseguenza e i rapporti tra le due.
Rossella Marrano
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14. All’interno di questa complessa cornice fatta di tesi filosofiche ed
intuizioni bisogna valutare il peso di un risultato logico-matematico
come il teorema di riduzione di Suszko.
Teorema di riduzione (Suszko, 1977)
Ogni logica tarskiana ha una semantica bivalente.
Per una dimostrazione rigorosa vedere qui.
Rossella Marrano
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15. Il sistema delle matrici
Segnatura (tipo) L: simboli con arietà
Variabili proposizionali Var
Formule For
Algebra delle formule FM = For , F1 , . . . , Fn
Algebra simile a FM: A = A, f1 , . . . , fn
Omomorfismo: s : Var → A che si estende a hs : For → A con
hs ∈ Hom(FM, A).
Matrice logica: M = A, D = A, D, {fi }i∈I con D ⊆ A.
Modello: M = A, D, h
Conseguenza logica:
Γ φ ⇐⇒ ∀h ∈ Hom(FM, A) se h(Γ) ∈ D allora h(φ) ∈ D.
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16. Teorema di riduzione — idea intuitiva
Osservazione
L’insieme D si comporta come un predicato di verità classico.
Idea della dimostrazione: per ogni valutazione h : For → A si
costruisce una valutazione th che valuta 1 tutte le φ tali che φ ∈ D
e 0 tutte quelle tali che φ ∈ D. La matrice logica di L più la classe
/
di valutazioni così ottenute ci fornisce una semantica bivalente.
Teorema di riduzione (Suszko, 1977)
Ogni logica tarskiana ha una semantica bivalente.
Rossella Marrano
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17. ‘Retroazione’ del risultato formale sul dibattito filosofico
Che impatto ha questo risultato sulla questione dei valori di verità
precedentemente delineata?
Problemi:
che ruolo hanno gli altri valori?
che fine fa l’idea di polivalenza?
ha ancora senso parlare di più valori di verità? o di gradi?
cosa ci dice questo teorema sulla nozione di conseguenza
tarskiana?
Rossella Marrano
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18. Digressione: risultati in filosofia
L’assunzione soggiacente all’intera discussione è che risultati
matematici possano dare un contributo significativo all’analisi di
problemi filosofici.
Questa è un’assunzione controversa e pone problemi come
che cos’è un risultato in filosofia?
un problema filosofico ammette soluzione?
come si valuta il ruolo di un risultato formale (negativo,
positivo, neutro) rispetto ad una posizione filosofica?
come se ne valuta l’importo, la cogenza, la conclusività?
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19. Il nostro problema
Come si legge filosoficamente il teorema di riduzione? Qual è il
feedback, se c’è, sulle nostre intuizioni?
Vedremo diverse posizioni:
Tesi di Suszko.
Discussione sulla tesi.
Avron, 2009
Malinowski, 1990
Font, 2009
‘Importo minimale’ del teorema.
Rossella Marrano
Dai gradi di verità ai gradi di conseguenza

20. Tesi (Suszko, 1977)
“Łukasiewicz is the chief perpetrator of a magnificent
conceptual deceit lasting out in mathematical logic to the
present day. [...] How was it possible that the humbug
of many logical values persisted over the last fifty
years?”
“[...] any multiplication of logical value is a mad idea
[...].”
“Thus, the Fregean Axiom has been constructively abolished
by Jan Łukasiewicz. However, he did not as he could not
create any new logical value besides the truth and the
falsity.”
Rossella Marrano
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21. Tesi di Suszko
Da un punto di vista logico, esistono solo due valori di verità. Gli
altri valori non hanno peso logico, hanno un significato soltanto
algebrico.
Questo caso ci permette anche di capire cosa intende Hansson
(2000) parlando di rischi della formalizzazione:
la formalizzazione può favorire l’introduzione di costruzioni ad
hoc che non hanno un’interpretazione informale;
ci si può indebitamente focalizzare su problemi che in realtà
sono artefatti del modello.
Rossella Marrano
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22. Tesi di Suszko.
Discussione sulla tesi.
Avron, 2009
Malinowski, 1990
Font, 2009
‘Importo minimale’ del teorema.
