비행체-힘과모멘트

힘과 모멘트
Forces and Moment
도정찬

4 장의 학습 목표
- 힘과 모멘트에 대한 표현
- 4.1 중력에 의한 힘, 4.2 공기역학적 힘과 토르크, 4.3 추진력에 의한 힘과 토르크, 4.4 대기요란(atmospheric
disturbance)
- 대기 요란은 풍속(wind speed)의 변화에 따라 정해지며 항공역학적 힘과 토르크에 대한 운동방정식에 들어간다.
소개
- 이번 장에서는 기체에 작용하는 힘과 모멘트에 대해 배운다.
- 힘과 모멘트는 중력, 공기역학, 추진력 이 3가지의 힘으로 생긴다.
- 를 중력, 는 공기역학적 힘과 모멘트, 는 추진에 대한 힘과 모멘트로 아래의 식이 성립.
- f, m은 기체에 작용하는 모든 힘과 모멘트가 됨.
물체에 회전을 일으키는 힘. 힘의 작용성으로부터
회전 중심까지의 수직 거리(d)와 힘을 곱한 값.
M = d * F
크기와 방향을 가지는 물리량
F=ma
힘 = 중력 힘 + 공기역학 힘 + 추진 힘
모멘트 = 공기역학 모멘트 + 추진 모멘트
(중력은 x)
돌림힘(Moment of a Force, Torque)은 힘의 공식 F=ma로는 물체가 한 바퀴(주기)를 돌
았을 때 변위 변화량은 0이 되는 것과 같이 물체의 회전운동을 표현하기 어려운 문제로
회전운동에 변화주는 물리량을 나타낸다. 토르크 크기는 로 모멘트와 같다
대기 불안정

4.1 중력에 의한 힘(Gravitational Forces)
기체에 작용하는 중력의 영향은 기체 질량 중심에 작용하는 힘으로 설계된다. 이 힘은 방향으로 작용하고, 중력
상수 에 의해 기체의 질량에 비례한다. 기체 좌표계 에서 중력은 기체의 중심에 작용하며 아래의 식이 된다.
3장에서 뉴턴의 2법칙 쓸때 몸체 좌표계에서 축들을 따라 힘들을 합친다. 그러므로 중력을 기체 요소에대해 변환하
여 아래와 같이 된다.
중력은 기체의 중심에 작용하며, 모멘트가 발생하지는 않는다.
기체 좌표계에 작용하는 중력
중력 = 기체 질량 * 중력 상수
중력은 기체 좌표계의 k축 방향으로 작용하므로
x,y 축에 대한 힘은 0이된다.
몸체 좌표계에서 작용하는 중력
=회전행렬(기체에서 몸체) * 기체좌표계 중력

4.2 공기역학적 힘과 모멘트(Aerodynamic Forces and Moments)
기체가 비행할때 압력 분포(pressure distribution)이 기체의 몸체에 작용하며 그림 4.1과 같다.
압력의 길이와 분포는 대기 속도, 대기 밀도, 기체의 형태에 의한 함수가 되며 동적 압력(dynamic pressure)는
로 구하며, 는 대기 밀도, 는 대기속도 백터이다.
날개에 작용하는 압력 분포를 개념화하는것 보다 일반적인 방법은 힘과 모멘트의 조합과 압력의 영향을 측정하는
것이다. 예를들어 longitudinal( )면을 볼때, 작용하는 압력이 양력(life force), 항력(drag force)로 나타낼수 있다.
기체를 띄우는 힘 기체를 방해하는 힘 유체 저항
대기압력 = ½ * 대기 밀도 *(대기속도백터)^2
->양력, 항력, 모멘트 구할때 사용

그림 4.2와 같이 양력과 항력은 공기역학 중심인 점의 현의 1/4에 작용한다. 양력, 항력, 모멘트는 보통 다음과 같이
나타내며 는 무차원적인(nondimensional) 항공역학 계수이고, S는 기체 날개 넓이(platform area), c는
날개 현의 평균이 된다.
모멘트 각 = ~항력과 양력은 원의 ¼ 현에 작용
동적 기체 압력
양력 = 동적압력 * 날개 넓이 * 양력계수
항력 = 동적압력 * 날개 넓이 * 항력계수
모멘트 = 동적 압력 * 날개 넓이 * 날개 현의 평균(mean chord of MAV wing)

날개(airfoil)에 대해 양력, 항력, 피칭 모멘트 계수는 날계의 형태, 레이놀드 수(Reynolds number), 마하 수(Mach
number), 받음각(angleof attack)에 크게 영향을 받는다. 각 , , 각 속도 p,q, r 그리고 항공역학 계수에서 제어면의
굴절을 고려한다.
공기역학적 힘과 모멘트를 보통 경도와 측면으로 나눌수 있다. 경도방향의 힘과 모멘트는 면에서 작용하는데
이 면을 피치 면(pitch plane)이라 한다. 이것은 또 , 방향에 대한 힘(양력과 항력을 야기함)과 축에 대한 모멘
트를 갖는다. 측면(Lateral) 힘과 모멘트는 방향의 힘과 , 축에 대한 모멘트를 갖는다.
유체 흐름 형태를 나타내는 무차원군(dimensionless group)으로 레이놀드 수 , D는 지름, U는 유속으로 2100이하시 층류 4000이상 시 난류
마하수는 비행체의 속도를 나타낼때 쓰며, 음파 속도와
물체의 속도를 비교하여 측정한 속도 단위
2장 좌표계 참고
피치 평면
힘
모멘트
경도방향의 힘과 모멘트 측면방향 힘과 모멘트
모멘트
힘

