1. The document discusses rationalizing radicals and double radicals. It provides examples of rationalizing expressions involving radicals. 2. Steps are shown for transforming double radicals into single radicals and rationalizing expressions involving radicals. 3. Various techniques are demonstrated for solving rational expressions, including homogenizing radicals, factoring radicals, and using factoring to rationalize expressions.

1. 2020 . .
ALGEBRA PREUNIVERSITARIA
RODICALES DOBLES Y RACIONALIZACION
Ing. WIDMAR AGUILAR, Msc
Enero 2021

2. 2020 . .
Para la solución de los problemas se debe utilizar las siguientes
herramientas:
+ + + + − − − = + + − 3

3. 2020 . .
1)
= 6 (√3 − 4√3 + 3√3 − 2 + √3
"
= 18 - √3 − 2 + √3 = 16
=16
2)
= %9 2 + 4 + 12√2 + 4 2 + 9 − 12√2 + 10
= '18 + 4 + 12√2 + 8 + 9 − 12√2 + 10
= √49
= 7
3)

4. 2020 . .
= %)5 − √7, 3 + '7 − √7
= '15 + 5√7 − 3√7 − 7 − √7
= '8 + 2√7 − √7
Transformando el radical doble en simple, se tiene:
= %7 + 1 + 2'7 1 − √7
= √7 + 1 − √7 =1
= 1
4)
Homogenizando los radicales:
E = ' 2 -//
. % √3 + 1 -/
/
. '16 − 2√48
/
E= √2
0
. % √3 + 1 . 16 − 2'16 3
/
E= √2
0
. % 3 + 2√3 + 1 . 16 − 8' 3
/
E= √2
0
. % 48 − 24√3 + 32√3 − 16 3 + 16 − 8√3
/
E= √2
0
. √16
/
= √2
0
. √21/
= √2
0
. 2
2
0
E = √2
0
. √4
0
= 2
E =2

5. 2020 . .
5)
Transformando los radicales dobles:
'8 + 2√12 = %6 + 2 + '6 2 = √6 + √2
= 3√2 + '5 − 3√6 − √2 + √6 + √2 = %√2 + 5 − 2√6
= %√2 + 3 + 2 − 2'3 2 = '√2 + √3 − √2
= '√3 = √3
"
6)
'9 − 4√5 = '9 − 2√20 = %5 + 4 − 2' 5 4 =√5 − √4
'9 − 4√5 = √5 − 2
= √5 − 2 + 2 + '14 − 2√45

6. 2020 . .
= 5+ %9 + 5 − 2'9 5 = 5 + √9 − √5
= 5+3 -√5
= 8 - √5
7)
Racionalizando el primer término:
√41
0
5 √6-
0
√ 47
0 .
√4120
8 √41.6-
0
5 √6-20
√4120
8 √41.6-
0
5 √6-20 ; FR = √54
0
− √54.16
0
+ √16
0
√41
0
5 √6-
0
√ 47
0 .
√4120
8 √41.6-
0
5 √6-20
√4120
8 √41.6-
0
5 √6-20 =
4156-
' 96 4
0 .
6
√4120
8 √41.6-
0
5 √6-20
FR = √54
0
− √54.16
0
+ √16
0
= √2 . 3-0
− √24. 3
0
+ √4. 2-0
FR = 9√4
0
− 3√2 . 2
0
+ 4√4
0
= 13√4
0
− 6√4
0
= 7√4
0
=
:7
√250
3
. 7 √4
3 +
√;5 √ 8√;
' 4
=
:7
'6 40
. 7 √4
3 +
√;5 √
4'
=
:7
4 √
0
. 7 √4
3 +
√ 5 √
4'
=
:7
4 √
0
.)7 √4
3
,
+ 1 =
:7
4 √;
0 + 1
=
:7
:7
+1 =1+1
= 2

7. 2020 . .
8)
Homogenizando los radicales:
E=
' <0=2 //2/
' <0=2 //0/ − '> ?
/
E=
' <0=2 0/
' <0=2 2/ − '> ?
/
E = %
<0=2 0
<0=2 2
/
- '> ?
/
E = '> ?
/
- '> ?
/
E = 0
9)
Racionalizando cada uno de los sumandos, se tiene:
R =
6
√;5√-
.
√;8√-
√;8√-
+
6
√-8
.
√-5
√-5
+
6
5√
.
8√
8√
−
6
√
R =
√;8√-
;8-
+
√-5
-81
+
8√
18
−
6
√
.
√
√
R =
√ 8√-5 √-5 5 8√
−
√

8. 2020 . .
@ =
√ 8√-5 √-5 5 8√ 8√
@ =
1
= 2
10)
E =
<5:
√<598√
.
√<595√
√<595√
……. Factor racionalizante
A =
<5: .)√<598√ ,
<598
=
<5:
<5:
. √> + 9 − √2
A = √> + 9 − √2
Si x - -7 ; E = √−7 + 9 − √2 = √2 − √2
E = 0
11)
A =
6
)√ 5√ ,5√4
.
)√ 5√ ,8√4
)√ 5√ ,8√4

