Bài toán thiết kế mạng chịu lỗi động

1. Ứng dụng P-Cycle giải bài toán
Thiết kế mạng quang chịu lỗi động
Kim Đình Sơn ID: 20102089, Lê Khắc Tuấn ID: 20102419, (*)
Báo cáo môn Tính toán tiến hóa, ngành Khoa học máy tính, viện Công nghệ thông tin và truyền thông, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
(*): cùng tham gia thực hiện đề tài Đồ án Tốt nghiệp của anh Đỗ Trung Hiếu (AS2 - Việt Nhật - K54).
Tóm tắt
Hiện tại, trên thế giới có rất nhiều công trình nghiên cứu bài toán thiết kế mạng chịu lỗi động. Một trong những hướng nghiên cứu nhận được nhiều sự quan tâm là sử dụng p- cycle để giải quyết bài toán này.
Đề tài nghiên cứu tổng quan về bài toán thiết kế mạng quang chịu lỗi động (Dynamically Survivable WDM Network Design Problem). Trên cơ sở đó, áp dụng p- cycle để giải quyết vấn đề, cài đặt và chạy thử nghiệm để đưa ra kết quả cho một mô hình mạng chịu lỗi cụ thể. Nội dung sẽ đề cập đến một số khái niệm về mạng quang, tổng quan về p-cyle và bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính. Tiếp đó, trình bày về bài toán thiết kế mạng chịu lỗi và bài toán thiết kê mạng quang chịu lỗi động được mô hình hóa bằng đồ thị, đồng thời giới thiệu kĩ thuật sử dụng p-cycle để bài toán này.
1 Giới thiệu
Trong [12] cũng đã đề cấp đến bài toán Thiết kế mạng quang chịu lỗi động dựa trên p- Cycle PWCE (protected working capacity envelope). Tác giả bài báo cũng mô hình hóa bài toán và đưa về giải quyết bài toán Quy hoạch nguyên (ILP) mà ta sẽ đề cập đến ở phần 4. Một số khái niệm dưới đây được đề cập đến trong bài toán cũng như vấn đề nghiên cứu được sử dụng trong bài báo cáo này cũng được trình bày chi tiết ở [3] , 1

2. - Cáp quang (optical fiber).
- Truyền thông bằng cáp quang (Fiber-optic communication)
- WDM (Wavelength-division multiplexing)
- p-Cycle, p-Cycle protection, phân loại p-Cycle
Hình 1 p-Cycle (đường nét đứt)
Hình 2 cạnh trên p-Cycle gặp sự cố và p-Cycle protection
Hình 3 p-Cycle có khả năng bảo về được cạnh không nằm trên P-cyle
2 Bài toán thiết kế mạng chịu lỗi động
Bài toán thiết kế mạng chịu lỗi (SNDP - Survivable Network Design Problem): “Cho một đơn đồ thị vô hướng kết nối G = (V,E), với 푉푉 là tập các đỉnh, 퐸퐸 là tập các cạnh. Với mỗi cạnh e thuộc E trên đồ thị được gán với một giá trị không âm được gọi là trọng số c(e). Yêu cầu của bài toán là phải tìm ra được đồ thị kết nối 푁푁 sao cho 푁푁 đi qua tất cả các nút của 푉푉 và với 2 nút bất kỳ thuộc V, ta luôn tìm ra 2 đường phân biệt đi qua 2 nút đó”.
Mạng hoạt động: là mạng được sử dụng để chuyền dữ liệu giữa 2 nút khi đường truyền giữa 2 nút hoạt động bình thường.
Mạng dự phòng (mạng backup): là mạng được sử dụng để chịu lỗi cho mạng hoạt động khi đường truyền giữa 2 nút gặp sự cố.
Trong vấn đề thiết kế thiết kế mạng chịu lỗi, có 2 vấn đề mà các nghiên cứu liên quan rất quan tâm đến. Thứ nhất đó là tốc độ phục hồi của mạng khi có sự cố xảy ra trong mạng hoạt động. Khi có sự cố nào đó xảy ra đối với mạng, yêu cầu về tốc độ phục hồi là vô cùng quan trọng. Nếu tốc độ phục hồi của mạng không đủ nhanh (tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể của từng mạng), việc truyền tải dữ liệu trong mạng sẽ không được đảm bảo. Thứ hai đó là vấn đề về chi phí sử dụng để xây dựng mạng dự phòng trong trường hợp mạng gặp sự cố. Đây là vấn đề tối ưu hóa chi phí: cần phải thiết kế mạng dự phòng 2

