Luận án: Lớp mở rộng của modun nội xạ, xạ ảnh và ứng dụng

§¹i häc HuÕ
Tr-êng §¹i Häc S- Ph¹m
...........................
Phan Hång TÝn
Mét sè líp më réng
cña m«®un néi x¹, x¹ ¶nh vµ øng dông
Chuyªn Ngµnh: §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè
M· sè: 62 46 01 04
LuËn ¸n TiÕn sÜ To¸n häc
Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: GS. TS. Lª V¨n ThuyÕt
HuÕ - N¨m 2016
1

Lêi cam ®oan
T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu
cña riªng t«i, c¸c kÕt qu¶ vµ sè liÖu nghiªn cøu
nªu trong luËn ¸n lµ trung thùc, ®-îc c¸c ®ång
t¸c gi¶ cho phÐp sö dông vµ ch-a tõng ®-îc
c«ng bè trong bÊt kú c«ng tr×nh nµo kh¸c.
Phan Hång TÝn
2

Lêi c¶m ¬n
Lêi ®Çu tiªn, t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn GS. TS. Lª V¨n
ThuyÕt, ng-êi ®· h-íng dÉn t«i hoµn thµnh luËn ¸n nµy, ng-êi ®· truyÒn cho
t«i niÒm ®am mª khoa häc, ®· tËn t×nh d¹y b¶o, h-íng dÉn vµ ®éng viªn t«i
trong qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu cña m×nh.
T«i xin tr©n träng c¶m ¬n Khoa To¸n; Phßng §µo t¹o Sau ®¹i häc -
Tr-êng §¹i häc S- ph¹m - §¹i häc HuÕ vµ Ban §µo t¹o - §¹i häc HuÕ ®·
t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu
vµ hoµn thµnh ch-¬ng tr×nh nghiªn cøu sinh cña m×nh.
T«i xin tr©n träng c¶m ¬n Tr-êng Cao ®¼ng C«ng nghiÖp HuÕ ®· hç trî
vÒ vËt chÊt còng nh- tinh thÇn, t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i trong suèt thêi gian
häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn ¸n.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n nhãm nghiªn cøu §¹i sè kÕt hîp, GS. TS.
Lª V¨n ThuyÕt; GS. TSKH. Ph¹m Ngäc ¸nh - ViÖn Hµn l©m khoa häc
Hungary; GS. TS. Bïi Xu©n H¶i -Tr-êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn - §¹i
häc Quèc gia TP. HCM; TS. Phan D©n -Tr-êng §¹i häc Quèc tÕ Hång Bµng
TP. HCM; TS. Tr-¬ng C«ng Quúnh -Tr-êng §¹i häc S- ph¹m - §¹i häc §µ
N½ng; TS. TrÇn Giang Nam - ViÖn To¸n häc; TS. TrÞnh Thanh §Ìo - Tr-êng
§¹i häc Khoa häc Tù nhiªn - §¹i häc Quèc gia TP. HCM, ®· cã nh÷ng ý
kiÕn th¶o luËn, gãp ý cã gi¸ trÞ trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu t¹i ViÖn nghiªn
cøu Cao cÊp vÒ To¸n.
Cuèi cïng, t«i xin c¶m ¬n c¸c thµnh viªn trong gia ®×nh, nh÷ng ng-êi
®· ®ång c¶m, chia sÎ, ®éng viªn, cæ vò vµ lµ ®éng lùc thóc ®Èy t«i hoµn
thµnh viÖc häc tËp vµ nghiªn cøu cña m×nh. T«i xin c¶m ¬n nh÷ng ng-êi
b¹n vµ ®ång nghiÖp ®· cã sù quan t©m, ®éng viªn t«i v-ît qua nh÷ng khã
kh¨n ®Ó hoµn thµnh luËn ¸n nµy.
3

