Dokumen ini menjelaskan tentang sistem persamaan linear tiga variabel, bentuk umum persamaan, serta metode penyelesaian seperti eliminasi, substitusi, dan determinan. Terdapat contoh langkah-langkah dalam pemecahan masalah menggunakan masing-masing metode tersebut. Juga disertakan himpunan penyelesaian untuk beberapa contoh persamaan yang diberikan.

1. KELOMPOK 3
ANGGOTA :
1. ASNI TUNJUNG A (06)
2. ATIKA WIDYANINGRUM (07)
3. ESTU AJI PANGESTI (09)
4. MUHAMMAD ARIF B (17)
5. ZAINURRAHMAH A (31)
SISTEM PERSAMAAN
LINEAR TIGA VARIABEL

2. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
TIGA VARIABEL
Sistem persamaan yang
berbentuk: ax + by + cz = d ; dimana a, b,
c, dan d adalah konstanta dan a, b, dan
c tidak nol disebut “ persamaan linear
dalam tiga variabel”. Himpunan titik-
titik yang memenuhi persamaan
tersebut, yaitu {(x,y,z)|ax+by+cz = d}
adalah suatu bidang datar dalam
sumbu-sumbu ortogonal X, Y, dan, Z.
Yang mempunyai satu penyelesaian
untuk x, y,danz, yaitu (x, y,z).
Bentuk umum persamaan linear dengan tiga
variabel yaitu:

3. a, b, c, d, e, f, g, h, I, p, q, r bilangan
real
a, d, g = koefisien dari x
b, e, h = koefisien dari y
c, f, i = koefisien dari z
p, q, r = konstanta
x, y, z = variabel
ax + by + cz = p
dx + ey + fz = q
gx + hy + iz = r
Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel
yang mempunyai variabel x , y dan z adalah :

4. Untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear
tiga variabel dapat menggunakan beberapa cara antara lain
sebagai berikut :
1. Metode eliminasi
2. Metode subsitusi
3. Metode gabungan eliminasi dan subsitusi
4. Metode determinan

5. METODE ELIMINASI
Metode ini bekerja dengan cara mengeliminasi
(menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga
hanya satu variabel yang tertinggal.
Langkah-langkah :
x + y – z = 1 (1)
-8x + 3y – 6z = 1 (2)
-4x –y +3z = 1 (3)
Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari
dua persamaan yang mempunya koefisien yang sama (baik positif maupun
negative) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3).
Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat
menjumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita
mendapatkan persamaan (4).
x + y – z = 1 (1)
-4x –y +3z = 1 (3)
-3x + 2z = 2 (4)
+

6. Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel
x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang
terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan
(4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan
menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2). Dalam
persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y adalah 1 dan
3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita
kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan
persamaan (2) dari persamaan (1).
x + y – z = 1 (1) x 3 3x + 3 – 3z = 3
(1)
-8x + 3y – 6z = 1 (2) x 1 -8x + 3y – 6z = 1
(2)
-5x + 3z = 2
(5)
-
Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk
menghilangkan z.
-3x - 2z = 2 (4) x3 -9x + 6z =
6 (4)
-5x + 3z = 2 (5) x2 -10x + 6z = 4
(5)
x = 2
-

7. Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2.
Sekarang kita bisa subtitusikan
(masukkan) nilai dari x ke persamaan
(4) untuk mendapatkan nilai z.
-3x + 2z = 2 (4)
-3(2) + 2z = 2
-6 + 2z = 2
2z = 8
z = 4
Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai
dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkan y.
x + y – z = 1 (1)
2 + y – 4 = 1
y = 1- 2 – 4
y = 3
Jadi solusi sistem persamaan linier di atas
adalah x = 2, y = 3, z = 4

8. METODE SUBSTITUSI
Contoh :
Dengan metode subsitusi tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut !
2x + y – z = 3 ....(1)
x + y + z = 1 ....(2)
x – 2y – 3z = 4 ....(3)
(3 dan 4) → x – 2y – 3 = 4
1 – y – z – 2y – 3z = 4
– 3y – 4z = 3 ....(6)
Jawab :
Dari persamaan (2) x + y + z = 1 → x = 1 – y – z .... (4)
(4 dan 1) → 2x + y – z = 3
2(1 – y – z) + y – z = 3
2 – 2y – 2z + y – z = 3
– y – 3z = 1
y = –3z – 1 ....(5)

