Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (10)
Similar to Obratnye trigonometricheskie funkcii
Similar to Obratnye trigonometricheskie funkcii (9)
Obratnye trigonometricheskie funkcii
- 1. Обратные тригонометрические функции Работу выполнила Учитель МАОУ «Лицей №10» Зололтухина Л.В
- 2. Содержание: 1. Обратные тригонометрические функции, свойства, графики 2. Историческая справка 3. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции 4. Решение уравнений 5. Задания различного уровня сложности
- 3. Из истории тригонометрических функций •Древняя Греция.III в до н. э. Евклид, Аполоний Пергский. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике. •Ок. 190 до н. э Гиппарх Никейский. Возможно он первый составил таблицу хорд, аналог современных таблиц тригонометрических функций. •Абу-аль-Ваф ввел тригонометрические функции тангенс и котангенс. •Первая половина XV в. Аль-Каши произвел уникальные расчеты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом 1’. •I-II вв. индийские математики вводят понятие синуса. •1423-1461- австрийский математик и астроном Георг фон Пойербах был одним из первых европейских ученых, которрый применил понятие синуса. •1602-1675 французский математик, астроном и физик Жиль Роберваль построил синусоиду. •XV в. Региомонтан ввел термин тангенс. •1739 г. И. Бернулли ввел современные обозначения синуса и косинуса. •1770 г. Георг Симон Клюгель вводит новый термин тригонометрические функции. •1772 г. Ж. Лагранж вводит первую из шести обратных тригонометрических функций. •Карл Шерфер ввел современные обозначения для обратных тригонометрических функций.
- 4. Arcsin х Арксинусом числа m называется такой угол x, для которого sinx=m, -π/2≤X≤π/2,|m|≤1 Функция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей. График обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы I - III координатных углов.
- 5. Свойства функции y = arcsin x 1)Область определения: отрезок [-1; 1]; 2)Область изменения: отрезок [-π/2,π/2]; 3)Функция y = arcsin x нечетная: arcsin (-x) = - arcsin x; 4)Функция y = arcsin x монотонно возрастающая; 5)График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.
- 6. Arccos х mАрккосинусом числа называется такой x,угол для которого: cos x = m 0 ≤ x ≤ π |m|≤1
- 7. yФункция = arccosx является строго убывающей cos(arccosx) = x при -1 ≤ x ≤ 1 arccos(cosy) = y при 0 ≤ y ≤ π D(arccosx)= [ −1;1]] E(arccosx)= [0;π]] Свойства функции y = arccos x .
- 8. Arctgх Арктангенсом числа m называется такой угол x, для которого tgx=m, -π/2<X<π/2. График функции y=arctgx Получается из графика Функции y=tgx, симметрией Относительно прямой y=x.
- 9. y=arctgх 1)Область определения: R 2)Область значения: отрезок [-π/2,π/2]; 3)Функция y = arctg x нечетная: arctg (-x) = - arctg x; 4)Функция y = arctg x монотонно возрастающая; 5)График пересекает оси Ох, Оу в начале координат. y yx 2 π 2 π −
- 10. Arcctgх Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого ctgx=a, 0<x<π 2 π
- 11. • Функция y=arcctgx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. • Функция y=arcctgx является строго убывающей. • ctg(arcctgx)=x при xєR • arcctg(ctgy)=y при 0 < y < π • D(arcctgx)=(-∞;∞) • E(arcctgx)=(0; π) Arcctgх
- 12. Преобразование выражений ( ) ( ) .28) 3 7 (712 4 3 arcsin712 4 3 arcsin712 , 3 7 , 4 7 16 9 1sin1cos, 4 3 -sin)3 .4 2 2 24 4 cos24)2 .24 3 1 324 6 324)1 :Решение . 4 3 arcsin712)3 ;1cos24)2;5,0arcsin324)1 :Вычислить 2 =−⋅−= = −−= −− −= −=−−=−−== =⋅= =⋅= −− ctgctg ctg tg ctg arcctgtg π α ααα π π π
- 15. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции [ ] . 2 1 sinx, 2 1 arcsinx , 2 ; 2 -2но, 2 1 t,2t .0252t тогда, 2 ; 2 -tпричемt,arcsinxПусть .02arcsin52(arcsinx)уравнениеРешить.2 . 4 22 x, 2 2 -12xоткуда, 4 3 cos12x уравнениюоравносильнуравнениеданноечисла аарккосинусюопределенипотт,;0 4 3 какТак . 4 3 1)arccos(2xуравнениеРешить.1 21 2 2 == ∉== =+− ∈= =+− + ==+=+ ∈ =+ ππ ππ π π π π t x
- 16. Упражнения для самостоятельного решения . 32 x arcsin-arcsinx.3 , 34 x-1 arctg.2 ; 3 3)x1.arccos(2 :уравненияРешить π π π = = ==
- 17. Задания различного уровня сложности [ ] 11.-равновыраженияданногоЗначение , 6 11 ) 6 5 (sin(arccos поэтомузначения,льныенеотрицатеттольк принимаеет0;промежуткенаsinxf(x)Функция . 36 11 ) 6 5 (1 )) 6 5 (arccos(cos1)) 6 5 (arccos(sin тт,cos1sinПоскольку )). 6 5 (-sin(arccos116)) 6 5 arccos(- 2 3 cos(116 :приведенияформулуПрименим:Решение )). 6 5 arccos(- 2 3 cos(116 выражениязначениеНайти 2 22 22 =− = =−−= =−−=− −= −=− − π π π tt
- 18. Задания различного уровня сложности . 8 1 xноокончательполучаемОДЗучетомС . 8 1 ,1,0178xили781 812(2x)-1arcsin2x)(2sin-1n2x)cos(2arcsi 7x,s7x)cos(farccoкакТак 7x)cos(arccosn2x)cos(2arcsi :следующемуоравносильнуравнениепромежуткеэтомНа . 7 1 x 7 1 -естьто 7 1 x 7 1 2 1 x 2 1 - или 17x1- 12x1- :уравненияОДЗнайдем:Решение arccos7x.2arcsin2x уравнениеРешить 22 222 = =−==−+=− −=== = = ≤≤ ≤≤− ≤≤ ≤≤ ≤≤ = xxxxx x
- 19. Задания различного уровня сложности . 4 1 arccos-чтоПолучим, . 4 1 -1- 16 6 21- 2 2coscosНайдем . 4 6 2 3 2 2 2 cosчтоПолучим,.sin 2 2 2 cosуглами. искомымиданныммеждуемсоотношенимсяВоспользуе :Решение гранями.боковымимеждууголНайдите .60равныйугол,основанияплоскостьюсобразует пирамидыльнойчетырехугоправильнойграньБоковая :задачуРешить 2 0 πϕ ϕ ϕ ϕ β ϕ = =⋅== =⋅==
- 20. Таблицы значений обратных тригонометрических функций В следующей таблице приведены значения функций арксинуса и арккосинуса для некоторых значений углов:
- 21. В следующей таблице приведены значения функций арктангенса и арккотангенса для некоторых значений углов:
- 22. Литература: 1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобр. учреждений/ Ш.А. Алимов, Просвещение, 2009.-384 с. 2. Тесты по математике для абитуриентов.-М.:Айрис-пресс,2003.-352 с. 3. За страницами учебника математики/С.А Литвинова, Л.В. Куликова.- 2-е изд.,дополнительное.М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008.-176с.