Презентация по предмету "Локальные системы управления"

1. Не для школы,
а для жизни мы учимся.
Античный афоризм

2. Лекции
ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Часть 1
авт. – проф. Валерий Александрович ТЕРЕХОВ
Санкт-Петербург, 2013

3. • Лекции – 54 час., экзамен
• Практика – 18 час., зачет
• Курсовой проект, оценка
• Самостоятельная работа -18
час.
3

4. Содержание курса лекций:
1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ЛОКАЛЬНЫХ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.
2. РАСЧЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ОБЪЕКТОВ
В ЛОКАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ.
3. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛСУ.
4. ИЗМЕРЕНИЕ И РЕГУЛИРОВАНИЕ В ЛСУ.
4

5. Содержание раздела 1
1.1. Классифицирующие признаки ЛСУ.
1.2. Функциональное назначение ЛСУ.
1.3. Типовые функциональные структуры ЛСУ.
1.3.1.Типовая функциональная схема ЛСУ промышленного применения .
1.3.2.Типовая функциональная схема регулируемого электропривода .
1.3.3.Типовая функциональная схема следящей системы.
1.4. Реализация функций ЛСУ в составе автоматизированных систем
управления технологическими процессами (АСУ ТП).
1.4.1. Системы централизованного контроля, регулирования и
управления (СЦКРиУ).
1.4.2. Типовая АСУ ТП с супервизорным управлением.
1.4.3. SCADA-системы.
1.4.4. Типовые структуры распределенных систем управления.
5

6. Содержание раздела 2
2.1. Расчетная модель"вход-выход" одномерного ОУ .
2.2. Математические модели объектов управления.
2.3. Примеры технологических объектов ЛСУ .
2.4. Модели возмущений одномерных объектов , в т.ч.
2.4.1. Модель детерминированных сигнальных возмущений.
2.4.2. Модель параметрических возмущений.
2.4.3. Модель объекта при стохастических возмущениях.
2.5. Модели многомерных и многосвязных линейных объектов .
2.5.1. Матричные передаточные функции.
2.5.2. Уравнения состояния многосвязных объектов.
2.6. Особенности моделей объектов регулирования следящих
системах и электрических приводах.
6

7. Содержание раздела 3
3.1. Регулирование по отклонению при возмущениях.
3.2. Компенсация влияния возмущений.
3.2.1. Прямое измерение сигнальных возмущений.
3.2.2. Косвенное измерение сигнальных возмущений.
3.3. Комбинированные системы регулирования.
3.3.1. Непосредственное измерение возмущений.
3.3.2. Косвенное измерение возмущений.
3.3.3. Комбинированная следящая система.
3.3.4. Регулирование объектов с изменяющимися параметрами.
3.4. Регулирование объектов с запаздыванием.
3.4.1.Учет влияния запаздывания на устойчивость замкнутого контура.
3.4.2. Аппроксимация запаздывания рядом Пад .ѐ
3.4.3.Упредитель Смита.
3.4.4. Настройка регуляторов на объект с запаздыванием.
3.5. Регулирование объектов при случайных возмущениях.
3.5.1. Синтез минимально-дисперсного линейного регулятора (теорема
представления).
3.6. Регулирование многомерных многосвязных объектов.
3.7. Адаптивные системы управления.
7

8. Содержание раздела 4
4.1. Устройства получения информации о состоянии процесса.
• 4.1.1. Первичные измерительные преобразователи.
• 4.1.2. Нормирующие преобразователи.
4.2. Типовые регуляторы ЛСУ.
• 4.2.1. Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон.
• 4.2.2. Временные и частотные характеристики ПИД-закона.
• 4.2.3. Модифицированные ПИД-законы.
• 4.2.4. О критериях и методах настройки ПИД-регуляторов.
• 4.2.5. Автоматическая настройка и адаптация.
4.3. Типовые системы промышленной автоматики.
• 4.3.1. Прецизионные системы стабилизации.
• 4.3.2. Каскадное регулирование.
• 4.3.3. Система регулирования соотношения.
4.4. Регулируемый электропривод и следящие системы.
8