Môc lôc
Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Ch-¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ.
1.1. Çc ký hiÖu vµ kh¸i niÖm c¬ b¶n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. M«®un néi x¹ vµ mét sè líp m«®un më réng cña nã. . . . . . . . . 18
1.3. M«®un x¹ ¶nh vµ mét sè líp m«®un më réng cña nã. . . . . . . . . 21
1.4. M«®un vµ vµnh Artin, N¬te.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5. Vµnh tùa Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ch-¬ng 2. M«®un vµ vµnh gi¶ c+
-néi x¹.
2.1. M«®un gi¶ c-néi x¹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. M«®un gi¶ c+
-néi x¹.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Ch-¬ng 3. Mét sè tr-êng hîp më réng cña m«®un x¹ ¶nh.
3.1. M«®un n©ng cèt yÕu vµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. . . . . . . . . 58
3.2. M«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3. M«®un tháa m·n ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn trªn çc m«®un con
bÐ cèt yÕu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Danh môc çc c«ng tr×nh cña t¸c gi¶. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Tµi liÖu tham kh¶o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4

B¶ng çc ký hiÖu vµ viÕt t¾t
Z : Vµnh çc sè nguyªn
N : TËp çc sè tù nhiªn
A ≤ B (A < B) : A lµ m«®un con (t.-., con thùc sù) cña B
A ≤max
B : A lµ m«®un con cùc ®¹i cña B
A ≤⊕
B : A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña B
A ≤e
B : A lµ m«®un con cèt yÕu cña B
A B : A lµ m«®un con bÐ (®èi cèt yÕu) cña B
A δ B : A lµ m«®un con δ-bÐ cña B
A e B : A lµ m«®un con bÐ cèt yÕu cña B
A ∼= B : A ®¼ng cÊu víi B
A ⊕ B : Tæng trùc tiÕp cña m«®un A vµ m«®un B
ACC (DCC) : §iÒu kiÖn d©y chuyÒn t¨ng (t.-., gi¶m)
E(M), Soc(M) : Bao néi x¹, ®Õ cña m«®un M (t-¬ng øng)
End(M) : Vµnh çc tù ®ång cÊu cña m«®un M
u. dim(M) : ChiÒu Goldie (chiÒu ®Òu) cña m«®un M
HomR(M, N) : Nhãm çc R-®ång cÊu tõ M vµo N
Im(f), Ker(f) : ¶nh, h¹t nh©n cña ®ång cÊu f (t-¬ng øng)
M(I)
: ⊕i∈IM (tæng trùc tiÕp cña I b¶n sao cña M)
MI
: Πi∈IM (tÝch trùc tiÕp cña I b¶n sao cña M)
MR (RM) : M lµ mét R-m«®un ph¶i (t.-., tr¸i)
Rad(M), J(R) : C¨n cña m«®un M, c¨n cña vµnh R (t-¬ng øng)
δ(M) : Tæng çc m«®un con δ-bÐ cña M
Rade(M) : Tæng çc m«®un con bÐ cèt yÕu cña M
Z(M) : M«®un con suy biÕn cña m«®un M
5

