Downloaded 10 times
![σσυυννττεελλεεσσττώώνν ττηηςς σσυυννάάρρττηησσηηςς κκέέρρδδοουυςς..
24
1000
500
ΑΑννάάλλυυσσηη εευυσσττάάθθεειιααςς ττωωνν
400 600 800
X2
X1
Max8X1 + 5X2
Max 10 X1 + 5X2
Max 3.75X1 + 5X2
Εύρος βελτιστότητας: [3.75, 10]](https://image.slidesharecdn.com/grapro15102013-131015052406-phpapp02/75/slide-24-2048.jpg)
![ΕΕύύρροοςς ΕΕφφιικκττόόττηηττααςς ((RRaannggee ooff FFeeaassiibbiilliittyy))
• Υποθέτοντας ότι δεν έχουμε άλλες αλλαγές σε
άλλες μεταβλητές, το εύρος εφικτότητας είναι
30
– Το εύρος των τιμών ενός δεξιού μέλους ενός περιορισμού,
μέσα στο οποίο οι σκιώδης τιμές των περιορισμών
παραμένουν αναλλοίωτες.
– Μέσα στο εύρος σκοπιμότητας η τιμή της συνάρτησης
κέρδους μεταβάλλεται ως εξής:
Μεταβολή στην συνάρτηση κέρδους =
[σκιώδης τιμή][αλλαγή τιμής δεξιού μέλους]](https://image.slidesharecdn.com/grapro15102013-131015052406-phpapp02/75/slide-29-2048.jpg)
Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
- 1. Γραμμικός προγραμματισμός 1 ΕΕιισσααγγωωγγήή
- 2. • ΝΑ ελαχιστοποιήσουμε(ή να μεγιστοποιήσουμε) μια γραμμική συνάρτηση, κάτω από ένα σύνολο γραμμικών περιορισμών. • Το μοντέλο του ΓΠ αποτελείται από : – Ένα σύνολο μεταβλητών απόφασης (decision variables) – Μια συνάρτηση κόστους (objective function). – Ένα σύνολο περιορισμών. 2 ΕΕιισσααγγωωγγήή
- 3. 3 ΣΣπποουυδδααιιόόττηητταα ΓΓΠΠ • Πολλά πραγματικά προβλήματα – μας οδηγούν σε μοντέλα ΓΠ – μπορούν να προσεγγισθούν με ΓΠ • Εφαρμογές σε διάφορες θεματικές περιοχές: – Βιομηχανία – Μάρκετινγκ – Επενδύσεις – Διαφήμιση – Γεωργία
- 4. • Υπάρχουν αποδοτικέςμέθοδοι επίλυσης μοντέλων ΓΠ • Τα αποτέλεσμα των λογισμικών πακέτων ΓΠ μπορούν να χρησιμοποιηθούν ποικιλοτρόπως 4 ΣΣπποουυδδααιιόόττηητταα ΓΓΠΠ
- 5. 5 ΠΠααρρααδδοοχχέέςς μμοοννττέέλλωωννΓΓΠΠ • Οι τιμές των παραμέτρων είναι γνωστές με βεβαιότητα. • Η αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί παρουσιάζουν σταθερές αποδόσεις κλίμακας. • Δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μεταβλητών απόφασης. • Η υπόθεση συνέχειας: Οι μεταβλητές μπορεί να πάρουν οποιαδήποτε τιμή μέσα σε ένα δεδομένο εφικτό εύρος.
- 6. 6 ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα •Μια βιομηχανία παράγει δύο προϊόντα: – Π1. – Π2. • Διαθέτει – 1000 κιλά υλικού (πλαστικό). – 40 ώρες χρόνου παραγωγής την εβδομάδα.
- 7. ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα • ΑπαιτήσειςMarketing – Συνολική παραγωγή μικρότερη από 700 δωδεκάδες. – Πλήθος δωδεκάδων Π1 μπορεί να είναι το πολύ 350 7 περισσότερα από πλήθος των δωδεκάδων του Π2. • Τεχνολογικά δεδομένα – Η παραγωγή μια δωδεκάδας του Π1 απαιτεί 2 κιλά πλαστικό και 3’ παραγωγής. – Η του Π2 1 κιλό πλαστικό και 4’ παραγωγής.