9. локальные системы контроля, регулирования и
управления (ЛСКРиУ)
системы централизованного контроля,
регулирования и управления (СЦКРиУ)
системы децентрализованного или
распределенного управления
I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ
ОРГАНИЗАЦИЯ
ЛОКАЛЬНЫХ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ
9

10. 1.1. Классифицирующие признаки ЛСУ
• функциональная полнота и конструктивная
завершенность;
• территориальная сосредоточенность;
• условная информационная мощность;
• наличие интерфейса для интеграции ЛСУ в
системы более высокого ранга.
10

11. 1.2. Функциональное назначение ЛСУ
Измерение — нахождение значения физических, механических,
химических и прочих параметров автоматизируемого объекта
управления опытным путем с помощью технических средств.
Контроль — установление соответствия между состоянием или
свойством объекта и заданной для этого объекта нормой,
определяющей качественно возможные различные состояния
или свойства объекта.
Регулирование — воспроизведение режимных параметров
состояния объекта на своих выходах в соответствии с заданной
функцией.
Управление — изменение состояния объекта с целью достижения
желаемого качества его функционирования в
эксплуатационных условиях в течение длительного срока
работы.
11

12. Теплоэнергети-
ческие величины
Электроэнергети-
ческие величины
Механические
величины
Физико-химичес-
кие величины
Температура, Т [0
С,
град.]
Сила тока, I [а] Длина, L [м] Объемная концентрация
вещества В, φВ,
Давление, р [н/м2
] Напряжение
постоянно-го и
переменного тока, U
[в]
Масса, m [кг] Массовая концентрация
вещества В, wВ
Перепад давления, Δр
[н/м2
]
Полная (активная)
мощность, W [вт]
Время, t [c] Количество вещества, N
[моль]
Вакуум, р [н/м2
] Круговая частота, ω
[рад/с]
Плоский угол,
α, φ, υ [рад]
Влажность веществ и
материалов, А [г/м3
]
Уровень, H [м] Частота, f [гц] Угловая скорость,
ω [рад/с]
Состав газовых смесей
Объемный расход
жидкости, газа, V [м3
/с]
Магнитная индукция,
В [тл]
Момент сил, М
[н∙м]
Состав жидкостей и
твердых тел
Массовый расход,
M [кг/с]
Электрическая
проводимость, S
[сим]
Момент инерции, J
[кг∙м2
]
Тепловой поток, Ф [вт] Электричеcкое
сопротивление, R
[ом]
Динамическая
вязкость, μ
[н∙с/м2
]
12

13. 1.3. Типовые функциональные структуры ЛСУ
• системы контроля, регулирования и управления
промышленной автоматики, объектами которых служат
установки, аппараты технологических процессов произвольной
природы;
• регулируемые (управляемые) электроприводы для
приведения в действие рабочих (исполнительных) органов
технологических объектов;
• следящие системы для воспроизведения перемещений
технических объектов по произвольным ограниченным
траекториям и со скоростью в широком диапазоне ее
изменения.
13

14. 1.3.1. Типовая функциональная схема ЛСУ
промышленного применения
14

15. 1.3.2. Типовая функциональная схема регулируемого
электропривода (РЭП)
15

16. 1.3.3. Типовая функциональная схема следящей
системы
16

17. а) Мостовая схема дистанционной передачи углового
перемещения αз
17

18. б) Дистанционное измерение (передача) значения
углового перемещения αз с помощью пары
сельсин
18

19. 1.4. Реализация функций ЛСУ в составе
автоматизированных систем управления
технологическими процессами (АСУ ТП)
1.4.1. Системы централизованные контроля,
регулирования и управления (СЦКРиУ)
1.4.2. Типовая АСУ ТП с супервизорным управлением
1.4.3. SCADA-системы
1.4.4. Типовые структуры распределенных
систем управления
19