Më ®Çu
Trong luËn ¸n nµy, R ®-îc dïng ®Ó ký hiÖu cho vµnh kÕt hîp cã ®¬n
vÞ 1 = 0 vµ mäi R-m«®un lµ m«®un unita. Víi vµnh R ®· cho, ta viÕt MR
(t.-., RM) ®Ó chØ M lµ mét R-m«®un ph¶i (t.-., tr¸i), khi kh«ng sî nhÇm
lÉn vÒ phÝa cña m«®un, ta viÕt gän lµ m«®un M thay cho MR.
Nh- chóng ta ®· biÕt, vµnh tùa Frobenius (th-êng ®-îc viÕt t¾t lµ vµnh
QF) lµ vµnh tù néi x¹ hai phÝa vµ Artin hai phÝa. ViÖc nghiªn cøu lo¹i vµnh
nµy xuÊt ph¸t tõ lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm h÷u h¹n. Nh÷ng n¨m ®Çu cña
thÕ kû XX, G. Frobenius vµ mét sè t¸c gi¶ kh¸c nh- R. Brauer, C. Nesbitt,
T. Nakayama b¾t ®Çu nghiªn cøu vÒ ®¹i sè Frobenius, çc kÕt qu¶ liªn quan
®· ®-îc c«ng bè trong nh÷ng n¨m cuèi cña thËp niªn 30 vµ ®Çu cña thËp
niªn 40. Kh¸i niÖm vµnh tùa Frobenius ®-îc T. Nakayama giíi thiÖu vµo
n¨m 1939. Çc t¸c gi¶ C. Faith vµ E. A. Walker ®· chØ ra mét ®Æc tr-ng
quan träng cña çc m«®un trªn vµnh QF: vµnh R lµ QF khi vµ chØ khi mäi
R-m«®un ph¶i (hoÆc tr¸i) néi x¹ lµ x¹ ¶nh, khi vµ chØ khi mäi R-m«®un
ph¶i (hoÆc tr¸i) x¹ ¶nh lµ néi x¹. Tuy nhiªn, ®Æc tr-ng tù néi x¹ hai phÝa vµ
Artin hai phÝa ®-îc nªu ë trªn lµ kh¸ m¹nh, chÝnh v× vËy nhiÒu t¸c gi¶ ®·
t×m çch gi¶m nhÑ çc ®iÒu kiÖn nµy ®Ó ®Æc tr-ng cho vµnh QF.
N¨m 1951, ®iÒu kiÖn tù néi x¹ hai phÝa vµ Artin hai phÝa ®-îc M. Ikeda
gi¶m nhÑ trë thµnh ®iÒu kiÖn tù néi x¹ mét phÝa vµ Artin mét phÝa. Sau
®ã, n¨m 1965, Y. Utumi ®· ®Æc tr-ng vµnh QF bëi ®iÒu kiÖn liªn tôc hai
phÝa vµ Artin hai phÝa. N¨m 1966, C. Faith ®· ®-a ra ®iÒu kiÖn gi¶m nhÑ so
víi kÕt qu¶ cña M. Ikeda, ®ã lµ ®iÒu kiÖn tù néi x¹ mét phÝa vµ tháa m·n
®iÒu kiÖn ACC trªn çc linh hãa tö tr¸i (hoÆc ph¶i). §ång thêi, B. Osofsky,
W. K. Nicholson vµ M. F. Yousif còng ®· ®Æc tr-ng vµnh nµy th«ng qua
vµnh hoµn chØnh, ®ã lµ ®iÒu kiÖn tù néi x¹ hai phÝa (hoÆc néi x¹ ®¬n hai
phÝa) vµ hoµn chØnh tr¸i. N¨m 1994, W. K. Nicholson vµ M. F. Yousif ®·
6

më réng kÕt qu¶ cña Y. Utumi vµ cña C. Faith víi ®iÒu kiÖn ®ñ lµ vµnh liªn
tôc ph¶i, min-CS tr¸i vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn çc linh hãa tö ph¶i.
Ngoµi ra, nhiÒu t¸c gi¶ kh¸c còng ®· nghiªn cøu vµ t×m çch ®Æc tr-ng vµnh
tùa Frobenius theo çc h-íng më réng kh¸c, ch¼ng h¹n nh-, J. Clark vµ
D. V. Huynh ([9]); C. Faith vµ D. V. Huynh ([16], ... Tuy nhiªn, cho ®Õn
nay mét gi¶ thuyÕt cña C. Faith, vµnh tù néi x¹ ph¶i vµ hoµn chØnh tr¸i
hoÆc ph¶i lµ vµnh QF, vÉn ch-a cã c©u tr¶ lêi. Gi¶ thuyÕt nµy vÉn cßn më
®èi víi vµnh nöa nguyªn s¬.
ViÖc nghiªn cøu më réng ®Æc tr-ng cña vµnh QF chñ yÕu tËp trung theo
hai h-íng, mét lµ gi¶m nhÑ ®iÒu kiÖn tù néi x¹ hoÆc hai lµ gi¶m nhÑ ®iÒu
kiÖn Artin. Trong ®Ò tµi nµy, chóng t«i vÉn lÊy ®Æc tr-ng cña vµnh QF lµm
nÒn. §Þnh lý Faith-Walker chØ ra mét ®Æc tr-ng quan träng cña vµnh QF ®ã
lµ, vµnh R lµ QF khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i (hoÆc tr¸i) néi x¹ lµ x¹
¶nh, khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i (hoÆc tr¸i) x¹ ¶nh lµ néi x¹. ChÝnh
v× vËy, çc tr-êng hîp më réng cña m«®un néi x¹ vµ x¹ ¶nh ®-îc xem xÐt
®Õn. Cô thÓ, trong Ch-¬ng 2, chóng t«i nghiªn cøu çc líp më réng cña
m«®un néi x¹ vµ trong Ch-¬ng 3 lµ çc líp më réng cña m«®un x¹ ¶nh.
§ång thêi, viÖc nghiªn cøu ®Æc tr-ng cña vµnh QF th«ng qua çc líp vµnh
më réng cña vµnh tù néi x¹ vµ vµnh Artin nh- ®· nªu ë trªn lµ mét h-íng
nghiªn cøu ®-îc nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m nh»m t×m c©u tr¶ lêi cho gi¶ thuyÕt
cña C. Faith. Tõ viÖc nghiªn cøu çc líp më réng cña m«®un néi x¹, chóng
t«i t×m ®Æc tr-ng cña vµnh QF th«ng qua çc líp vµnh ®ã, ®ång thêi, tõ viÖc
nghiªn cøu çc líp më réng cña m«®un x¹ ¶nh, chóng t«i t×m ®Æc tr-ng cña
vµnh QF th«ng qua ®Æc tr-ng cña vµnh Artin, vµnh hoµn chØnh, vµnh nöa
hoµn chØnh,...
CÊu tróc cña LuËn ¸n gåm cã 3 ch-¬ng. Ch-¬ng 1 tr×nh bµy vÒ çc
kiÕn thøc chuÈn bÞ, Ch-¬ng 2 tr×nh bµy çc kÕt qu¶ liªn quan ®Õn m«®un
gi¶ c-néi x¹ vµ gi¶ c+
-néi x¹, Ch-¬ng 3 tr×nh bµy çc kÕt qu¶ vÒ m«®un
7

