Breve descrizione sui rapporti e sulle loro particolarità. Descrizione di alcune attività didattiche con riferimenti bibliografici.

1. Il rapporto
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

2. IL RAPPORTO, IN FISICA
In fisica i rapporti tra
grandezze sono
proprio l’essenza di
questa disciplina che
infatti si interessa
appunto di grandezze.
Rapportando
grandezze non
omogenee si
ottengono nuove
grandezze.
 Il rapporto tra grandezze non omogenee
sono tante e di ordine quotidiano: la
velocità (tra spazio e tempo), la pressione
(tra peso e superficie), la densità (tra
massa e volume), l’intensità di corrente
(tra differenza di potenziale e resistenza
elettrica), …
 Questi rapporti sono in ambito scientifico
e riguardano grandezze che non hanno
solo misure scalari ma a volte anche
vettoriali, oppure il rapporto è tra
differenziali
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

3. IL RAPPORTO TRA GRANDEZZE OMOGENEE
I rapporti tra
grandezze omogenee
interessano le misure,
oppure il paragone tra
oggetti misurati con la
stessa unità di misura.
 Per misurare una grandezza scelgo una
unità di misura omogenea alla
grandezza data
 Vengono utilizzati nella misura anche i
multipli e sottomultipli dell’unità scelta
 Interessano anche i rapporti tra oggetti.
Esempio: una corda lunga 15 cm e una
corda di 5 cm, il rapporto tra loro è di 3
a 1 (la prima corda è tripla della
seconda)
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

4. IL RAPPORTO TRA GRANDEZZE OMOGENEE
I rapporti tra
grandezze omogenee
interessano le misure,
oppure il paragone tra
oggetti misurati con
grandezze omogenee.
 Il rapporto tra grandezze omogenee è
sempre un numero puro
 Quando rapportiamo due grandezze in
realtà rapportiamo le loro misure e il
valore del rapporto è il loro quoziente
 Quindi in un rapporto il secondo
numero deve necessariamente essere
diverso da zero
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

5. IL RAPPORTO
Tra i vari ruoli svolti
dalle frazioni “il
rapporto “ si esplica
anche tra quantità
discrete o numeri.
 Il rapporto viene scritto anche come
frazione mentre la sua scrittura classica
prevede i “ : ” e quindi i due punti
sostituiscono di fatto la linea di frazione
 12 : 4 si legge dodici sta a quattro e se la
rendiamo uguale a 15 : 5 (perché legate
dal rapporto di 3 a 1) che si legge quindici
sta a cinque, possiamo scrivere una
proporzione che è una uguaglianza di
rapporti
 12 : 4 = 15 : 5 significa anche che la
frazione 12/4 e la frazione 15/5 sono
espressione dello stesso numero razionale
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

6. IL RAPPORTO
Tra i vari ruoli svolti
dalle frazioni “il
rapporto “ si esplica
anche tra quantità
discrete o numeri.
 La scrittura di un rapporto tra grandezze
espresse da numeri non naturali
 Se la base di un rettangolo è di 4,2 cm e la
sua altezza è di 8,1 cm il loro rapporto sarà
4,2 : 8,1 ma espresso sotto forma di
frazione dovrei scrivere 4,2/8,1 e questa
non è certamente una vera frazione
 Ma anche in questo caso essendo un
rapporto tra misure omogenee, il valore del
rapporto sarà il numero ottenuto dalla loro
divisione
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

7. Il rapporto
Di rapporti ne abbiamo tra
grandezze omogenee e non
omogenee, ma anche tra
numeri, perimetri, aree,
volumi ecc..
Dobbiamo però precisare
quale rapporto si vuole
creare o chiedere
Se si chiede allo studente il rapporto che esprime le
parti di area colorate nel rettangolo, l’alunno può
indicare 4/6 o 4 : 6 al posto di 4/10 o 4 : 10. Ma se
chiedo il rapporto tra l’area colorata di giallo e quella
bianca allora abbiamo 4/6 o 4 : 6
Il rapporto 4 : 6 esprime il rapporto tra la parte di area colorata rispetto a quella
lasciata in bianco, mentre 6 : 4 esprime il rapporto tra i quadrati bianchi rispetto a
quelli colorati. E sono entrambi corretti.
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

8. IL RAPPORTO
Il rapporto
spesso viene
superato
dall’idea di
differenza
 Se abbiamo due segmenti uno di 30 cm e
uno di 20 cm il loro rapporto lo scriviamo
come “ 30 : 20 “ ma agli alunni appare più
immediato che il segmento di 30 cm ha 10
cm in più di quello da 20 cm e non pensa a
rapportare le loro misure
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