20. 1.4.1. Системы централизованные контроля,
регулирования и управления (СЦКРиУ)
20

21. 1.4.2. Типовая АСУ ТП с супервизорным
управлением
21

22. 1.4.3. SCADA-системы
22

23. 1.4.4. Типовые
структуры
распределенных
систем
управления
23

24. 1.4.4. Типовая
структура
распределенных
систем
управления
(окончание)
24

25. РАЗДЕЛ 2. РАСЧЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ОБЪЕКТОВ ЛСУ
2.1. Расчетная модель"вход-выход" одномерного ОУ
1) u(t) ― вектор измеряемых управляющих
входов;
2) f(t) ― вектор возмущений, не всегда
измеряемых,
3) x(t) ― вектор выхода, образуемого
зависимыми
регулируемыми переменными:
Оператор А(t): линейный, рис.2.2
1 1 1col( ,..., ); col( ,..., ); col( ,..., ).n m lx x u u f f= = =x u f
{ }0 0 0 0, , , t t³u f x
25

26. Пусть скалярные функции. На
основе принципа суперпозиции структура одномерного
объекта примет следующий вид (рис. 2.3):
( ), ( ), ( )x t u t f t
26

27. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u fx s w s v s x t u s W s f s W s= + = = +
27

28. 2.2. Математические модели объектов управления
а) Общий случай: где
― гладкие векторные функции своих
аргументов.
б) Частный случай: ─
линейная модель.
в) Частный случай: ─ линейная
(аффинная) по управлению нелинейная модель объектов
управления.
( , ),=x g x u& ( ),=y h x 1 2col( , , , ),ng g gg = K
1 2col( , ,..., )lh h h=h
; T
= + + =x Ax Bu v y G x&
( ) ( ) ; ( )= + =x g x b x u y h x&
28

29. 2.3. Примеры технологических объектов ЛСУ
2.3.1. Управление расходом жидкости в цилиндрическом резервуаре
29

30. Исходные соотношения и обозначения к рис. 2.4:
V - объем жидкости; S - площадь поверхности жидкости; h -
уровень жидкости; ― объемные расходы жидкости; F -
площадь проходного отверстия сливной трубы; -
безразмерный, переменный коэффициент расхода, зависящий от
формы и состояния поверхности сливного отверстия, от плотности
жидкости в резервуаре, которая изменяется во время протекания
технологического процесса.
Уравнение материального баланса для резервуара:
В статике объем жидкости , расход и уровень связаны
соотношением .
Тогда в динамике
1 2,Q Q
2 1dV Q dt Q dt= −
V Sh=
/ ( / ).dV dt S dh dt=
( )tm m=
30

31. С учетом зависимостей для , где
скорость истечения жидкости , и изменения объема можно
составить уравнение баланса резервуара в следующем виде:
Если расход изменяется с помощью исполнительного
устройства интегрирующего типа, то нелинейное
дифференциальное уравнение дополняется уравнением
исполнительного интегрирующего устройства и управляемый
объект ― цилиндрический резервуар описывается системой из двух
уравнений:
1 2Q F xn= =
2( ) ( ) 2 ( ) ( ).Sh t t F gh t Q tm+ =&
2 1( )Q t x=
1 1 2 2 1( ) ( ); ( ) ( ) 2 ( ) ( ).x t b u t Sx t t F gx t x tm= + =& &
2v gh=
/dV dt
31

32. Применим привычные стандартные обозначения
(см. слайд 28, случай 3):
Тогда приведенные выше уравнения сводятся к аффинной по
управлению нелинейной модели:
где
1 1
2 1 2
12 1 22 2 12 1 22 2
1 2
- ( ) 2 ( )
- ( ) ( ) - ( , );
col( , ).
x x S t FS g x t
g x g x g x g x
x x
m
m m
- -
= =
= =
=x
&
( ) ( , ) ( , ) ,t um m= +x g x b x&
1
12 1 22 2 12 1 22 2
00
, .
( ) ( , ) 0( )
b
g x g x g x g xm m
æ öæ ö æ ö÷ç÷ ÷ç ç÷ç= = =÷ ÷ç ç÷÷ ÷çç ç ÷÷÷ç - ÷ç - è øè ø è ø
g b
32