n©ng cèt yÕu, m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu.
Tõ viÖc kh¶o s¸t çc líp m«®un trªn, ë Ch-¬ng 2, chóng t«i ®-a ra çc ®Æc
tr-ng cña vµnh QF th«ng qua vµnh gi¶ c+
-néi x¹ vµ ë Ch-¬ng 3 lµ çc ®Æc
tr-ng cña m«®un vµ vµnh Artin th«ng qua m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ
®iÒu kiÖn d©y chuyÒn trªn çc m«®un con bÐ cèt yÕu.
Kh¸i niÖm vÒ m«®un néi x¹ b¾t ®Çu xuÊt hiÖn trong danh môc çc c«ng
tr×nh nghiªn cøu vÒ nhãm aben. N¨m 1935, Zippin chØ ra r»ng, mét nhãm
aben lµ chia ®-îc khi vµ chØ khi nã lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña mäi nhãm lín
h¬n, chøa nã nh- lµ mét nhãm con. Kh¸i niÖm m«®un néi x¹ ®-îc R. Baer
nghiªn cøu ®Çu tiªn vµo n¨m 1940. Nh÷ng n¨m sau ®ã, kh¸i niÖm nµy vµ
çc kh¸i niÖm më réng cña nã ®· nhËn ®-îc sù quan t©m nghiªn cøu cña
nhiÒu nhµ To¸n häc trªn thÕ giíi. N¨m 1961, R. E. Jonhson vµ E. T. Wong
([27]) ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm m«®un tùa néi x¹. §©y lµ mét líp m«®un më
réng cña líp m«®un néi x¹. NhiÒu ®Æc tr-ng cña m«®un tùa néi x¹ vµ vµnh
tù néi x¹ còng ®· ®-îc chØ ra.
Mét líp m«®un më réng cña líp tùa néi x¹ ®-îc S. Singh vµ S. K. Jain
([39]) ®-a ra vµo n¨m 1967, ®ã lµ líp m«®un gi¶ néi x¹. M«®un M ®-îc
gäi lµ gi¶ néi x¹ nÕu víi mäi m«®un con A cña M, víi mçi ®¬n cÊu tõ A vµo
M, ®Òu më réng ®-îc ®Õn ®ång cÊu tõ M vµo M. Çc t¸c gi¶ R. R. Hallett
([21]), S. K. Jain, S. Singh ([26]) vµ M. L. Teply ([40]) ®· ®-a ra çc vÝ dô
chøng tá r»ng líp m«®un nµy lµ më réng thùc sù cña líp m«®un tùa néi x¹.
Sau ®ã, nhiÒu t¸c gi¶ kh¸c còng ®· tiÕp tôc nghiªn cøu vÒ líp m«®un nµy
vµ líp vµnh t-¬ng øng, ch¼ng h¹n, A. K. Tiwary vµ B. M. Padeya ([45]),
T. Wakamatsu ([48]), P. C. Bharadwaj vµ A. K. Tiwary ([6]), H.Q. Dinh
([12]), ...
N¨m 1982, M. Harada ([22]) ®-a ra kh¸i niÖm m«®un GQ-néi x¹. M«®un
M ®-îc gäi lµ GQ-néi x¹ nÕu víi mäi m«®un con A ®¼ng cÊu víi m«®un
8