- 8. ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα -- ΤΤοοιισσχχύύωωνν ππλλάάννοο ππααρρααγγωωγγήήςς 8 • Aπαιτεί: – Όσο το δυνατόν μεγαλύτερη παραγωγή του πιο επικερδούς προϊόντος Π1 (κέρδος $8 στην δωδεκάδα). – Χρήση των υπολοίπων πόρων για την παραγωγή του Π2 κέρδος $8 στην δωδεκάδα), υπακούοντας τις απαιτήσεις του marketing. • Αποτελείται από: 8(450) + 5(100) Π1 = 450 δωδεκάδες Π2 = 100 δωδεκάδες Κέρδος = $4100 την εβδομάδα
- 9. 9 Η διεύθυνσηαναζητά ένα νέο πλάνο παραγωγής το οποίο θα αυξήσει το κέρδος της εταιρείας.
- 10. 10 ΜΜοοννττέέλλοο ΓΓΠΠ • Μεταβλητές απόφασης:: – X1 = εβδομαδιαία παραγωγή Π1 (σε 12άδες) – X2 = εβδομαδιαία παραγωγή Π2 (σε 12άδες) • Συνάρτηση βελτιστοποίησης: – μεγιστοποίηση εβδομαδιαίου κέρδους
- 11. 11 ΜΜοοννττέέλλοο ΓΓΠΠ max 8X1 + 5X2 (εβδομαδιαίο κέρδος) κάτω από τους εξής περιορισμούς 2X1 + 1X2 £ 1000 (Πρώτη ύλη ) 3X1 + 4X2 £ 2400 (Χρόνος παραγωγής) X1 + X2 £ 700 (Συνολική παραγωγή) X1 - X2 £ 350 (Ανάμειξη) Xj> = 0, j = 1,2 (Μη-αρνητικότητα)
- 12. 12 ΓΓρρααφφιικκήή ααννάάλλυυσσηημμοοννττέέλλοουυ ΓΓΠΠ Το σύνολο όλων των σημείων τα οποία ικανοποιούν όλους του περιορισμούς του μοντέλου ονομάζονται FFEEAASSIIBBLLEE RREEGGIIOONN
- 13. 13 Η χρήσηγραφικών μπορεί να αναπαραστήσει όλους του περιορισμούς, την συνάρτηση κόστους και τους τρείς τύπους εφικτών σημείων.
- 14. 14 Μη-αρνητικότητα X2 X1 FFeeaassiibbllee RReeggiioonn
- 15. 15 FFeeaassiibbllee RReeggiioonn 1000 Περιορισμός πρώτης ύλης 2X1+X2 £ 1000 500 Feasible X2 Infeasible Χρόνος παραγωγής 3X1+4X2 £ 2400 περιορισμός συνολικής παραγωγής: X1+X2 £ 700 (άχρηστη) 500 700 X1 700
- 16. GGrraapphhiiccaall AAnnaallyyssiiss ––tthhee FFeeaassiibbllee RReeggiioonn 16 1000 2X1+X2 £ 1000 500 Feasible X2 Infeasible 3X1+4X2£ 2400 X1+X2 £ 700 500 700 Production mix constraint: X1-X2 £ 350 X1 700 Εσωτερικά Σημεία. Συνοριακά σημεία. Ακραία σημεία.
- 17. 17 ΒΒέέλλττιισσττηη λλύύσσηη Ξεκίνα με κάποια αυθαίρετη τιμή για το κέρδος, ας πούμε $2,000... Μετέβαλε το κέρδος μέχρι αυτό να γίνει infeasible Κέρδος=$4360 1000 700 500 500 X2 X1
- 18. 18 ΗΗ ββέέλλττιισσττηηλλύύσσηη Π1 = 320 12άδες Π2 = 360 12άδες Κέρδος = $4360 – Αξιοποιεί όλη την πρώτη ύλη και όλο τον διαθέσιμο χρόνο παραγωγής. – Η συνολική παραγωγή είναι 680 (και όχι 700). – Π1 μόνον 40 12άδες περισσότερα από Π2.