9. 2020 . .
A =
)√ 5√ ,8√4
)√ 5√ ,
2
8√4
=
)√ 5√ ,8√4
5 5 ' 84
=
√ 5√ 8√4
√-
A =
√ 5√ 8√4
√-
.
√-
√-
=
6
6
B√6 + √18 − √30C
E =
6
6
B√12 + √18 − √30C
Trabajando con el factor izquierdo:
51√
√-5√ 8√4
.
√-5√ 5√4
√-5√ 5√4
=
√-5 √ 5 √451√6;51√-51√64
√-5√ 284
= √-5 √ 5 √456 √ 51√-51√64
-5 5 √6 84
=
:√-564√ 5 √454√64
5 √6
:√-564√ 5 √454√64
5 √6
= √> + '? + √D
:√-564√ 5 √454√64
5 √6
.
8 √6
8 √6
=√> + '? + √D
6√-861√: 514√ 8 7√ 159√48-√-756 √648;√6;7
981;
= √> + √? + √D
6√-8;1√ 514√ 8-7√-59√486 √6456 √6481;√4
8 9
= √> + √? + √D
-
6
9
[−39√6 − 39√2 -39√5] = √> + '? + √D
√6 + √5 + √2 = √> + '? + √D
Como: x > y > z, se tiene:
6 > 5 > 2 → H
> = 6
? = 5
D = 2

10. 2020 . .
Entonces, se tiene que:
' > − ? > − D ? − 2D = ' 6 − 5 6 − 4 5 − 2 2
= '2 2 1 = √4
= 2
13)
E=
6
√ 48'- 5 √ 68'67
.
√ 48'- 8 √ 68'67
√ 48'- 8 √ 68'67
A =
√ 48'- 8 √ 68'67
√ 48'-
2
8 √ 68'67
2=
√ 48'- 8 √ 68'67
45-8 √ 678 68675 √ 67
A =
√ 48√- 8√ 65'67
67
El denominador racionalizada la expresión es “D”:
D =10
14)
A = √
√/I√2J√2
√0JK
. √0JK
√0
= √ √ 86
√-
. √
√ 86
A =
- √ 86
√- √ 86
=
-
√-
.
√-
√-
=
-√-
-
A = √6

11. 2020 . .
15)
√ 56
+
:
√;86
=
√ 56
. √ 86
√ 86
+
:
√;86
. √;56
√;56
…..racionalizando cada sumando del
lado izquierdo
= √ 86
86
+
: √;56
;86
= √ 86
+
: √;56
:
= √3 − 1 + √8 + 1
Luego:
' + 2√L = √3 + √8
' + 2√L = √3 + 2√2
+ 2√L = 3 + 8 + 4√6
+ 2√L = 11 + 2.2√6
+ 2√L = 11 + 2√24
M M óL, P L :
R
= 11
L = 24
+ L = 11 + 24
+ L = 35
16)

12. 2020 . .
E =
√
√
[
) 5√ ,)√ 86,5) 8√ ,)√ 56,
)√ 56,)√ 86,
]
E =
√
√
.
6
2√3 − 2 + 3 − √3 + 2√3 + 2 − 3 − √3
E =
√
√
.
6
)2√3,
A = √2
17)
=
√ 86
√ 56
; =
√ 56
√ 86
a.b =
√ 86
√ 56
.
√ 56
√ 86
= 1
=
√ 86
√ 56
.
√ 86
√ 86
=
√ 86 2
86
= 2 + 1 − 2√2
= 3 − 2√2
b=
√ 56
√ 86
.
√ 56
√ 56
=
√ 56 2
86
= 2 + 1 + 2√2 = 3 + 2√2
T
U
=
√2JK
√2IK
√2IK
√2JK
=
√ 86 2
√ 56 2
=
8 √
5 √
; a=
8 √
5 √
.
V = -a
= a.b( −

13. 2020 . .
= (1)(3 − 2√2 –(1) )(3 + 2√2
= 9 − 12√2 + 8 − 9 + 8 + 12√2
= 9 -12√2 + 8 − 9 − 8 − 12√2
= -24√2
18)
=
√
[
68√
√ 8
0JK
√0
]86
=
√
[
68√
√ 8√0
2
]86
=
√
W
8 √
√
X
86
=
√
Y
√
B68√ C
Z
=
6
68√
.
65√
65√
=
65√
68
= −
6
−
√
19)