con ®ãng cña M, víi mçi ®ång cÊu tõ A vµo M ®Òu më réng ®-îc ®Õn
®ång cÊu tõ M vµo M. Sau ®ã, C. S. Clara vµ P. F. Smith ([11]) ®-a ra kh¸i
niÖm m«®un tùa c-néi x¹. M«®un N ®-îc gäi lµ tùa c-néi x¹ nÕu víi mçi
m«®un con ®ãng A cña M vµ mçi ®ång cÊu tõ A vµo M ®Òu cã thÓ më
réng ®Õn ®ång cÊu tõ M vµo M.
Ngoµi ra, çc líp më réng kh¸c nh- m«®un liªn tôc, tùa liªn tôc, CS,...
còng ®-îc nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m nghiªn cøu, ch¼ng h¹n, Y. Utumi ([47]);
S. K. Jain, S. H. Mohamed ([24]), S. K. Jain, B. J. Muller ([25]); K. Oshiro
([35], [36]); M. Harada ([22]), L. V. Thuyet, T. C. Quynh ([42]); L. V. Thuyet
vµ N. Chien ([10]);...
Theo h-íng më réng trªn, chóng t«i ®-a ra çc kh¸i niÖm më réng cña
m«®un néi x¹, ®ã lµ m«®un gi¶ c-néi x¹ vµ gi¶ c+
-néi x¹. M«®un M ®-îc
gäi lµ gi¶ c-néi x¹ (t.-., gi¶ c+
-néi x¹) nÕu víi mäi m«®un con A cña M,
A ®ãng trong M (t.-., A ®¼ng cÊu víi m«®un con ®ãng cña M), víi mçi
®¬n cÊu tõ A vµo M ®Òu më réng ®-îc ®Õn ®ång cÊu tõ M vµo M. Çc
kÕt qu¶ liªn quan ®· ®-îc c«ng bè trong çc bµi b¸o [2], [37], [44] vµ ®-îc
tr×nh bµy trong Ch-¬ng 2 cña luËn ¸n. Chóng t«i chøng minh ®-îc r»ng,
líp m«®un gi¶ c+
-néi x¹ lµ líp m«®un më réng thùc sù cña çc líp m«®un
gi¶ néi x¹ vµ líp m«®un liªn tôc. §ång thêi, líp m«®un gi¶ c+
-néi x¹ lµ
líp con thùc sù cña líp m«®un gi¶ c-néi x¹ vµ líp m«®un tháa m·n ®iÒu
kiÖn C2. H¬n n÷a, mét sè ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó m«®un gi¶ c+
-néi x¹ lµ m«®un
liªn tôc hoÆc tùa néi x¹ còng ®· ®-îc chØ ra.
Mét tÝnh chÊt quan träng cña líp m«®un gi¶ c+
-néi x¹ ®ã lµ tÝnh néi x¹
t-¬ng hç cña çc h¹ng tö trùc tiÕp cña chóng. Trong [32], S. H. Mohamed
vµ B. J. Muller ®· chØ ra r»ng nÕu M ⊕ N lµ m«®un liªn tôc th× M lµ N-néi
x¹. T¸c gi¶ H. Q. Dinh ([12]) còng ®· chøng minh ®-îc kÕt qu¶ t-¬ng tù
®èi víi tr-êng hîp M ⊕ N lµ gi¶ néi x¹. KÕt qu¶ trªn vÉn ®óng ®èi víi
9

