Application of statistical methods in analyzing the results fabrication control in semiconductor technology (in Russian) Presentation of the report on International Conference "Information technologies at metallurgy and machine building", Dnipropetrovs'k, 2008

1. Д.ф.-м.н. Бахрушин Владимир Евгеньевич,
к.ф.-м.н. Игнахина Марина Александровна
Классический приватный университет, г. Запорожье
ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ
МЕТОДОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
ПРОИЗВОДСТВЕННОГО КОНТРОЛЯ В
МЕТАЛЛУРГИИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

2. Кремниевые эпитаксиальные композиции широко
применяются при изготовлении силовых
полупроводниковых приборов, фотоприемников,
детекторов излучений, приборов, предназначенных для
работы при сверхнизких температурах и других изделий
твердотельной электроники. Их использование позволяет
существенно улучшить многие характеристики
приборов, в том числе повысить обратные напряжения
пробоя диодов и транзисторов, чувствительность
фотоприемников, уменьшить паразитные емкости p-n
переходов и т. д.

3. Современное оборудование позволяет
воспроизводимо получать эпитаксиальные слои кремния
толщиной 1–200 мкм с удельным
электросопротивлением 0,05–200 Ом·см,
неоднородностью распределения этих параметров не
более 3 – 5 % для толщины и 5 – 7% для удельного
электросопротивления на пластинах диаметром до
200 мм.
Однородность характеристик слоя зависит от
однородности распределения кремнийсодержащего
компонента в газовой фазе, скорости газового потока,
градиентов температуры, выбора исходных веществ и
геометрии реактора, в котором проводится осаждение.

4. Схема процесса осаждения
эпитаксиального слоя в
вертикальном реакторе

5. Основными параметрами, контролируемыми при
производстве кремниевых эпитаксиальных композиций,
являются толщина и удельное электросопротивление
эпитаксиального слоя, их неоднородность, а также
наличие и концентрации поверхностных и структурных
дефектов: бугорков и ямок роста, сыпи, следов окисления,
подплавления и растравливания, дислокаций, дефектов
упаковки и ступенек сдвига (линий скольжения).
Кроме того, в слаболегированных слоях,
осаждаемых на сильнолегированных изотипных
подложках, возможно появление вблизи границы раздела
высокоомных прослоек или прослоек с проводимостью
противоположного типа.

6. Разработка методик контроля и аттестации
эпитаксиальных композиций основана на применении
методов статистического анализа. При этом, как правило,
предполагают, что контролируемые параметры являются
нормально распределенными случайными величинами.
Для большинства дефектов законы распределения
значений по эпитаксиальной композиции, а также средних
значений по серии таких композиций неизвестны. В этих
условиях применение традиционных параметрических
методов статистического анализа неправомерно и
актуальной проблемой становится выбор адекватных
методик контроля качества, основанных на
непараметрических статистических методах.
Для этого необходимо иметь информацию о
функциях распределения контролируемых параметров.

7. Несмотря на большое число публикаций в этой
области, проблема практического применения
непараметрических статистических методов в
металлургии и материаловедении полупроводников
остается нерешенной. Это обусловлено недостаточной
эмпирической базой, большим разнообразием типов
изделий и технологий их изготовления, а также
непониманием технологами ограничений
параметрических методов и возможных последствий их
неправомерного использования. Значительная часть
предложений по усовершенствованию методик
статистического контроля не учитывает требования
производственников о том, чтобы издержки, связанные с
внедрением новых методик, были меньшими, чем эффект
от их применения.

8. Для идентификации функций распределения
использовали такую методику. На первом этапе с
использованием Р-Р диаграмм выбирали наиболее
подходящий закон распределения.
Затем подбирали параметры модели, минимизируя
сумму квадратов отклонений модели от эмпирической
функции распределения.
В случаях, когда модель представляла собой смесь
распределений, сначала подбирали модели отдельных
компонент, а затем уточняли параметры модели в целом,
используя полученные ранее данные в качестве
начального приближения.

9. Исследованы горизонтальная и вертикальная
неоднородности толщины по результатам измерений на
220 композициях, полученных в двух сериях из 26 и 29
процессов. Измерения толщины выполняли методом
спектроскопии инфракрасного отражения,
обеспечивающим воспроизводимость результатов не хуже
0,5 %. Для каждого образца выполняли замеры в 5 точках.
Одна из них совпадала с центром образца, а остальные
находились на вертикальном и горизонтальном диаметрах
на расстоянии r/2 от центра (r – радиус подложки).
Горизонтальную и вертикальную неоднородность
определяли по формуле ∆d = (dmax – dmin)/2dср, где dmax, dmin
и dср – соответственно максимальное, минимальное и
среднее значение толщины для соответствующего
горизонтального или вертикального ряда.