- 19. 19 ΑΑκκρρααίίαα σσηημμεείίαακκααιι ββέέλλττιισσττεεςς λλύύσσεειιςς – Αν ένα πρόβλημα ΓΠ έχει βέλτιστη λύση τότε ένα από τα ακραία του σημεία είναι βέλτιστο.
- 20. 20 ΠΠοολλλλααππλλέέςς ββέέλλττιισσττεεςςλλύύσσεειιςς • Για να υπάρξουν πολλαπλές βέλτιστες λύσεις πρέπει η συνάρτηση κέρδους να είναι παράλληλη σε μια συνάρτηση περιορισμού. •Κάθε σταθμισμένος μέσος όρος βέλτιστων λύσεων είναι επίσης βέλτιστη λύση.
- 21. 21 ΕΕυυσσττάάθθεειιαα ββέέλλττιισσττηηςςλλύύσσηηςς • Πόσο ευαίσθητη είναι η βέλτιστη λύση αναφορικά με τις εμπλεκόμενες παραμέτρους; • Πιθανοί λόγοι ανάλυσης ευστάθειας: – Οι τιμές των παραμέτρων είναι προσεγγιστικές. – Το δυναμικό περιβάλλον επιφέρει αλλαγές. – …
- 22. σσυυννττεελλεεσσττώώνν ττηηςς σσυυννάάρρττηησσηηςςκκέέρρδδοουυςς.. 22 ΑΑννάάλλυυσσηη εευυσσττάάθθεειιααςς ττωωνν • Εύρος βελτιστότητας – Η βέλτιστη λύση δεν θα μετακινηθεί όσο • Οι τιμές ενός συντελεστή της συνάρτησης κέρδους ανήκει σε μια περιοχή βελτιστότητας • Δεν υπάρχουν αλλαγές στις άλλες παραμέτρους εισόδου. – Η τιμή της συνάρτησης κέρδους θα αλλάξει αν ο συντελεστής πολλαπλασιάζεται με μια μη-μηδενική μεταβλητή.
- 23. σσυυννττεελλεεσσττώώνν ττηηςς σσυυννάάρρττηησσηηςςκκέέρρδδοουυςς.. 23 ΑΑννάάλλυυσσηη εευυσσττάάθθεειιααςς ττωωνν 1000 500 500 800 X2 X1 Max 8X1 + 5X2 Max 4X1 + 5X2 Max 3.75X1 + 5X2 Max 2X1 + 5X2
- 24. σσυυννττεελλεεσσττώώνν ττηηςς σσυυννάάρρττηησσηηςςκκέέρρδδοουυςς.. 24 1000 500 ΑΑννάάλλυυσσηη εευυσσττάάθθεειιααςς ττωωνν 400 600 800 X2 X1 Max8X1 + 5X2 Max 10 X1 + 5X2 Max 3.75X1 + 5X2 Εύρος βελτιστότητας: [3.75, 10]
- 25. 25 • Μείωσηκόστους Υποθέτοντας ότι δεν έχουμε άλλες αλλαγές στις παραμέτρους εισόδου, η μείωση κόστους μια μεταβλητής Xj της οποίας η τιμή στην βέλτιστη λύση “0” είναι: – Μείον το ποσό της αύξησης του συντελεστή της μεταβλητής Xj (-DCj) που απαιτείται για να γίνει η εν λόγω μεταβλητή θετική στην βέλτιστη λύση – Εναλλακτικά, είναι η αλλαγή που επιφέρει στην τιμή της βέλτιστης συνάρτησης η μονάδα μεταβολής της Xj. • Συμπληρωματικότητα Σε μια βέλτιστη λύση, είτε η τιμή μια μεταβλητής είναι μηδέν, είτε η μείωση κόστους της είναι μηδέν.