3. Hình 4 Mạng hoạt động và mạng dự phòng
như thế nào để cho chi phí xây dựng mạng dự phòng là nhỏ nhất sao cho khi có sự cố xảy ra, mạng dự phòng vẫn có đủ khả năng chịu lỗi cho mạng. Khái niệm đủ khả năng chịu lỗi cho mạng được hiểu theo nghĩa là mạng dự phòng được thiết kế để mạng có khả năng chịu lỗi tốt nhất có thể, bởi chúng ta không thể thiết kế được một mạng dự phòng hay đúng hơn là không tồn tại một mạng dự phòng nào có thể chịu lỗi được tất cả các lỗi có thể phát sinh trong mạng.
Các hướng nghiên cứu về bài toán mạng chịu lỗi hiện nay thường chỉ giải quyết được một trong hai vấn đề về tốc độ phục hồi của mạng và vấn đề tối ưu hóa chi phí. Như vậy một cách tự nhiên vấn đề tìm ra một phương án có thể giải quyết một cách tốt hơn vấn đề tối ưu hóa chi phí mà vẫn giữ được một tốc độ phục hồi nhanh sẽ được quan tâm và nghiên cứu. Bài toán mạng chịu lỗi động được phát sinh để giải quyết vấn đề này.
Bài toán thiết kế mạng quang chịu lỗi động (Dynamically Survivable WDM Network Design Problem): Cho một đơn đồ thị có hướng kết nối G = (V,E) biểu diễn mạng quang ban đầu trong đó V là tập các nút biểu diễn các nút mạng, E là tập các cạnh biểu diễn liên kết giữa các nút mạng. Trên mỗi cạnh j thuộc E được gán với một giá trị không âm cj – là giá trị thể hiện số kênh trên kết nối đó của mạng. Các ràng buộc của bài toán bao gồm 2 ràng buộc. Thứ nhất đó là tổng số kênh hoạt động và số kênh dự phòng phải không vượt quá số kênh ban đầu. Thứ hai đó là mạng dự phòng phải đủ khả năng chịu lỗi cho mạng hoạt động. Nhiệm vụ của bài toán là tìm được ra 2 mạng từ 3

4. mạng ban đầu. Đó là mạng hoạt động và mạng dự phòng và phải chỉ ra số kênh tương ứng wj và sj chính xác trên mỗi liên kết của 2 mạng đông thời tối thiểu hóa tổng số kênh trên mạng dự phòng.
Hình 5 Ví dụ về mạng ban đầu, mạng hoạt động và mạng dự phòng
3 Tính động của bài toán và khả năng tự hồi phục của mạng
Sự khác nhau cơ bản giữa bài toán mạng chịu lỗi và bài toán mạng chịu lỗi động là cách thức khôi phục khi mạng hoạt động gặp sự cố.
Trong mô hình mạng chịu lỗi thông thường, khi một liên kết gặp sự cố, mạng sẽ dùng một đường liên kết dự phòng cố định để khôi phục lại đường truyền trong mạng. Phương pháp phục hồi này có ưu điểm là tốc độ phục hồi nhanh nhưng lại có nhược điểm là chi phí để xây đựng mạng dự phòng sẽ rất cao.
Trong khi đó, mô hình mạng chịu lỗi động, khi một liên kết gặp sự cố, mạng sẽ cố gắng tìm đường liên kết dự phòng trong mạng dự phòng để khôi phục đường truyền trong mạng. Như vậy sẽ không có một đường cố định nào được dùng để dự phòng cho một liên kết cố định. Điều này sẽ làm giảm chi phí để xây dựng mạng dự phòng. Cụ thể hơn sẽ được trình bày trong chương sau của đồ án.
Phương thức tự phục hồi của mạng có thể được thực hiện thông qua các bước sau:
1. Xác định đường đi trong mạng dự phòng
2. Tính toán số kênh trên mạng dự phòng
3. Tiến hành khôi phục đường truyền bằng cách tìm liên kết dự phòng trong mạng dự phòng
Phương thức tự phục hồi của mạng có thể được phần loại đựa trên việc khi nào thực hiện các bước trên. Có 2 phương thức được đề xuất đó là phương thức phục hồi
4