9. Il rapporto
 Spesso gli alunni, come abbiamo già riferito, notano con
facilità la differenza tra due elementi ma non è altrettanto
facile cogliere il loro rapporto.
 Molte attività mettono in evidenza questo aspetto che va
curato e approfondito.
 Ecco alcuni esempi di come far riflettere gli alunni sul
significato di rapporto
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

10. Il rapporto
(dal libro “Il racconto della matematica” autori: Giuliano Spirito, Margherita
D’Onofrio, Grazia Petrini secondo volume ed. La Nuova Italia)
 “È bello avere una sorella maggiore. Piero di appena due anni,
ha una sorella, Chiara di 8 anni. Piero è molto contento della
sorella e la guarda con occhi incantati. Ma quando i genitori
comprano le patate fritte o la cioccolata per Chiara e lasciano
Piero a bocca asciutta (“Tu sei troppo piccolo !”), Piero è un
po’ meno contento di avere una sorella maggiore. L’unica
consolazione, in queste occasioni, è quella di pensare: “Ora
sono piccolo e Chiara è grande, ma prima o dopo la
raggiungerò e diventerò grande come lei”.
 Cosa c’è di falso in quello che pensa Piero?
 Cosa c’è di vero in quello che pensa Piero?
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

11. Il rapporto
(dal libro “Il racconto della matematica” autori: Giuliano Spirito, Margherita
D’Onofrio, Grazia Petrini secondo volume ed. La Nuova Italia)
 È bene che gli alunni si esprimano liberamente e la lettura delle
loro risposte può portare ad altre domande
 Gli studenti possono esprimersi sulla questione valutando
anche dal punto di vista psicologico e relazionale cosa accade,
sia tra fratelli e sorelle sia tra genitori e figli
 Infine si invitano gli alunni a riempire una tabella in cui
riporteranno la differenza di età tra i protagonisti della storia e
il rapporto tra le età con il passare degli anni
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

12. Differenza e rapporto
Età di
Piero
Età di
Chiara
Differenza
oggi 2 8 6
Tra 10
anni
12 18 6
Tra 20
anni
22 28 6
Tra 30
anni
32 38 6
Età di
Piero
Età di
Chiara
Rapporto
Oggi 2 8 2/8=0,25
Tra 10
anni
12 18 12/18=0,66…
Tra 20
anni
22 28 22/28=0,78…
Tra 30
anni
32 38 32/38=0,84…
La differenza è sempre la stessa mentre il rapporto cambia e man mano aumenta
ed è sempre più vicino a 1. Ma non potrà mai essere 1 il rapporto neppure tra
milioni di anni …
Altre tabelle possono essere riempite con i dati riferiti a loro stessi e alle persone
della loro famiglia, anche con distanze maggiori di età come con i genitori
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

13. Il pensiero proporzionale
 Un percorso per
l’apprendimento del
concetto di rapporto.
 Sviluppo di abilità che si
possono basare sulle
chiarezza interpretativa di
un aspetto che presenta
spesso molti
fraintendimenti.
 Alla base esiste sempre la
ricerca per osservare se
viene scelta la differenza
invece del rapporto
 Il percorso abitua anche a
far proprie procedure
algoritmiche più semplici
e immediate rispetto ai
calcoli spesso solo ripetuti
per abitudine formale
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017
“Lo sviluppo del pensiero proporzionale nella discussione di classe”
titolo del libro di Angela Pesci (Pitagora editrice)

14. Il pensiero proporzionale
Primo percorso
 Si devono dipingere di verde tre pannelli di dimensioni
diverse e si hanno a disposizione barattoli tutti uguali, di
colore giallo e blu. I pannelli devono avere tutti la stessa
tonalità di colore. Marco ha dipinto il primo pannello
utilizzando un miscuglio ottenuto con
4 barattoli blu e 6 barattoli di giallo
Luisa deve dipingere il secondo pannello e per ottenere la
stessa tonalità di colore ed avendo a disposizione 10 barattoli
di blu, di quanti barattoli di giallo ha bisogno?
Piero, per il terzo pannello, ha 3 barattoli di giallo: di quanti
barattoli di blu ha bisogno?
 Spiega il tuo ragionamento per completare la tabella per
Luisa e per Piero
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

15. Il pensiero proporzionale
Primo percorso
La tabella:
Per ottenere la stessa tonalità di verde
BARATTOLI di BLU BARATTOLI di GIALLO
MARCO 4 6
LUISA 10
PIERO 3
È probabile che alcuni alunni durante la discussione sceglieranno l’operazione di
sottrazione valutando la differenza di quantità dei barattoli.
Per Luisa probabilmente scriveranno 12 barattoli di giallo
Per Piero probabilmente scriveranno 1 come quantità di barattoli blu
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