4.2 항공역학적 힘과 모멘트(Aerodynamic Forces and Moments)
항공역학적 힘과 모멘트에대한 상새한 설명을 하기 전에 양력면(lift surface) 때문에 먼저 기체를 조종하는데 사용
하는 제어면(control surface)을 정의해야 한다. 제어 표면은 항공역학적 힘과 모멘트를 바꾸는데 사용하며 표준 기
체 설정(standart aircraft configuration)에서는 엘리베이터(elevator), 에일러론(aileron), 러더(rudder)로 구성된다.
다른 면들로 스포일러(spoiler), 플랩(flap), 카나드(canard)가 있으나 이 책에서 다루지는 않는다.
4.2.1 제어면(Control Surfaces)
기체의 회전 운동을 하기 위해 움직일 수 있는 항공역학적 표면(에일러론,러더,엘리베이터 같이 접어서 기체를 운동시키는 면들)
기체 y축 회전
상승 or 하강 조절 (pitch)
기체 x축 회전 조절
(roll)
기체 k축 회전 조절
(yaw)

그림 4.3은 표준 설정을 보여주며, 에일러론 굴절은 , 엘리베이터 굴절은 러더 굴절은 로 표기한다. 조종면
굴절의 양 방향은 조종면의 힌지 축에 오른손 규칙을 사용할 수 있다. 예를들어 엘리베이터의 힌지 축은 과 나
란하며 축에 대해 오른손 규칙을 적용하면 엘리베이터가 양의 굴절을하며 아래로 내려가고, 러더도 비슷하게 왼쪽
으로 접힌다. 에일러론 양방향 굴절은 각 에일러론을 내려 생긴다. 에일러론 굴절 는 각 반대 방향의 굴절로 정의
할 수 있다.
그러므로 양의 값을 갖는 를 구하려면 왼쪽 에일러론이 내려가고 오른쪽 에일러론이 올라가야 한다.
오른손 법칙에 따라 왼쪽으로 접히는 러더
엘리베이터 힌지
𝑦 𝑏
나란함 엘리베이터 힌지에
오른손규칙
엘리베이터 아래로-양
엘리베이터 위로-음
왼쪽 에일러론(아래)
오른쪽 에일러론(위)
우측 ROLL >0

소형 비행체에 대해 두가지의 다른 표준 설정들이 있는데, 하나는 그림 4.4에서 나타나는 v-tail 설정이 있으며 v-
tail 설정에대한 제여 면을 ruddervators라 부른다. 오른쪽 러더베이터의 각 굴절을 , 왼쪽 러더베이터의 각 굴절
을 로 표기한다. 러더베이터는 러더로서 같은 영향을 주며 축에 대해 토르크를 만든다. 러더베이터가 같이 동작
하면 엘리베이터와 같은 역활을 하며 축에 대해 토르크를 발생시킨다.
v-tail 러더베이터
Yaw
Pitch
토르크(회전힘)
= 수직거리 * 질량

러더베이터를 러더-엘리베이터로 변환의 식은 아래와 같다.
이 관계를 이용해 힘에 대한 수치 모델과 v-tail 기체에 대한 토르크를 표준 러더-엘리베이터 표기법으로 나타낼 수
있다.
러더베이터 -> 러더-엘리베이터로 변환
𝛿 𝑒 = 𝛿 𝑟𝑟 + 𝛿 𝑟𝑙, 𝛿 𝑟 = −𝛿 𝑟𝑟 + 𝛿 𝑟𝑙

다른 소형 기체에 대한 표준 설정은 날개가 그림 4.5와 같이 나타낸다.
일레본은 비행 조종에 사용되며 엘리베이터와
에일러론과 같은 역활을 하여 대신한다.
엘레본 -> 에일러론-엘리베이터로 변환
𝛿 𝑒 = 𝛿 𝑒𝑟 + 𝛿 𝑒𝑙, 𝛿 𝑎 = −𝛿 𝑒𝑟 + 𝛿 𝑒𝑙
비행 날개에 대한 제어면을 일레본(elevon)이라 부르며 오른쪽 일레본의 각 굴절량을 로 표기하며 왼쪽 일레본의
각 굴절을 로 표기한다. 각각의 일레본들은 에일러론과 같은 영향을 주며 축에 대해 토르크를 만들며 일레본은
같이 엘리베이터와 같은 영향을 갖고, 축에 대해 토르크를 야기시킨다. 수치적으로 일레본과 에일러론-엘리베이터
신호를 아래와 같이 변환한다.
그러므로 비행 날개에 대한 토크를 표준 에일러론-엘리베이터 표기로 나타낼 수 있다.
일레본과 에일러론-엘리베이터
𝑗 𝑏
𝑖 𝑏

종방향 항공역학 힘과 모멘트는 - 평면(pitch 평면)에서 동작을 발생시킨다. 그 동작은 친숙한 항공 역학적인 힘
과 모멘트이며 양력(lift), 항력(drag), 피치 모멘트(pitching moemnt)로 구성딘다. 정의에 따르면 그림 4.2처럼 양력
과 항력은 안정 좌표계의 축과 일치하게 된다. 백터로 나타낼때 피치 모멘트도 안정 좌표계의 축과 나란해진다.
양력과 항력 핏치 모멘트는 받음각에 큰영향을 받는다. 피치 속도 q와 엘리베이터 굴절률 는 역시 종방향 힘과 모
멘트에 영향을 준다. 이것에 기초해 양력, 항력, 피치 모멘트에 대해 ,q, 를 이용해 다음의 표현을 구하였다.
4.2.2 종방향 항공역학(Longitudinal Aerodynamics)
피치 평면
항력은 is축에 역방향 양력은 ks의 역방향
피치 모멘트는 js와 나란함
S는
날개
기체 날개 넓이
양력 계수
회전속도 q와 엘리베이터 접힘 크기가
종방향 힘과 모멘트에 큰 영향