Rossella Marrano
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23. Avron, 2009
“On the philosophical level, Suszko’s thesis seems to me
correct. When it comes to truth of meaningful
propositions there are just two possibilities: a
proposition is either true or false. Therefore in my
opinion there are indeed just two truth-values (calling
them ‘logical’ truth-values adds nothing, and I believe it
is even misleading). However, for the working logicians
and mathematicians this philosophical thesis has little
significance. Bivalent semantics for logical systems is a
too limited framework. The point in developing adequate
semantics for a given logic is to use it for getting
deeper understanding of the system and its properties.
Bivalent semantics is seldom useful for this purpose.”
Obiezione condivisibile, ma a noi interessa l’impatto filosofico.
Rossella Marrano
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24. Malinowski, Q(uasi)-conseguenza
Modifica del concetto di matrice logica basata sull’idea seguente:
Idea informale
In alcuni ragionamenti (es. ragionamento per ipotesi) accettiamo
delle conclusioni a partire da premesse non rifiutate.
Prendere
VERO — FALSO
DESIGNATO — NON DESIGNATO
ACCETTATO — RIFIUTATO
come coppie di concetti contrari invece di contraddittori.
Tesi
La modellizzazione di questo tipo di ragionamento diventa un
esempio di logica polivalente immune alla riduzione di Suszko.
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25. Formalmente
L-matrice
M = A, D = A, D, {fi }i∈I con D ⊆ A.
L-logica
Γ φ ⇔ ∀h ∈ Hom(FM, A) se ∀γ ∈ Γ h(γ) ∈ D allora h(φ) ∈ D.
Q-matrice su L
M = A, D + , D − = A, D + , D − , {fi }i∈I
con D + ⊆ A, D − ⊆ A, D + ∩ D − = ∅ e D + ∪ D − = A.
Q-logica L
Γ φ ⇔ ∀h ∈ Hom(FM, A) se ∀γ ∈ Γ {h(γ)} ∩ D − = ∅ allora h(φ) ∈ D.
¬∃γ∈Γ h(γ)∈D −
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26. Contro Suszko
Una matrice di questo tipo genera una semantica trivalente per la
logica. E il terzo valore sembra rientrare a pieno titolo tra i valori
logici (nel senso di Suszko).
Teorema (Malinowski, 1990)
Ogni q−logica è caratterizzata da una classe di q−modelli bivalenti
o da una classe di q−modelli trivalenti.
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27. Osservazioni
1 questa nozione di conseguenza in quanto non riflessiva non
preserva il valore di verità dalle premesse alla conclusione (non
dimostra neanche le assunzioni!),
2 è un controesempio alla tesi di Suszko? Dipende.
Sembra contraddire la tesi di Suszko solo se quest’ultima viene
presa nella sua forma ‘estrema’ (non possono esistere valori di
verità logici diversi dal vero e dal falso) che necessita un
indebolimento se non vuole ‘dire’ di più del teorema di riduzione.
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28. Cosa impariamo da Malinowski?
Il teorema di riduzione (nella versione di Suszko) è legato alla
definizione di conseguenza logica tarskiana e quindi vale per le
logiche tarskiane.
Cambiando la nozione di conseguenza il risultato si ripresenta in
una versione più generale (rafforzata).
C’è un legame molto forte tra logicità dei valori di verità e
preservazione nell’inferenza.
Rossella Marrano
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29. Font, 2009
Obiezioni:
1 la semantica di Suszko non è una vera semantica perché per
costruirla ci si serve della logica (“syntax in disguise”).
2 rischio di identificare una proprietà della semantica con
un’intrinseca proprietà della logica. Passaggio illegittimo:
SR ogni logica ha una semantica a due valori.
ST ogni logica è (logicamente) bivalente.
1 e 2 si neutralizzano a vicenda
Ma se la semantica è così vicina alla logica (tanto da essere la
stessa cosa) allora il risultato semantico dovrà pur dire qualcosa
sulla logica.
E cosa dice?