14. 2020 . .
Transformando los radicales dobles a simples:
'4 + √15 ; [ = √ −
C =√4 − 15 = 1
'4 + √15 = %
]5^
+ %
]8^
= %
4
+ %
186
= %
4
+ %
Para el segundo radical:
C =√2 − 3 = 1
%2 + √3 = 3
+ [
2
+ 3
− [
2
= 3
3
2
+ 3
2 − 1
2
= 3
3
2
+ 3
1
2
= √5 − √2 %
4
+ % – % − %
6
= √5 − √2 %
4
− %
6
= √5 − ` √2.
√4
√
− √2.
6
√
a = √5 − √5 + 1
= 1
20
Transformando los radicales dobles a simples:
C =√9 − 80 = 1
%9 + √80 = 3
+ [
2
+ 3
− [
2
= 3
9 + 1
2
+ 3
9 − 1
2
= √5 + 2

15. 2020 . .
C =√21 − 320 = 11
%21 − √320 = 3
+ [
2
− 3
− [
2
= 3
21 + 11
2
− 3
21 − 11
2
= 4 − √5
q = %3 + '5 + 2 + 4 − '5 = √9
q = 3
21
Convirtiendo cada radical doble en simple:
%8 + 4√3 = %8 + 2√12 = %6 + 2 + 2'6 2 = √6 + √2
%7 − 2√10 = %5 + 2 − 2'5 2 == √5 − √2
%11 − 2√30 = %6 + 5 − 2√30 = %6 + 5 − 2'6 5 = √6 − √5
1
√-5√
+
√48√
−
6
√-8√4
=
1
√-5√
.
√-8√
√-8√
+
√48√
.
√45√
√45√
−
6
√-8√
.
√-5√4
√-5√4
=
1 √6−'2
-8
+
√5+'2
48
-
√6+√5
-84
= √6 − √2 + √5 + √2 − √6 − √5
= 0

16. 2020 . .
22)
Transformando cada uno de los radicales:
'49 + 20√6 = %49 + 2 10 √6
= '49 + 2√600 = %25 + 24 + 2'25 24
= √25 + √24
= 5 + 2√6
'441 + 180√6
"
= %'441 + 180√6
= %'441 + 2√48600 = 3%441 + '4 48600
C = '441 − 4 48600 = 9
= %
11659
+ %
11689
= √225 + √216
=%15 + '36 6 = '15 + 6√6
'441 + 180√6
"
= '5 + 6√6
= '15 + 2√54

17. 2020 . .
= %9 + 6 + 2'9 6 = √9 + √6
= 3 + √6
'49 + 20√6 + '441 + 180√6
"
= 5 + 2√6 + 3 + √6
= 8 + 3√6
'2 − √3 ; [ = ' 2 − 3 =
'2 − √3 = %
]5^
− %
]5^
=%
U5U
− %
U8U
'2 − √3 = %
U
− %
U
%
U
− %
U
= √> − √2
Por comparación, se tiene:
v
> =
2 =
6
= 4 → > = 4
= 6

18. 2020 . .
1√:
6;5-√:5-√ 5 √61
=
1√:
6;5-√:5-√ 5 √:√
=
1√:
-) 5√ ,5 √: 5√
=
1√:
5√ -5 √:
=
1√:
) 5√ ,)-5 √:,
.
) 8√ ,)-8 √:,
8√ -8 ':
= =
1√: ) 8√ ,)-8 √:,
98 -8 ;
=
1√: ) 8√ ,)-8 √:,
: ;
=
√: ) 8√ ,)-8 √:,
:
=
√: ) 8√ ,) 8√:,
:
El denominador racionalizado es:
D = 7
25)
L + 1 + √L! = + + 2√
Además:
L! = L L − 1 !
R
L + 1 = +
L! = 4
Entonces,
L L − 1 ! =4ab

19. 2020 . .
abn= 4ab → L = 4
de:
n +1 = +
a+b = 5
26)
A =
<8;
√<568
.
√<565
√<565
=
<8; √<565
<5689
A =
<8; √<565
<8;
= √> + 1 + 3
X = 8 → A = √8 + 1 + 3 = 6
27)
=
<=81<
√<√=5' =8 √<8 √
=
<=81
√=)√<5√ ,8 √<5√
>
=
<=81<
√<5√ √=8
=
<=81<
√<5 √=8
.
√<8 √=5
√<8 √=5
=
< =81 √<8√ √=5
<8 =81
=
< √<8√ √=5
<8
=
< √<8√ √=5
<8
.
√<5√
√<5√
=
< <8 √=5
<8 √<5√

20. 2020 . .
=
< √=5
√<5√
Si: x = 3 ; y =4 → =
√15
√ 5√
=
6
√
=
-
√
.
√
√
= 2√3
28)
A =
√<
0
8
√<818
.
√<815
√<815
A =
√<
0
8 √<815
<8181
=
√<
0
8 √;
0
√<815
<8;
Multiplicando por el factor racionalizante de la expresión cúbica:
A =
√<
0
8 √;
0
√<815
<8;
.
√<20
5 √;<
0
5 √;20
√<20
5 √;<
0
5 √;20
A =
<8; √<815
<8; √<20
5 √;<
0
5 √;20 =
√<815
√<20
5 √;<
0
5 √;20
Si X =8 → A =
√;815
√;20
5 '; ;0
5 √;20 =
1
√-1
0 =
1
1
A =
6
29)