- 26. 26 ΑΑννάάλλυυσσηη εευυσσττάάθθεειιααςςδδεεξξιιώώνν μμεελλώώνν • Μας απασχολούν ερωτήματα όπως τα παρακάτω: – Αν κρατήσουμε όλες τις άλλες παραμέτρους σταθερές, πόσο επηρεάζεται το βέλτιστο κέρδος από ενδεχόμενες αλλαγές της τιμής του δεξιού μέλους μιας από τις συναρτήσεις περιορισμού; – Πόση αλλαγή επιφέρει καταστροφή της υπολογισθήσας βέλτιστης λύσης;
- 27. 28 ΣΣκκιιώώδδηηςς ττιιμμέέςς • Υποθέτοντας ότι δεν έχουμε άλλες αλλαγές στις τιμές των παραμέτρων εισόδου, η αλλαγή που επιφέρει η μεταβολή κατά μια μονάδα του δεξιού μέλους ενός περιορισμού στην συνάρτηση κέρδους ονομάζεται σκιώδης τιμή (Shadow Price)
- 28. 29 1000 ΣΣκκιιώώδδηηςςττιιμμέέςς Όταν μας διατεθεί επιπρόσθετο υλικό το δεξί μέλος της αντίστοιχης συνάρτησης περιορισμού αυξάνει. 500 X2 X1 500 2X1 + 1x2 <=1001 2X1 + 1x2 <=1000 Χρόνος παραγωγής Μέγιστο κέρδος = $4360 Μέγιστο κέρδος= $4363.4 Σκιώδης τιμή= 4363.40 – 4360.00 = 3.40 Πλαστικό
- 29. ΕΕύύρροοςς ΕΕφφιικκττόόττηηττααςς ((RRaannggeeooff FFeeaassiibbiilliittyy)) • Υποθέτοντας ότι δεν έχουμε άλλες αλλαγές σε άλλες μεταβλητές, το εύρος εφικτότητας είναι 30 – Το εύρος των τιμών ενός δεξιού μέλους ενός περιορισμού, μέσα στο οποίο οι σκιώδης τιμές των περιορισμών παραμένουν αναλλοίωτες. – Μέσα στο εύρος σκοπιμότητας η τιμή της συνάρτησης κέρδους μεταβάλλεται ως εξής: Μεταβολή στην συνάρτηση κέρδους = [σκιώδης τιμή][αλλαγή τιμής δεξιού μέλους]
- 30. 31 ΕΕύύρροοςς ΕΕφφιικκττόόττηηττααςς 2X1 + 1x2 <=1000 1000 500 X2 X1 500 Η αύξηση της ποσότητας του πλαστικού αρχίζει να επηρεάζει την βέλτιστη λύση μόνον όταν υπεισέλθει νέος περιορισμός. Περιορισμός πλαστικού Μη εφικτή λύση Περιορισμός αναλογίας X1 + X2 £ 700 Περιορισμός χρόνου παραγωγής Νέος ενεργός περιορισμός
- 31. 32 ΕΕύύρροοςς ΕΕφφιικκττόόττηηττααςς 1000 500 X2 X1 500 πλαστικό Χρόνος παραγωγής Παρατηρήστε πώς αυξάνει το κέρδος με την αύξηση του διαθέσιμου πλαστικού. 2X1 + 1x2 £1000
- 32. 33 ΕΕύύρροοςς ΕΕφφιικκττόόττηηττααςς 1000 Λιγότερο διαθέσιμο πλαστικό (ο περιορισμός του πλαστικού είναι ποιο περιοριστικός). Το κέρδος μειώνεται 500 X2 X1 500 2X1 + 1X2 £ 1100 Μη-εφικτή λύση Νέος ενεργός περιορισμός
- 33. 35 ΆΆλλλλεεςς μμεεττααββοολλήήςςσσττηηνν ββέέλλττιισσττηη λλύύσσηη • Προσθήκη ενός περιορισμού. • Απάλειψη ενός περιορισμού. • Προσθήκη μιας μεταβλητής. • Απάλειψη μιας μεταβλητής. • Αλλαγές στο δεξί μέλος των περιορισμών.