33. 2.3.2. Объекты с последовательным соединением
звеньев
33

34. Пример составления уравнений для случая а) на рис. 2.3.
Положим, что каждое звено описывается линейным
дифференциальным уравнением 1-го порядка:
34
1 11 1
2 12 1 22 2
3 32 1 33 2
, 1 ,
;
;
;
..................................
.n nn n n n n n
x bu a x
x a x a x
x a x a x
x a x a x-
= -
= -
= -
= -
&
&
&
&

35. В матрично-векторной форме эта система уравнений есть частный
случай б) линейной модели (см. слайд 28):
,
где матрица А и вектор В составляются следующим образом:
35
u= +x Ax B&
11
21 22
32 33
,
0 0 0
0 0 0
0 0 , .0
0 0 0 0n n
a b
a a
a a
a
æ ö æ ö- ÷ç ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷- ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç ÷- ç ÷= =÷ç ÷ç÷ç ÷ç÷ ÷ç ç÷× × × × × ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷÷ ç-ç è øè ø
A B
L
L
L
L
L

36. 2.4. Модели возмущений одномерных объектов
2.4.1. Модель детерминированных сигнальных возмущений
Примем описание одномерного объекта обыкновенным линейным
дифференциальным уравнением в операторной форме:
где
оператор дифференцирования.
36
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),A p y t B p u t C p f t= +
1
-1 1 0( ) ... ;n n
nA p p a p a p a-
= + + + +
1
-1 1 0( ) ... ;m m
mB p p b p b p b-
= + + + +
1
-1 1 0( ) ... ,l l
lC p p c p c p c-
= + + + +
d
p
dt
= -

37. Расчетная структурная схема модели объекта соответствует
схеме на рис. 2.3 (слайд 27), в которой ―
передаточная функция объекта по входу управления,
― передаточная функция объекта по возмущению.
Структура на рис. 2.3 и записанные передаточные функции в
последующем будут использоваться в процессе анализа
различных структурных схем ЛСУ.
37
( ) ( )
( )
( ) ( )
u
B p w p
W p
A p u p
= =
( ) ( )
( )
( ) ( )
f
C p v p
W p
A p f p
= =

38. 2.4.2. Модель параметрических возмущений
Гипотеза:
Следствие принятой гипотезы:
где полиномы будем называть
моделями вариаций объекта управления. Тогда уравнение объекта
в операторной форме перепишем следующим образом:
38
,0 ,0( ) ( ); ( ) ( ); 1,..., ; 1,..., .i i i j j ja t a a t b t b b t i n j md d= + = + ÎÎ
0
0
( , ) ( ) ( , ( ));
( , ) ( ) ( , ( )),
i
j
A p t A p A p a t
B p t B p B p b t
d
d
= + D
= + D
( , ( )), ( , ( ))i jA p a t B p b td dD D
0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ).A p y t B p u t B p t u t A p t y t= + -D D

39. Операторному уравнению
объекта можно поставить
в соответствие структуру
на рис. 2.10, где -
сигнал, содержащий информацию о параметрических
изменениях коэффициентов исходной модели операторов
линейного объекта:
39
( )tj
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ).t B p t u t A p t y tj = -D D

