an analysis of lottery

1. 数字型彩票中奖号码的概率穷析
于晶贤
（辽宁石油化工大学理学院，辽宁抚顺１１３００１）
摘要：采用概率和统计中的方法，对一般的数字型彩票中奖号码本身所具有的性质进行了研
究，对中奖号码中奇数个数的分布、最小值的分布、最大值的分布和跨度的分布进行了理论推导，并
利用体彩“排列五”的９００期历史中奖数据，对理论结果进行了检验和应用。
关键词：彩票；二项分布；跨度；卡方拟合优度检验
中图分类号：０２１１．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００２—６４８７（２００９）１３＿０１５５—０２
数字型彩票是彩票中的一种，因其中奖概率较大。奖金
设置合理，受到了彩民朋友们的喜爱。随着其规模的不断扩
大和计算机技术的不断发展，数字型彩票受到Ｊ，许多人的关
注，对它的研究也越来越多。
所谓数字型彩票是指购票者选取３个或３个以上的数
字进行投注的彩票，其中每个数字从０～９中选出ｆＩＪ。根据选取
的号码与中奖号码是否相同、顺序是否一致来设置不同的奖
项，一般最高奖项要求选取的号码与中奖号码相同的同时．
还要求排列顺序与中奖号码一致。体彩中的“排列三”、“排列
五”和福彩的“３”就是典型的数字型彩票。下面主要对一般的
数字型彩票中奖号码本身的性质进行理论研究，并利用体彩
“排列五”２００６００ｌ期至２００８１８６期共９００期的历史数据对
结果进行检验和应用。
１模型假设
（１）本文所提及的一般的数字型彩票指的是选取Ｎ个数
字进行投注，每个数字从０—９巾选出，以下简单记为“数字型
彩票Ｎ”。
（２）摇奖过程中摇出每个号码的过程是相互独立的．整
个摇奖过程町以看作是有放回的从０～９这ｌＯ个数字中取数
次，每次随机地选取一个。
（３）机会均等假没【习：每次从０～９中取数时，每个数字出
现的概率相同。
２主要结果
２．１奇数个数的分布
定理１：记“数字型彩票Ｎ”中奖号码中奇数的个数为Ｘ，
则ｘ服从参数为（Ｎ，｝）的二项分布刚，即：
眦非㈣“．（扩＝ｍ（扎蚓，…＾
证明：由模型假设（２）和（３），摇奖过程可以看作是有放
回的从０，ｌ，…，９这１０个数字中抽取个数，而这１０个数字中
有５个奇数和５个偶数，所以中奖号码中奇数个数的分布。
●
可以看作是参数为（Ｎ，了１）的二项分布，从而有定理ｌ。
二
以体彩“排列五”为例，根据定理ｌ的结果。可以计算出
中奖号码中出现ｋ（１（＝０’…，５）个奇数的概率，并同９００期历史
数据进行比较，得到表ｌ。
表１ 奇数个数分布对比表
奇数个数 偶数个数 实际出现期敬 实际出现概串 理论慨率
０ ５ ３４ ｏ．０３７７８ Ｏ．０３】２５
ｌ ４ １３０ Ｏ．１４４４４ Ｏ．１５６２５
２ ３ ２８５ ０．３１６６７ Ｏ．３１２５０
３ ２ ２７５ ０．３０５５６ ０．３１２５０
４ １ １５０ ０．１６６６７ Ｏ．１５６２５
５ Ｏ ２６ ０，０２８８９ Ｏ．０３１２５
从表ｌ中可以看出奇数个数实际出现的概率与理论计
算｝Ｈ的概率相差很小。并且可以看到出现２个奇数３个偶数
和３个奇数２个偶数的概率最大．二者的理论概率和约为
０．６２５．即在中奖号码中约有６３％的机会出现２个奇数３个
偶数或者３个奇数２个偶数：出现全部奇数和全部偶数的理
论概率和不到７％，这就给彩民一个提示：在购买体彩“排列
五”时，选号的过程中最好选择２个奇数３个偶数或者３个
