Epistemología de las matemáticas. UNAD

1. PROBLEMAS DE LA
FUNDAMENTACIÓN EN
MATEMÁTICAS ATRAVÉS DE LA
HISTORIA
Grupo 3
Por:
Didier Ariel Melenje Lasso
Jorge Ariel Agudelo
Lidia Yisela Rey
GRUPO 3: EPISTEMOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS

2. Contenido
• Descripción del contexto
• Definición de la problemática
• Fundamentación teórica
• Referencias
GRUPO 3: EPISTEMOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS

3. Introducción
A lo largo de los siglos la matemática ha sufrido grandes
cambios y estos se debieron muchas veces a las crisis que
generaba el descubrimiento de nuevos objetos matemáticos.
La fundamentación de la matemática como ciencia se inició
en la antigua Grecia con los pitagóricos y los jónicos, pero,
no fue sino hasta el siglo XIX donde se le dio todo el rigor y
la axiomatización con la que la conocemos hoy en día.
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4. Descripción del contexto
En la historia de las matemáticas es recurrente
encontrar que los aportes de los matemáticos griegos
fue la de transformar la matemática empírica de las
civilizaciones de Mesopotamia y egipcias, en una
matemática teórica y deductiva, por ello se dice que los
griegos crearon una teoría matemática en la que se
demostraba sus construcciones por deducción a partir
de un conjunto de axiomas, postulados, definiciones.
Pero estos aportes se produjo en un largo periodo, que
se inicia con los trabajos de Tales Mileto y terminando
en los trece libros de Euclides de Alejandría
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5. Definición del problema
La crisis en la fundamentación de la matemática históricamente ha
sido entre la valides que exige la filosofía y la racionalidad de las
matemáticas.
El surgimiento de dificultades esenciales dio lugar a teorías
revolucionarias más amplias. Tal es el caso de la crisis que surgió en la
antigua Grecia con el problema de la inconmensurabilidad, que fue el
detonante para que explotara el gran problema de la insuficiencia de
los números naturales en la representación de magnitudes
geométricas y, como consecuencia de ello, buscar alternativas nuevas
para asociar estas magnitudes a números de otra especie.
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6. Como se sabe, la matemática en la
antigüedad llegó a niveles de gran
significado y profundidad. Así fueron
los trabajos de Tales, Pitágoras,
Euclides, Apolonio y sobre todo
Arquímedes. Pero, la aparición de las
medidas inconmensurables, puso a
tambalear los fundamentos
matemáticos de los pitagóricos, ya
que para ellos no existían más
números que los enteros positivos.
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7. FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA
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8. Siglo IV a. C.
Durante este periodo surgen tres de los problemas
más antiguos de las matemáticas:
• La cuadratura del círculo,
• La trisección del ángulo
• La duplicación del cubo.
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9. Finales del Siglo V a. C.
Problema de la inconmensurabilidad
El descubrimiento de las cantidades inconmensurables puso a tambalear
los fundamentos matemáticos de los pitagóricos ya que para ellos no
existían más números que los enteros positivos.
Para los pitagóricos todo era un número y el funcionamiento del mundo
se podía explicar a través de éstos, pero con la aparición de los
inconmensurables los pitagóricos decidieron abandonar la teoría de la
proporción basada en números y enfocarse en una que no involucrara
cantidades numéricas.
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10. Siglo VI a. C
Los jónicos y los pitagóricos empiezan a construir la fundamentación de las
matemáticas a partir de axiomas, definiciones y demostraciones que le dan
el estatus de ciencia.
• Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos
• Teorema de Tales: Sean dos rectas 𝑟 y 𝑠 y una dirección 𝛿 a la cual no
pertenecen 𝑟 y 𝑠. Tomamos tres puntos distintos 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑟 y llamamos
𝐴′, 𝐵′, 𝐶′ a sus proyecciones paralelamente a 𝛿 sobre la recta 𝑠. Entonces se
tiene que:
𝑑 𝐴, 𝐵
𝑑 𝐵, 𝐶
=
𝑑 𝐴′
, 𝐵′
𝑑 𝐵′, 𝐶′
”
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11. Siglo XVII-XVIII
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Aparece el cálculo infinitesimal, la geometría
analítica y el análisis que entra a organizar y a
aclarar todos conocimientos que se habían dado
de forma rápida sin tener presente la
rigorización de las ideas.