9. (5 dan 6) → -3y – 4z = 3
-3 (-3z – 1) – 4z = 3
9z + 3 – 4z = 3
5z = 0
z = 0 ....(7)
untuk z = 0, y = -1, disubsitusikan ke persamaan (2)
x + y + z = 1
x – 1 + 0 = 1
x = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya {(2, -1, 0)}
untuk z = 0 disubsitusikan ke persamaan (5)
y = -3z – 1
y = -3(0) – 1
y = -1

10. METODE ELIMINASI DAN SUBSTITUSI
Contoh :
Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari
sistem persamaan berikut!
2x – y + 2z = -1 ....(1)
3x + 2y – z = 10 ....(2)
4x – y – 3 z = - 3 ....(3)
Dari persamaan (2) dan (3)
3x + 2y + z = 10 x 4 12x + 8y - 4z
│ │ → = 40
-4x – y – 3z = -3 x 3
│ │ → -12x – 3y – 9z = -9 +
5y – 13z = 31 .... (5)
Jawab:
Dari persamaan (1) dan (3)
2x – y + 2z = -1 x 2 4x – 2y + 4z = -2
│ →
-4x – y – 3z = -3 x 1
│ → -4x – y – 3z = -3 +
-3y + z = -5 .... (4)

11. Dari persamaan (4) dan (5)
-3y + z = -5 x 13 -39y + 13z
│ │ → = -65
5y - 13z = 31 x 1
│ │ → 5y – 13z = 31 +
-34y = -34 .... (5)
y = 1
2x – y + 2z = -1
2x – 1 + 2(-2) = -1
2x – 5 = -1
2x = -1 + 5
2x = 4
x = 2
y = 1 disubsitusikan ke persamaan (4)
-3y + z = -5
-3(1) + z = -5
z = -5 + 3
z = -2
untuk y = 1, z = -2 disubsitusikan ke persamaan (1)
Jadi himpunan penyelesaiannya {(2, 1, -
2)}

12. Metode Determinan
Persamaan linier 3 variabel :
Determinan :
   
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
( 3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
c
a
b
b
c
a
a
b
c
b
a
c
a
c
b
c
b
a
b
b
b
a
a
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
D


















3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
d
z
c
y
b
x
a
d
z
c
y
b
x
a
d
z
c
y
b
x
a










13. Contoh Metode Determinan
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
Jawaban :
4
3
2
9
2
5
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
   
   
   
2
)
2
(
)
4
(
)
6
(
)
2
(
)
2
(
)
8
(
)
1
(
)
3
(
)
3
.
2
.
1
(
)
2
.
1
.
1
(
)
1
.
1
.
2
(
)
2
.
2
.
2
(
)
1
.
1
.
1
(
)
3
.
1
.
1
(
2
1
1
1
2
1
3
2
1
1
1
2
2
1
1











































D

14. Persamaan linier 3 variabel :
Determinan :
   
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
( 3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
c
d
b
b
c
d
d
b
c
b
d
c
d
c
b
c
b
d
b
b
b
d
d
d
c
b
d
c
b
d
c
b
d
Dx


















3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
d
z
c
y
b
x
a
d
z
c
y
b
x
a
d
z
c
y
b
x
a









D
D
x x


15. Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
Jawaban :
4
3
2
9
2
5
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
   
   
   
8
)
9
(
)
17
(
)
27
(
)
10
(
)
8
(
)
36
(
)
4
(
)
15
(
)
3
.
9
.
1
(
)
2
.
1
.
5
(
)
4
.
1
.
2
(
)
2
.
9
.
2
(
)
4
.
1
.
1
(
)
3
.
1
.
5
(
2
1
1
4
9
5
3
2
4
1
1
9
2
1
5











































x
D

16. Persamaan linier 3 variabel :
Determinan :
   
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
( 3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
c
a
d
d
c
a
a
d
c
d
a
c
a
c
d
c
d
a
d
d
d
a
a
a
c
d
a
c
d
a
c
d
a
Dy


















3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
d
z
c
y
b
x
a
d
z
c
y
b
x
a
d
z
c
y
b
x
a









D
D
y
y


17. Contoh :)
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
Jawaban :
4
3
2
9
2
5
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
   
   
   