奇数２个偶数的号码组进行投注。
２．２最大值分布与最小值分布
。 定理２：记“数字型彩票Ｎ”中奖号码中最大值为ＭＡＸ，
最小值为ＭＩＮ．则
ｅ（Ｍａｘ＝ｋ）＝韭＋黔坐，ｋ＝ｏ，１０，…＇９
Ｐ（ＭＩＮ＝ｋ）＝螋ｌ∥－（９－ｋ：ｋＬ，ｋ＝ｏ，ｌ，…，９
证明：先证最大值分布。
已知有放回的从０～９这ｌＯ个数字中取数Ｎ次的所有取
法数有ｌ∥种。
当ｋ＝０时，即最大值为０的情况只有一种，故Ｐ（ＭＡＸ＝ｏ）
一１ ．
一１∥’
统计与决策２００９年第１３期（总第２８９期）１５５
万方数据

2. 当ｋ＝ｌ。２。…，９时，这Ｎ个中奖号码中最大值出现的次数
可能是１次，２次，…，或Ｎ次，当最大值出现ｍ次时，由于这
！ｉ１个最大值可以出现在Ｎ个位置中的任何ｍ个．且比最大
值ｋ小的数有ｋ个（ｏ，ｌ，…，ｋ一１），这些数将可重复地｝Ｈ现Ｎ—ｍ
／Ｎ、
次，所以最大值为且最大值出现ｉｎ次的所有可能情况有Ｉ
＼ｍ／
・ｋ‰种，再对ｍ求和得到最大值为ｋ（ｋ＝ｌ，２，…，９）时的所有可
能情况，即兰ｆＮ １．ｋｗ一：（１＋ｋ）Ｎ－－ｋ一，从而有Ｐ（ＭＡＸ：ｋ）：ｍ＝Ｉ、１１１／
．（１＋１ｋｎＮ）Ｎ－ｋ—Ｎ，ｏ【：１∥２一，９）
综合上述ｋ－－－０和ｋ＝ｌ，２，…，９两种情况可得到最大值的
分布，类似的推导方法可以得到最小值的分布。
以体彩“排列五”为例，根据定理２的结果，可以计算出
中奖号码中最大值和最小值为ｋ（ｋ＝ｏ，１，…，９）的概率，并同
９００期数据进行比较，得到表２和表３。
衰２ 最大值分布对比表 裹３ 最小值分布对比表
最大值 实际期数 实际概率 理论概率
Ｏ ０ ０．０００００ Ｏ．００００ｌ
１ ｌ Ｏ．ｏｏｌｌｌ Ｏ．０００３ｌ
２ ｌ ０．００１ｌｌ Ｏ．００２１１
３ ３ Ｏ．００３３３ Ｏ．００７８ｌ
４ １６ ０．０１７７８ ０．０２１０ｌ
５ ３８ ０．０４２２２ ０．０４６５ｌ
６ ８９ ０．０９８８９ Ｏ．０９０３ｌ
７ １３６ ０．１５１ｌｌ ０．１５９６ｌ
８ ２３４ Ｏ．２６０００ ０．２６２８１
９ ３８２ ０．４２４４４ ０．４０９５ｌ
最小值 实际期数 实际概率 理论概率
Ｏ ３３６ ０．３７３３３ ０．４０１９５ｌ
ｌ ２５２ Ｏ．２８０（）０ ０．２６２８１
２ １４２ Ｏ．１５７７８ ０．１５９６ｌ
３ １００ Ｏ．１ｌｌｌｌ ０．０９１０３ｌ
４ ４２ ０．Ｏ姗 Ｏ．０４６５１
５ ２０ ０．０２２２２ Ｏ．０２ｌＯｌ
６ ６ Ｏ．００６６７ ０．００７８ｌ
７ ２ Ｏ．００２２２ ０．００２ｌｌ
８ ０ ０．０００００ Ｏ．０００３ｌ
９ ０ ０．０００００ ０．００００ｌ
从表２和表３中可以看出。最大值与最小值实际上出现
的概率与利用定理２计算得到的概率相差很小．利用卡方拟
合优度检验［５１．在显著性水平ａ－－０．０５的条件下。证明最大值
分布与最小值分布是正确的。
２．３跨度的分布
跨度阍。也叫首尾边距，在数学中称为极差ｆ７ｌ，它是描述数
据分散性的数字特征，数据越分散，极差越大。跨度的分布主
要研究中奖号码中最大值与最小值之差的分布。
定理３：记“数字型彩票Ｎ”中奖号码的跨度为Ｙ，则
ＰⅣ＝ｋ）＝
．（１０－ｋ）ｌ（ｋ＋ｉ）Ｎ＝－２．ｋ％（ｋ－１）”］一，ｋ：１，２，…，９
１０Ｎ
’ ’’’
矿１，ｋ＝０
证明：Ｐ（Ｙ＝ｋ）＝Ｐ（ＭＡＸ—ＭＩＮ＝ｋ）＝∑Ｐ（ＭＡＸ—ＭＩＮ＝ｋ，ＭＩＮ＝
ｍ＝０