일반적으로 이러한 식과 모멘트 방정식은 비선형이 된다. 작은 받음 각에 대해 날개에 대한 흐름은 층류(laminar)가
남아있다. 이런 상태에서 양력, 항력, 피칭 모멘트는 선형 추정(linear approximation)으로 신뢰할수있는 정확성을 갖
는 모델을 설계하였다. 양력 부등식으로 예를들면 양력을 추정하는 테일러 급수의 일차식이 아래와 같이 있다.
계수 는 의 값이며 = = 0일때이다. 이 선형 추정의 편미분을 무차원화화를 하는 것이 일반 적이며
과 각 , (라디안으로 표현)은 무차원이기 때문에 가 된다. q가 rad/s 가 되기 때문에 표준 요인은
이 된다. 식 (4.2)를 다시 쓰면 아래와 같다.
계수 는 차원이 없는 양이 된다. , 는 보통 안정 미분
이라 하며 는 제어 미분의 예가 된다. 여기서 미분(derivative)란 테일러 급수 추정(Taylor series approximation)
에서 편미분으로써 나타내는 계수가 된다.
테일러 급수 일차식 표현
받음 각이 없을때

비슷하게 항공역학적 항력과 피치 모멘트를 선형 추정으로 나타내는데 아래와 같다.
식 (4.3), (4.4), (4.5)는 종방향 항공역학 모델의 기초로 사용한다. 적은 받음각 비행 상태(low-angle-of-attack)에서
그것들은 힘과 모멘트를 나타내는데 충분히 정확하다. 기체 몸체에 흐르는 유체는 층류이며 기체에 흐르는 유체 필
드는 유사 안정(quasi-steady)으로 부르는데 시간에 대해 천천히 변한다는 의미가 된다. 흐름 장(flow field)의 형태는
예상할 수 있으며 받음각, 피치 속도, 엘리베이터 굴절의 변화에 따라 바뀐다. 흐름 장의 유사 안정 행동은 위 식들에
나타나듯이 종방향 항공역학 힘과 토르크가 예측가능하고 직관적으로 설계 되었다.
적은 받음각 -> 유사 안정 : 유체 장이 천천히 변함

기체에 평소 유사 안정인것과는 불안정 상태가 예상된다. 불안정 항공역학은 비선형, 3차원, 시변(time-varying),
나눠진 유체들(separated flows)로 특징을 나타낼 수 있는데 기체에 작용하는 힘과 모멘트에 영향을 준다. 두가지 가
능한 불안정 유체 시나리오를 보면 큰받음각(high-angle-of-attack)과 큰각속도(high-agular-rate aircraft maneuvers)
가 있는데 전투기나 날개가 펄럭거릴때 발생한다. 새와 벌레가 효율적으로 나는것은 불안정 항공역학 유체 영향을
이용하기 때문이다.
불안정 유체 이론에서 사용자와 디자이너가 알아야 할 가장 중요한 점은 실속(stall)으로 날개에서 공기 흐름이 나
눠지는 점까지 받음각이 올라갈때 발생하여 양력을 감소시킨다.
실속 : 날개가 공기 흐름을 나누는 점까지 받음각이 올라갔을때 발생하며, 양력 감소

실속 상태에서는 식 (4.3), (4.4), (4.5)는 기체에서의 항공역학적 힘을 위험한 최적화 추정을 한다. 이 날개 실속 현
상은 그림 4.6에서 설명한다. 너무 낮은 받음각 상태에서 흐름은 날개위로 흐르는 층류가 되고 날개를 덮는다. 공기
흐름이 날개를 덮어 양력을 만들게 된다. 하지만 받음각이 임계 실속 각을 넘기면 공기 흐름은 난기류(turbulent
flow)를 발생하고 날개에서 양력을 감소시켜 기체의 추락하게 한다. 식 (4.3)에서 (4.5)까지의 선형 항공역학 모델의
취약점은 받음각이 올라갈때 양력이 언제 갑작스럽게 떨어지는지(abrupt drop) 예상하는데 실패하게 된다. 대신 받
음각을 올릴때 기체의 불안정도가 올라가는 현상을 잘못 예측하게된다. 기체 역학 모델에서 제어 법칙을 사용해야
하며 성능을 시뮬레이션 해야하며 날개 실속의 영향은 종방향 항공역학 모델에 통합하는게 중요하다.
종방향 항공역학 힘과 모멘트로 최적화 추정 수행.
(받음각 > 임계 실속각) -> 난기류 발생 -> 양력 감소
(받음각 < 임계 실속각) -> 공기흐름이 층류 -> 양력 발생
위 식으로는 언제 양력이 떨어지는지 예상 할 수 없음 -> 종방향 항공역학 모델에 실
속 영향도 포함 필요.

