Qiskit入門 / ドイチュ・ジョサのアルゴリズム だが、ほぼ量子コンピュータの用語説明

2. Qiskitとは
● 量子コンピュータのシミュレーション言語
○ 古典コンピュータ上でシミュレーションする
○ 実機の量子コンピュータはIBMQが使える
● 他の言語とか
○ Google Cirq
○ Blueqat
○ Microsoft Q#
○ 等々

3. 背景（古典 vs 量子）
● なぜ量子が注目されてきたのか？
● 古典コンピュータ（従来コンピュータ）では実時間で解くことが困難な問題が存在
○ 組み合わせ最適化問題（巡回セールスマン問題）
○ （桁数の大きい）素因数分解アルゴリズム（RSA暗号で活用）
● 量子の特性を使えば、古典を凌駕する計算ができるというアイデアは昔から存在
○ アイデアの初出は1985年(※1)
○ 1992年ドイチュ・ジョサのアルゴリズム（初の量子アルゴリズム）
○ 1993年ショアのアルゴリズム（因数分解アルゴリズム）
● 近年、実際に量子コンピュータが使えるようになってきた
○ IBMQ、D-Wave、Amazon Braket

4. 量子コンピュータの種類
● 量子ゲート型
○ 古典の論理ゲート的な発想で扱えるモデル
● 量子アニーリング型
○ イジングモデルと呼ばれる、格子状に配置した量子ビットが磁性的に平衡状態にな
るのを利用したモデル
○ 組み合わせ最適化問題で主に利用
● Qiskitは、量子ゲート型のシミュレーション言語

5. Qiskitの前に
● 量子コンピュータの前提知識をかんたんに説明
● 今回扱う範囲
○ 量子ビット
○ ブロッホ球
○ 重ね合わせ状態
○ 測定
○ 量子ゲート（H, X, CNOT, Z）

6. 量子ビット
● |0>と|1>
○ 「|>」は「ケット」と読む
○ 「ゼロケット」や「ゼロベクトル」や「ゼロ状態」等と読んだりする（文脈によって読み方が変わるが、どれも同じ意味）
○ 古典ビットにおける、
■ 「0」が「|0>」にあたる
■ 「1」が「|1>」にあたる
● ブロッホ球
○ 1量子ビットの状態を視覚的にわかりやすく把握するための概念
○ 量子ビットの状態は、原点から球の表面上の点へのベクトルで表せれる
■ なので、量子ビットの状態は無限にある
○ z軸に|0>と|1>をとって表現する
■ x軸は|+>と|->
■ y軸は|↺>と|↻> (※)
○ 右図は、|0>状態を表している

7. 量子ビットの状態は確率的に決まる
● 量子ビットの状態は無限にあるが、「測定」によって
最終的には|0>か|1>に決まる
①：100%の確率で|0>になる
②：100%の確率で|1>になる
③と④：50%の確率で|0>になり、
50%の確率で|1>になる
● なので、プログラムして最終的に得られる答えも確率的に決まる
○ 実行するたびに答えが変わる
○ 何度も実行し、統計的に答えを得るのが定石 ③ |+>状態
① |0>状態 ② |1>状態
④ |->状態

8. 重ね合わせ状態
● 量子コンピュータは、|0>状態と|1>状態の「重ね合わせ状態」をうまく使うことで、超並列計算ができる
● 3量子ビットの場合|000>, |001>, |010>, |011>, |100>, |101>, |110>, |111>の8パターンあるが、この8パターンを同時に処理
できるイメージ
● ③|+>状態を形式的に表現すると、
○ これは「|0>と|1>の重ね合わせ状態」を表している
○ |0>と|1>にかかる係数を確率振幅と呼び、これを2乗したものが確率になる
■ |0>になる確率：(1/√2)^2 = ½ = 50%
■ |1>になる確率：同様に50%
● |+>状態の量子ビットを「測定」したとき、50%の確率で|0>状態か|1>状態に確定する
○ 「測定」するまで状態は|0>状態か|1>状態かは確定していない
③ |+>状態

9. 測定
● 「測定」とは、量子ビットの状態を確定させること
○ 量子ビットは測定されるまで状態は確定していない
○ 古典コンピュータでは、なにか問題を解くとき、いろいろ計算させたあとに、最後にビット列を得る
○ 量子コンピュータも、量子演算させたあとに、最後に「測定」して量子ビットを確定させ、ビット列を得る
|+>状態
（測定すると50%の確率で|0>か|1>になる）
測定
|0>状態に確定

10. 測定のタイミング
● 古典コンピュータでは、変数の中身はいつ確認してもOK
● 量子コンピュータでは、測定すると量子ビットの状態が確定するので、注意が必要
● 以下の左右の量子回路は、等価ではない

11. 量子ゲート（H）
● Hゲート（アダマールゲート）
○ ブロッホ球の「Z軸とX軸の間の軸」を中心にπ回転
○ |0>状態を|+>状態に、|1>状態を|->状態にする
|0>状態
（初期状態）
|+>状態 |0>状態
（元に戻る）

12. 量子ゲート（X）
● Xゲート（NOTゲート）
○ ブロッホ球のX軸を中心にπ回転
○ 古典論理回路のNOT回路と同等
■ |0>状態を|1>状態にする
■ |1>状態を|0>状態にする
|0>状態
（初期状態）
|1>状態 |0>状態
（元に戻る）

13. 量子ゲート（CNOT）
● CNOTゲート（Controlled-NOTゲート）
○ コントロールビットとターゲットビットの2量子を使う演算
○ コントロールビットが|1>のとき、ターゲットビットにXゲートを作用させる（ターゲットビットを反転）
○ コントロールビットが|0>のとき、何もしない
|0>状態 |1>状態
|0>状態
q0
q1
|1>状態
|1>状態
q0が|1>なので、
q1が反転する