Rossella Marrano
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30. Importo minimale del teorema
Non importa quanti elementi ha il codominio della funzione di
valutazione, se la nozione di conseguenza è vero-preservante in
senso tarskiano gli unici valori logici sono il VERO e il FALSO.
Il teorema di riduzione è la dimostrazione formale di qualcosa di
altamente plausibile dal punto di vista intuitivo e cioè:
La nozione di conseguenza tarskiana (definita come preservazione
della verità dalle premesse alla conclusione) è intrinsecamente
bivalente.
Fatto la cui ‘banalità’ emerge (o si apprezza pienamente) solo
grazie al risultato formale.
Rossella Marrano
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31. Osservazione fondamentale
Il carattere logico del valore 1 (VERO) sta nel suo essere l’unica
cosa che ci interessa preservare nelle inferenze valide (cuore della
logica).
A conferma di questo approfondiamo l’idea di polivalenza
inferenziale proposta da Wansing e Shramko (2008).
Rossella Marrano
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32. Wansing, Shramko, 2008
Problemi
che cos’è un valore logico?
in virtù di quali proprietà VERO e FALSO sono considerati
valori logici?
VERO: ciò che si preserva in un’inferenza valida da tutte le
premesse alla conclusione.
FALSO: ciò che si preserva in un’inferenza valida dalla
conclusione ad almeno una delle premesse
Risposta I valori di verità logici sono tutti e soli quelli che vengono
preservati da una relazione di conseguenza logica definita in modo
canonico.
Rossella Marrano
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33. Polivalenza logica = polivalenza inferenziale
Wansing, Shramko, 2008
“A logic may then be said to be logically (or
inferentially) k−valued if it is a language together with
k canonically defined and pairwise distinct entailment
relations on (the set of formulas of) this language. Each
of these k entailment relations is Tarskian and hence, in
particular, it is reflexive.”
Definita canonicamente: relazione che preserva l’appartenenza ad
un certo insieme di valori algebrici o dalle premesse alla conclusione
o dalla conclusione alle premesse (relazione tarskiana). A due a due
distinte: due valori logici sono indipendenti l’uno dall’altro se e solo
se le relazioni canoniche di conseguenza ad essi associate sono
distinte.
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34. Feedback dell’importo minimale
L’idea di conseguenza logica come preservazione di un qualche
valore ci sembra irrinunciabile.
L’idea di conseguenza logica come vero-preservante (conseguenza
tarskiana) è pacifica quando c’è una sola nozione di verità nel
modello.
Una nozione di conseguenza logica intrinsecamente bivalente
sembra non riflettere l’idea semantica di polivalenza.
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35. Proposta: gradi di conseguenza
Se si accetta l’importo minimale del teorema e cioè il fatto che la
bivalenza delle logiche tarskiane risiede nella nozione di
conseguenza, allora per poter parlare seriamente di valori di verità
diversi da 0 ed 1 è proprio su di essa che si deve agire (non solo sul
codominio della funzione di valutazione).
Idea intuitiva
Accettiamo come valide non solo inferenze che ci fanno passare dal
vero al vero, ma anche inferenze la cui conclusione segue dalle
premesse con un certo grado di ‘cogenza’.
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36. Font, 2009
“Logics preserving degrees of truth can be a reasonable
alternative to the old truth-preserving schema, if one
wants to take degrees of truth seriously, that is if one
wants to give a true role of logical value to all truth
values.”
Font, to appear
“However, if it is consequence that matters, then it seems
more natural to demand that consequence preserves truth
not only in its maximum degree, but in all the available
degrees.”
Rossella Marrano
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37. Pensiamo gli enunciati come aventi gradi di accettabilità diversi dalla
verità assoluta e dalla falsità assoluta.
Nota bene
Non si tratta di gradi di convinzione o di credenza ma della ‘forza
categorica’ dell’enunciato in sè (il suo grado di verità).
Vorremmo anche da questo tipo di enunciati poter dedurre delle
conclusioni. Ci serve:
stabilire il grado di accettazione di un insieme di premesse a partire
da quello dei suoi singoli elementi,
stabilire quanto siamo forzati ad accettare la conclusione data
l’accettazione ed il grado di accettazione delle premesse.