10. Функции распределения для горизонтальной
неоднородности толщины слоя

11. Функции распределения для вертикальной
неоднородности толщины слоя

12. Функции распределения неоднородности толщины
для первой серии композиций

13. 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
ФР_гор_2
ФР_верт_2
Функции распределения неоднородности толщины
для второй серии композиций

14. Функция распределения для горизонтальной
неоднородности толщины слоя

15. Функция распределения для вертикальной
неоднородности толщины слоя

16. Observed Cum Prob
1,0,8,5,30,0
ExpectedCumProb 1,0
,8
,5
,3
0,0
Observed Cum Prob
1,0,8,5,30,0
ExpectedCumProb
1,0
,8
,5
,3
0,0
Observed Cum Prob
1,0,8,5,30,0
ExpectedCumProb
1,0
,8
,5
,3
0,0
Нормальное
распределение
Распределение
Вейбулла
Логнормальное
распределение

17. ( ) ( )
c
W x;b;c 1 exp x / b = − −
 
Распределение Вейбулла:
Нормальное распределение:
( )
( )
2u
2
x1
N u; ; exp dx
22 −∞
 −µ
µ σ = − 
σπσ   
∫
Логнормальное распределение:
( )
( ){ }
2
u
2
0
ln x / m1 1
L u;m; exp dx
x 22
 
 σ = −
σ πσ
 
∫

18. ( ) ( )F 0,900N 0,0223;0,0067 0,100N 0,0409;0,0029= +
( ) ( )F 0,853N 0,0157;0,0076 0,147N 0,0400;0,010= +
( )F L 4,716;0,755= −
( )F L 4,326;0,675= −
Горизонтальная неоднородность:
Вертикальная неоднородность:
Гор 1 Гор 2 Верт 1 Верт 2
КС норм 1,20 1,97 1,68 1,48
КС мод 0,58 0,53 0,80 0,76

19. Weibull P-P Plot of VAR00001
Observed Cum Prob
1,0,8,5,30,0
ExpectedCumProb
1,0
,8
,5
,3
0,0
Normal P-P Plot of VAR00001
Observed Cum Prob
1,0,8,5,30,0
ExpectedCumProb
1,0
,8
,5
,3
0,0
Р-Р диаграммы для значений удельного
электросопротивления (средние значения УЭС для
слоев, осажденных в однотипных условиях)

20. Функция распределения значений удельного
электросопротивления в серии процессов

21. Бугорки роста, представляют собой выступы
высотой 0,1 – 20 мкм, плотность которых достигает
103
см-2
. Известны два возможных механизма их
образования. По первому механизму оно вызвано
загрязнением поверхности посторонними частицами.
Согласно второму, возникновение бугорков происходит в
результате замедления тангенциального роста ступеней
осевшими на них атомами примесей. Можно также
предположить наличие связи между бугорками роста в
“обычных” эпитаксиальных композициях и
формированием “шипов” – тонких игольчатых кристаллов
диаметром до 1 мм и длиной до 10 мм, растущих
перпендикулярно поверхности, при осаждении
эпитаксиальных или поликристаллических слоев кремния
толщиной более 100 мкм.

22. Gamma P-P Plot of VAR00001
Observed Cum Prob
1,0,8,5,30,0
ExpectedCumProb 1,0
,8
,5
,3
0,0
Logistic P-P Plot of VAR00001
Observed Cum Prob
1,0,8,5,30,0
ExpectedCumProb
1,0
,8
,5
,3
0,0
Lognormal P-P Plot of VAR00001
Observed Cum Prob
1,0,8,5,30,0
ExpectedCumProb
1,0
,8
,5
,3
0,0
Normal P-P Plot of VAR00001
Observed Cum Prob
1,0,8,5,30,0
ExpectedCumProb
1,0
,8
,5
,3
0,0
Weibull P-P Plot of VAR00001
Observed Cum Prob
1,0,8,5,30,0
ExpectedCumProb
1,0
,8
,5
,3
0,0
Half-Normal P-P Plot of VAR00001
Observed Cum Prob
1,0,8,5,30,0
ExpectedCumProb
1,0
,8
,5
,3
0,0

