Sqrt decomposition

1. Sqrt Decomposition
2016.7.4 BOJ Camp Day 1
장홍준(h0ngjun7)

2. Concept
• 𝑁 크기로 데이터를 재가공하여 연산의 효율을 높임
• 구간을 대표하는 값에 대한 연산의 속도 향상
• 쿼리 처리 순서를 바꾸어 전체적인 시간복잡도 개선
• 코딩이 익숙해지면, 빠르게 문제를 해결할 수 있다.

3. Structure
• Array, Area
• Query
• Tree

4. BOJ 2042
• Array, Area
• 원소가 N개인 수열이 주어짐.
• M개의 쿼리가 있음
1) 수열의 i번째 원소의 값을 다른 수로 바꾸기
2) 수열의 L번째부터 R번째까지의 합을 구하기

5. BOJ 2042
• 수열 X(1 … n)
• 500개씩 묶음으로 생각해보자.
• 한 묶음에 대한 전체 합을 저장
• 1)번 쿼리에 대해 전체 합은 O(1)에 수정 가능

6. Tip

7. Tip

8. BOJ 8462 배열의 힘
• POI Training Camp ONTAK 2011 62번
• Query
• O(nt) → Mo’s algorithm! O(n log n + n 𝑛)

9. BOJ 8462 배열의 힘
• Count [ a(i) ]
• 1 4 9 16 25 36 49
• 차이를 보면 3, 5, 7, 9, 11, 13, …
• 이전의 [L1, R1]을 가지고 [L2, R2]를 계산 : L1→L2, R1→R2
넘나 오래 걸리는 것…

10. BOJ 8462 배열의 힘
• 그럼 [L, R]을 L과 R의 차이가 적도록 재배열해서 답을 구하고
다시 쿼리 순서대로 답을 출력하면 되지 않을까?...
• [L, R]을 다음과 같은 우선 순위로 정렬
1) L / 𝑁 오름차순으로 정렬
2) L / 𝑁 이 같다면 R 오름차순으로

11. BOJ 8462 배열의 힘
• L / 𝑁 이 같은 쿼리끼리 집합으로 묶으면 총 𝑁개의 집합
• 각 집합에서
L(k)→L(k+1) 다 합하면 최대 𝑁
R(k)→R(k+1) 다 합하면 최대 N
전체적인 시간복잡도는 O(N 𝑁)
정렬하는 데 필요한 시간복잡도 O(N log N)

12. BOJ 12746 Traffic(Large)
• 2016 Spring RUN@KAIST Programming Contest E2
• Tree
• 트리에 쿼리로 주어지는 경로에 해당하는 모든 간선들에 +1씩 해준다.
이 때, 간선이 가지는 가중치의 최댓값과 최대인 간선 모두를 출력하는
문제이다.
• O(NQ) : so easy
• 트리에서도 묶음을 나눌 수 있지 않을까

13. BOJ 12746 Traffic(Large)
• dfs number를 이용
• 트리에서 branch를 나눈다.
기준 : 정점 u의 자식 v
v(1)은 u의 branch를 이어받음.
v(2 … k)는 새로운 branch
• branch의 길이는 최대 𝑁

14. Tips

15. Tips
정점 y에서 정점 x로 올라갈 때
붉은색 : branch
푸른색 : unit

16. Remember
• 묶음!
• 값을 수정하거나 참조할 때, 그 묶음 전체를 갱신할 필요가...?!
• 묶음이 각각의 요소에 미치는 영향도 고려
• 경험상 10만 → 500, 50만 → 700

17. Related Problems
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