40. 2.4.3. Модель объекта при стохастических
возмущениях
40
(Греч. stochastikόs ― умеющий угадывать, проницательный), эквивалентен
терминам "вероятностный", "случайный".
Определения:
1. Случайным процессом (функцией) называется однопараметрическое
семейство непрерывно распределенных случайных величин с
непрерывным параметром , независимый параметр t является
мерой времени в задачах управления.
2. Полное (строгое) описание случайного процесса требует знания всех
возможных функций плотности совместных распределений
,
На практике довольствуются т.н. марковскими случайными процессами, так
как они полностью определяются заданием функции плотности совместного
распределения для всех пар
( )x t
0, Nt t t t£ £
[ ]1 2 1 2 0[ ( ), ( ),..., ( )], , ,...,из интервала , .n n Np x t x t x t t t t t t
[ ( ), ( )]p x t x t , , ].0t t tNt из интервала [

41. Определения (продолжение):
3. Чисто случайные процессы или белый шум ― в известном
смысле "идеальная" модель тестового случайного процесса, для
которого для всех функция плотности совместных
распределений
или же . Эти соотношения говорят о том,
что величины не зависят друг от друга.
4. Гауссовские марковские случайные процессы имеют важное
прикладное значение для формирования эквивалентного
возмущения (слайд 26, рис. 2.3). Марковские процессы, у
которых для всех пар функции
являются функциями плотностей
гауссовского ("нормального") распределения, называются
гауссовскими марковскими случайными процессами.
41
1 2, ,..., nt t t
1 2 1 2[ ( ), ( ),..., ( )] ( ( )) ( ( )) ( ( ))n np x t x t x t p x t p x t x t= × × ×L
[ ( ) | ( )] [ ( )]p x t x p x tt =
( )и ( )x t x t
( )tn
[ ( )| ( )]и [ ( )]p x t x p xt t
0,из интервала [ , ]Nt t tt

42. Определения (окончание):
5. Функция спектральной плотности , где , рад/с ―
круговая частота, спектр которой определяет диапазон частот, в
которой существует случайный процесс .Функция есть
распределение дисперсии в частотном диапазоне. Для
сигнала типа "белый шум" Это означает, что
энергия белого шума равномерно распределена по всему спектру
частот от , а суммарная энергия белого шума равна бесконечно
большой величине, что и делает этот тип сигнала математической
идеализацией реального процесса. Тем не менее эту
идеализацию, как уже отмечено выше можно использовать в
практических расчетах, если высокочастотные "хвосты" реальной
лежат в той области частот, которые уже не воспринимает
рассчитываемая система. Это и делает приемлемым применение
белого шума ввиду простоты его математической модели.
Чаще используется функция спектральной плотности ,
связанная с соотношением
42
( )j w w
( )x t ( )j w
2
xs
( ) c.constj w = =
( )S w
( )j w ( ) ( )( )1 1
( ) 2 2Sj w p p w
- -
=

43. Т. н. "нетривиальная форма" стохастической модели объекта
(К. Острём):
где - белый шум; - гладкие
функции.
Если спектральная плотность
рациональная функция, то
существует линейная
асимптотически устойчивая
динамическая система с весовой функцией , такая,
что при воздействии на ее вход белым шумом с
дискретным временем ― период
дискретизации; k ― дискретное время, ее выходным сигналом
будет стационарный процесс со спектральной
плотностью , представимая
43
( ) ( , ) ( , ) ( ),x t g x t x t ts x= +&
{ }( ), Nt t tx Î ( , )и ( , )g x t x ts
2.4.4. Теорема представления
( )j w
( )h t
,t k t tD D= ×
( )j w

44. в виде дробно-рациональной функции круговой частоты:
где полиномы - гурвицевы, и существует
асимптотически устойчивая линейная система с весовой функцией
представимая т.н. «формирующим» фильтром с передаточной
функцией (рис. 2.12):
44
( ) ( )
( ) ,
( ) ( )
C j C j
A j A j
w w
j w
w w
-
=
-
( ), ( )A s C s
( ) ( ) ( ).H s C s A s=