- 34. 36 ΧΧρρήήσσηη EExxcceellγγιιαα ττοονν ππρροοσσδδιιοορριισσμμόό ττηηςς ββέέλλττιισσττηηςς ττιιμμήήςς κκααιι ττηηνν ααννάάλλυυσσηη ττωωνν ααπποοττεελλεεσσμμάάττωωνν • Galaxy.xls Set Target cell $D$6 Equal To: To enter constraints click…
- 35. • Μη-εφικτό: Όταντο μοντέλο δεν έχει κανένα εφικτό σημείο Occurs. • Μη-φραγμένο: όταν η συνάρτηση κέρδους μπορεί να γίνει απεριόριστα μεγάλη (max), ή μικρή (min). • Μη-μοναδικότητα: Όταν περισσότερα από ένα σημεία μας οδηγούν σε βέλτιστη λύση 37 Μοντέλα χχωωρρίίςς μμοοννααδδιικκήή ββέέλλττιισσττηη λλύύσσηη
- 36. 38 ΜΜηη--εεφφιικκττόό Κανένασημείο δε βρίσκεται, Πάνω από την γραμμή και κάτω από τις . 1 1 2 3 2 3
- 37. 39 ΜΜηη φφρρααγγμμέέννοο Περιοχή εφικτότητας ¥
- 38. • Ένας επιλυτήςενδεχομένως να μην ενημερώσει τον χρήστη για την ύπαρξη και άλλων βέλτιστων λύσεων. 40 ΜΜηη--μμοοννααδδιικκόόττηητταα
- 39. 41 ΤΤοο ππρρόόββλληημμααττηηςς δδίίααιιττααςς • Μείξη δύο πρώτων υλών: Υ1, Υ2. • Ελαχιστοποίησε το συνολικό κόστος του μείγματος. • Ικανοποιώντας τις απαιτήσεις σε Vitamin A, Vitamin D, και σίδηρο.
- 40. 42 • Decisionvariables ΜΜοοννττέέλλοο – X1 (X2) -- το πλήθος των μερίδων κάθε προϊόντος. • Το μοντέλο Min 0.60X1 + 0.50X2 Ως προς Κόστος μονάδας 20X1 + 50X2 ³ 100 Vitamin A 25X1 + 25X2 ³ 100 Vitamin D 50X1 + 10X2 ³ 100 Σίδηρος X1, X2 ³ 0 % Vitamin A Από μια μερίδα % απαιτήσεις
- 41. 43 10 ΓΓρρααφφιικκήήλλύύσσηη Σίδηρος περιορισμός ΠΠεερριιοοχχήή εεφφιικκττόόττηηττααςς Vitamin “D” περιορισμός Vitamin “A” περιορισμός 2 44 5
- 42. 44 ΣΣυυννοοππττιικκήή εειικκόόννααββέέλλττιισσηηςς λλύύσσηηςς – Υ1 = 1.5 μερίδα Υ2 = 2.5 μερίδες – Κόστος =$ 2.15 ανά μερίδα σερβιρίσματος. – Δεν απομένει περίσσευμα Vitamin D και σιδήρου. – Το μείγμα προσδίδει 155% των απαιτήσεων σε Vitamin A.
- 43. 45 • Πληθώρα ΛΛοογγιισσμμιικκάά ΓΓΠΠ
- 44. ΘΘέέμμαατταα ΟΟρργγάάννωωσσηηςς •Δηλώστε συμμετοχή στο μάθημα μέχρι και τις 8.00πμ της Δευτέρας 29 Σεπτεμβρίου • Θα δοθεί ένα προκαταρτικό τεστ γνώσεων στην Γραμμική Άλγεβρα στην Δευτέρα 29 Σεπτεμβρίου την ώρα της διάλεξης • Ο τελικός βαθμός θα υπολογισθεί με βάση τον βαθμό μιας προόδου και τον βαθμό της τελικής εξέτασης 46
- 45. ΆΆλλλλαα ΣΣττοοιιχχεείίαα •Ιστοσελίδα • Βιβλίο 47