谈谈神奇的对数螺线曲线 等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。雅各布·伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词「纵使改变，依然故我」(eadem mutata resurgo)。 对数螺线曲线的各种神奇性质 尺度变换，一个关于分形的梦 旋转变换，一个关于虚数的梦 自然界中的对数螺线，从贝壳到银河系 分形几何中的无穷无尽的螺旋中的螺旋，梦中的梦 此讲座送给计算士老兄，纪念这三年关于分形和虚数的这一场梦

1. 纵经沧海，依然故我
此讲座送给计算士老兄，纪念这三年关于分形和虚数的这一场梦
Xiong WANG 王雄
Centre for Chaos and Complex Networks
City University of Hong Kong

2. 目录
 对数螺线曲线的各种神奇性质
 标度变换，一个关于分形的梦
 旋转变换，一个关于虚数的梦
 自然界中的对数螺线，从贝壳到银河系
 分形几何中的无穷无尽的螺旋中的螺旋，
梦中的梦
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3. 第一节
对数螺线曲线的各种神奇性质
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4. 对数螺线
 等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界
常见的螺线，在极坐标系(r, θ) 中，这个曲线
可以写为
bθ
r =ae
1 r
θ = ln
b a
4

5. 等角性
 设 L 为穿过原点的任意直线，则 L 与等角螺
线的相交的角永远相等（故其名），而此值为
cot-1 b 。
 设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与等
角螺线的相交的角永远相等，而此值为 tan-
1
b ，名为“倾斜度”
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6. 自相似性
 等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线
经放大后可与原图完全相同。
 等角螺线的渐屈线和垂足线都是等角螺线。
 从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但
由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转
无限次。这是由 Torricelli 发现的。
ln λ
r → λr θ →θ+
b
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7. 等角螺旋与黄金矩形
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8. 雅各布 · 伯努利的墓碑
 等角螺线是由笛卡儿在 1638年
发现的。雅各布·伯努利后来重
新研究之。他发现了等角螺线
的许多特性，如等角螺线经过
各种适当的变换之后仍是等角
螺线。
 他十分惊叹和欣赏这曲线的特
性，故要求死后将之刻在自己
的墓碑上，并附词“纵使改变，
依然故我” (eadem mutata
resurgo) 。可惜雕刻师误将
阿基米德螺线刻了上去。 8

9. 第二节
标度变换，一个关于分形的梦
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10. 标度变换
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11. 对于可微函数，满足严格标度
变换不变性的，只有幂函数了
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12. 突破可微性才有的玩，
比如布朗运动
The Wiener process Wt is characterized by three properties:[1]
1.W0 = 0
2.The function t → Wt is almost surely continuous
3.Wt has independent increments with (for 0 ≤ s < t).
N(μ, σ2) denotes the normal distribution with expected value μ and variance σ2.
如果 Wt 是布朗运动，那么 也是一个布朗运动
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13. 随机过程的世界
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14. 无源电磁场方程是标度不变的
场源的存在，破坏了标度不变性！！！
这和质量的存在，破坏了时空的平直，异曲同工 14

15. 分形，自相似
自相似是更宽松的定义，并不要求对任意的尺度变换都严格不变
雪花曲线，对应的 但只对 这些值成立
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16. 共形变换
 O(3) 三维欧式空间中的保尺度（度规）的变换
 SO(1,3) 闵氏空间中的保尺度（度规）的变换
 Poincaré 群 Lorentz 群和时空平移群 :
 共形群， Poincaré 群再加上尺度变换群
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17. 17

18. 第三节
旋转变换，一个关于虚数的梦
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19. 神奇的相位因子
“ 二十世纪的物理学里
头有些什么主旋律呢？
那是量子化、对称跟相
位因 子，这三个观念
的改变、演进、纠缠在
一起，造成了二十世纪
理论物理的主体发展。
”
 http://blog.sciencenet.cn/blog-
439941-616598.html
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20. 规范理论其实应该叫相位理论
 规范变换的概念是由德国
学者 H. 外尔在 1918 年
提出来的。“规范”的德文
Eich 原意是尺度，
 外尔试图通过物理规律不
因在时空每一点上量度时
空的尺度的随意选择而有
所改变的原理来导出电磁
理论。
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21. 规范理论其实应该叫相位理论
 这种在时空每一点上量度时空的尺度的改变称
为定域规范变换，外尔所试图应用的原理又称
作定域规范变换不变性原理。
 外尔的尝试并没有成功，原因在于他所用的尺
度的变换只涉及时空自由度的改变，而电磁势
的改变则涉及物质的内部自由度（电荷），这
两种自由度是不同的。
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22. 复数进入量子力学
年量子力学建立后，规范变换有了新的
 1925
含义。量子力学中有一种新的不变性：波函数
的整体的相位的选择有着任意性，相因子的改
变 Ψ(x,t)→eiαΨ(x,t) 对力学量的观测值毫无影
响。量子力学中，每一种变换下的不变性导致
一种物理守恒量，与上述不变性相联系的守恒
量就是电荷。
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23. 局域规范变换
 如果波函数在时空的每一点上相位作正比于电
荷的改变
 要求量子力学在这变换下不变，则必须有一矢
量场 Aμ(x,t) 存在，它在变换 (2) 下作相应的变
换，由它定义的场强正好为麦克斯韦方程组所
描述，它与波函数 Ψ(x,t) 所描述的带电粒子的
相互作用，正好是熟知的电磁相互作用，因此
它就是电磁场的矢量势。
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24. 由尺度到相位因子
 这样就完成了由外尔开头尝试的从定域规范变
换不变性导出电磁理论的工作，
 只是规范变换已经从原来的定义换成相位的变
换。
 相位的变换与时空无关，称为整体规范变换；
 相位的变换与时空有关，称为定域规范变换。
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25. 第四节
自然界中的对数螺线，
从贝壳到银河系 25

26. 26

27. 27

28. 28

29. 29

30. 分形几何中的无穷无尽的螺旋
中的螺旋，梦中的梦
请欣赏… 30

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32. 32

33. 33

34. 34

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43. 43

44. 44

45. 45

46. 螺旋之中的螺旋
一沙一世界，一花一天堂
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47. 王雄 Wang Xiong
http://www.duobei.com/1044106160
Centre for Chaos and Complex Networks
City University of Hong Kong
Email: wangxiong8686@gmail.com
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