45. Дискретная модель стохастических объектов
Дискретное время .
Объект, возбуждаемый белым шумом с дискретным временем
можно представить разностным уравнением:
Если существует (для гладких функций) обратное преобразование
, то существует всегда и функция такая, что имеет
место
соотношение:
Это предположение означает, что по известным
можно
восстановить и На этом основании для моментов
можно записать и после некоторых преобразований получить: 45
t k tD= ×
,
k
k k s s
k
y h x−
=−∞
= ∑
1
ky-
kg
.
k
k k l l
l
gx x−
=−∞
= ∑
1, ,k ky y K−
1, ,k kx x K− ( 1)k t+ ×D

46. (окончание)
В правой части значение отражает начальное
состояние объекта. Его текущее состояние характеризует
произведение двух скобок и интерпретируется как наилучшее
предсказание или прогноз выхода объекта при возбуждении его
дискретным белым шумом по прошлым значениям
Введенная дискретная стохастическая модель возмущений по
теореме представления позволяет избежать некорректностей
математического характера при моделировании эквивалентных
возмущений, приводимых к выходу объекта как стационарных
случайных процессов, порожденных пропусканием непрерывного
белого шума через устойчивый непрерывный динамический
фильтр.
46
1
1 1 1 0 1
1 0 1.
k k
k k s s k s s s
k k
k k
k s k l l s
k l
y h h h
h g y h
x x x
x
+
+ + − + − +
=−∞ =−∞
+ − − +
=−∞ =−∞
= = + =
  
= + ÷ ÷
  
∑ ∑
∑ ∑
0 1sh x +
sx 1, ,k ky y K−

47. 47
2.5. Модели многомерных и многосвязных линейных объектов
Многомерная модель
“вход - выход” на
множествах векторов
на примере двухмерного
объекта, т.е.
1
1
col( ,..., );
col( ,..., )
n
m
y y
u u
=
=
y
u
2n m= =

48. Непосредственно из рисунка следуют уравнения:
Домножая левые и правые части каждого дифференциального
уравнения системы соответственно на , обозначая
далее полученные коэффициенты в правых частях символами
,
запишем эти уравнения в векторно-матричной форме
где
48
1
1 1 1 2 2 1 1 2
1
2 2 21 1 2 2 1 2
0 1 ;
0 1 .
k y y b y u b u
k y a y a y u u
-
-
= × - × + × + ×
= × - × + × + ×
&
&
1 2иk k
иij ija b
,= +y Ay Bu&
12 11 12
21 22
0
и
0 1
a b b
a a
é ù- é ù
ê ú ê ú= =ê ú ê ú-ê ú ë ûë û
A B

49. 2.5.1. Матричные передаточные функции
При нулевых начальных условиях системы нулевые приведенные
выше уравнения преобразуются по Лапласу и приводятся к виду:
49
1 1 1 2
2 2 1 2
( ) ( ( ), ( ));
( ) ( ( ), ( )).
y s f u s u s
y s f u s u s
=
=
1211
2
11 22 12 22 12 12 22
1 1 2
21 11 12 21 22
2 1 2
21 22
( )( )
( )
( ) ( ) ( );
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ),
( ) ( )
( ) ( )
W sW s
s s s s
y s u s u s
s s
s s
y s u s u s
s s
W s W s
b a b a b a b
a b b a b
ìïïïïï + + -
= +
D D
í
+
= +
D D
64444444444447 44444444444486444447 444448
14442 4443 144444442 44444443
ïïïï
ïïïïïïïïïî

50. где
Введем векторы и
Тогда предшествующую систему уравнений можно записать в
векторно-матричной форме:
где ― матричная передаточная функция
(МПФ) объекта регулирования.
50
2
22 12 21( )s s sa a a= + +D ― характеристический полином.
1 2( ) col( ( ), ( ))s y s y s=y 1 2( ) col( ( ), ( ))s u s u s=u
( ) ( ) ( ),T
s s s=y W u
11 12
21 22
( ) ( )
( )
( ) ( )
W s W s
s
W s W s
é ù
ê ú=
ê ú
ë û
W