5. động (dynamic restoration method) và phương thức phục hồi được kế hoạch trước (preplanned restoration method).
Phương thức phục hồi động: thực hiện tất cả các bước trên sau khi sự cố trên mạng xảy ra. Phương thức phục hồi động cung cấp một hiệu quả sử dụng số kênh dự phòng cao và đường liên kết dự phòng rất linh hoạt bởi vì tất cả các đường liên kết dự phòng đều sẽ được tìm thấy trong phần còn lại của mạng. Tuy nhiên việc tính toán là rất phức tạp nên phương thức này yêu cầu một thời gian tính toán rất lớn. Điều này làm cho thời gian phục hồi của mạng chậm, có thể gây ảnh hưởng lớn tới mạng.
Phương thức phục hồi được kế hoạch trước: thực hiện bước 1 và 2 trước, sau khi có sự cố xảy ra trên mạng mới thực hiện bước 3. Phương thức phục hồi được kế hoạch trước cũng cung cấp một hiệu quả sử dụng số kênh dự phòng cao và một thời gian phục hồi sự cố chấp nhận được.
4 Mô hình hóa bài toán
Như đã trình bày trong phần 2, bài toán thiết kế mạng quang chịu lỗi động được mô hình hóa về dạng đồ thị: cho một đồ thị có hướng thể hiện mạng ban đầu với các chỉ số trên cạnh thể hiện số kênh tối đa của mỗi liên kết.
Bài toán đặt ra là phải tìm được hai đồ thị: đồ thị mạng hoạt động và đồ thị mạng dự phòng là hai đồ thị con của đồ thị mạng ban đầu thỏa mãn các điều kiện sau:
− Trên một cạnh bất kỳ thì tổng của số kênh hoạt động và số kênh dự phòng không vượt quá số kênh ban đầu
− Mạng dự phòng phải đủ khả năng chịu lỗi cho mạng hoạt động. Khi một liên kết của mạng hoạt động gặp sự cố, mạng dự phòng phải cung cấp đủ số kênh cho liên kết bị lỗi đó, đảm bảo việc truyền dữ liệu không bị ảnh hưởng
Mô hình toán học
Ký hiệu:
− G: đồ thị mô hình hóa mạng ban đầu
− V: tập các đỉnh biểu diễn tập các nút mạng
− E: tập các cạnh biểu diễn tập các liên kết trong mạng
− 푐푐푗푗: trọng số không đổi trên cạnh j∈E biểu diễn số kênh của cạnh 푗푗
− 푙푙푗푗: số fiber trên cạnh 푗푗 5

6. − K: số kênh trên mỗi fiber
− Gw: đồ thị mạng hoạt động
− 푤푤푗푗: trọng số trên cạnh 푗푗 biểu diễn số kênh hoạt động trên cạnh 푗푗
− 퐺퐺푠푠: đồ thị mạng dự phòng
− 푠푠푗푗: trọng số trên cạnh 푗푗 biểu diễn số kênh hoạt động trên cạnh 푗푗
INPUT:
Cho đồ thị có hướng G = (V, E). Trên mỗi cạnh 푗푗∈퐸퐸 của đồ thị G có một trọng số 푐푐푗푗 thể hiện số kênh của cạnh 푗푗. Tổng số kênh trên cạnh 푗푗 được tính bằng công thức: 푐푐푗푗=푙푙푗푗×퐾퐾
Ràng buộc
1. 푤푤푗푗 + 푠푠푗푗≤푐푐푗푗 ∀ 푗푗∈퐸퐸 (1)
2. Mạng dự phòng phải đủ khả năng chịu lỗi cho mạng hoạt động
OUTPUT—Hàm mục tiêu
1. Hai đồ thị con của đồ thị 퐺퐺: 퐺퐺푤푤 và 퐺퐺푠푠
2. Mục tiêu của bài toán là tối đa hóa số kênh hoạt động trên đồ thị mạng ban đầu.
෍푤푤푗푗 |퐸퐸| 푗푗=1→푚푚푚푚푚푚푚푚푚푚푚푚푚 (2)
5 Thiết kế mạng quang chịu lỗi động sử dụng p-Cycle
Ý tưởng chính của giải thuật là từ đồ thị mạng ban đầu 퐺퐺, ta lên phương án tìm một tập các p-Cycle theo một tiêu chí nào đó. Tập các p-Cycle sẽ được sử dụng để xây dựng nên đồ thị mạng dự phòng 퐺퐺푠푠.
Dựa trên ý tưởng tạo ra đồ thị mạng dự phòng nhờ một tập các p-Cycle, ta tiến hành mô hình toán học điều kiện ràng buộc thứ 2 của bài toán: “mạng dự phòng phải đủ khả năng chịu lỗi cho mạng hoạt động”. Ta xác định các tham số dưới đây,
− P: tập các P-cycle ứng cử viên
− 푝푝푖푖,푗푗: chỉ ra cạnh 푗푗 có thuộc p-Cycle 푖 hay không, 푝푝푖푖,푗푗 = 0 nếu cạnh 푗푗 không thuộc p- Cycle 푖, ngược lại 푝푝푖푖,푗푗 = 1 nếu cạnh 푗푗 thuộc p-Cycle 푖 6

