Brownian motions and their repetitive time integrations are like some of natural shapes, such as neurons, fungi, defoliated trees, dandelion puffs and so on. In draft.

1. ブラウン運動とその時間積分のくり返し
及び形状の自然・生物現象への考察
2014-09-07 下野寿之(メモ編)

2. 意図
• ブラウン運動・それの1階/2階/3階の時間積
分は自然界で見かける形状によく似ている。
これは考察に値すると考え、メモとして残すこ
ととした。
• 形状発生メカニズムやその複雑さの解明に
役に立ったり、似たメカニズムを持った人工
物を新たに作って、何かの役に立つかも知れ
ない。

3. ブラウン運動
ブラウン運動300本を
ランダムに25点(5×5)を
選んで開始するブラウン
運動300本を重ねて表示
させた様子。
埃(ほこり)の形によく似て
いる。

4. ブラウン運動の時間積分
ランダムに25点を選
んで出発するブラウ
ン運動の(1階)時間
積分を1000本を表示
したもの。
カビの形に似ている。
また、あるタイプの
ニューロンの樹状突
起に似ている。
平均40人のクラス25
個を持っている学校
の校長先生の気分
かもしれない。

5. ブラウン運動の時間積分
150本を同一の開始
点から出発させた様
子。
落葉後の樹木を上空
から見た形に似てい
る。

6. ブラウン運動の2階時間積分
タンポポの羽根の
形によく似ている。
l3=function(z)cums
um(cumsum(cumsu
m(z)));L=1e2;M=10
e2;for(i in
1:M){points(l3(L),l3(
L),type="l",lwd=rga
mma(1,1,4))*3}

7. ブラウン運動の3階時間積分
この3階微分は、2
階微分とあまり違
わない様にも見え
る。
ただし、花火の形
に似ている。(2解微
分の場合に比べて)

8. まとめ
1. ブラウン運動を多数重ねたもの
 埃(ホコリ)の形によく似ている。
2. その時間積分を重ねたもの
 落葉後の樹木を上空から見た形
 黴(カビ)の形によく似ている。
 ある種の神経細胞の形によく似ている。
3. さらにその時間積分
 蒲公英(タンポポ)の羽の形によく似ている。
4. さらにその時間積分
 夏の花火の形に似ている。

9. 以下は補足(R言語のスクリプト)

10. 補足
K=1e2; C=1.5e2;L=6e1;
for(i in 1:3e2){
par(new=T);
plot(
L*floor(runif(1,-2,3))+cumsum(rnorm(K)),
L*floor(runif(1,-2,3))+cumsum(rnorm(K)),
xlim=c(-C,C),ylim=c(-C,C),type="l")
}

11. 補足
set.seed(123);
K=1e3;C=3e5;
for(i in 1:1e3){
par(new=T);
plot( 1e5*floor(runif(1,-
2,3))+cumsum(cumsum(rnorm(K)))),1e5*floor(runif
(1,-
2,3))+(cumsum(cumsum(rnorm(K)))),col=rgb(0,0,0,
0.7),xlim=c(-C,C),ylim=c(-C,C),type="l")
}

12. 補足
cumsum(cumsum(cumsum(cumsum(rnorm(500)))))
x,y座標にそれぞれ割り当て300本、
色空間はRGB空間で一様ランダム、透明度α = 0.13
type=“p”, cex=.1