51. 2.5.2. Уравнения состояния многосвязных
объектов
Исходная система ДУ – в операторной форме
Пример:
где
(см. пример объекта на слайдах 47-49)
51
1 1
( ) ( ) ( ) ( ), 1,
n n
ij j ij j
j j
q p y t r p u t i n
= =
= Îå å
11 1 12 2 11 1 12 2
21 1 22 2 21 1 22 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
q p y t q p y t r p u t r p u t
q p y t q p y t r p u t r p u t
+ = +
+ = +
11 12 12( ) ; ( ) ;q p p q p a= = 21 21 22 22( ) ; ( ) ;q p q p pa a=- = +
11 11( ) ;r p b= 12 12 21 22 22( ) ; ( ) 0; ( ) .r p r p r pb b= = =

52. Введем полиномиальные матрицы, элементами которых
являются многочлены
далее и
Полиномиальные матрицы и разлагаются в ряд по
степеням оператора р, откуда следует векторно-матричное ДУ:
52
( ), ( ), , 1,ij ijq p r p i j nÎ
11 12
, 1,21 22
( ) ( )
( ) ( ) ;
( ) ( ) i j i j n
q p q p
p q p
q p q p Î
é ù
ê ú= =
ê ú
ë û
Q
, 1,
( ) ( )ij i j n
p r p
Î
=R
( ) ( ) ( ) ( ) ,p t p t=Q y R u 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t p p t p t-
= =y Q R u W u
( )pQ ( )pR
(0) (1) 1 ( ) ( ) 0
(1) 1 (2) 2 ( ) 0
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ).
l l
p p t p p p p
p t p p p t
n n n n
n n n
- -
- -
= + + + + + =
= = + + +
Q y y Q Q Q Q
R u R R R u
L L
L

53. Свойства матриц
Пример 1 разложения матрицы по степеням оператора р:
Пример 2 разложения матрицы по степеням оператора р:
53
, 1,
( )( )
, ; 0,1, , ;
i j n
ll
i jq l n
Î
= =Q K
, 1,
( )( )
, ; 0,1, , 1
i j n
kk
i jr k n
Î
= = -R K
{ { {
2
2 0
(2)(0) (1)
1 0 1 1 0 11
( ) , max 2
0 0 1 0 0 11
p p p
p p p p
p
n
é ù é ù é ù é ù+ +ê ú ê ú ê ú ê ú= = + + =ê ú ê ú ê ú ê úê ú ë û ë û ë ûë û
Q
QQ Q
12 12 0
21 22 21 22
(0) (1)
01 0
( ) ; max 1.
0 1
p
p p p
p
a a
n
a a a a
é ù é ùé ù
ê ú ê úê ú= = + =
ê ú ê úê ú- + -ë ûë û ë û
Q
Q Q
1442 443 14444442 4444443
(0)
det 0.¹Q
(0)
det 0.=Q

54. Далее ограничимся случаем ДУ без производных в правой части:
В многомерных системах между координатами пространства
состояний и переменными исходной системы
дифференциальных уравнений связь в общем случае
устанавливается через неособое преобразование, т.е. между
"новыми" и "старыми" переменными предполагается взаимно
однозначное соответствие:
где ― вектор переменных исходной системы
уравнений; ― новый вектор пространства состояний этой
системы.
54
( )(0) (1) 1 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )l l
p p p t t tn n n n n- -
+ + + + + = = ×Q Q Q Q y R u I uL L
1
, det 0,-
= =Û ¹x Fy y F x F
y 1 2, , , Ny y yK
x

55. Введем векторы в согласии с выдвинутой идеей неособого
преобразования:
Размерность вектора равна размерности исходной системы ДУ
Неособое преобразование осуществим нижнетреугольной
квадратной матрицей
55
( 1) 1 1ˆ ˆcol( , , , )и col( , , , ).n n n- -
= =y y y y x x x x&K K
ˆy
N nn=
(0)
(1) (0)
(2) (1) (0)
( 1) ( 2) (1) (0)
.
n n- -
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
Q 0 0 0
Q Q 0 0
Q Q Q
Q Q Q Q
F
K
L
L M
L L L L M
L L L L M
L
:F
(0)
det det 0.= ¹F Q