12. Surge la idea de limite,
se determina la idea de
función y se aclara el
concepto de función
continua, derivable e
integrable. En el campo del álgebra,
los métodos de solución de
ecuaciones de grado
superior fundamentaron las
bases para la teoría de
grupos
A partir de la
axiomatización del
algebra por parte de
Hilbert y desde la
geometría surge la
topología.
Surge la Teoría de
conjuntos de la mano
de George Cantor.
Aparecen los
números
trasinfinitos siendo
el conjunto de los
números naturales
el primero de ellos.
Se concluye que la
aritmética es la base
del mundo de los
números.
Siglo XIX
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13. El problema del conocimiento
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14. El problema de las paradojas
Las paradojas fueron estudiadas exhaustivamente
por los lógicos y se crearon soluciones muy
ingeniosas para esclarecer tales. Tarski descubrió
que todo lenguaje, como el común, que es universal
en el sentido de que puede inclusive referirse así
mismo, nos lleva a contradicciones
inevitablemente. Así surge. la necesidad de
desarrollar lenguajes artificiales, puramente
formales, los que se llaman lenguajes-formalizados.
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15. • El problema de las paradojas determinó distintos movimientos
filosóficos de la matemática, cuyas diferencias eran el punto de
vista de interpretar y resolver las paradojas. Las escuelas que
surgieron, entre otras, son: (a) el logicismo (B. Russe1l, ... ) (b) el
intuicionismo (Brouwer, Weyl, Borel, Kronecker, Poincaré, ... ) (e)
el formalismo (Hilbert, ... )
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16. Teoría del Conocimiento
Los antiguos filósofos griegos lo han trabajado arduamente,
alcanzando con ello otras ramas para lograr definirlo, ramas que
ahora se estudian por separado como los son el idealismo, realismo,
empirismo, escepticismo.
El estudio posterior a los filósofos griegos de la teoría de
conocimiento se inicia con Rene Descartes que buscaba los límites del
conocimiento, luego Kant lo aborda en su libro “Critica de la Razón
Pura”, pasando por Hume en su escrito “Teoría del conocimiento”
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17. En el mundo moderno, el problema del conocimiento se convierte en
una pregunta importante para los filósofos, científicos y sicólogos
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18. Didáctica de la matemática
Etapa antigua
Ausencia de profesionalización. Lo fundamental era el
dominio de la disciplina de las matemáticas y las
habilidades del profesor.
Etapa clásica
Se da una subordinación de lo didáctico a lo psicológico.
Se usan trabajos de Piaget Vygotsky, Ausubel, Bruner,
entre otros
Etapa de la didáctica fundamental
Brousseau (1972) tiene la idea de definir conocimiento
matemático mediante una situación que se llama
“fundamental”
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19. Referencias
Unidad 1 - Primeros fundamentos matemáticos
• Denis, M.(2008, agosto,20). Epistemología para principiantes on video type
14[archivo de video]. Recuperado de
https://www.youtube.com/watch?v=cigEQi6BRJI
• Navarro, l. (2014). Epistemología y metodología. México, D.F., MX: Larousse -
Grupo Editorial Patria. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39400?page=1
• Rojas, R. (2018). El Lenguaje de las matemáticas. Historia de sus símbolos. México
Fondo de Cultura Económica. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/105655?page=1
• Tomasini, B.(2006). Filosofía y matemáticas: ensayos en torno a Wittgenstein.
México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. 137-153. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/75802?page=1
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20. • Carlos,L. (2020). [OVI]. Epistemología de las Matemáticas. Una introducción general
[Archivo de video]. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/33923
Unidad 2 - la Rigorización de las Matemáticas y la crisis de los fundamentos matemáticos
en el siglo XX
• Cherubini, E. (2015). LA NOCIÓN DEL CONTINUO MATEMÁTICO DE HERMANN
WEYL CONCILIANDO FORMALISMO E INTUICIONISMO. Revista Síntesis, 14-16.
https://revistas.unc.edu.ar/index.php/sintesis/article/view/12220
• Ortiz Fernández, A. (1988). Crisis en los fundamentos de la matemática. Pro
Mathematica, 2(3), 31-47.
http://revistas.pucp.edu.pe/index.php/promathematica/article/view/6053
• Ruiz, A. (2003). Epistemología y construcción de una nueva disciplina científicala
didactique des mathematiques. Dialnet .
https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5381201
• Gómez, R. & Recalde, L. (2013). Epistemología de las matemáticas. Modulo. Universidad
Nacional Abierta y a Distancia. Http://hdl.handle.net/10596/10981
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