Presentation on stereometry

2. Частта от геометрията, в която се изучават свойствата на пространствените фигури, се нарича стереометрия ( от гръцката дума στερεο , която означава пространство )

3. Аксиома 1 : През всеки три точки, нележащи на една права, минава единствена равнина. Ako A, B, C не лежат на една права, то Ǝ 1! α = (ABC) Аксиома 2 : Ако две точки от една права лежат в една равнина, то всяка точка от правата лежи в равнината. A, B ϵ a A, B ϵ α => a ϵ α Аксиома 3 : Ако две равнини имат обща точка, то те имат поне още една обща точка. Ако две равнини имат обща точка, то те имат обща права. Аксиома 4 : Във всяка равнина са изпълнени аксиомите на планиметрията и за фигури, лежащи в различни равнини, може да се прилагат всички твърдения от планиметрията.

4. Пресичащи се прави : Две прави, които имат обща точка . a ∩ b => Ǝ 1! α = (a, b) Успоредни прави : Две прави, които нямат обща точка и лежат в една равнина. a || b => Ǝ 1! α = (a, b) Кръстосани прави : Две прави, които не лежат в една равнина. BC и AA 1 Права, успоредна на дадена права : В пространството през точка, нележаща на дадена права, минава единствена права, успоредна на дадената. a; A не лежи на a Ǝ 1! b: b Z A, b || a

5. Пресечница на две равнини : Пресечницата на две равнини, минаващи през две успоредни прави, е права, успоредна на двете прави. α ∩ β = c α Z a, β Z b, a || b => c || a, c || b Две прави, успоредни на трета права : Ако две прави са успоредни на трета права, то те са успоредни помежду си. a || b, b || c => a || c Твърдение : Ако една права лежи в равнина, а друга права пресича равнината в точка, нележаща на първата права, то двете прави са кръстосани. a Є α , b ∩ α = B, B не лежи на a => a и b са кръстосани прави

6. Успоредни права и равнина : Права и равнина, които нямат общи точки. a ∩ α = Ø => a║ α Признак за успоредност на права и равина : Ако права, нележаща в една равнина, е успоредна на някоя права в равнината, то правата и равнината са успоредни. a не лежи в α , b z α и a || b => a || α Теорема : Ако права и равнина са успоредни, пресечницата на всяка равнина, минаваща през правата, с дадена равнина e права, успоредна на дадената права. a || α , β z a, β ∩ α = b => b || a

7. Теорема : Ако права е успоредна на равнина и през точка от равнината прекараме права, успоредна на дадената, то втората права лежи в равнината. a || α , A z α , b z A, b || a => b z α Теорема : Ако права е успоредна на две пресичащи се равнини, то тя е успоредна на тяхната пресечница. a || α , a || β , α ∩ β = b => a || b Теорема : Ако една равнина пресича две равнини и е успоредна на тяхната пресечница, то пресечниците й с двете равнини са успоредни прави. α ∩ β = m, γ || m, γ ∩ α = a, γ ∩ β = b => a || b

8. Успоредни равнини : Две равнини, които нямат общи точки. α║ β Признак за успоредност на равнини : Ако две пресичащи се прави от една равнина са успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина, то двете равнини са успоредни. α z a, b , a ∩ b = B β z a’, b’ , a’ ∩ b’ = A => α || β a || a’ , b || b’ Успоредни равнини : През точка, нележаща на дадена равнина, минава единствена равнина, успоредна на дадената. A не лежи на α => Ǝ 1! β , β z A и β || α

9. Пресечници на успоредни равнини : Пресечниците на равнина с две успоредни равнини са успоредни прави. α║ β , γ ∩ α = a, γ ∩ β = b => a || b

10. Основни построения в пространството : Равнина е построена, ако са дадени : три точки, нележащи на една права права и точка, нележаща на нея две пресичащи се прави две успоредни прави Права е построена, ако са дадени : две неуспоредни равнини Точка е построена, ако са дадени : неуспоредни права и равнина