7. − 푥푖푖,푗푗: chỉ ra cạnh 푗푗 có được bảo vệ bởi p-Cycle 푖 hay không, 푥푖푖,푗푗 = 0 nếu cạnh j không được bảo vệ bởi p-Cycle 푖, 푥푖푖,푗푗 = 1 nếu như cạnh 푗푗 được bảo vệ bởi p-Cycle 푖
− 푛푛푖푖: là chỉ số trên mỗi cạnh của p-Cycle 푖
Với việc xác định được một tập các p-Cycle trên đồ thị mạng ban đầu 퐺퐺, ta xây dựng thêm được một vài đẳng thức: 푠푠푗푗 = Σ푖푖 =1|푃푃| 푝푝푖푖,푗푗× 푛푛푖푖 ∀ 푗푗∈퐸퐸 (3) 푤푤푗푗 = Σ푖푖 =1|푃푃| 푥푖푖,푗푗× 푛푛푖푖 ∀ 푗푗∈퐸퐸 (4)
Các giá trị 푝푝푖푖,푗푗,푥푖푖,푗푗 là xác định dựa trên tập các p-Cycle (mà ta sẽ sinh ra) và đồ thị mạng ban đầu G, để giải hệ gồm ràng buộc (1), (3) và (4) (nghiệm 푛푛푖푖,푖=1,|푃푃|തതതതതതത ), ta có thể sử dụng ILP, sau đó trên tập các nghiệm thu được để xét hàm mục tiêu (2). Để ý thấy đẳng thức thứ hai chính là điều kiện ràng buộc thứ hai của bài toán.
6 Phương pháp xây dựng tập P-cycle
Dựa trên tiêu chí để tìm một tập các P-cycle mà chúng ta có rất nhiều phương pháp để xây dựng một tập các P-cycle. Trong phần này, đồ án sẽ đưa ra một vài phương pháp xây dựng một tập các P-cycle
Phương pháp 1: Đây là phương pháp đơn giản nhất để xây dựng một tập các p-Cycle. Tiêu chí để xây dựng một tập các p-Cycle: mỗi cạnh 푗푗 thuộc đồ thị mạng ban đầu G phải thuộc ít nhất một p-Cycle.
Thuật toán để tìm tập các p-Cycle theo tiêu chí này được mô tả như Bảng 1. Dùng thuật toán DFS để tìm đường đi từ v đến u, thuật toán được mô tả như sau:
Function DfsFindPcycle
1. Input u//đỉnh bắt đầu
2. Output boolean//có tìm được P-cycle hay không
3. if (u là đỉnh kết thúc)
4. return true
5. end if
6. for( duyệt hết các cạnh kề v của u)
7. if( v chưa được duyệt và thuộc 1 p-cycle nào đó)
8. preStack[v] = u // nút trước v được gán bằng u
9. if (DfsFindPcycle(v)) return true 7