56. Раскрывая , получаем систему уравнений
Новый вектор ― вектор состояния имеет размерность ,
как и вектор .
56
ˆ ˆ=x Fy
( ) (0) (0)
( -1) (1) (0) (1) ( )
( -2) (2) (1) (2) (2) ( 1)
(1) (
;
;
;
.................................................................................................
n
n n
n n
n
-
-
= = =
= + = = +
= + + = = +
=
x Q y Q y
x Q y Q y Q y x
x Q y Q y Q y Q y x
x Q
& &
& && &
1) ( 2) (0) ( 1) ( 1) (2)
.n n n- - -
üïïïïïïïïïïý
ïïïïïïï+ + + = + ïïïþ
y Q y Q y Q y x& &L
ˆx N nn=
ˆy

57. По индукции и с учетом частного случая ДУ на слайде 54 можно
записать:
Так как то приходим к
системе ДУ
или в стандартной форме:
57
( ) (1)
0 .n
= + -Q y x u& (0) -1
,( ) n
= Xy Q
(1) ( ) (0) 1 ( )
(2) (1) ( 1) (0) 1 ( )
( ) ( 1) (1) (0) 1 ( )
(0) 1 ( )
( ) ;
( ) ;
.................................................... .
( ) ;
( ) .
xn n
n n
n n n
n
-
- -
- -
-
üï=- + ïïïïï= - ïïïý
ïïï= - ïïïïï= ïþ
x Q Q u
x x Q Q x
x x Q Q x
y Q x
&
&
&
;
,
ü= + ïïý
ï= ïþ
x Ax Bu
y Cx
&

58. Блочные матрицы А, В и С согласно последней системе ДУ
раскрываются в виде:
Блочно-диагональная матрица А размерностью относится
к так называемой фробениусовой нормальной форме (по имени
немецкого математика Ф. Г. Фробениуса (F.-G. Frobenius, 1849-1917
г.г.).
58
(0) 1
1 (0) 1
(0) 12 (0) 1
1 (0) 1
( )
( )
; ; ( ) .( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
-
- -
-- -
-
-
-
= = =-
-
0 0 0 0 Q Q I
I 0 0 0 Q Q 0
A B C 0 0 Q00 I 0 0 Q Q
0
0 0 0 I Q Q
L
L
LL
LL L L L L L
L
n nn n´

59. Обобщение результатов для векторного ДУ общего вида (слайд
52) коснется лишь матрицы управления, которая в этом случае
примет вид:
Структура модели уравнений состояния многомерных линейных
систем:
59
( ) (ν 1) (1)
.T
...n -é ù= ê úë û
B R R R

60. 2.6. Особенности моделей объектов регулирования
в следящих системах и электрических приводах
60
1
км редk i-
=

61. Двухмассовая упруговязкая математическая
модель КМ
61

62. Функциональная схема КМ
62
1
у д y д( )GJ M k Mq j -
= = =l

63. Влияние сухого и вязкого трения в КМ
63

64. Линеаризованные модели двухмассового
упруговязкого КМ:
― ПФ КМ между скоростью вращения ротора исполнительного
двигателя и скоростью вращения исполнительного органа
нагрузки:
— ПФ КМ между скоростью вращения исполнительного органа
ЭСС и изменением момента вращения ротора ИД:
64
2
км 2 2
1
( ) 1
;
( ) 1
c c
y c c
s k T s
W (s)=
s T s k T s+
+
=
+
ω ω
ω γ
дв 2
км 2 2
дв м
( ) 1
.
( ) ( 1)
M c c
y c c
s k T s
W (s)=
M s T s T s k T s+
+
=
+
ω
- постоянная времени упругих колебаний.yT