21. 2020 . .
x =
< <8
√<
0
8 √
0 .
√<20
5 '<0
5 √ 20
√<20
5 '<
0
5 √ 20 ; FR =√>
0
+ '> 3
0
+ √3
0
x =
< <8 √<20
5 '<
0
5 √ 20
<8
= x( √>
0
+ '> 3
0
+ √3
0
X=3 → x = 3 3√9
0
x = 9√9
0
30)
P(x) =
8√15<
<84
.
5√15<
5√15<
y > =
98 15<
<84 ) 5√15<,
=
9818<
<84 ) 5√15<,
=
8 <84
<84 ) 5√15<,
y > =
86
) 5√15<,
y 5 =
86
) 5√154,
= −
6
-
31)
6> − 7> − 3 =
6
-
[ 6> − 7 6> − 18]

22. 2020 . .
=
6
-
6> − 9 6> + 2
= (2x-3) (3x+1)
%5> − 2 + 2' 2> − 3 3> + 1 = √ > + + √ > −
Transformando el radical doble en simple, se tiene:
% 3> + 1 + 2> − 3 + 2' 3> + 1 2> − 3 = √ > + + √ > −
√3> + 1 + √2> − 3 = √ > + + √ > −
Por comparación, se deduce:
H
= 3
= 1
= 2
Luego:
+ + = 3 + 1 + 2
+ + = 6
32)
Se tiene que:
'> + √> ∶ [ = √> − > = '> > − 1

23. 2020 . .
'> + √> = %<5√<28<
+ %<8√<28<
; y > = > + 1
'> + √> = %<5√<568<
+ %<8√<568<
'> + √> = %
<56
+ %
<86
'> + √> − %
<86
= %
<56
+ %
<86
− %
<86
'> + √> − %
<86
= %
<56
'> + √> − %
<86
= %
<2
=
<
√
33)
65' 5√ 65'
=
65√ 65√
=
65√ 65√
.
68√
68'
=
68√
68 65√
=
68√
68 65√
.
68√
68√
=
68√ 68√
68 68
=
68√ 68√
= 1 − √2 1 − √3

24. 2020 . .
= 1- √2 + √2.3 − √3
= 1- √2 + √6 − √3
' -8 √:
' 8√:
= + √
%
-8 √:
8√:
= + √
%
-8 √:
8√:
.
5√:
5√:
= + √
%
-8 √: 5√:
98:
= + √
%
:;5 -√:8-√:861
= + √
'32 + 10√7 = + √
'32 + 2√175 = + √
%25 + 7 + 2'25 7 = + √
En función de radicales simple, se tiene:
√25 + √7 = + √
5 + √7 = = + √
Por comparación:
R
= 5
= 7

25. 2020 . .
− = 5 − 7
= 18
35)
`'11√2 − 12a = )√{
"
− √|
"
,
11√2 − 12 = √{ + √| − 2√{. |
"
}
11√2 = √{ + √|
12 = 2√{. |
"
6 = √{. |
"
→ {. | = 61
De:
11√2 = √{ + √| ; L ? , P L :
121(2) = { + | + 2√{. |
242 = { + | + 2 √61
242 = { + | + 72 → { + | = 170
Como: | =
-"
~
{ +
-"
~
= 170
{ + 61
= 170{ → { − 170{ + 61
= 0

26. 2020 . .
{ =
6:7 ±'6:7281 -"
=
6:7 ±641
Como { > |
{ =
6:75641
= 162
R
{ = 162
| = 8
; { + | = 170
Entonces, se tiene:
%
~
•
"
= %
6-
;
"
= %
;6
1
"
=
√ ""
√ 2"
%
~
•
"
=
√
=
√
36)
=
6
√420
5 √4.1
0
5 √120 .
√4
0
8 √1
0
√4
0
8 √1
0
√5
0
+ √5.4
0
+ √4
0
√5
0
− √4
0
= 5-4
=
√4
0
8 √1
0
481
= √5
0
− √4
0
37)

27. 2020 . .
x =
6
65 √6-
/
8 √ 777
/
8√4
√16
/
= √21/
= 2
2
0 = √4
0
√2000
/
= √21.5
/
= 2
2
0. 56/
= √4
0
. √5
x =
6
65 √1
0
8√4 √1
0
8√4
=
6
)65 √1
0
,8√4 65 √1
0 =
6
)65 √1
0
, 68√4
x =
6
)65 √1
0
, 68√4
.
65√4
65√4
=
65√4
)65 √1
0
, 684
.
68 √1
0
5 √120
68 √1
0
5 √120
)1 + √4
0
,(1 − √4
0
+ √4
0
= 1 + 4=5
x = −
65√4 68 √1
0
5 √120
1 4
= = −
65√4 68 √1
0
5 √120
7
El denominador es:
D = 20
38)
De:

28. 2020 . .
(a+b+c) ( + + − − − = + + − 3
= 1 ; = √2
0
; = √32
0
6
65 √
0
5 √1
0 .
'620
5 √
0 25 √
0 28 √
0
8 √
0
8 √-1
0
'620
5 √
0 25 √
0 28 √
0
8 √
0
8 √-1
0
(1 + √2
0
+ 2√4
0
} '1
0
+ √2
0
+ )√32
0
− √2
0
− √32
0
− √64
0
C = 1+2+32-3(1.√2
0
. √64
0
= 1+2+32-3√64
0
= 35 – 12
=23
El denominador de la expresión es “D”:
D= 23
39)
' + 2√ − 1 + ' − 2√ − 1 =
= % − 1 + 1 + 2√ − 1 + % − 1 + 1 − 2√ − 1
Como: a > 2 → − 1 > 1
= √ − 1 + 1 + √ − 1 − 1
= 2 √ − 1

29. 2020 . .
40)
@ = 10 ‚
'√675 5'√678
'√67568'√6786
ƒ = 10
W'√675 5'√678 X
2
W'√67568'√6786X
2
@ = 10 [
√675 5√678 5 % √675 √678
√67565√67868 % √6756 √6786
]
@ = 10 [
√675 √6789
√678 √6786
] = 10 [
√675
√678-
] = 5 [
√675
√678
]
@ = 5 [
√675 .
√678
.
√675
√675
]
@ = 10 W
)√6756,)√675 ,
6789
X = 10 [ )√10 + 1,)√10 + 3,]
@ = 10 [ )√10 + 1,)√10 + 3,]=10( 10+3√10 + √10 + 3
@ = 100+40√10 + 30
@ = 130+40√10
@ = 130+2√4000 = 80+50+2' 80 50
@ = %80 + 50 + 2' 80 50 = √80 + √50
√80 + √50 = {. | + |. %
~
4√5 + 5√2 = {. | + |.%
{
2
Por comparación, se tiene:

30. 2020 . .
R
{ = 4
| = 5
Entonces:
{. | = 4 5 = 20
41)
De:
(a+b+c) ( + + − − − = + + − 3
= 12 ; = √18
0
; = √27
0
A =
6
√6
0
5 √6;
0
5 √ :
0 .
√6
0 25 √6;
0 25 √ :
0 28 '6; 6
0
8 '6 :
0
8 '6; :
0
√6
0 25 √6;
0 25 √ :
0 28 '6; 6
0
8 '6 :
0
8 '6; :0 -1
√12
0
+ √18
0
+ √27
0
− '18 12
0
− '12 27
0
− '18 27
0
=
= √12
0
+ √18
0
+ √27
0
− √216
0
− √324
0
− √486
0
= √12
0
+ √18
0
+ 9 − 2√27
0
− 3√12
0
− 3√18
0
= 2√18
0
+ 3√12
0
+ 9 − 6 − 3√12
0
− 3√18
0
= 3 - √18
0
(√12
0
+ √18
0
+ √27
0
[ √12
0
+ √18
0
+ √27
0
− '18 12
0
− '12 27
0
− '18 27
0
]=
= 12+18+27 -3'12 18 27
0
12 + 18 + 27 − 54 = 3
A =
8 √6;
0
- 1 =
8 √6;
0
8

31. 2020 . .
A = −
√6;
0
42)
Si : 1
− = 6
− 1 = 6
' − 1 = √6
√ − 1 = √6
A =
T5√T286 28 T8√T286 2
T8√T286 T5√T256
A =
T25 T√T2865T2868 T28 T√T2865T286
T28 T286
A =
T25 T√T2865T2865T25 T√T2868T256
T28T256
A = 2 + 4 √ − 1 − 2
A = 4 √ − 1
A = 4 √6
43)
Transformando los radicales dobles a radicales simples:

32. 2020 . .
%> + 24 + 10√> − 1 = %> + 24 + 2'25 > − 1 = % > − 1 + 25 + 2'5 > − 1
'> + 24 + 10√> − 1 = √> − 1 + √25 = √> − 1 + 5
%> + 8 − 6√> − 1 = %> + 8 − 2'9 > − 1 = % > − 1 + 9 − 2'9 > − 1
Como: 1< x < 2
'> + 8 − 6√> − 1 = %9 + > − 1 − 2'9 > − 1 = √9 − √> − 1= 3 - √> − 1
%> + 15 + 8√> − 1 = %> + 15 + 2'16 > − 1 = %16 + > − 1 + 2'16 > − 1
'> + 15 + 8√> − 1 = √16 + √> − 1
'> + 15 + 8√> − 1 = 4 + √> − 1
%> − 2√> − 1 = % > − 1 + 1 − 2' > − 1
Como: 1< x < 2
'> − 2√> − 1 = %1 + > − 1 − 2' > − 1 = √1 − √> − 1
=
√<86545 8√<86
15√<86568√<86
=
;
4
44)
Factorizando el denominador:
21 − 2√121
0
+ √11
0
=
= - ( 2√121
0
− √11
0
− 21