Gradi di conseguenza
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38. Inferenza che preserva gradi di verità
Idea
Il grado di verità della conclusione deve essere almeno uguale al più
piccolo tra i gradi di verità delle premesse accettate.
Definizione informale
Un enunciato φ segue logicamente da un insieme di enunciati Γ se e
solo se tutte le volte che accettiamo Γ con un certo grado di verità
siamo costretti ad accettare φ con almeno quel grado di verità.
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39. Definizione formale (Font)
Definizione 1.
Γ A φ ⇐⇒ ∀h ∈ Hom(FM, A), ∀a ∈ A
se ∀γ ∈ Γ h(γ) ≥ a allora h(φ) ≥ a.
Se si aggiunge la condizione particolare che A sia un reticolo
completo (o equivalentemente che (A, ≤) sia una ordine lineare),
allora la precedente definizione è equivalente alla seguente:
Definizione 2.
Γ A φ ⇐⇒ ∀h ∈ Hom(FM, A),
h(φ) ≥ inf { h(γ) | γ ∈ Γ } .
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40. Le algebre dei valori di verità che solitamente interessano sono
reticoli completi.
Quindi ci interessa la versione 2. della definizione, che è
l’immediata traduzione formale della definizione intuitiva data.
Come la leggiamo?
Osservazioni preliminari:
ci serve un ordine sui valori
si può assumere che Γ sia finito
valori di verità VS gradi di verità
Rossella Marrano
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41. Ordine sui valori
Attenzione!
Queste definizioni si possono applicare solo alle semantiche il cui
insieme di valori di verità è (almeno) parzialmente ordinato.
Quanto è scontata l’assunzione che i valori di verità si possano
sempre comparare?
Matematicamente: Teorema del Buon Ordinamento
Filosoficamente: Operazione difficile da giustificare
Esempio: {1, 0, i}
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42. Ipotesi di finitezza
È conveniente restringersi a logiche finitarie cioè tali che
Γ φ ⇐⇒ esiste un Γ0 ⊆f Γ tale che Γ0 φ.
Rossella Marrano
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43. Valori e gradi
Consideriamo l’insieme A di valori algebrici, su cui sappiamo essere
definita una relazione d’ordine.
Valori di verità: ogni a tale che a ∈ A
Gradi di verità ogni intervallo aperto [a) ⊆ A, cioè
[a) = { x ∈ A | a ≤ x }.
a è il valore di verità che determina il grado di verità [a).
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44. Come si legge la definizione? Esempio
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45. Come si legge la definizione? Esempio
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46. Cosa si preserva?
Matematicamente: la relazione A non preserva i punti in A ma i
sottoinsiemi della forma [a) per tutti gli a ∈ A. Dove a è definito
come l’infimo dell’insieme dei valori di verità delle premesse
dell’inferenza.
Interpretazione: i valori logici (nel senso chiarito sopra) sono i gradi
di verità.
Rossella Marrano
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47. Sviluppi
Così come la nozione di inferenza classica può essere usata per
definire una logica, anche la nozione di inferenza che preserva gradi
di verità viene usata per costruire logiche che preservano gradi
di verità.
sviluppo tecnico
momento interpretativo
rapporti tra verità e conseguenza
Rossella Marrano
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48. Inquadramento teorico
Il teorema e la tesi di Suszko rappresentano un ottimo case-study
rispetto al discorso generale sulla formalizzazione e sull’interazione
tra logica e filosofia.
Rossella Marrano
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49. Schema di interazione:
1 partiamo da un’intuizione o da una concezione filosofica, decidiamo
di procedere formalmente;
2 proposta di formalizzazione:
disvelamento di nuove possibilità teoriche;
la cornice logico-matematica ci permette di esplorare
formalmente le conseguenze delle nostre scelte e di dimostrare
teoremi;
3 come vanno interpretati i risultati? momento del feedback:
come si valuta il peso (la conclusività) di questi risultati
formali rispetto alle intuizioni di partenza?
come cambiano, se cambiano, le nostre intuizioni alla luce dei
risultati?
4 si ritraducono formalmente le nuove informazioni sulla nozione
intuitiva e si ritorna al punto 1.
