2. Wstęp
Historia matematyki pokazuje, że obserwacja i badanie przyrody
przez matematyka były inspiracją do odkrywania nowych pojęć
matematyki, jako specyficznych narzędzi analizy i opisu
otaczającego nas świata.
Leonardo Fibonacci (1170 - 1250)

3. Liczby Fibonacciego
Matematyk epoki Średniowiecza wyprzedził epokę Odrodzenia
z jej humanistycznymi ideami, ujmując w ramy złotej liczby
elementy botaniki i biologii. Dla wyjaśnienia sposobu rozrostu
niektórych roślin i zwierząt wprowadził ciąg liczbowy, zwany
ciągiem Fibonacciego.
Nie przypuszczał wówczas, że zastąpienie dwóch początkowych
jedynek w jego ciągu innymi liczbami, nawet bardzo dużymi
i ujemnymi, nie zmienia wartości granicy, do której dąży iloraz
dwóch sąsiednich liczb Fibonacciego w trakcie ich oddalania się
do nieskończoności. Nadal tą granicą jest złota liczba.

4. Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie
w sposób następujący:
Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny
jest sumą dwóch poprzednich.
Formalnie:
Kolejne wyrazy tego ciągu nazywamy liczbami Fibonacciego.
Kwestia, czy zaliczać zero do ciągu Fibonacciego, jest dyskusyjna.
Część autorów rozpoczyna ciąg od F1 = 1, F2 - 1
Wyrazy F0, ….. F19 ciągu Fibonacciego to:

5. Rozrastanie gałęzi drzew
Przyjęte przez Fibonacciego reguły rozmnażania się niektórych zwierząt można tak
przeformułować, by odnosiły się do rozrastania innych istot lub obiektów natury,
na przykład drzew. Na rysunku powyżej jest pokazane drzewo, które rośnie i każda
gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza
jedną młodą gałąź.

6. Układ płatków kwiatów
Liczba płatków wielu kwiatów, w tym np. irys (3 płatki), jaskier
(5 płatków) czy krwiowiec kanadyjski (8 płatków), jest na ogół liczbą Fibonacciego
i wynosi 3 lub 5 lub 8 itd. Zastanawiające jest, skąd komórki "wiedzą", że liczba
płatków w kwiatach ma być liczbą Fibonacciego i w jaki sposób ta "informacja„
rozchodzi się po milionach komórek, nawet tej samej rośliny. Zjawisko to, nazywa
się w botanice filotaksją, dosłownie - "układem liści".

7. Liście na gałązkach i gałązki na łodygach
Zadziwiający wynik dają obserwacje rozkładu liści na gałązkach i gałązek na łodydze
drzewa. Nie wszystkie liście leżą jeden nad drugim, podobnie gałązki. Układają się one
wzdłuż spirali, która okrąża łodygę. Krzywa ta nazywa się helisą. Cyklem tej krzywej
nazywa się odległość liści osadzonych dokładnie jeden nad drugim, wzdłuż gałęzi lub
łodygi. Helisę danej rośliny można scharakteryzować dwiema liczbami: liczbą obrotów
cyklu helisy wokół gałązki lub łodygi oraz liczbą odstępów między kolejnymi liśćmi
leżącymi nad sobą. Okazuje się, że dla bardzo wielu roślin te dwie liczby są liczbami
Fibonacciego. Na przykład, drzewo bukowe ma cykl złożony z trzech liści i wykonuje on
jeden obrót, a wierzba amerykańska pussy willow ma cykl złożony z 13 liści i wykonuje on
5 obrotów.

8. Układ łusek na szyszkach
Najbardziej znanymi przykładami
występowania liczb Fibonacciego
w naturze są układy łusek na
szyszkach. Na rysunku jest
pokazana szyszka, na której
zaznaczono spirale tworzone
przez jej łuski. Spirale te są
prawoskrętne i lewoskrętne.

9. Nie zawsze szyszki nawet tego
samego gatunku mają taką samą
liczbę spiral, nie zawsze również
przeważają lewoskrętne czy
prawoskrętne. Ale, z wyjątkiem
kilku procent "odszczepieńców",
łuski na większości szyszek
układają się wzdłuż spiral,
których liczby są ściśle związane z
kolejnymi liczbami Fibonacciego.