8. 10. end if
11. end if
12. end for
13. for( duyệt hết các cạnh kề v của u)
14. if (v chưa được duyệt và không thuộc 1 p-cycle nào)
15. preStack[v] = u // nút trước v được gán bằng u
16. if (DfsFindPcycle(v)) return true
17. end if
18. end if
19. end for
20. for( duyệt hết các cạnh kề v của u)
21. if (v chưa được duyệt và không thuộc 1 p-cycle nào)
22. preStack[v ]= u // nút trước v được gán bằng u
23. if (DfsFindPcycle(v)) return true
24. end if
25. end if
26. end for
Khi đưa các đỉnh láng giềng của w vào stack S ta cần chú ý đưa các đỉnh 푤푤’ sao cho cạnh (푤푤,푤푤’) đã thuộc một p-Cycle nào đó rồi vào S trước sau đó mới đưa các đỉnh láng giềng còn lại vào.
Phương pháp 2: là mở rộng của phương pháp thứ nhất. Tiêu chí để xây dựng tập p- Cycle vẫn là mỗi cạnh 푗푗 thuộc đồ thị mạng ban đầu G phải thuộc ít nhất một p-Cycle, tuy nhiên ta tính điểm ưu tiên cho p-Cycle.
Function DfsFindPcycle
1. Input u//đỉnh bắt đầu
2. Output boolean//có tìm được P-cycle hay không
3. If (u là đỉnh kết thúc)
4. Tính điểm cho p-cyle vừa tìm được và cập nhật lại p-cycle nếu p-cycle vừa tìm có điểm lớn hơn
5. return true
6. end if
7. for( duyệt hết các cạnh kề v của u)
8. if( v chưa được duyệt)
9. preStack[v]=u // nút trước v được gán bằng u
10. DfsFindPcycle(v) 8

9. 11. preStack[v]=0
12. end if
13. end if
14. end for
Điểm cho mỗi p-Cycle được xác định bởi công thức: S(pCycle)= số đường cung cấp hữu ích bởi pCyclesố cạnh của pCycle
Bảng 1 phương pháp đơn giản để tạo p-Cycle
Bắt đầu
Còn cạnh (u,v) nào chưa duyệt không và chưa thuộc p-cycle nào không
Bỏ cạnh (u,v) ra khỏi G
Tìm đường đi từ u đến v
Kết thúc
Thêm p-Cycle tạo thành từ đường đi từ v đến u và cạnh (u,v) và tập P
đúng
sai 9

10. Xác định các tham số 풑풑풊풊,풋풋,풙풙풊풊,풋풋 cho tập P-cycle
Sau khi tìm được một tập p-cycle ứng cử viên, ta cần xác định giá trị các tham số 푝푝푖푖,푗푗,푥푖푖,푗푗 (푖=1,|푃푃|തതതതതതത,푗푗∈퐸퐸) của (3) và (4) đối với mỗi tập p-Cycle đó. Ta quy bài toán về bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính như sau:
− Xác định các trọng số 푝푝푖푖,푗푗 và 푥푖푖,푗푗
− Đưa mục tiêu và tập các ràng buộc của bài toán thiết kế mạng quang chịu lỗi động thành mục tiêu và tập các ràng buộc của bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên.
− Sử dụng tool gusek cùng ngôn ngữ MathProg để giải quyết bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên.
Xét 2 ma trận 푆푆 và 푊푊 có kích thước |푃푃|×|퐸퐸|, 푆푆 chứa các tham số 푝푝푖푖,푗푗 và ma trận 푊푊 chứa các trọng số 푥푖푖,푗푗.
Xác định trọng số 푝푝푖푖,푗푗
Function xác định 푝푝푖푖,푗푗
1. Input network[ ][ ]// kích thước là m*n
2. Output S[ ][ ]
3. Khởi tạo S[ ][ ] // các phần tử mảng bằng 0
4. for j = 0 to n-1
5. for j = 0 to m-1
6. Duyet tat ca cac p-cycle k
7. if(cạnh (i, j) thuộc p-Cycle thứ k) //cạnh (i, j) có index là h
8. S[h][k] = 1
10. end for
11. end for
Xác định trọng số 푥푖푖,푗푗
Function xác định 푥푖푖,푗푗
1. Input network[ ][ ] // kích thước là m*n 10