16. Il pensiero proporzionale
Primo percorso
 Una provocazione …. per alimentare il dibattito
Per ottenere una certa tonalità di verde si mescolano:
Tipo di colore BLU GIALLO
Numero di barattoli 4 6
Si possono presentare situazioni diverse alla lavagna con l’intento di
alimentare il dibattito e di ottenere risposte per noi molto interessanti che
ci fanno comprendere cosa pensano gli alunni. In questo caso gli alunni
possono vedere il rapporto in riga ma anche in colonna.
Per avere la stessa tonalità di verde con diverso numero di barattoli
Tipo di colore BLU GIALLO
Numero di barattoli 8 x
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

17. Il pensiero proporzionale
Primo percorso
 Una provocazione per ottenere maggiori precisazioni
Per ottenere una certa tonalità di verde si mescolano:
Tipo di colore BLU GIALLO
Numero di barattoli 4 6
Anche in questo caso si possono osservare reazioni sulla valutazione in
riga o in colonna
Per avere la stessa tonalità di verde con diverso numero di barattoli
Tipo di colore BLU GIALLO
Numero di barattoli x 18
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

18. Percorsi di paragoni tra rapporti
 Questi percorsi permettono di paragonare rapporti
 I calcoli però sono mentali e il confronto a volte anche
solo visivo basta a stabilire una valutazione
Questi stimoli per gli studenti permettono di raggiungere
obiettivi come:
 Confronti rapidi con ricorso solo all’aritmetica di base
 Valutazione anche in forma percentuale

19. Il pensiero proporzionale
Secondo percorso
 I giocatori di tennis
Alberto, Bruno, Carlo e Dario sono giocatori di tennis della stessa
categoria. Durante l’anno scolastico hanno partecipato a diversi
tornei ottenendo i seguenti risultati:
In base agli esiti ottenuti, secondo te, chi è il più bravo?
Spiega come sei arrivato alla tua conclusione. Se ti sembra utile puoi
utilizzare tabelle, schemi, segmenti, …
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017
ALBERTO BRUNO CARLO DARIO
Partite vinte 15 20 28 48
Partite giocate 30 90 52 100

20. Il pensiero proporzionale
Terzo percorso
 I giocatori di tennis
Nella seguente tabella ci sono gli esiti delle partite a tennis giocate da
alcuni giocatori della stessa categoria. Completa la tabella in modo
che i giocatori si possano considerare ugualmente bravi (in base agli
esiti della tabella):
Spiega come hai fatto a trovare i numeri per completare la tabella
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017
CLAUDIO ENZO ANNA MARCO ELENA
Partite vinte 20 10 … 50 …
Partite
giocate
70 … 105 … …

21. La misura e le frazioni
Nel quadrato il
doppio della misura del
lato come influisce sul
suo perimetro e poi
sulla sua area ?
Avviene solo nel
quadrato?
 La carta millimetrata offre
diverse opportunità per
favorire aspetti di rapporti tra
misure. A partire dal quadrato
per esempio
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

22. La misura e le frazioni
Qui forse si potrebbe
presentare una domanda
stimolo e favorire la
discussione tra
compagni
 Come posso disegnare un
quadrato di area doppia
facendo riferimento a figure
equiscomponibili ?
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

23. La misura dell’area e la proprietà invariantiva
Caso particolare tra misure lineari e misure di superficie
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017
cm 2
cm 3
cm 6
cm 2
Rapporto tra le basi = 3/6 = 1/2
Rapporto tra le aree = 6/12 = 1/2
In questo caso il rapporto si mantiene.
Sapete perché?

24. Proprietà invariantiva
 Proprietà presente nelle operazioni che non godono della
proprietà commutativa
 Si applica nella sottrazione e quindi nella differenza
 Si applica nella divisione e quindi nel rapporto
 Ma se aggiungo una stessa quantità rimane la differenza ma
cambia il rapporto
 Il rapporto non cambia se moltiplico o divido per uno stesso
numero i due termini del rapporto
 Il rapporto cambia se si opera con l’elevamento a potenza, per
esempio elevamento alla seconda
 Diverse attività sulle misure di figure piane possono far
riflettere su questo aspetto (rapporto tra lati e rapporto tra aree)
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

25. BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA
a. Vinicio Villani-Maurizio Berni “Ricomincio da zero” Pitagora Editrice
Bologna
b. Martha Isabel Fandiño Pinilla: “ Le frazioni - aspetti concettuali e didattici”
c. Carl B. Boyer “Storia della matematica” Oscar Mondadori
d. Angela Pesci: “Lo sviluppo del pensiero proporzionale nella discussione di
classe” Editore: Pitagora
e. Giuliano Spirito – Margherita D’Onofrio – Grazia Petrini: “Il racconto della
matematica” Numeri secondo volume Ed. La Nuova Italia
f. www.cidi.it
g. http://utenti.quipo.it/base5/index.htm