날개 실속을 종방향 역학 모델에 통합하기 위해 식 (4.3)과 (4.4)를 양력(lift)와 항력(drag force)가 받음각에서 비선
형이 되도록 수정하여 큰 받음각 에서 양력과 항력이 정확해지도록 한다. 양력과 항력은 , 가 의 비선형
함수로 표현될때 더 자세히 나타낼 수 있다. 실속 상태를 넘어가는 받음각에서 날개는 평판(flat plate)처럼 거칠게
흔들리는데 양력 계수는 [22]와 같이 설계되며 아래와 같다.
큰 받음각을 넘기는 날개 디자인에 대한 받음각에 비해 양력 모델은 정확하게 얻기 위해 바람 터널 시험(wind
tunnel testing)이나 연구 자료가 필요하다. 많은 시뮬레이션의 목표에선 매우 정확한 양력 모델을 필요로 하지는 않
은 반면에, 실속의 영향을 양력 모델에 들어가도록 해야한다. 양력 모델은 선형 양력 동작과 실속의 영향으로 구성
되어 아래와 같이 주어진다.
M과 는 양의 상수값이 된다.
평판의 양력 계수로 양력 모델을 구하는데 사용하며
받음각에대한 비선형 함수가 된다.
실속 영향이 포함된 종방향 선형 양력 계수

식 (4.10)에서 시그모이드 함수는 에서 자르고, 이동 속도 M을 섞는 함수로 그림 4.7은 식 (4.9)에서 양력 계수
를 나타내는데 선형 용어 와 식 (4.8)의 평면 용어의 혼합함수가 된다. 소형 기체에서 선형 양력 계수는 아
래와 같이 추정할수 있으며 는 날개의 비율, 는 날개길이(wingspan), S는 날개의 넓이가 된다.
항력 계수 는 받음각의 비선형 함수로 항력계수에서는 항력과
기생항력(parasitic drag) 두 속성이 있다. 기생항력은 날개 전반을
부러트리려는 힘과 다른 영향으로 생기면서 일관적이고, 로
표기한다. 작은 받음각에 대해 생긴 항력은 양력의 제곱에 비례한다.
기생 항력과 발생 항력을 합치면 아래와 같으며 파라미터 e는 오스왈
드 값으로 0.8과 1.0 범위의 값을 갖는다.
(날개길이^2)/날개넓이
받음각 에서 양력계수
에 대한 선형 함수
비선형 성분
항력계수 Cd = 항력 + 기생학력
기생항력

그림 4.8는 2차, 1차 형태의 받음각에 대한 항력 계수를 나타낸다. 이차 모델은 항력을 에 대한 우함수이고, 항력
은 받음각에대해 독립이며 항상 기체 속도의 정반대방향이 된다. 선형 모델은 항력이 음수(기체를 앞으로 누를떄)가
음수가 될때 부정확하게 예측하며 받음각이 충분하게 음의 값을 가질때이다. 그림은 영양력 항력 계수(zero-lift
drag coefficient)로 알려진 기생항력 와 받음각이 0일때 선형모델로 예측되는 항력계수 의 차이가 명확하게
나타난다.
항력계수 비선형모델
기생학력 : 양력이 없을때 항력
받음각이 없을때 항력계수
𝛼
𝐶 𝐷0
+ 𝐶 𝐷 𝛼
𝛼
받음각이 1이 오르면
항력계수는 𝐶 𝐷 𝛼
만큼 커짐
선형 항력계수는
받음각이 0일때
항력계수 𝐶 𝐷0
와
받음각 * 𝐶 𝐷 𝛼
𝛼 의 합
비선형 항력계수 모델에서는
기생항력에서부터 항력이 오른다.

파라미터 , 는 가 선형이 되는데에 대한 명목 동작 상태 = 일 때의 받음각과 항력계수가 된다. 2차 모
델이 범위에 따라 받음각의 영향을 정확하게 나타내는 반면에, 선형 모델은 일반적인 비행 상태에 정확하고, 단순
화 시켰기 때문에 가끔 사용한다.
식 (4.6), (4.7)에 나오는 양력과 항력 는 안정 좌표계에서 나타내며 몸체 좌표계에서 나타내기 위해 받음각에 대한
회전이 필요하다.
비선형 모델이 정확하여 선형 모델은 단순한 상황에서 사용.
양력과 항력은 stability frame에 정의됨
body frame에 사용하기위해 받음각 회전변환이 필요
받음각(피치각)만큼 회전해야 하며
y축에 대한 회전행렬을 사용한다.
body frame에서 양력/항력계수는
다음과같이 정리되며
항공역학적 힘이 된다.

힘의 모델에서 사용하는 , 는 넓은 범위의 받음각에 유효한 식 (4.9)와 (4.11)에서 비선형 함수가 될수 있다.
만약 대신 단순한 모델이 필요하면, 선형 계수는 아래처럼 사용할 수 있다.
기체의 피치 모멘트는 받음각의 비선형 함수이고, 바람 터널이나 비행 실험으로 결정해야 한다. 시뮬레이션을 위해
아래의 선형 모델을 사용하는데 에서 기체가 피치는 안정된다.
선형 모델(단순하며 좁은 받음각 범위에 대해 정확함) 비선형 모델(정밀하여 넓은 범위에서 사용가능)
항력 계수
양력 계수