23. Detrended Gamma P-P Plot
Observed Cum Prob
1,0,8,6,4,20,0
DeviationfromGamma
,1
0,0
-,1
-,2
Detrended Lognormal P-P Plot
Observed Cum Prob
1,0,8,6,4,20,0
DeviationfromLognormal
,06
,04
,02
0,00
-,02
-,04
-,06
-,08
Detrended Weibull P-P Plot
Observed Cum Prob
1,0,8,6,4,20,0
DeviationfromWeibull
,2
,1
0,0
-,1
Detrended Half-Normal P-P Plot
Observed Cum Prob
1,0,8,6,4,20,0
DeviationfromHalf-Normal
,1
0,0
-,1
-,2
-,3
Detrended Logistic P-P Plot
Observed Cum Prob
1,0,8,6,4,20,0
DeviationfromLogistic
,2
,1
0,0
-,1
Detrended Normal P-P Plot
Observed Cum Prob
1,0,8,6,4,20,0
DeviationfromNormal
,2
,1
0,0
-,1
-,2

24. ( )0,1 0,9L 2,289;0,601+
Функция распределения вероятности брака по бугоркам роста
(здесь и дальше вероятность оценивается для слоев, осажденных в
одном процессе)

25. Сыпь представляет собой множество мелких
пирамидальных ямок на поверхности эпитаксиального
слоя. Ее образование обусловлено, как правило, тем, что
подводимые к подложке атомы кремния не успевают
встраиваться в кристаллическую решетку. Это может
быть вызвано недостаточно высокой температурой
процесса или слишком большой концентрацией
хлорсодержащего компонента.
Существенное значение в данном случае имеет
качество подготовки подложки. В зависимости от него
минимальная температура, при которой начинается рост
бездефектного эпитаксиального слоя, может повышаться
или понижаться на 50 – 100 К.

26. ( )0,574 0,426L 2,126;0,760+
Функция распределения вероятности брака по сыпи

27. ( )F 0,758 0,242L 2,027;0,805= +
Функция распределения вероятности брака по окислению
поверхности

28. ( )0,562 0,438L 2,193;0,709+
Функция распределения вероятности брака по растравливанию
поверхности

29. Функций распределения плотности дислокаций для
композиций, полученных в двух типах реакторов

30. Функция распределения плотности дислокаций для
реактора первого типа

31. Функция распределения плотности дислокаций для
реактора второго типа

32. Функция распределения выхода готовой продукции
( )
( )
F 0,693N 75,8;14,0
0,307N 47,1;19,2
= +
+

33. Функция распределения выхода готовой продукции с
повышенным структурным совершенством
( )F 0,105 0,895W 22,72;1,70= +

34. Выводы
1. Предположение о нормальном распределении
параметров, контролируемых при производстве кремниевых
эпитаксиальных композиций, часто не выполняется. Наряду с
нормальным законом распределение параметров во многих
случаях описывается также логнормальным законом или
распределением Вейбулла.
Наиболее часто распределение неоднородно и может быть
представлено в виде смеси распределений.
2. Отклонения от нормального закона распределения
ведут к неправомерности применения параметрических
статистических методов для разработки методик контроля и
аттестации продукции. Более того, в отдельных случаях
возникает необходимость отказа от традиционных показателей
центра распределения значений и их разброса относительно
центра.

35. 3. В частности, вертикальная неоднородность толщины
эпитаксиального слоя подчиняется логнормальному
распределению и характеризуется эксцессом, равным 6,5 – 15,5.
Для таких распределений среднее арифметическое значение не
является эффективной оценкой центра распределения, и вместо
него следует использовать медиану. Кроме того, для таких
распределений имеется большая погрешность в определении
среднеквадратичного отклонения, и для получения приемлемой
точности результата (5 %) объем выборки должен превышать
1000 – 1500 измерений.
То же относится к распределению брака по наличию
бугорков (эксцесс распределения равен 8,0).
4. Для смесей распределений ситуация является более
сложной и требует дополнительного анализа с учетом факторов,
определяющих неоднородность исследуемых показателей.

36. Некоторые публикации авторов по теме доклада:
1. Бахрушин В.Е.
Получение и физические свойства слаболегированных слоев мно
2. Бахрушин В.Є. Аналіз даних: конспект лекцій. – Запоріжжя:
ГУ "ЗІДМУ", 2006. – 128 с.
3. Бахрушин В.Є., Ігнахіна
М.О. Статистичний аналіз неоднорідності товщини
епітаксійних шарів кремнієвих композицій //
Складні системи і процеси. – 2008. – № 1. – С. 3 – 8.
4. Бахрушин В.Е., Игнахина М.А.
Применение статистических методов при обработке результатов
Системні технології. – 2008. – № 3(56), Т. 1. – С. 3 – 7.

37. Спасибо за внимание
Vladimir.Bakhrushin@zhu.edu.ua