33. 2020 . .
= −[
6
{ 2√11
0
− 2√11
0
-42}]
= −[
6
2√11
0
− 7 2√11
0
+ 6)]
= 7 − 2√11
0
√11
0
+ 3)]
A =
:8 √66
0
√66
0
5
A =
:8 √;;
0
√66
0
5
.
√:/0
5 ':0 ;;
0
5 √;;20
√:/0
5 ':0 ;;
0
5 √;;20
A =
√:/0
5 ':0 ;;
0
5 √;;20
1 8;; √66
0
5
.
√6620
8 '66 :
0
5 √ :20
√6620
8 '66 :
0
5 √ :20
A =
√:/0
5 ':0 ;;
0
5 √;;20
√6620
8 '66 :
0
5 ' :20
1 8;; 665 :
A =
√:/0
5 ':0 ;;
0
5 √;;20
√6620
8 '66 :
0
5 ' :20
44 ;
A =
√:/0
5 ':0 ;;
0
5 √;;20
√6620
8 '66 :
0
5 ' :20
9-97
A =
√:/0
5 ':0 ;;
0
5 √;;20
√6620
8 '66 :
0
5 ' :20
7
El denominador de la expresión racionalizada es:
… = 30
45)
Si:
'4 + 3√2 = √ + √
4 + 3√2 = √ + √

34. 2020 . .
Se desea : √ 1
+ √ 1
4 + 3√2 = + + 2√ .
Para evitar raíces negativas se escoge:
†
+ = 3√2
2√ . = 4
√ . = 2 → . = 4 ; =
1
]
A +
1
]
= 3 √2
+ 4 = 3√2 → − 3√2 + 4 = 0
=
√ ± √6;86-
=
√ ±√
A =
√ 5√
= 2√2 = √8
=
1
]
=
1
√;
=
1
√
=
√
= √2
Luego:
√ 1
+ √ 1
= '√8 1
+ '√2 1
= √8
" 1
+ √2
" 1
= 8 +2
= 10

35. 2020 . .
A = [
T5√ U
√ √ U8√ U5)√ 86,T
]
A = [
T5√ U
√ U √ 86 5)√ 86,T
]
A = [
T5√ U
)√ 86, T5√ U
] = [
6
)√ 86,
] = [
6
)√ 86,
.
√ 56
√ 56
]
A =
√ 56
86
= 2 + 1 + 2√2
2 + 1 + 2√2 = + √
3 +2 √2 = + √
3 + √8 = + √
R
= 3
= 8
a+b =3+8
+ = 11
47)
Transformando los radicales dobles a simples:
'> + √> − 1 = ‡> + 2%
<56
.
<86
= 3`
<
+
6
a + `
<
−
6
a + 2%
<56
.
<86
= 3`
<56
a + `
<86
a + 2%
<56
.
<86
= %
<56
+ %
<86

36. 2020 . .
'> − √> − 1 = ‡> − 2%
<56
.
<86
= 3`
<
+
6
a + `
<
−
6
a − 2%
<56
.
<86
= 3`
<56
a + `
<86
a − 2%
<56
.
<86
Si x >1
= %
<56
− %
<86
'<5√<286
+
'<8√<286
=
%
ˆIK
2
5%
ˆJK
2
5%
ˆIK
2
8%
ˆJK
2
'<5√<286
+
'<8√<286
= 2.
%
ˆIK
2
= %
<56
48)
Factorizando:
> + 5> + 6 = > + 3 > + 2
6
% <545 ' <5 <5
=
6
% <5 5 <5 5 ' <5 <5
=
6
√<5 5√<5
=
6
√<5 5√<5
.
√<5 8√<5
√<5 8√<5

37. 2020 . .
=
√<5 8√<5
<5 8 <5
=
√<5 8√<5
<5 8<8
= √> + 3 − √> + 2
49)
'7 + √48
"
= %'7 + √48
= %'7 + 2√12 = %'4 + 3 + 2√4.3
= '√4 + √3
='2 + √3 = 32 + 2%
1
= 3 +
6
+ 2%
6
= % + %
6
=
√
√
+
6
√
=
√ √
+
√
=
√-
+
√
50)