정리
목표 : 기체에 작용하는 힘과 모멘트를 배운다.
-> 본 ppt에서는 4.1 중력에 의한 힘과 4.2 항공역학적 힘과 토르크(모멘트)에 대해 설명
힘은 중력 힘, 항공역학적 힘, 추진력에의한 힘 3가지로 구분.
모멘트는 항공역학적 모멘트와 추진력에의한 모멘트 2가지가 존재.
4.1 중력에 의한 힘, 4.2 공기역학적 힘과 토르크중력에대해 모멘트가 발생하지 않고, 힘만 존재
토르크와 모멘트는 회전 힘으로 같은 용어로 봐도 되고, 모멘트는 회전
운동에 대한 크기로 선형 운동에대한 크기인 힘과 다름.
중력에 의한 힘
1) 중력은 k 축에 대해서만 작용
2) 질량 * 중력상수 g가 중력의 크기
body frame으로 변환.
기체에 작용하는 힘 동적 압력(dynamic pressure)는 로 구함. 는 대기밀도, 대기속도 백터
longitudinal( )면 종방향을 보면 양력(life force), 항력(drag force)이 작용하며 다음의 식으로 정리됨.
, , 이 되며 무차원 항공역학 계수. S는 기체 날개 넓이, c는 날
개 현의 평균
항공역학적 힘과 모멘트
힘 = 압력 방정식 * 계수 * 기체 날개 넓이 * 날개 현 평균

계수 는 레이놀드수, 마하수, 받음각에 영향받으며, 받음각 𝛼, 𝛽, 각속도 𝑝, 𝑞, 𝑟 에 영향 받음.
정리
공기역학적 힘과 모멘트
경도
측면
피치 면(pitch plane) 힘
힘
모멘트
모멘트
는 다음과 같이 나뉨
표준 설정기체 회전에 사용하는 접기 가능한 모든 면->제어면
에일러론이 양수면 -> 오른쪽으로 ROLL
러더가 양수면 -> 오른쪽으로 YAW
엘리베이터가 양수면 -> 아래로 Pitch -> 기체 상승
경도(종방향) 항력, 양력, 모멘트 방정식
힘 =압력 * 계수 * 기체 날개 넓이 * 현 평균

테일러 급수 표현
정리 원래 항공역학적 힘 방정식
로 정리
양력 - 선형
양력 - 비선형
항력 - 선형
항력 - 비선형
양력, 항력은 안정좌표계에 대한 표현
body frame에 대한 변환

측면의 힘과 모멘트는 축 측면 방향으로 이동 운동과 기체가 경로를 따라가는 길에서의 roll과 yaw와 같은 회전
운동으로 발생한다. 측면 항공역학은 sideslip각 에 크게 바뀌며 roll 각속도 p, yaw 각속도 r 그리고 에일러론의 각
도 에 영향을 받는다. 측면 힘은 로 표기하며 roll과 yaw 모멘트는 l, n로 정의되어 아래와 같이 구한다.
는 무차원의 항공역학 계수이고, b는 기체의 날개 길이가 된다.
종방향 항공역학 힘과 모멘트처럼 계수 는 비선형이며 를 파라미터로 가지며 이 비선
형 관계를 정리하기는 어렵다. 선형 항공역학 모델은 기체의 동적 안정성을 맞추고, 충분한 정확성을 가진다. 4.2.2
에서 선형 종방향 항공역학 모델을 만들었던 방식을 따라간다(1차식의 테일러 급수 추정과 항공역학 계수들을 비선
형화를 이용).
4.2.3 측면 항공역학(Lateral Aerodynamics)
종방향 힘과 모멘트
Body frame j축으로
힘 가 작용하여
이동 운동
종방향 항공역학에서는 받음각에 크게 영향받음 에일러론의 크기가 roll의 속도에 영향줌
회전운동의 크기(비틀림 힘)
비선형 모델은 정확하나 복잡하고, 구하기 어려우므로, 간단한 선형 모델을 이용하기도 한다
측면 힘과 모멘트
Y축방향 힘 계수
Roll 모멘트 계수
yaw 모멘트 계수
Sideslip각
Roll 각속도Yaw 각속도
에일러론 접힘 크기
러더 접힘 크기

이러한 방법으로 측면 힘, 롤과 요 모멘트에대한 선형 관계를 아래와 같이 나타낼 수 있다.
이 힘과 모멘트는 기체의 body frame 축에 나란하며 운동 방정식을 표현하는데 회전 변환이 필요하지는 않다. 계
수 는 일때 측면 힘 계수 의 값이 된다. 이때 기체는 평면에 대칭하며 는 일
반적으로 0이 된다. 도 똑같이 정의되며 대칭일때 일반적으로 0이다.
4.2.3 측면 항공역학(Lateral Aerodynamics)
측면 항공역학 - 측면 힘과 롤, 요 모멘트 종방향 항공역학 – 양력, 항력, 피치 모멘트
측면 힘과 롤, 요 모멘트는
Body frame에서 표현되므로
운동방정식을 위해 회전변환 필요없음

