The document presents solutions to 6 probability problems. Problem 1 involves calculating the probability that the lowest or highest number drawn from 10 people numbered 1-10 is 5. Problem 2 deals with probabilities related to drawing items from a lot with different defect rates. Problem 3 involves probabilities related to drawing defective washing machines from a shipment. The remaining problems involve calculating probabilities for various scenarios involving random draws and events. All problems show the probability calculations and solutions.

1. Práctica 1
1. En una habitación 10 personas tienen insignias numeradasdel 1 al 10.
Se eligen tres personas al azar y se les pide que dejen la habitación
simultáneamente y se anotan los números de las insignias.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número menor de las insignias sea 5?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número mayor de las insignias sea 5?
Solución.-
Sea el experimentoaleatorio Ԑ = Elegir 3 personas al azar de 10 que están
numeradas del 1 al 10 sin reposición.
Sea el espacio muestral asociado Ω = {(1,2,3),(1,3,4),(1,4,5),(1,5,6),…}
N(Ω) ={𝐶10
3
= (10
3
) =
10!
7!3!
= 120}
a) Se define el evento
A = {El número menor de las insignias anotadas es 5}
El evento A debe contener al 5 como el menor número que se anota, por lo
que tiene la terna (5, x, y) donde x, y son números que pertenecen al
conjunto (6,7,8,9,10). Por lo tanto
𝑁(𝐴) = {𝐶5
2
= (
5
2
) =
5!
3!2!
= 10}
Así, se tiene la probabilidad:
𝑃(𝐴) =
10
120
=
1
12
= 0.08333 ■
La probabilidad de que el número menor de las insignias anotadas sea 5
es de 0.08333, oen porcentaje, del 8.333%.
b) Se define el evento
B = {El número mayor de las insignias anotadas es 5}

2. De forma similar al incisoa), el evento B debe contener al 5 como el
número mayor de la terna (x, y, 5), con x, y pertenecientes al conjunto
(1,2,3,4).Así:
𝑁(𝐵) = {𝐶4
2
= (4
2
) =
4!
2!2!
= 6}
De tal manera que la probabilidad del eventoes:
𝑃(𝐵) =
6
120
=
1
20
= 0.05 ■
La probabilidad de que el número mayor de las insignias anotadas sea 5
es de 0.05, odel 5%.
2. Un lote consta de 10 artículos sin defecto, 4 con pequeños defectos y 2
con defectos graves. Se elige un artículo al azar. Encontrar la probabilidad
de que:
a) No tenga defectos.
b) No tenga un defecto grave.
c) Que no tenga un defecto o que tenga un defecto grave.
Solución.-
Se define el experimentoaleatorio Ԑ = Elegir al azar un artículo de un lote.
Sea el espacio muestral asociado Ω = {AB, DP, DG}dónde AB = Artículo
bueno, DP = Defecto pequeño, DG = Defecto grave.
Y sea N(Ω) = {10+4+2= 16}.
a) Se define el evento A = {El artículo no tiene defectos}
N(A) = {10}
𝑃(𝐴) =
10
16
=
5
8
= 0.625 ■

3. La probabilidad que un artículo elegidoal azar del lote no tenga defectos
es 0.625,o del 62.5%.
b) Se define B = {El artículo no tiene un defecto grave}
N(B) = {10+4=14}
𝑃(𝐵) =
14
16
=
7
9
= 0.778 ■
La probabilidad que un artículo elegidoal azar del lote no tenga un
defecto grave es 0.778,o del 77,8%.
c) Definimos C = {El artículo no tiene defectos o tiene un defecto grave}
Ya que los eventos AB y DG son excluyentes, se tiene:
𝑁(𝐶) = {𝐴𝐵 ∪ 𝐷𝐺 = 10+ 2 = 12}
𝑃(𝐶) =
12
16
=
3
4
= 0.75 ■
La probabilidad que un artículo elegidoal azar del lote no tenga defectos
o tenga un defecto grave es de 0.75, odel 75%.
3. Un cargamentode 1500 lavadoras contiene 400 defectuosas y 1100 no
defectuosas. Se eligen al azar 200 lavadoras (sin sustitución) y se
clasifican.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren exactamente 90 artículos
defectuosos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren al menos 2 artículos
defectuosos?
Solución.-
Sea el experimentoaleatorio Ԑ = Elegir 200 lavadoras sin sustitución y
observar sus defectos.
Sea el espacio muestral asociado Ω = {(x1, x2, …, x200)} con xi = D, ND.
𝑁(𝛺) = {𝐶1500
200
= (1500
200
)}

