This document contains solutions to 8 probability and statistics exam problems: 1) Calculating the probability that a defectively produced item came from Machine A. 2) Finding the probability that at least 1 of 5 prisoners committed a property crime. 3) Determining the probability that at least half of 6 registered voters will vote in an election. 4) Calculating the probability of winning a lottery that must match 4 digits exactly once over 365 days. 5) Finding the probability that 3 people will be kidnapped out of a population of 10,000 with a kidnapping rate of 0.0009. 6) Computing the probability that 2 of 100 people will be victims of fraud with an individual

1. SOLUCIÓN DEL TERCER EXAMEN DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
1. Tres máquinas A, B y C producen respectivamente 50, 30 y 20 artículos diariamente
en una fábrica. El número de artículos defectuosos de estas tres máquinas es 3, 4 y
5 diariamente. Si se selecciona un artículo al azar y resulta que está defectuoso,
determine la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina A.
𝑃 (
𝐴
𝐷
) =
𝑃(𝐴)𝑃 (
𝐷
𝐴
)
𝑃(𝐴)𝑃(
𝐷
𝐴
) + 𝑃(𝐵)𝑃(
𝐷
𝐵
) + 𝑃(𝐶)𝑃(
𝐷
𝐶
)
=
=
50
100
∙
3
50
50
100
∙
3
50
+
30
100
∙
4
30
+
20
100
∙
5
20
=
3
100
12
100
=
3
12
= 0.25
2. La probabilidad de que un penitenciario esté recluido por cometer delito contra el
patrimonio es 0,4. Determinar la probabilidad de que de 5 penitenciarios, al menos
uno haya cometido delito contra el patrimonio.
DESARROLLO
DATOS
n = 5
p = 0,4
q = 0,6
SOLUCIÓN
Al menos uno haya cometido delito contra el patrimonio.
𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 5) = 𝑃𝑇 − 𝑃(𝑋 = 0)
𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 5) = 1 −
5!
0! ∙ (5 − 0)!
∙ 0,40
∙ 0,65−0
𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 5) = 1 − 0,0778
𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 5) = 0,9222

2. 3. Laprobabilidad de que un ciudadano registrado vote en las elecciones presidenciales
es de 0.70. Determinar la probabilidad de que de 6 ciudadanos registrados elegidos
al azar, al menos la mitad de ellos emita su voto.
Solución:
Aplicamos la distribución binomial.
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) = 0.9295
4. Usted participa diariamente en un juego de lotería, en el cual debe seleccionar una
secuencia de 4 dígitos, como 7579. Solo existe un número ganador. Calcule la
probabilidad de ganar exactamente una vez en 365 días.
Solución:
𝑛 = 365.
El número total de resultados posibles de la selección de los 4 dígitos es 10 000
(del 0 000 al 9 999); entonces 𝑝 =
1
10 000
. Considerando que ganar la lotería es un
evento “raro”, usaremos la distribución de Poisson:
𝜆 = 𝑛 ∙ 𝑝 = 365 ∙
1
10 000
= 0.0365
Ahora calculamos la probabilidad:
𝑃(𝑋 = 1) =
0.03651
∙ 𝑒−0.0365
1!
= 0.0352

3. 5. Un estudio revela que, de cada 10 000 personas, la probabilidad de que una persona
sea víctima de secuestro es de 0,0009. Determinar la probabilidad de que tres
personas sean secuestradas.
n = 10 000
P = 0,0009
𝜆 = n * p
𝜆 = 10000 * 0,0009
𝜆 = 9
SOLUCIÓN
Tres personas sean secuestradas.
𝑃(𝑋 = 3) =
𝑒−9
∙ 93
3!
𝑃(𝑋 = 3) = 0,014945
6. La probabilidad de que una persona sea víctima de estafa es 0.05. Determinar la
probabilidad de que 2 de 100 personas sean víctimas de estafa.
DESARROLLO:
DATOS SOLUCIÓN
𝑛 = 100 𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝜆𝑥
∙𝑒−𝜆
𝑥!
𝑥 = 2 𝑃(𝑋 = 2) =
52
∙𝑒−5
2!
𝑝 = 0,05 𝑃(𝑋 = 2) = 0,084
𝑞 = 0,95

4. 7. Lademanda diaria, en kilogramos, de un producto es una variableX cuya distribución
es normal con una media de 50 y una desviación estándar de 10.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda de un día cualquiera este entre
los 46 y 54 kilogramos?
b) Si la utilidad diaria (en soles) del producto está dada por 𝑈 = 2.4𝑋 + 20.
¿con qué probabilidad la utilidad de un día cualquiera supera los 170 soles?
Solución:
La demanda diaria sigue una distribución 𝑁(50,10).
a) Queremos calcular 𝑃(46 ≤ 𝑋 ≤ 54). Para ello tipificaremos la variable X y
haremos uso de la tabla de valores de la distribución normal estándar:
𝑃(46 ≤ 𝑋 ≤ 54) = 𝑃 (
46 − 50
10
≤
𝑋 − 50
10
≤
54 − 50
10
)
= 𝑃(−0.4 ≤ 𝑍 ≤ 0.4) = 0.1554 + 0.1554 = 0.3108.
Entonces 𝑃(46 ≤ 𝑋 ≤ 54) = 0.3108.
b) Siendo la utilidad diaria del producto 𝑈 = 2.4𝑋 + 20, el inciso b) nos pide
𝑃(𝑈 > 170). Entonces:
𝑃(𝑈 > 170) = 𝑃(2.4𝑋 + 20 > 170) = 𝑃(𝑋 > 62.5)
= 𝑃 (
𝑋 − 50
10
>
62.5 − 50
10
) = 𝑃(𝑍 > 1.25)
Por tablas, 𝑃(𝑍 > 1.25) = 0.5 − 0.3944 = 0.1056.

5. 8. La siguiente tabla muestra los precios de combustibles en soles por galón en
noviembre y diciembre del 2018:
Combustible Noviembre Diciembre
Gasohol 84 9.70 9.76
Gasohol 90 9.84 9.96
Gasohol 95 10.60 10.75
Gasohol 97 10.96 11.13
Gasolina 84 9.64 9.72
Gasolina 90 9.98 10.11
Determine índice con la fórmula de Promediación de Índices Simples en diciembre
respecto a noviembre.
Solución:
Combustible Noviembre Diciembre IP
Gasohol 84 9.7 9.76 100.62
Gasohol 90 9.84 9.96 101.22
Gasohol 95 10.6 10.75 101.42
Gasohol 97 10.96 11.13 101.55
Gasolina 84 9.64 9.72 100.83
Gasolina 90 9.98 10.11 101.30
606.94
IP=606.94/6=101.16