항공역학 계수 는 안정미계수(stability derivative:조종 안정성 변환)로 부르는데 이 값들은
기체가 정적 혹은 동적 안정성을 결정하기 때문이다. 동적 안정성은 안정적이지 않고, 기체가 동요할때의 항공역학
적 모멘트 방향을 다룬다. 모멘트가 일반 비행 상태로 돌아가려 한다면 기체는 안정되었다고 할수 있으며 대부분의
기체는 안정적인 상태를 유지하도록 설계된다. 계수 는 기체의 정적 안정성을 결정하며 로 나
타내는 대기속도의 방향 각각이 변할때 모멘트 계수가 변함을 보여준다.
는 종방향 정적 안정 미분계수(longitudinal static stability derivative)라 부르며 기체가 안정될때 는 0보다
작아야 한다. 기체 상승으로 의 증가는 받음각을 낮추기 위해 기체의 코를 내리게 한다.
는 roll 정적 안정 미분계수(roll static stability derivative)로 날개의 이면각(dihedral)과 관련이 있는데, roll 정적
안정을 위해선 은 음수가 되야한다. 이 값이 음수 일때, sideslip각 방향과 멀어지도록 롤 모멘트가 생기며,
sideslip 각 에서 0이 되게 비행한다.
4.2.4 항공역학 계수(Aerodynamic Coefficients)
측면
Y방향 힘
roll 모멘트
Yaw 모멘트
종
방
향
양력
(-k방향 힘)
항력
(-x방향 힘)
Pitch 모멘트
Roll-sideslip 계수 yaw-sideslip 계수
Roll-roll 각속도 계수
Yaw모멘트, 각속도 계수
Pitch 모멘트, 받음각 계수
Pitch 모멘트, pitch 각속도 계수
Pitch 모멘트, sideslip각 계수
Roll 모멘트, 받음각 계수
Yaw 모멘트, sideslip 각 계수
대기속도 에 대한 받음각 와 sideslip각 이
변할때마다 roll,pitch,yaw 모멘트가 변함을 계수로 보여준다.
기체가 동요할 때의 모멘트
기체가 안정적일때의 모멘트
정적 안정성 미분계수
받음각이 커짐 -> 기체 불안정 -> 기체의 머리(코)를 낮춤 -> 기체 안정 -> <0피치 모멘트, 받음각 미분계수
Roll 모멘트, sideslip각 미분계수
< 0 -> sideslip과 반대 방향으로 roll 모멘트 발생 -> 기체가 심한 roll 없이 안정적으로 비행
(만약 sideslip 방향으로 roll해버리면 기체가 무너짐 - 불안정)

는 yaw 정적 안정성 미분계수(yaw static stability derivative)로 풍향안정성 미분계수(weathercock stability
derivative)라고 부르기도 한다. 기체가 yaw에서 안정적으로 되면, 풍향계는 바람의 방향을 가리키게 된다. 은 기
체의 꼬리 디자인에 크게 영향을 받으며, 꼬리가 크고 기체 중심에서 멀어질수록 커지는데 기체가 안정상태가 되면
양수 값이 된다. 이는 sideslip 각이 양수이면 대해 yaw moment도 양수 값이 되게 한다. yaw 모멘트는 기체가 기체
속도의 방향으로 기체를 yaw시키며 sideslip 각이 0이 되게 한다.
동적 안정성은 기체 요란 동작을 다루는데 기체가 흔들리게 되면, 기체는 동적으로 안정 상태라 한다(동적 안정성
이 양수 일때). 만약 이차의 질량-스프링-댐퍼 유추(second-order mass-spring-damer analogy)를 기체 분석에 사용
하면, 안정성 미분계수 는 비틀림 스프링(torsional) 처럼 동작하고, 미분 계수 는 비틀림
댐퍼 처럼 동작한다. 5장에서는 기체의 동적인 운동 방정식을 선형화 할 때, 평면의 왼쪽 절반에 기체 동력의 특성근
(characteristic roots of the mav dynamics)이 있도록 하기 위해 안정성 미분계수들은 항상 일관된 경향을 갖는다.
yaw 모멘트, sideslip각 미분계수 yaw 가 안정적 -> 풍향계와 바람 방향이 일치, yaw 가 불안정 -> 기체가 흔들림 ->풍향계와 바람 방향이 일치
yaw 모멘트를 조절하는 꼬리(러더)의 영향이 크다
> 0 이면 안정상태이고, yaw 모멘트를 대기속도 방향으로 yaw 시켜 sideslip각이 0이 되게한다.
정적 안정성 미분계수 완충 미분계수
기체 요란 상태 -> 동적으로 안정임
-> 정적으로는 불안정
-> 운동 방정식 선형화 시에 안정 미분계수는 항상 일관적임

는 피치 완충 미분계수(pitch damping derivative), 는 롤 완충 미분계수(roll damping derivative), 는 요 완
충 미분게수(yaw damping derivative)라 부른다. 각 완충 미분계수는 보통 음수가 되는데, 운동을 완충시키기 위해
운동 방향에 반대하는 모멘트가 만들어지기 때문이다.
항공역학 계수 는 제어면의 접힘과 연관되며 주 제어 미분계수(primary control derivative)라 부른
다. 이 미분계수들이 주요한 이유는 모멘트는 특정 제어면을 접어서 만들어지기 때문으로 예를들어 엘리베이터 접
힘 의 결과는 피치 모멘트 m이 된다. 는 교차 제어 미분계수(cross-control derivative)라 부르며, 제어면
이 접힐 때 발생하는 비축 모멘트(off-axis moment)로 정의함. 이 제어 미분계수는 이득(gain)으로 사용할 수 있는데
제어 미분계수의 값이 커질수록 제어면을 접었을 때 발생하는 모멘트의 크기도 커진다..
정적 안정 미분계수와 더불어 피치, 롤, 요 완충 미분계수가 있다.
완충 미분 계수들은 운동을 완충시키기 위해 반대방향의 모멘트가 만들어지므로 음수가 된다.
엘리베이터 접힘 – 피치 모멘트 계수
에일러론 접힘 – 롤 모멘트 계수
러더 접힘 – 요 모멘트 계수
제어 미분 계수값이 크면 클수록, 모멘트 크기도 커짐