９－ｋ ９一ｋ
ｍ）＝∑Ｐ（ＭＡＸ—ＭＩＮ＝ｋ，ＭＩＮ＝ｍ）：∑Ｐ（ＭＡＸ：ｍ“，ＭＩＮ＝ｍ）．
ｍ＝０ ｍ＝０
当ｋ＝Ｏ时，即最大值与最小值相等时。共有１０种情况，
所以Ｐ（Ｙ－－Ｏ）２而１；
当ｋ＝１２，…，９时，事件（ＭＡＸ＝ｍ＋ｋ，ＭＩＮ＝ｍ）相当于从ｍ，ｍ＋
１，…，ｍ＋ｋ这ｋ＋１个数中有放回的取数Ｎ次，每次取一个，且
使ｍ＋ｋ和ｍ这两个数都至少被选中一次。
１５６ 统计与决策２００９年第１３期（总第２８９期）
考虑试验Ｅ：“从ｍ，ｍ＋ｌ，…，ｍ＋ｋ这ｋ＋１个数中有放回取
数Ｎ次，每次随机地取一个”，Ｓ是Ｅ的样本空间，则Ｓ中包
含的样本点总数为低＋１）“；以事件Ａ表示“数ｍ＋ｋ至少被取
到一次”．则ｉ表示“数ｍ＋ｋ一次也没有被取到”，ｒ中包含
的样本点个数为ｋＮ；以事件Ｂ表示“数ｎｌ至少被取到一次”，
则百表示“数一次也没有被取到”．面中包含的样本点个数为
ｋＮ：从而五可表示“数ｍ＋ｋ一次也没有被取到且数ｍ一次也
没有被取到”，其包含的样本点个数为皿一１）一；则事件（ＭＡＸ＝
ｍ＋ｋ。ＭＩＮ＝ｍ）＝ＡＢ＝Ｓ—ＡＢ＝Ｓ—ＡＵＢ＝Ｓ—Ａ—Ｂ＋ＡＢ。其包含的样本
点个数为ｍ＋１）Ｌ２・ｋＮ＋（ｋ—１）“。所以当ｋ＝ｌ，２，．－－，９时，
Ｐ（Ｙ：ｋ）：Ｐ（ＭＡＸ：ｍ＋ｋ，ＭＩＮ：ｍ）：幽±！）Ｎ≯业必ｍ；０ １Ｖ
综合上述ｋ＝０和ｋ＝ｌ，２，…，９两种情况，得到定理３。
根据体彩“排列五”９００期的中奖号码和定理３，对分布
的实际情况和理论情况进行对比，并给出客观的计算数据和
直观的折线图，见表４。根据表４中的数据进行卡方拟合优
度检验．在显著性水平ｃｔ＝０．０５的条件下，跨度分布是正确
的。 从表４中可以看出跨度在５至９之间的概率已经占到
了将近８７％．所以建议彩民在购买“排列五”的彩票时，选择
跨度在５和９之间的号码组。
裹４ 跨度分布对比裹
跨度 实际出现期数 实际概率 理论概率
Ｏ ０ ０．０００００ ０．０００１０
ｌ ４ ０．００４４４ ０．００２７０
２ ｌＯ ０．０１１１１ ｏ．０１４４０
３ ３７ ０．０４１１ｌ ０．０３９９０
４ ７０ ０．０７７７８ ０Ｊ０７９２０
５ １２８ Ｏ．１４２２２ ０．１２７５０
６ １５２ ０．１６８８９ ０．１７５２０
７ １７２ ０．１９１ｌｌ ０．２０７９０
８ ２０６ ０．２２８８９ Ｏ．２渊
９ １２ｌ ０．１３４４４ ０．１４６７０
３总结
中奖号码的概率分析中运用的是概率和统计的方法，都
是基于大样本理论嘲，只能解释长期的规律，对于一次的开奖
结果，可能不令人满意，投注时应注意。另外，彩民朋友在购
买彩票时应该把握尺度，保持良好心态，合理购彩，科学投
注。
参考文献：
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工大学学报．２００８，２８（１）．
【４】方开泰，许建伦．统计分布【Ｍ】．北京：科学出版社，１９８７：６３－８０．
【５１矛Ｊ＂荣恒．应用数理统计【Ｍ】．北京：科学出版社，２００４．
１６】于晶贤．乐透型彩票中奖号码的概率分析【Ｊ】．统计与决策，２００８，２５５．
【７Ｊ范金城，梅长林．数据分析【Ｍ】．北京：科学出版社，２００４．
【８】陈希孺．数理统计引论ＩＭｌ．北京：科学出版社，２００７．
（责任编辑／浩天）
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