4. a) Sea A = {Existen exactamente 90 lavadoras defectuosas}
𝑁(𝐴) = {(400
90
)(1100
110
)}
Entonces
𝑃(𝐴) =
(400
90
)(1100
110
)
(1500
200
)
■
b) Sea B = {Existen al menos 2 lavadoras defectuosas}
𝑁(𝐵) = {(400
2
)(1100
198
) + (400
3
)(1100
197
) + (400
4
)(1100
196
) + ⋯}
Para simplificar los cálculos, usamos la propiedad:
𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(𝐵𝐶 )
Para este efecto, definimos BC = {Existen a lo sumo 2 lavadorasdefectuosas}
𝑁(𝐵𝐶 ) = {(400
0
)(1100
200
)+ (400
1
)(1100
199
)}
Así, se calcula P(B)
𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(𝐵𝐶 ) = 1 −
(400
2
)(1100
198
)+(400
3
)(1100
197
)
(1500
200
)
■
4. r números (0 < r < 10) se escogen al azar (con sustitución) entre los
números 0, 1, 2, … ,9. ¿Cuál es la probabilidad de que dos no sean
iguales?
Solución.-
Sea Ԑ = Elegir r números al azar con sustitución del conjunto 0, 1, 2, … ,9.
El espacio muestral asociadoes
Ω = {(x1,x2,…,xr)} con xi = 0, 1, 2, … ,9 ∀𝑖 = 1,… , 𝑟
Entonces, N(Ω) = {10*10*… *10 = 10r}
Sea el evento A = {Dos números de los que se eligen no son iguales}
𝑁(𝐴) = {10(10 − 1)(10 − 2)…(10 − 𝑟 + 1) =
10!
(10−𝑟)!
= 10𝑃𝑟}

5. Así
𝑃(𝐴) =
10𝑃𝑟
10𝑟
=
10!
(10−𝑟)!
10𝑟
=
10!
10𝑟(10−𝑟)!
■
5. Una caja contiene 4 tubos malos y 6 buenos. Se sacan dos a la vez. Se
prueba uno de ellos y se encuentra que es bueno. ¿Cuál es la probabilidad
de que el otro también sea bueno?
Solución.-
Sea el experimentoaleatorio Ԑ = Elegir 2 tubos de 10 a la vez.
Sea el espacio muestral asociado Ω = {(B,M), (B,B),(M,B),}
𝑁(𝛺) = {𝐶10
2
= (10
2
) =
10!
8!2!
= 45}
Podemos definir los eventos: X = {El primer tubo es bueno},
Y = {El segundotubo también es bueno}
Así, se tiene: 𝑃(𝑌|𝑋) =
𝑃(𝑌∩𝑋)
𝑃(𝑋)
Entonces
𝑃(𝑌 ∩ 𝑋) =
𝐶2
6
45
=
6!
2!4!
45
=
15
45
=
1
3
= 0.3333
Para que ocurra X, tienen que haber ocurridodos sucesos: {B,M}, {B,B}.
Así:
𝑃(𝑋) = 𝑃[(𝐵 ∩ 𝑀) ∪ (𝐵 ∩ 𝐵)] = 𝑃[𝐵 ∩ 𝑀] + 𝑃[𝐵 ∩ 𝐵]
𝑃(𝑋) = 𝑃(𝐵|𝑀)𝑃(𝑀) + 𝑃(𝐵|𝐵)𝑃(𝐵) =
24
45
∗
1
2
+
15
45
∗ 1 =
27
45
Luego
𝑃(𝑌|𝑋) =
1
3
⁄
27
45
⁄
=
5
9
= 0.5556 ■
La probabilidad de que un segundotubo sea bueno dadoque el primero
es bueno es de 0.5556,o del 55.56%.