10. Pestki tarczy w słonecznikach
Podobnie, jak łuski na szyszkach, układają się pestki w tarczy słonecznika -
również wzdłuż spiral, których liczba jest związana z liczbami Fibonacciego.
Fenomen układu łusek na szyszce lub pestek na tarczy słonecznika można
uzasadnić tym, że natura dba o jak najlepsze "upakowanie" jednych i drugich,
by się ich zmieściło jak najwięcej lub by zajmowały jak najmniej miejsca. Taka
zwartość budowy rośliny może być pewnego rodzaju ochroną przed łatwym
ich rozpadem na części.

11. Układ ziaren ananasa
Ziarna ananasa przypominają
sześciokątne klatki, które
rozmieszczone są w rzędach
w różnych kierunkach:
- 5 równoległych rzędów
podnoszących się łagodnie w
prawo;
- 8 rzędów podnoszących się
nieco bardziej stromo w lewo;
- 13 rzędów podnoszących się
bardziej stromo w lewo.

12. Różyczki kalafiora
Ułożone są wzdłuż logarytmicznych
krzywych, które grupami biegną
w różnych kierunkach, na przykład
34 lewoskrętne i 55 prawoskrętnych.
A 34 i 55 to nic innego, jak liczby
Fibonacciego

13. Ciąg Fibonacciego należy do ulubionych ciągów spotykanych w przyrodzie –
można go odnaleźć w wielu jej aspektach – zarówno w kształtach fizycznych
struktur, jak i w przebiegu zmian w strukturach dynamicznych.
Zmiany dynamiczne pod tym względem najlepiej charakteryzuje rozmnażanie
się królików. Przy założeniu, że początkowo mamy jedną parę – samca i
samicę, którzy po miesiącu wydadzą na świat potomstwo, po kolejnym
miesiącu ich progenitura jest zdolna do reprodukcji, rodzice zaś nadal się
rozmnażają, łatwo policzyć roczny przyrost królików w sposób
charakterystyczny dla naszego ciągu. Spójrzmy na tabelkę:
Rozmnażanie królików

14. Widać z tego, że każda para co miesiąc wydaje na świat parkę młodych, które
po miesiącu, będąc już zdolne do rozrodu, rozmnażają się w analogiczny
sposób, przy czym wciąż rodzą się młode z poprzednich par.

15. Okazuje się, że ta błaha z pozoru zależność często odzwierciedlana jest
w przyrodzie. Przyjrzyjmy się trutniom.
Samiec pszczoły w przeciwieństwie do samicy (królowej, która ma zarówno
ojca, jak i matkę – inną królową) powstaje wyłącznie dzięki matce. Tak
wygląda jego drzewo genealogiczne.
Rozmnażanie trutni

16. Jak widać, przodkowie trutnia – jego matka, jej rodzice i dalej, aż
po pradziadków, narastają zgodnie z zasadą ciągu Fibonacciego – kolejne
pokolenia to suma dwóch poprzednich.

17. Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą
ciągu Leonarda z Pizy jest spirala
Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem
w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć
na muszlę łodzika (morskiego mięczaka)
w przekroju widać, że ułożona jest
spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa
od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika
to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną. Być może trudno uwierzyć, że
układ muszli zgodny jest z jakimkolwiek ciągiem, ale wystarczy spojrzeć
na graficzny obraz spirali Fibonacciego:
Wyraźnie widać, że (pomijając dwa pierwsze,
najmniejsze) kolejne kwadraty są większe od
poprzedzających dokładnie o sumę ich ścianek,
co zgodne jest z regułą naszego ciągu.
Spirale muszli

18. Złoty podział jest w nas samych. Większość znaczących stawów w
szkielecie jest rozmieszczonych właśnie dzieląc ciało w stosunku
złotym. Łokieć dzieli rękę na przedramię i ramię w stosunku złotym.
Bark plus ramię do długości drugiego ramienia. Paliczki palców dłoni.
Paliczki palców
Tych przykładów jest na prawdę dużo
w samym ludzkim ciele, a proporcje
nie odbiegają znacząco od wartości
złotej proporcji. Bo w gruncie rzeczy,
ludzki szkielet zdrowego człowieka
niewiele się różni. Dopiero anomalie
rozwojowe powodują, że te proporcje
są zaburzone w znaczący sposób.

19. Matematyka jest jak kurz,
jest wszędzie i już!
Dziękujemy za uwagę!
http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA#t=67