1. 不完全AHP一対比較行列における 重要度推定アルゴリズム
An algorithm for estimating weight vectors of
an incomplete pairwise comparison matrix in AHP
北海道大学 工学部 情報工学科 ４年
複雑系工学講座 調和系工学研究室
奥山 寛
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 1
表題

2. 目的・成果
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 2
目的
不完全AHP一対比較行列における
重要度推定アルゴリズムに関する調査
成果
① AHPの調査
② 不完全一対比較行列における重要度推定
③ プログラム作成
④ シミュレーション

3. •T. L. Saaty (Pittsburgh Univ, 1980)が提唱した意思決定手法
•問題を最終目標, 評価項目集合, 代替案集合からなる階層構造に整理
•定量的な判断が難しい問題に対して, 人の直観をもとに評価を下すことができる
Analytic Hierarchy Process
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 3
●要素数が多い
●適切な二項関係を決定できない
不完全一対比較行列から重要度を求める手法の必要性
ユーザが入力
Harker法
二段階法
従来手法：
一対比較行列
重要度

4. 研究目的
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 4
不完全一対比較行列の整合性は考慮しない
不完全一対比較行列における
整合度C.I.を考慮した重要度の推定
整合性が低い場合，重要度の推定精度が低下
C.I.：整合性の高さの指標
従来手法の問題点

5. 一対比較行列
 





 






1
1
1
1
1 2
21 2
12 1

  


n n
n
n
a a
a a
a a
A
8
1
,
6
1
,
4
1
,
2
1
8,6,4,2,
1/ 9
1/ 7
1/ 5
1/ 3
1
3
5
7
9
補間的に用いる
絶対的に重要でない
かなり重要でない
重要でない
やや重要でない
同じくらい重要
やや重要
重要
かなり重要
絶対的に重要
解釈一対比較値P
 



 
1/ ( )
1 ( )
( )
a i j
i j
a a P
ji
ij ij
aij ：二項関係 (ei, ej)
固有ベクトルを重要度ベクトルとして設定
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 5
  n E e e  e 1 2 比較する要素集合

6. 従来手法
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 6
欠落成分に0を代入
対角成分 : (1+行の欠落成分数)を入力
 





 





 
1/ 9 0.45 0.80 1
1/ 7 1/ 2 1 1.25
1/ 5 1 2 2.21
1 5 7 9
M
 





 





 
1/ 9 0 0 3
1/ 7 1/ 2 2 0
1/ 5 2 2 0
1 5 7 9
M
一次近似重要度w’を作成 → 欠落成分を wi/wj に
 





 









0.333
0.415
0.737
4.213
4
3
2
1
w
w
w
w
i i i in w  m m m 1 2
Harker 法
二段階法
M : 不完全一対比較行列
W: Mの推定重要度ベクトル
 





 






1/ 9 1
1/ 7 1/ 2 1
1/ 5 1 2
1 5 7 9
x x
x
x
M

7. 2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 7
提案手法との比較

8. 提案手法
比率行列P
 


 



j
i
ij
ij
w
w
m
p
pij > 1 : 大きいほど
pij < 1 : 小さいほど
mijが矛盾している可能性が高い
M : 不完全一対比較行列
W: Mの推定重要度ベクトル
P : 比率行列






整合性不十分
整合性十分
完全に整合
整合度
. . 0.1:
. . 0.1:
. . 0 :
. .
C I
C I
C I
C I
終了条件 α = 0.05に設定
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 8

9. 実験
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 9
HO TO
H T
W W
W W
W
T
E P
C I
ˆ , ˆ
ˆ , ˆ
. .
. .
提案推定重要度ベクトル
従来推定重要度ベクトル
真の重要度ベクトル
提案手法繰り返し回数
誤差割合
整合度
誤差：正規分布に近い形になると仮定
0
10
20
30
40
50
-2 -1 0 -1 -2
グラフ 1
グラフ 2
グラフ 3
C.I.
T C.I.
E.P.
W Wˆ O W Wˆ
実験 1
実験 2
実験 3
実験 4
Harker法 欠落 10%
Harker法 欠落 20%
二段階法 欠落 10%
二段階法 欠落 20%

10. 誤差割合 と 整合度の関係
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 10
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 20 40 60 80 100 120
C.I. Harker法 欠落10%
E.P.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 20 40 60 80 100 120
C.I. Harker法 欠落20%
E.P.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 20 40 60 80 100 120
C.I.
E.P.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 20 40 60 80 100 120
C.I.
E.P.
二段階法 欠落10% 二段階法 欠落20%
. . ①誤差割合が増えるほど, 整合度は悪化
. .
E P
C I
誤差割合
整合度
逆も成り立つ

11. 提案手法における欠落回数と整合度の関係
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 11
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
1 2 3 4
C.I.
T
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
1 2 3 4
C.I.
T
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
1 2 3 4
C.I.
T -0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
1 2 3 4
C.I.
T
②提案手法において欠落が発生するほど, 整合度は向上
Harker法 欠落10% Harker法 欠落20%
二段階法 欠落10% 二段階法 欠落20%
T
C I
提案手法欠落回数
整合度. .

12. 従来手法と提案手法の真の重要度との差
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 12
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
H W Wˆ
HO W Wˆ
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
HO W Wˆ
H W Wˆ
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
HO W Wˆ
H W Wˆ
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
HO W Wˆ
H W Wˆ
③提案手法が真の重要度に近い分布をすることが確認できる
ー y = x
ー 分布の線形近似
Harker法 欠落10% Harker法 欠落20%
二段階法 欠落10% 二段階法 欠落20%

13. まとめ
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 13
①整合度が向上するほど, 誤差割合が減る
②提案手法において欠落が発生するほど, 整合度は向上
③提案手法が真の重要度に近い分布をすることを確認できた
結論
提案手法は誤差を下げる方向に作用