38. 2020 . .
Si:
√
0
= P → P = ; a =27 → P = 3
=
‰08 ‰25‰8
‰28‰8-
=
‰08 ‰25‰8
‰8 ‰5
Factorizando el numerador:
=
‰2 ‰8 5 ‰8
‰8 ‰5
=
‰256 ‰8
‰8 ‰5
=
‰256
‰5
=
956
5
= 2
51)
A =
√<5-
0
8
√<5 8
.
√<5 5
√<5 5
A =
√<5-
0
8 √<5 5
<5 81
=
√<5-
0
8 √;
0
√<5 5
<8
.
' <5- 20
5 '; <5-
0
5 √;20
' <5- 20
5 '; <5-0
5 √;20
√> + 6
0
− √8
0
' > + 6
0
+ '8 > + 6
0
+ √8
0
=x+6 -8

39. 2020 . .
A =
<8 √<5 5
<8 ' <5- 20
5 '; <5-
0
5 √;20 =
√<5 5
' <5- 20
5 '; <5-
0
5 √;20
X =2 → A =
√ 5 5
√;20 =
1
6
=
6
A =
6
52)
= %2> − 2'3 2> − 3 + %2> − 1 − 2'2 2> − 3
Como:
4
< > < 3
= %3 + 2> − 3 − 2'3 2> − 3 + ' 2> − 3 + 3 − 1 − 2'2 2> − 3
= %3 + 2> − 3 − 2'3 2> − 3 + ' 2> − 3 + 2 − 2'2 2> − 3
= √3 − √2> − 3 + √3> − 3 + √2
= √3 − √2
53)

40. 2020 . .
Elevando al cuadro ambos miembros:
[' + 4√ + 2] = [√ − 2 + √2 ]
+ 4√ + 2 = − 2 + 2 + 2'2 − 2
+ '16 + 2 = − 2 + 2 + '8 − 2
R
= − 2 + 2
16 + 32 = 8 − 16
De: = − 2 + 2 → = 1
16 + 32 = 8 − 16 → 16 1 + 32 = 8 1 − 16
= 8
' + + 2√ + 6 = '8 + 1 + 2√8 + 6
= '9 + 2√14
= %7 + 2 + 2'7 2
= √7 + √2
→ √7 ó √2
54)
A = %
6
9
0
B1 − √2
0
+ √4
0
C = %
6
9
0
W)1 − √2
0
+ √4
0
,.
‹Œ
‹Œ
X

41. 2020 . .
De:
(a+b+c) ( + + − − − = + + − 3
= 1 ; = − √2
0
; = √4
0
x@ = + + − − −
= 1 + −√2
0
+ √4
0
+ √2
0
+ √8
0
− √4
0
= 1 + √4
0
+ 2√2
0
+ √2
0
+ 2 − √4
0
= 3 + 3√2
0
+ + − 3 = 1 − 2 + 4 + 3√8
0
= 9
A = %
6
9
0
W)1 − √2
0
+ √4
0
,.
‹Œ
‹Œ
X = %
6
9
0
[
9
5 √
0 ]
A = = %
6
9
0
[
65 √
0 ] = %
:
9
0
[
6
65 √
0 ] = √3
0 6
65 √
0
Luego:
(A + 1 = [ √3
0
.
6
65 √
0 + 1]
= [
65 √
0
5 √1
0
5
+ 1]
= [
6
65 √
0
5 √1
0 + 1] = = [
5 √
0
5 √1
0
65 √
0
5 √1
0 ]
2 + √2
0
+ √4
0
= 8 + 2 + 4 + 3 2 + √2
0
2 + √4
0
√2
0
+ √4
0
= 14 + 3)6 + 2√4
0
+ 2√2
0
,) √2
0
+ √4
0
,
= 14 + 3)6√2
0
+ 6√4
0
+ 8 + 4√2
0
+ 2√4
0
,
= 14 + 3)8 + 8√4
0
+ 10√2
0
,
= )38 + 24√4
0
+ 30√2
0
,
= 2 19 + 15√2
0
+ 12√4
0

42. 2020 . .
1 + √2
0
+ √4
0
= 1 + 2 + 4 + 3 1 + √2
0
√2
0
+ √4
0
1 + √4
0
= 7 + 3)√2
0
+ √4
0
+ √4
0
+ 2,) 1 + √4
0
,
= 7 + 3)√2
0
+ 2√4
0
+ 2, ) 1 + √4
0
,
= 7 + 3)√2
0
+ 2 + 2√4
0
+ 4√2
0
+ 2 + 2√4
0
,
= 7 + 3)4 + 5√2
0
+ 4√4
0
,
= 19 + 15√2
0
+ 12√4
0
(A + 1 = [
5 √
0
5 √1
0
65 √
0
5 √1
0 ] =
695 64 √
0
56 √1
0
695 64 √
0
56 √1
0
= 2
55)
=
68 √
0
5 √1
0
68 √
0
5 √1
0 2
√
0
86
De:
(√1
0
+ √2
0
)1 − √2
0
+ √2
0
, = 2 + 1
=
68 √
0
5 √1
0
68 √
0
5 √1
0 2
√
0
86
.
‹Œ
‹Œ
x@ = (√1
0
+ √2
0
= 2+1 1− '2
3
+ '4
3 2
'2
3
−1
. 1
x@
= 2+1 1− '2
3
+ '4
3 2
'2
3
−1 '2
3
+1
=
68 √
0
5 √1
0 2
√ 20
86
=
68 √
0
5 √1
0 2
√ 20
86
.
√
0
56
√
0
56