14. 量子ゲート（Z）
● Zゲート
○ ブロッホ球のZ軸を中心にπ回転
○ |1>の振幅を-1倍する
■ Z|0> → |0>
■ Z|1> → -|1>
○ |+> = (1/√2) (|0>+|1>)
■ Z|+> → (1/√2) (|0>-|1>) = |->
|0>状態
（初期状態）
|+>状態 |->状態

15. ドイチュ・ジョサの問題
● 今、n の長さのビット列 b を受け取る関数 f が与えられる。
● f(b) は、0 または 1 を返す
● 2^n 通りのビット列 b に対して、
○ f がちょうど半分の入力に対して0を返すとき、「分布型の関数」という
○ fがすべての入力に対して0または1を返す時、「定置型の関数という」
● 関数 f が分布型か定置型かを判定せよ
● n=2の例
○ f(“00”) = 0
○ f(“01”) = 1
○ f(“10”) = 0
○ f(“11”) = 1
○ 関数fは半分の入力に対して0を返し、半分の入力に対し1を返すので、「分布型の関数」

16. ドイチュ・ジョサの問題
● 古典的解法
○ 関数 f に、ビット列を “00...0” から順番に “11...1” まで入れていき調べていく
○ 最も運が良くて2回で判定できる
■ f(“000”) = 0
■ f(“001”) = 1
■ 0と1が返ってきたということは、「分布型」である
○ 最悪ケースは？
■ f(“000”) = 0
■ f(“001”) = 0
■ f(“010”) = 0
■ f(“011”) = 0
■ まだ確定しない
● f(“100”) = 1 のとき、「分布型」が確定
● f(“100”) = 0のとき、「定置型」が確定
○ 最悪ケースでは、2^{n-1}+1 回調べなければいけないので、最悪計算量はO(2^{n-1})である

17. ドイチュ・ジョサの問題
● 量子的解法
○ n+1量子ビットを用意する
■ 上位n量子ビット
■ 下位1量子ビット
■ に分ける
○ 右図のような量子回路で解ける
● 解法ステップ
○ 【初期化】下位1量子ビットは|1>状態にする
○ 【ステップ1】：全量子ビットをHゲートを作用
○ 【ステップ2】：全量子ビットをUfゲートを作用
○ 【ステップ3】：上位nビットを再度Hゲートを作用
○ 【ステップ4】：上位nビットを測定する
● 判定
○ 測定したnビットが、100%の確率で|00...0>なら定置型
○ 測定したnビットが、|00...0>になる可能性が0%なら分布型

18. 【ステップ1】
● 【ステップ1】：全量子ビットをアダマールゲートを作用
● 全量子ビットはすべての可能な状態の重ね合わせ状態になる
● 上位n量子ビットは、以下の状態になる
● 下位1量子ビットは、以下の状態になる
● 合わせて書くと、以下のように書ける
上位n量子ビット 下位1量子ビット

19. 【ステップ2】
● 【ステップ2】：量子ビットをUfゲートを作用
● Ufゲートは問題設定により、与えられるとする。
● 量子ビットは以下のようになる
上位n量子ビット 下位1量子ビット

20. 【ステップ3】
● 【ステップ3】：上位量子ビットに再度Hゲートを作用
● すると、上位n量子ビットが|00...00>になる確率振幅は以下になる。
● fが定置型ですべて0を返す場合、★部分は(1+1+1+...+1)になり、2^nになり、確率振幅は1になる
● fが定置型ですべて1を返す場合、★部分は(-1-1-1…-1)になり、-2^nになり、確率振幅は-1になる
● fが分布型の場合、★部分は1と-1の数が同数になり、0になり、確率振幅は0になる。
● よって、上位n量子ビットを測定した結果、
○ 100%の確率で|00...00>になれば f は定置型
○ |00...00>になる確率が0％ならば f は分布型
★

21. コード
①インポート ②Uf回路作成

22. コード
③ドイチュ・ジョサのアルゴリズム
全コードの詳細はQiskit Notebookのページにある
https://qiskit.org/textbook/ja/ch-algorithms/deutsch-jozsa.html
・n+1個の量子ビットと、n個の古典ビットを定義
・n番目の量子ビットにXゲートを適用
・n番目の量子ビットにHゲートを適用
・[0, n)を測定

23. コード
④量子回路を作成

24. 実行
⑤実行
|0000>の確率0％なので、関数fは分布型だった

25. 実機で実行
⑥IBMQの実機を使って実行

26. ドイチュ・ジョサのアルゴリズムの疑問
● そもそもUfゲートのシミュレーション回路を古典で生成するのに最悪計算量O(2^n)かかる
● なんの役に立つのか？
○ Ufゲートが与えられたとして、f を分布型、定置型と判定したい問題の応用とは？
● 初の量子アルゴリズムではあるが、実用性はない

27. より実用的な問題への応用
● というような議論はとっくにされていて、実問題に応用できる量子アルゴリズムがいろいろな研究
者により考えられている（現在進行系）
● よくきく応用先
○ 素因数分解
○ 量子化学計算
○ 機械学習の学習高速化
○ 等々

28. 参考書籍・URL
● 竹内繁樹「量子コンピュータ 超並列計算のからくり」
● Chris Bernhardt(著), 湊雄一郎(訳)「みんなの量子コンピュータ」
● 湊雄一郎「いちばんやさしい量子コンピューターの教本」
● 宇津木 健「絵で見てわかる量子コンピュータの仕組み」
● Qiskit Textbook, https://qiskit.org/textbook/ja/preface.html

29. おわり