Rossella Marrano
Dai gradi di verità ai gradi di conseguenza

50. Spirale virtuosa
Covarianza tra concetto informale (che grazie alla formalizzazione si
precisa) e formalizzazione (che deve essere sensibile al concetto
informale).
Rossella Marrano
Dai gradi di verità ai gradi di conseguenza

51. Opportunità e rischi
Questo quadro si lega trasversalmente al discorso sulle opportunità
offerte della formalizzazione:
nuove possibilità teoriche che possono poi avere interessanti
ricadute filosofiche (ricerca della completezza di Hansson);
impianto logico-deduttivo che permette di esplorare
formalmente le conseguenze di qualsiasi scelta riguardante il
sistema formale.
In questo modo la formalizzazione contribuisce a ‘raffinare’ le
nostre intuizioni.
Rossella Marrano
Dai gradi di verità ai gradi di conseguenza

52. Nozione di verità:
1 idee informali, dibattito filosofico sulla verità e sui valori di verità;
2 formalizzazione: valori di verità come codominio di una funzione di
valutazione v : EL → {0, 1}
abbandono del vincolo interpretativo ⇒ possibilità di
generalizzare da 2 a 3 fino a [0, 1] ⇒ sviluppo di logiche
polivalenti,
teorema di riduzione di Suszko;
3 momento del feedback:
tesi di Suszko;
discussione sulla tesi;
importo teorico minimale del teorema;
4 possibile traduzione formale di questo ‘aggiornamento’: introduzione
della nozione di gradi di conseguenza.
Rossella Marrano
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53. Nozione di conseguenza:
1 partiamo dal concetto informale di ‘seguire logicamente’. Intuizione:
preservazione della verità (Bolzano, Tarski);
2 formalizzazione: Tarski
sviluppo di logiche deduttive (anche polivalenti) basate su
questa nozione;
teorema di riduzione di Suszko;
3 feedback: importo minimale;
4 costruzioni formali alternative:
gradi di conseguenza,
logiche che preservano gradi di conseguenza.
5 si torna al momento interpretativo (sharpening):
come interpretiamo queste nuove nozioni?
che ricaduta hanno sulle nostre intuizioni sulla conseguenza, la
verità ed i gradi?
Rossella Marrano
Dai gradi di verità ai gradi di conseguenza

54. Bibliografia I
Arnon Avron.
Multi-valued Semantics: Why and How.
Studia Logica: An International Journal for Symbolic Logic,
92(2):163–182, June 2009.
Josep Maria Font.
Consequence and degrees of truth in many-valued logic (to
appear).
In Franco Montagna, editor, Peter Hàjek on Mathematical
Fuzzy Logic, pages 1–25.
Rossella Marrano
Dai gradi di verità ai gradi di conseguenza

55. Bibliografia II
Josep Maria Font.
Taking Degrees of Truth Seriously.
Studia Logica: An International Journal for Symbolic Logic,
91(3):383–406, 2009.
Sven Hansson.
Q−consequence operation.
The Bulletin of Symbolic Logic, 6(2):162–175.
Grzegorz Malinowski.
Beyond Three Inferential Values.
Studia Logica: An International Journal for Symbolic Logic,
92(2):203–213, 2009.
Rossella Marrano
Dai gradi di verità ai gradi di conseguenza

56. Bibliografia III
Grzegorz Malinowski.
Q−consequence operation.
Reports on Mathematical Logic, 24:49–59, 2009.
Emil L. Post.
Introduction to a General Theory of Elementary Propositions.
American Journal of Mathematics, 43(3):163–185, 1921.
Roman Suszko.
The Fregean Axiom and Polish Mathematical Logic in the
1920s.
Studia Logica: An International Journal for Symbolic Logic,
36(4):377–380, 1977.
Rossella Marrano
Dai gradi di verità ai gradi di conseguenza

57. Bibliografia IV
Heinrich Wansing and Yaroslav Shramko.
Suszko’s Thesis, Inferential Many-valuedness, and the Notion
of a Logical System.
Studia Logica: An International Journal for Symbolic Logic,
88(3):405–429, 2008.
Rossella Marrano
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