11. 2. Output W[ ][ ]
3. Khởi tạo S[ ][ ] // các phần tử mảng bằng 0
4. for i = 0 to n-1
5. for j = 0 to m -1
6. Duyet tat ca cac p-cycle k
7. if(cạnh (i, j) được bảo vệ bởi p-cycle thứ k) //cạnh (i, j) có index là h
8. W[h][k] = 1
9. end for
10. end for
Hàm mục tiêu và tập ràng buộc
Ta có,
푆푆= ⎝ ⎜⎛ 푝푝1,1⋯푝푝푖푖,1⋯푝푝푖푖,|퐸퐸| ⋮⋱⋮⋯⋮ 푝푝푖푖,1…푝푝푖푖,푗푗…푝푝푖푖,|퐸퐸| ⋮⋯⋮⋱⋮ 푝푝|푃푃|,1⋯푝푝|푃푃|,푗푗⋯푝푝|푃푃|,|퐸퐸|⎠ ⎟⎞ và 푊푊= ⎝ ⎜⎛ 푥1,1⋯푥푖푖,1⋯푥푖푖,|퐸퐸| ⋮⋱⋮⋯⋮ 푥푖푖,1…푥푖푖,푗푗…푥푖푖,|퐸퐸| ⋮⋯⋮⋱⋮ 푥|푃푃|,1⋯푥|푃푃|,푗푗⋯푥|푃푃|,|퐸퐸|⎠ ⎟⎞
Xét tổng các phần tử của mỗi hàng của ma trận 푆푆+푊푊, ta có ràng buộc (1) được biểu diễn bởi hệ bất phương trình, 푅푅(푆푆+푊푊)= ෍൫푝푝푖푖,푗푗+푥푖푖,푗푗൯×푛푛푖푖 |퐸퐸| 푗푗=1≤푐푐푖푖,푖=1,|푃푃|തതതതതതത (5)
Xét tổng các phẩn tử theo mỗi cột của ma trận 푊푊, ta có hàm mục tiêu được biểu diễn bởi biểu thức tuyến tính dưới đây, 푓푓(푊푊)=෍ቌ෍푥푖푖,푗푗×푛푛푖푖 |푃푃| 푖푖=1 ቍ |퐸퐸| 푗푗=1 (6)
Sử dụng ILP để giải (5), từ đó ứng với mỗi p-Cycle tìm được, ta xác định được hàm mục tiêu (6) tương ứng, và lựa chọn p-Cycle tốt nhất. Từ đó, ta xây dựng được mạng hoạt động và mạng dự phòng ban đầu để giải quyết bài toán Thiết kế mạng quang chịu lỗi động.
11

12. Tham khảo
[1] D. Saha, M.D. Purkayastha, A. Mukherjee. (n.d.). An approach to wide area WDM optical network design using genetic algorithm. Computer Communications 22 (1999) 156–172.
[2] Gangxiang Shen, Wayne D. Grover. (n.d.). Performance of Protected Working Capacity Envelopes based on p-Cycles: Fast, Simple, and Scalable Dynamic Service Provisioning of Survivable Services. TRLabs Edmonton and Department of Electrical and Computer Engineering, University of Alberta, Alberta, Canada.
[3] Hiếu, Đ. T. (2014). Ứng dụng P-CYCLE giải bài toán Thiết kế mạng quang chịu lỗi động, Đồ án Tốt nghiệp Kĩ sư CNTT.
[4] Huynh Thi Thanh Binh, Ha Dinh Ly. (2012). Genetic Algorithm for Solving Multilayer Survivable. Ha Noi University of Science and Technology.
[5] Huynh Thi Thanh Binh, Nguyen Sy Thai Ha. (2013). Greedy Algorithm for Solving Dynamically Survivable Network Design Problem. School of Information and Communication Technology.
[6] Kerivin, H., Mahjoub, A.R. (n.d.). Design of survivable networks: A survey. Networks 46(1), 1-21(2005).
[7] Mahjoub, A.R, Borne, S., Gourdin, E., Liau, B. (2006). Design of survivable IP- opver-optical network. Annals of Operations Research.
[8] Nilanjan Banerjee, Vaibhav Mehta and Sugam Pandey. (n.d.). A Genetic Algorithm Approach for Solving the Routing and Wavelength Assignment Problem in WDM Networks. Department of Computer Science an Engineering, Indian Institute of Technology.
[9] Rachna Asthana, Y.N Singh, Wayne D. Grove. (n.d.). p-Cycles: An Overview.
[10] Sylvie Borne, Virginie Gabrel, Ridha Mahjoub, and Raoutia Taktak. ( 2011). Multilayer Survivable Optical Network Design. INOC 2011, Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 12

13. [11] Zhenrong ZHANG, Lixin ZHU, Zhengbin LI, Anshi XU. (2009). Shared-p-cycles method for design of survivable WDM. Higher Education Press and Springer- Verlag.
[12] Zhenrong Zhang, Wen-De Zhong, IEEE, and Sanjay Kumar Bose, Senior Member, IEEE. (August 2005). Dynamically Survivable WDM Network Design with p-Cycle- Based PWCE. IEEE COMMUNICATIONS LETTERS, VOL. 9, NO. 8.
13