4.2.1장에 설명한 부호 설명은 양 값을 갖는 엘리베이터 접힘은 기체의 코를 아래로 내리게 하는 피치 모멘트를 만
들고(기체가 앞으로 기울어 지기 때문에 축에 대해 음수가 된다 ), 양의 에일러론 접힘은 오른쪽 날개를 아래로 내
리는 롤 모멘트를 만들며(기체가 오른쪽으로 회전하여 축에 대해 양의 값이 된다), 양의 러더 접힘은 기체의 코를
왼쪽으로 yaw하는 모멘트를 만든다(기체가 왼쪽으로 yaw 회전하여 축에 대해 음수 값이 된다 ). 양의 미분계수가
양의 모멘트를 만들수 있도록 하기위해 주요 제어 미분계수를 정의한다. 는 음수, 는 양수, 는 음수가 된다.
엘리베이터 점힘 > 0 -> 기체 하강 -> 코가 아래로 내려감 -> 피치 모멘트 < 0 (j 축)
에일러론 접힘 > 0 -> 왼쪽 에일러론 아래, 오른쪽 에일러론 위로 접힘
-> 왼쪽 날개가 올라감, 오른쪽 날개는 내려감 -> 기체 오른쪽으로 roll 회전 러더 접힘 > 0 (러더가 오른손 방향으로 접힘) -> 기체가 오른쪽으로 yaw 회전
엘리베이터-피치모멘트 에일러론-롤 모멘트 러더-요 모멘트

4.3 추진 힘과 모멘트(Propulsion Forces and Moments)
프로펠러로 추력을 만드는 단순한 모델은 프로펠러의 앞과 뒤의 압력을 계산하는 베르누이 정리와 프로펠러 공간
에 다른 압력을 줘서 만들 수 있다. 이 방법으로 효율적인 프로펠러를 만드는 방법이 되며 최적의 추력 추정을 하면
서 이 모델은 기체 시뮬레이션에서 합리적인 시작점을 제공한다. 베르누이 방정식을 사용하여 프로펠러의 총
upstream은 아래와 같이 나타낼 수 있다
여기서 는 정적 압력이고 는 공기 밀도이다. 프로펠러 downstream 압력은 다음과같이 표현하며, 는 프로
펠러에서 나가는 공기의 속도가 된다. Kv
모터에서 순간적인 경우를 제외할때 펄스폭 변조 명령(pulse-width-modulation command) 와 프로펠러의 각속
도는 선형 관계가 된다. 프로펠러의 회전은 나가는 바람을 만들며 이 속도는 아래와 같다.
4.3.1 프로펠러 추력(Propeller Thrust)
프로펠러에 작용하는 공기력으로 비행기를 비행 반대방향으로 공기를 밀어낼때 추력이 발생하여 이 힘으로 비행
유체가 흐를 때 두 점 A와 B의 높
이와 압력, 흐르는 속도 사이의 관
계를 에너지가 보존됨을 바탕으로
수식으로 표현. 높이 대신 밀도
를 사용
프로펠러로 들어가는 공기 압력
프로펠러에서 나오는 공기 압력
나가는 공기속도
프로펠러 각속도
pwm 명렁

가 프로펠러로 쓸린 공간이라면 , 모터로 만들어진 추력은 아래와 같이 구한다.
그러므로 아래와 같이 추력을 구할 수 있다.
대부분의 기체는 추력을 축에 대해 직접적으로 가도록 설계되어 있다. 그러므로 추력은 질량의 중심에 대해서 다
른 모멘트를 만들지는 않는다.
4.3.1 프로펠러 추력(Propeller Thrust)
프로펠러가 회전하면서 쓸고 지나간 공간 프로펠러에 들어올때 압력 – 나올때 압력
프로펠러 압력식을 이용하여
다음과 같이 구함
프로펠러 추력 = 프로펠러가 지나간 공간 * 프로펠러 계수 * (나오는 압력 – 들어가는 압력 )
추력은 축 방향으로 직접 작용
-> 모멘트 발생 안함

기체 프로펠러가 돌때, 프로펠러로 들어가는 공기에 힘이 있는데 추력을 만들면서 공기의 모멘트를 증가시킨다. 이
힘들의 영향으로 프로펠러 축이 회전하는 토르크가 발생한다. 모터에서 프로펠러에 그리고 공기에 대해 작용하는
토르크는 동일하며, 프로펠러에서 body frame에 고정된 모터로 작용하면 반대되는 토르크를 만든다. 이 토르크는
프로펠러 회전 방향과 반대로 작용하며, 프로펠러 각속도 제곱에 비례하는데 아래와 같이 표현한다. 여기서
는 프로펠러 스피드이고, 는 실험으로 결정되는 상수이다.
그러므로 추진 힘에 의한 모멘트는 다음과 같이 구할수 있다.
프로펠러 토르크의 영향은 상대적으로 크지는 않지만 고려하지 않으면 프로펠러 토르크는 프로펠러 회전과 반대가
되는 방향으로 느리게 롤 운동을 하게 된다. 하지만 이 문제는 프로펠러 토르크에 반대되는 동작을 할수 있도록 롤
모멘트를 만드는 에일러론을 사용하여 고칠수 있다.
4.3.1 프로펠러 토르크(Propeller Torque)
프로펠러 속도
프로펠러 토르크 = (프로펠러 속도)^2 * (-1) * 프로펠러 실험 상수
프로펠러 회전 -> 추력과 모멘트 발생
-> 모멘트는 프로펠러 회전 반대방향으로 작용
프로펠러 토르크는 크진 않지만 느린 롤 발생 -> 에일러론 조절로 제어
프로펠러 모멘트
프로펠러는 방향으로만 운동
-> y,z 방향 모멘트는 없음