6. 6. Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento. Supóngase que
P(A) = 0.4 mientras que P(A∪B) = 0.7. Sea P(B) = p.
a) ¿Para qué elección de p son A y B mutuamente excluyentes?
b) ¿Para qué elección de p son A y B independientes?
Solución.-
a) Para que dos eventos sean mutuamente excluyentes, se debe cumplir
que:
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
Entonces usamos la definición de la probabilidadde la unión de eventos:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Reemplazandolos datos:
0.7 = 0.4 + 𝑝 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.4 + 𝑝 − 0.7 = 𝑝 − 0.3
Ya que 𝑃(∅) = 0 se tiene que:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝 − 0.3 = 0
𝑝 = 0.3 ■
b) Dos eventos son independientes, si se cumple:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵)
Utilizandola definición de la probabilidad de la unión, y reemplazando
datos:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
0.7 = 0.4 + 𝑝 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
0.7 = 0.4 + 𝑝 − 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵)
0.7 = 0.4+ 𝑝 − 0.4 ∗ 𝑝
𝑝 =
0.3
0.6
= 0.5 ■

7. 7. Un número binarioestá compuesto sólo de los dígitos cero y uno. (Por
ejemplo: 1011, 1100, etc.)Esos números juegan un papel importante en el
uso de los computadores electrónicos. Supóngase que un número binario
está formadopor n dígitos. Supóngase que la probabilidad de que
aparezca un dígitoincorrecto es p y que los errores en dígitos diferentes
son independientes uno de otro. ¿Cuál es la probabilidadde formar un
número incorrecto?
Solución
Sea el experimentoaleatorio Ԑ = Formar un número binariode n dígitos
El espacio muestral asociadoes Ω = {(x1,x2,…,xn)}; dónde xi = 0,1.
Definimos los eventos:
Di = {El dígitoi-ésimo es incorrecto}; para i = 1,2,…,n
D = {El número de n-dígitos es incorrecto}
Se sabe que P(Di) = p y que 𝑃(⋂ 𝐷𝑖
𝑛
𝑖=1 ) = ∏ 𝑃(𝐷𝑖) = 𝑝𝑛
𝑛
𝑖=1 ∀𝑖 = 1,2,…, 𝑛 .
Se puede escribir el evento D como: 𝐷 = ⋃ 𝐷𝑖
𝑛
𝑖=1
Entonces la probabilidadde D es:
𝑃(𝐷) = 𝑃 (⋃𝐷𝑖
𝑛
𝑖=1
) = 1 − 𝑃 [(⋃𝐷𝑖
𝑛
𝑖=1
)
𝑐
] = 1 − 𝑃 (⋂𝐷𝑖
𝑐
𝑛
𝑖=1
)
= 1 − ∏(1 − 𝑝)
𝑛
𝑖
= 1 − (1 − 𝑝)𝑛
∎
8. La urna 1 contiene α esferas blancas y β esferas negras mientras que
una urna 2 contiene β esferas blancas y α esferas negras. Se escoge una
esfera (de una de las urnas) y luego se devuelve a esa urna. Si la esfera
escogida es blanca, se escoge la esfera siguiente de la urna 1; si la esfera
escogida es negra, se escoge la siguiente de la urna 2. Continúe de esta
manera.

8. Como la primera esfera escogida proviene de la urna 1, obtener la Prob(n-
ésima esfera escogida sea blanca)y también el límite cuando n →∞.
Solución.-
Se puede emplear un diagramade árbol para visualizar el problema:
Definimos Pn=P(la n-ésima esfera escogida sea blanca dadoque la primera
proviene de la urna 1).
𝐵 − 𝑈1
𝐵 − 𝑈1
𝐵 − 𝑈1
𝑁 − 𝑈2
𝑁 − 𝑈2
𝐵 − 𝑈1
𝑁 − 𝑈2
𝐵 − 𝑈1
𝑁 − 𝑈2
𝑁 − 𝑈2
𝐵 − 𝑈1
𝑁 − 𝑈2
𝐵 − 𝑈1
𝐵 − 𝑈2
𝑈1
𝑛 = 3
𝑛 = 2
𝑛 = 1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…

