KMOOC 선형대수 성균관대 이상구 교수님

1. 1-2. 직선과 평면의 벡터방정식
도정찬
KMOOC, 선형대수학, 성균관대, 이상구 교수님, 2020-1학기

2. 목표
이 절에서는 벡터를 이용하여 에서의 직선의 방정식과 평면의 방정식을 구하고
이와 관련된 거리 문제를 알아본다.

3. 1.3 직선과 평면의 벡터방정식
직선의 방정식 : 기울기(방향 벡터)와 한 점
에서 한 점 를 지나고 0이 아닌 벡터 v = ai + bj + ck = (a,b,c)에 평행한 직선은
벡터 v가 가 평행, 즉 = tv, 를 만족하는 점 P(x,y,z) 전체 집합과 같다.
라 한다면 이다. 따라서 = tv, 즉 이다.

4. 1.3 직선과 평면의 벡터방정식
점 P(2, -1, 3)을 지나고 벡터 v=(-3, 2, 4)에 평행한 직선의 방정식은 다음과 같다.
(1) 벡터 방정식 :: , (x, y, z) = (-2, -1, 3) + t(-3, 2, 4) or
xi +yj + zk = 2i - j + 3k + (-3i +2j + 4k)t.
(2) 매개변수 방정식 :
(3) 대칭 방정식 :

5. 1.3 직선과 평면의 벡터방정식
- 평면의 방정식
평면의 방정식 : 법선 벡터와 한 점
에서 한 점 를 지나고 0이 아닌 벡터 n = (a, b, c)(법선 벡터, normal vector)에
수직인 벡터들이 이루는 평면 는
을 만족하는 점 P(x, y, z) 전체 집합과 같다. 즉, 이다.
이 식을 점 를 지나고 법선 벡터 n = (a, b, c)을 갖는 평면의 point-normal 방정식이라 한다
평면의 point-normal 방정식은 로 간단히 나타낼 수 있다.

6. 1.3 직선과 평면의 벡터방정식
- 일반적인 평면의 방정식(vector equation of the plane)
벡터 방정식 : 평면 W 위의 한 점 와 W 위에 있는 서로 상수 배가 아닌 두 벡터 가 있다면,
이 평면 W를 벡터 방정식 또는 매개 방정식으로 유일하게 표현 할 수 있다.
매개 방정식 :

7. 1.3 직선과 평면의 벡터방정식
- 일반적인 평면의 방정식(vector equation of the plane)
세 점 P(4, -3, 1), Q(6, -4, 7), R(1, 2, 2)을 지나는 평면의 벡터 방정식과 매개 방정식을 구하라.

8. 1.3 직선과 평면의 벡터방정식
- 정사영(Projection)
벡터 라 하자. 그러면 점 P에서 OQ에 내린 수선의 발을 S라 할 때,
벡터 를 x 위로의 y의 정사영(projection)이라 하고, 로 나타낸다.
이때 벡터 를 x에 수직인 y의 벡터 성분(vector component)라 한다.
따라서 y는 두 벡터의 합 y = p + w로 나타내어 진다.
Note : p가 x에 평행이므로, p = tx이다. 그리고 y - p 는 x에 직교이므로

9. 1.3 직선과 평면의 벡터방정식
- 정사영(Projection)
x = (2, -1, 3), y = (4, -1, 2)에 대해 x 위로 y의 정사영과 x에 수직인 y의 벡터성분을 구하라

10. 1.3 직선과 평면의 벡터방정식
- 점과 평면 사이의 거리
점 와 평면 사이의 거리 D는 다음과 같다.
위 그림에서 P(x, y, z)을 평면 위의 점이라 하고, , n = (a, b, c)라 한다면
= || p || 이다. (정사영 p의 크기, 노름을 구하는 문제)

11. 감사합니다