4.4 대기 요란(Atmospheric Disturbances)
이번 섹션에서는 바람에의한 대기 요란에 대해서 보고, 기체 역학에 어떻게 작용하는지 설명한다. 2장에서는 를
땅에대한 기체의 속도로, 는 공기에 대한 기체의 속도, 는 땅에 대한 공기의 속도로 바람 속도라 한다. 식 (2.6)
처림 대지속도와, 공기속도, 풍속의 관계는 다음과 같다.
시뮬레이션 목표로 총 풍속 백터는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
는 잔잔한(ambient) 바람을 나타내는 상수 백터이고, 는 바람이 갑자기 세개 불거나(gust) 다른 대기 요란들
을 나타내는 확률 과정(stochastic process)이다. 안정된(steady-잔잔한) 바람은 보통 관성 프레임에서 아래처럼 표현
한다.
는 북쪽 방향으로 부는 안정된 바람 속도, 는 동쪽으로 부는 바람 속도, 는 아래로 부는 바람 속도이다.
대지속도 = 대기속도 - 풍속
총 풍속백터 = 안정 풍속 백터 + 불안정(gust) 풍속벡터
시간 진행에 따른 확률 분포들
안정 풍속 백터는 변하지 않는 상수 벡터이나 불안정 풍속 백터는 시간에 따라변하는 확를 분포들(확률과정)
안정 풍속백터(관성 좌표계)

불안정 풍속 백터(몸체 좌표계)
x축 불안정 풍속 백터 전달함수 y축 불안정 풍속 백터 전달함수 z축 불안정 풍속 백터 전달함수
바람의 확률적인(돌풍)(stochastic(gust))요소는 대기 영향이 측면이나 아래 보다는 앞 방향 동작으로 자주 발생하기
때문에 body frame에서 주로 표현한다. 바람의 돌풍 비중은 body frame 요소로 다음과 같이 쓸 수 있다.
바람 모델에서 일정하지 않은 돌풍 부분은 [22]에서 칼만 난류 스펙트럼(Karmen turbulence spectrum)으로 주어진
시불변 필터에 화이트 노이즈를 통과시켜 좋은 모델을 얻을수 있음을 보여준다. 하지만, 칼만 스펙트럼은 합리적인
전달 함수를 만들지는 않는다. 적합한 칼만 모델 추정은 드라이든(Dryden) 전달 함수로 구할 수 있다.
는 vehicle frame에 대한 난기류의 강도이며, 는 공간파장(spatial wavelength), 는 기체
의 대기속도 백터가 된다.
시간 연속적인 난류 운동을 스펙트럼으로 표현
킬만 필터
관측치로 시스템 상태를 추정하거나 제어하기 위한
알고리즘. 입력값의 평균이 아니라 순간 입력데이터의
경향을 따라 보정함.
드라이든 동요 모델(Dryden wind turbulence model)
드라이든 동요 모델은 연속적으로 발생하는 동요를 위한 수학적 모델.
확률 과정과 파워스펙트럴밀도(power spectral density)로 돌풍의 선,각속도
요소를 다룸.

드라이든(Dryden) 모델은 0인 대기속도 백터 상수 를 가정하여 구하며 드라이든 돌풍 모델의 파라미터는 MIL-F-
8785C에서 정의된다. 낮거나 중간 고도에서, 약하거나 보통의 난기류에서 적합한 파라미터는 [24]에서 설명하며 표
4.1에서 보여준다.
그림 4.9는 어떻게 일정한 바람과 대기 요란 요소가 운동 방정식에 들어가는지 보여준다. 잡음이 드라이든 필터를
통과하여 돌풍요소를 vehicle frame에서 나타나게된다. 바람의 일정한 요소는 inertial frame에서 body frame으로
회전변환하고, 돌풍 요소는 body frame에 총 바람을 계산하는데 사용한다.

일정한 바람과 돌풍을 합친 표현은 수학적으로 아래와 같이 나타낼수 있으며 는 식 (2.5)에서의 vehicle frame에
서 body frame으로 회전 행렬이다.
바람 속도 와 대지 속도 로 body frame에서 대기속도 백터를 다음처럼 구할 수 있다.
식 (2.8)에따라 대기속도 백터의 body frame요소로 대기속도의 크기, 받음각, sidleslip각을 구할수 있다.
는 기체에 작용하는 항공역학 힘과 모멘트를 계산하는데 사용할수 있으며 중요한 점은 바람과 대기요
란은 대기속도와 받음각, sideslip각에 영향을 준다. 바람과 대기 영향이 항공역학 힘과 모멘트의 계산에 파라미터로
넣음으로 기체의 운동에 영향을 주게된다.
안정 풍속 백터는 관성(기체) 좌표계를 사용하여 몸체 좌표계로 변환
불안정 풍속 백터
풍속 벡터(몸체 좌표계)
대기속도=대지속도-바람속도
대지속도 백터의 x,y,z축 요소로 받음각과 sideslip각 계산 할 수 있음. -> 항공역학적 힘, 모멘트도 계산 가능

4.5 요약(Chapter Summary)
기체에 작용하는 모든 힘은 다음과 같이 요약할 수 있다. 는 식 (4.9), 는 식(4.11)에서 설명하며 아래 문자
인 X와 Z는 , 백터의 방향을 가리키는 body frame의 X와 Z 방향에서 작용하는 힘이다.
총 토르크는 다음과 같이 요약할 수 있다.

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