11. Ъгли с успоредни рамене : Ако раменете на два ъгъла са еднопосочни лъчи, то ъглите са равни. Ъгъл между две кръстосани прави : Ъгълът между две пресичащи се прави, съответно успоредни на двете кръстосани прави. < (a; b) = < (a; b’) = α b’ || b < (a; b) = < (a’; b’) = α a’ || a , b’ || b

12. Дадена е триъгълна пирамида ABCD. Точката M е медицентърът на триъгълника ABC. Определете взаимното положение на правата DM с всяка от правите AB, BC и CA. Дадено : ABCD – триъгълна пирамида т. М – медицентър на ABC Да се определи взаимното положение на DM с всяка от правите AB, BC и CA. Решение : AC, BC, AB Є (ABC), M Є (ABC), M не принадлежи на AB, BC и AC DM ∩ (ABC) = M => DM и AB, DM и BC, DM и AC са кръстосани прави

13. Точката М е средата на околния ръб AQ на правилна четириъгълна пирамида ABCDQ. Равнината (BCM) пресича ръба DQ в точка N. Докажете, че BMNC е трапец. Дадено : ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида т. М – среда на AQ (BCM) ∩ DQ = N Да се докаже, че BMNC е трапец. Доказателство : ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида => ABCD – квадрат => BC || AD, AD Є (ADQ) => BC || (ADQ), N Є (BCM) => => (BCNM) Z BC; (BCNM) ∩ (ADQ) = MN => => BC || MN

14. Даден е куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Намерете ъгъла между правите : a) AC и B 1 D 1 б ) AC и DA 1 Дадено : куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Решение a): ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб => DD 1 || CC 1 , DD 1 = CC 1 BB 1 || CC 1 , BB 1 = CC 1 => BB 1 D 1 D – успоредник => => B 1 D 1 || BD < (AC; B 1 D 1 ) = < (AC; BD) = 90 ° , защото AC и BD – диагонали в квадрата ABCD => DD 1 || BB 1 , DD 1 = BB 1 Решение б ): <(AC; DA 1 ) A 1 B 1 || CD, A 1 B 1 = CD => => DCB 1 A 1 - успоредник => CB 1 || DA 1 , CB 1 = DA 1 < (AC; DA 1 ) = < (AC; CB 1 ) = < ACB 1 = 60 °, защото ACB 1 е равностранен триъгълник от AC = CB 1 = AB 1 – диагонали в еднакви квадрати

15. Дадено : ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида AB = 2a AQ = a√2 Намерете ъглите между правите : a) QD и AB; b) QD и BC Решение : ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида => ABCD – квадрат => AB || DC => < (QB; AB) = < (QB; DC) = < CDQ QC = QD = a√2, AB = 2a Косинусова теорема за DCQ: Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ с основен ръб AB = 2a и околен ръб AQ = a √2 . Намерете ъгъла между правите : a) QD и AB; b) QD и BC => < CDQ = 45 °

16. Дадено : ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – правоъгълен паралелепипед М – среда на ръба AB (A 1 C 1 M) ∩ BC = N Да се докаже, че A 1 C 1 NM е трапец Доказателство : (A 1 C 1 M) ∩ BC = N => N Є (A 1 C 1 M) (ABCD) || (A 1 B 1 C 1 D 1 ) (A 1 C 1 NM) ∩ (ABCD) = MN (A 1 C 1 NM) ∩ (A 1 B 1 C 1 D 1 ) = A 1 C 1 => A 1 C 1 || MN => A 1 C 1 NM е трапец Точката M е среда на ръба AB на правоъгълния паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Равнината (A 1 C 1 M) пресича BC в точка N. Докажете, че A 1 C 1 NM е трапец. =>

17. Стр. 147 / Зад. 4 б ), Зад. 6, Зад. 8, Зад. 11