Dos Ejercicios del Libro calculo 2 de Ron larson y Bruce Edwards

1. Cálculo de volumen de un solido
mediante doble integrales
Ramírez León Hugo Fernando

2. Hallar el volumen de la región sólida dada por:
𝑧 = 4 − 𝑥 − 𝑦

3. Δ𝑦 𝑉 =
0
2
0
𝑦
(4 − 𝑥 − 𝑦) ⅆ𝑥 ⅆ𝑦

4. 𝑉 =
0
2
[4𝑥 − 𝑥2
2
−𝑥𝑦 ]0
𝑦
ⅆ𝑦
𝑉 =
0
2
4𝑦 −
𝑦2
2
− 𝑦2
ⅆ𝑦
𝑉 = [4(y) −
(𝑦)2
2
− (y)y]

5. = [2𝑦2 −
𝑦3
6
−
𝑦3
3
]0
2
= [2(2)2
−
2 3
6
−
(2)3
2
]- [2(0)2
−
0 3
6
−
(0)3
3
]
= 8 -
8
6
−
8
3
=
4 𝑢𝑛𝑖ⅆ𝑎ⅆ𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠

6. ▪ Hallar el volumen de
la región solida R
acotada por:
▪ 𝑧 = 4 − 𝑥2
− 𝑦2
e inferior por el
plano:
▪ 𝑧 = 1 − 𝑦
𝑥2
+ 𝑦2
= 4

7. ▪ Igualando los valores de z ,
sabremos la intercesión de las dos
superficies
4 − 2𝑥 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2
Despejando “y”
∴ 𝑦 = 1 − (𝑥 − 1)2
𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 →

8. 𝑉 =
0
2
0
1−(𝑥−1)2
4 − 𝑥2 − 𝑦2 − 4 − 2𝑥 ⅆ𝑦ⅆ𝑥
𝑉 =
0
2
0
1−(𝑥−1)2
(2𝑥 − 𝑥2 − 𝑦2)ⅆ𝑦ⅆ𝑥
𝑉= 0
2
[2xy−𝑥2 −
𝑦3
3
]0
1−(𝑥−1)2

9. 𝑉 =
0
2
2𝑥 1 − (𝑥 − 1)2− 𝑥2 1 − 𝑥 − 1 2 −
( 1 − 𝑥 − 1 2)3
3
ⅆ𝑥
𝑉
=
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 +
1
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 +
1
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1
−
1
8
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 −
1
4
sen 4arcsen x − 1
−
1
3
((𝑥 − 1)(−𝑥2 + 2𝑥)
3
2 +
3
8
(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 −
1
4
(4arcsen(x-1))) ]0
2
Escriba aquí la ecuación.
𝑉 =
𝜋
8
− −
𝜋
8
=
𝜋
4