6
)
44
(
)
38
(
)
30
(
)
4
(
)
18
(
)
16
(
)
5
(
)
27
(
)
3
.
2
.
5
(
)
4
.
1
.
1
(
)
1
.
9
.
2
(
)
4
.
2
.
2
(
)
1
.
1
.
5
(
)
3
.
9
.
1
(
4
9
5
1
2
1
3
4
1
1
9
2
2
5
1

































y
D

18. Persamaan linier 3 variabel :
Determinan :
   
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
(
)
.
.
( 3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
d
a
b
b
d
a
a
b
d
b
a
d
a
d
b
d
b
a
b
b
b
a
a
a
d
b
a
d
b
a
d
b
a
Dz


















3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
d
z
c
y
b
x
a
d
z
c
y
b
x
a
d
z
c
y
b
x
a









D
D
z z


19. Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
Jawaban :
4
3
2
9
2
5
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
   
   
   
4
)
21
(
)
25
(
)
8
(
)
18
(
)
5
(
)
20
(
)
9
(
)
4
(
)
4
.
2
.
1
(
)
2
.
9
.
1
(
)
1
.
1
.
5
(
)
2
.
2
.
5
(
)
1
.
9
.
1
(
)
4
.
1
.
1
(
2
1
1
1
2
1
4
2
1
9
1
2
5
1
1










































z
D

20. Metode Determinan
Jadi, Himpunan Penyelesaian :
4
2
8





D
D
x x
3
2
6





D
D
y
y
2
2
4





D
D
z z

21. 1.Tentukan penyelesaian dari sistem
persamaan dengan cara substitusi :
( i ) 3x + 2y + 2z = 18 . . . . . . . . . . . . .
( ii ) 4x + 3y – 5z = 17 . . . . . . . . . . . .
.
( iii ) 2x – y + z = 7 . . . . . . . . . . . . .
Latihan soal :

22. Penyelesaian :
Dari persamaan ( iii ) : 2x – y + z = 7  z = – 2x + y + 7 ( iiia )
Substitusikan ( iiia ) ke ( i ) :
4x + 2y + 2 (– 2x + y + 7 ) = 18  3x + 2y – 4x + 2y + 14 = 18
Û– x + 4y = 4 ……. ( iv )
Substitusikan ( iiia ) ke ( ii ) :
4x + 3y – 5 (– 2x + y + 7 ) = 17  4x + 3y + 10x – 5y – 35 = 17
Û14x – 2y = 52  y = 7x – 26 ….. ( v )
Substitusikan ( v ) ke ( iv ) :
– x + 4y = 4  – x + 4 ( 7x – 26 ) = 4
 – x + 28x – 104 = 4  27x = 108
 x = 4
Untuk x = 4 substitusikan ke ( v ) diperoleh nilai y
y = 7x – 26  y = 7.4 – 26 = 28 – 26 = 2
Untuk x = 4 dan y = 2 selanjutnya substitusikan ke ( iii ) diperoleh nilai z.
2x – y + z = 7  2.4 – 2 + z = 7
 8 – 2 + z = 7  z = 1
Jadi penyelesaiannya adalah ( 4 , 2 , 1 ).

23. 2. Tentukan penyelesaian dari sistem
persamaan
dengan cara eliminasi dan substitusi :
3x + 2y + 2z = 18 . . . . . . . . . . . . . ( i
)
4x + 3y – 5z = 17 . . . . . . . . . . . . . ( ii
)
2x – y + z = 7 . . . . . . . . . . . . .
( iii )

24. Penyelesaian :
Kita harus tentukan salah satu variabel yang akan kita eliminasi , misalkan
variabel z.
( i ) 3x + 2y + 2z = 18 |x1| 3x + 2y + 2z = 18
( iii ) 2x – y + z = 7 |x2| 4x – 2y + 2z = 14
------------------ –
– x + 4y = 4 ( iv )
( ii ) 4x + 3y – 5z = 17|x1| 4x + 3y – 5z = 17
( iii ) 2x – y + z = 7|x5 | 10x – 5y + 5z = 35
------------------- +
14x – 2y = 52 ( v )
Dari persamaan ( iv ) dan ( v ) didapat :
( iv ) – x + 4y = 4 |x1| – x + 4y = 4
( v ) 14x – 2y = 52 |x2| 28x – 4y = 104
-------------- +
27x = 108  x = 4
Untuk x = 4 selanjutnya disubstitusikan ke ( iv )
– x + 4y = 4  – 4 + 4y = 4  y = 2
Untuk x = 4 dan y = 2 disubstitusikan ke ( iii )
2x – y + z = 7  8 – 2 + z = 7  z = 1 Jadi penyelesaiannya ( 4 , 2 , 1 )