43. 2020 . .
=
68 √
0
5 √1
0
5 √1
0
8 √
0
86
=
9 68 √
0
5 √1
0
68 √
0
5 √1
0
= 9
56)
= •%
-5 √
869√
Ž
=
-5 √
869√
=
-5 √
869√
.
569√
569√
=
69;5661√ 5--√ 5 ;√9
67;9867;
=
6 56;7√
-
= 52 + 30√3
= '52 + 30√3
= '52 + 2√675
= %27 + 25 + 2'27 25
= √27 + √25
= 5 + '9 3 = 5 + 3√3

44. 2020 . .
57)
Homogenizando los radicales, se tiene:
x =
% √
0
86 2
/
% √1
0
86 0
/
= %
√
0
86 2
√1
0
86 0
/
x = 3
'2
3
−1 '2
3
−1
'4
3
−1
3
6
=%
√
0
86 √
0
86
√1
0
86 √1
0
86 2
/
= % √
0
86 √
0
86
√
0
86 √
0
56 √1
0
86 2
/
x = %
√
0
86
√
0
56 √1
0
86 2
/
= %
√
0
86
√
0
56 √1
0
86 √1
0
86
/
x = %
√
0
86
) √
0
56,) √
0
86, √
0
56 √1
0
86
/
x = %
6
) √
0
56,
2
√1
0
86
/
= %
6
√
0
56 √
0
56 √1
0
86
/
=
= %
6
√
0
56 5 √1
0
8 √
0
86
/
x = %
6
65 √
0
68 √
0
5 √1
0
/
= %
6
65
/
x = %
6/
=
6
√
/

45. 2020 . .
58)
• = )√2 − 1,['112 + 80√2 − '68 + 52√2]
• = )√2 − 1,[112 + 80√2 + 68 + 52√2 − 2% 112 + 80√2 68 + 52√2
• = )√2 − 1,[180 + 132√2 − 2'7616 + 5824√2 + 5440√2 + 8320
• = )√2 − 1,[180 + 132√2 − 2'15936 + 11264√2
'15936 + 11264√2 = '15936 + √253755392
[ = √15936 − 253755392 = 448
'15936 + 11264√2 = %
649 -511;
− %
649 -811;
• = )√2 − 1,[180 + 132√2 − 2{ √8192 − √7744}
• = )√2 − 1,[180 + 132√2 − 2{ √2. 4- − 88}
• = )√2 − 1,[180 + 132√2 − 2{64 √2 − 88}
• = )√2 − 1,[180 + 132√2 − 128 √2 − 176]
• = )√2 − 1,[4 + 4√2]= 4√2 + 8 − 4 − 4√2
• = 4
• = 2

46. 2020 . .
59)
Elevando al cuadro ambos lados de la expresión:
> = '√2 + 1 −
6
'√ 56
> = √2 + 1 +
6
√ 56
− 2[ √2 + 1
6
√ 56
]
> = √2 + 1 +
6
√ 56
− 2
> = √2 − 1 +
6
√ 56
> =
)√ 86,√ 56 56
√ 56
> =
8656
√ 56
=
√ 56
> =
√ 56
.
√ 86
√ 86
> =
√ 56
.
√ 86
√ 86
> =
)√ 86,
86
= 2)√2 − 1,
Por tanto:
A = > + 2
A = 2√2 − 2 + 2
A = 2√2

47. 2020 . .
60)
x > =
6
<8
‘>√> − 1 − %
<5
<86
’ .
<√<865%
ˆI2
ˆJK
<√<865%
ˆI2
ˆJK
x > =
6
<8 <√<865%
ˆI2
ˆJK
[> > − 1 −
<5
<86
]
x > =
<2 <86 8
ˆI2
ˆJK
<8 <√<865%
ˆI2
ˆJK
=
<2 <86 28<8
<8 <86 <√<865%
ˆI2
ˆJK
x > = =
<2 <28 <56 8<8
<8 <86 <√<865%
ˆI2
ˆJK
x > = =
<"8 <05<28<8
<8 <86 <√<865%
ˆI2
ˆJK
Factorizando el numerador por rufini:

48. 2020 . .
>1
− 2> + > − > − 2 = > − 2 > + > + 1
x > = =
<8 <05<56
<8 <86 <√<865%
ˆI2
ˆJK
x > = =
<05<56
<86 <√<865%
ˆI2
ˆJK
x > = 2 =
05 56
86 √ 865%
2I2
2JK
x > = 2 =
66
6 [ 6 5√1
=
66
5
x > = 2 =
66
1