SERIE DI FIBONACCI

1. È innegabile constatare come Leonardo Pisano (detto
Fibonacci) sia noto al grande pubblico anche e soprattutto per la
sua strabiliante successione, presente persino nel Codice da
Vinci di Dan Brown.
Osserviamo la successione in maniera leggermente più estesa:
Come noto, la peculiarità di tale successione sta nel fatto che
ogni termine successivo è il risultato della somma dei 2
precedenti.
Ma come si può scrivere ciò in modo maggiormente rigoroso?
Possiamo descrivere la successione di Fibonacci attraverso una
specifica relazione di ricorrenza:
SERIE DI FIBONACCI

2. Per chi non lo sapesse, la successione scaturì da un problema
riguardante i conigli!
Il problema, tratto dal 12° capitolo del Liber abaci, è il seguente:
"Un uomo mise una coppia di conigli in un luogo circondato da
tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli possono essere
prodotte dalla coppia iniziale in un anno supponendo che ogni
mese ogni coppia produca una nuova coppia in grado di
riprodursi a sua volta dal secondo mese?"

3. La soluzione dell'enigma è che a fine anno si avranno ben 377
coppie di conigli!
Come vedete, il numero di coppie di conigli che si manifesta
con il passare dei mesi segue pedissequamente la successione
di Fibonacci.
Ora constatiamo una peculiarità concernente i quadrati dei
numeri di Fibonacci.
Intanto elenchiamoli in ordine (assieme alla successione di
Fibonacci):
Ora scriviamo la successione data dalla somma di tutti i quadrati:

4.
Cosa c'è di tanto particolare?
Direi che il fatto che la somma di tutti i quadrati sino all'n-esimo
termine della successione sia equivalente al prodotto dell'n-
esimo numero di Fibonacci per il successivo è qualcosa di
straordinario.
Ecco un esempio:
Praticamente, sommando tutti i quadrati sino al numero 169
(ovvero 13²) si ottiene 273, il quale è il prodotto appunto di 13 e
del numero di Fibonacci successivo (21).
Se invece sommiamo semplicemente 10 numeri di Fibonacci
consecutivi, otteniamo un'altra curiosa proprietà: la somma dei
numeri di qualsivoglia decina risulta sempre divisibile per
11.