9. Del diagrama podemos escribir:
𝑃1 =
𝛼
𝛼 + 𝛽
=
(1
0
)𝛼1−0
𝛽0
𝛼 + 𝛽
𝑃2 =
𝛼2
+ 𝛽2
(𝛼 + 𝛽)2
=
(2
0
)𝛼2−0
𝛽0
+ (2
2
)𝛼2−2
𝛽2
(𝛼 + 𝛽)2
𝑃3 =
𝛼2
+ 3𝛼𝛽2
(𝛼 + 𝛽)3
=
(3
0
)𝛼3−0
𝛽0
+ (3
2
)𝛼3−2
𝛽2
(𝛼 + 𝛽)3
𝑃4 =
𝛼4
+ 6𝛼2
𝛽2
+ 𝛽4
(𝛼 + 𝛽)4
=
(4
0
)𝛼4−0
𝛽0
+ (4
2
)𝛼4−2
𝛽2
+ (4
4
)𝛼4−4
𝛽4
(𝛼 + 𝛽)4
De manera general, setiene:
𝑃𝑛 = ∑ (
𝑛
𝑘
)𝛼𝑛−𝑘
𝛽𝑘
0≤𝑘,𝑝𝑎𝑟≤𝑛
/ (𝛼 + 𝛽)^𝑛
9. El 42% de la población activa de cierto país está formada por mujeres.
Se sabe que un 24% de las mujeres y un 16% de los hombres están en paro.
¿Cuál es la probabilidadde que una persona elegida al azar de la
población activa en este país esté en paro?
Solución.-
Se define el experimentoaleatorio Ԑ = Elegir una persona al azar de una
población activa.
Sea Ω = {M,H}
Definimos los eventos: M = {La persona es mujer}, H = {La persona es
hombre}, P = {La persona está en paro}. Entonces:
𝑃(𝑀) = 0.42 𝑃(𝐻) = 1 − 0.42 = 0.58
𝑃(𝑃|𝑀) = 0.24 𝑃(𝑃|𝐻) = 0.16
Gráficamente:

10. Usandola ley de la probabilidad total tenemos:
P(P) = P(P|M)P(M) + P(P|H)P(H)
= 0.24 × 0.42 + 0.16 × 0.58
= 0.1936 ■
La probabilidad de encontrar a una persona de la población que esté en
paro es 0.1936,o del 19.36%.
10. En una fábrica se embalan(en cajas) galletas en 4 cadenas de montaje;
A1, A2, A3 y A4. El 35% de la producción total se embala en la cadena A1
y el 20%, 24% y 21% en A2, A3 y A4 respectivamente. Los datos indican
que no se embalan correctamente un porcentaje pequeño de las cajas; el
1% de A1, el 3% de A2, el 2.5% de A3 y el 2% de A4. Calcular:
a) La probabilidad de que una caja elegida al azarde la producción total
sea defectuosa.
b) Se descubre que una caja es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidadde que
provenga de la cadena A1?, ¿De la cadena A2?, ¿De la cadena A3?, ¿De la
cadena A4?
P
M = 0.42 H = 0.58
0.24
0.16
0.76
0.84

11. Solución.-
Definimos D = {Caja defectuosa}
De forma gráfica tenemos:
a) Por la ley de la probabilidadtotal tenemos:
P(D) = ∑ P(D|Ai)P(Ai)
4
i=1
= 0.01∗ 0.35+ 0.03∗ 0.20 + 0.025 ∗ 0.24+ 0.02∗ 0.21
= 0.0197 ∎
La probabilidad de que una caja elegida al azarresulte defectuosa es
0.0197, o del 1.97%.
b) Por el teorema de bayes, tenemos:
𝑃(𝐴1|𝐷) =
𝑃(𝐷|𝐴1)𝑃(𝐴1)
𝑃(𝐷)
=
0.01 ∗ 0.35
0.0197
= 0.1777 ∎
De manera similar,setiene para las demás cadenas:
𝑃(𝐴2|𝐷) =
𝑃(𝐷|𝐴2)𝑃(𝐴2)
𝑃(𝐷)
=
0.03 ∗ 0.20
0.0197
= 0.3046
0.01
0.03 0.025 0.02
0.99 0.97 0.975
0.98
A1 A2 A3 A4

12. 𝑃(𝐴3|𝐷) =
𝑃(𝐷|𝐴3)𝑃(𝐴3)
𝑃(𝐷)
=
0.025∗ 0.24
0.0197
= 0.3046
𝑃(𝐴4|𝐷) =
𝑃(𝐷|𝐴4)𝑃(𝐴4)
𝑃(𝐷)
=
0.02 ∗ 0.21
0.0197
= 0.2132 ∎