m«®un gi¶ c+
-néi x¹, tuy nhiªn çc ph-¬ng ph¸p chøng minh cña çc t¸c
gi¶ trªn kh«ng ¸p dông ®-îc ®èi víi tr-êng hîp nµy:
§Þnh lý 2.2.11. NÕu M ⊕ N lµ gi¶ c+
-néi x¹ th× M lµ N-néi x¹.
TÝnh chÊt quan träng tiÕp theo cña líp m«®un gi¶ c+
-néi x¹ ®ã lµ chÝnh
quy cña vµnh th-¬ng cña vµnh çc tù ®ång cÊu cña chóng. §©y lµ kÕt qu¶
më réng kÕt qu¶ ®èi víi m«®un liªn tôc cña Y. Utumi:
§Þnh lý 2.2.21. Cho M lµ m«®un gi¶ c+
-néi x¹ vµ S = End(M). Khi
®ã S/J(S) lµ vµnh chÝnh quy Von Neumann vµ J(S) = ∆(S) = {s ∈
S| Kers ≤e
M}.
Tõ ®ã, chóng t«i ®-a ra çc ®Æc tr-ng cña vµnh tùa Frobenius. §Þnh lý
Faith-Walker chØ ra r»ng, nÕu mäi R-m«®un ph¶i x¹ ¶nh lµ néi x¹ th× R lµ
vµnh tùa Frobenius. Ngoµi ra, C. Faith ([16]) còng ®· chøng minh r»ng nÕu
R
(N)
R lµ néi x¹ (nghÜa lµ R lµ -néi x¹ ®Õm ®-îc ph¶i) th× R lµ vµnh tùa
Frobenius. Trong [23], t¸c gi¶ D. V. Huynh còng ®· chøng minh r»ng, nÕu
R lµ vµnh tùa liªn tôc ph¶i, -CS ®Õm ®-îc ph¶i vµ nöa hoµn chØnh th× R
lµ vµnh tùa Frobenius. Chóng t«i ®Æc tr-ng vµnh tùa Frobenius th«ng qua
vµnh gi¶ c+
-néi x¹ vµ gi¶m nhÑ ®iÒu kiÖn trong ®Þnh lý Faith-Walker vµ kÕt
qu¶ cña C. Faith ([16]):
§Þnh lý 2.2.20. Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng ®èi víi vµnh R:
(1) R lµ tùa Frobenius;
(2) Mçi R-m«®un ph¶i x¹ ¶nh lµ gi¶ c+
-néi x¹;
(3) R
(N)
R lµ gi¶ c+
-néi x¹;
(4) R lµ -CS ®Õm ®-îc ph¶i víi chiÒu Goldie h÷u h¹n vµ lµ gi¶ c+
-néi
x¹ ph¶i.
10

Mét ®Æc tr-ng kh¸c cña vµnh tùa Frobenius ®-îc W. K. Nicholson vµ
M. F. Yousif chøng minh trong [34], vµnh R lµ tùa Frobenius khi vµ chØ khi
R lµ vµnh liªn tôc ph¶i, min-CS tr¸i vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn çc
linh ho¸ tö ph¶i. Chóng t«i gi¶m nhÑ ®iÒu kiÖn vµnh liªn tôc ph¶i bëi ®iÒu
kiÖn gi¶ c+
-néi x¹ ph¶i vµ thªm ®iÒu kiÖn min-CS ph¶i trong kÕt qu¶ cña
hai t¸c gi¶ trªn. Cô thÓ:
(2) R lµ gi¶ c+
-néi x¹ ph¶i, min-CS hai phÝa vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ACC
trªn çc linh ho¸ tö ph¶i.
KÕt qu¶ trong Ch-¬ng 2 còng chØ ra r»ng, nÕu R lµ vµnh gi¶ c+
-néi x¹
ph¶i vµ CS ph¶i th× R lµ vµnh liªn tôc ph¶i. Tuy nhiªn, chóng t«i ch-a cã
c©u tr¶ lêi cho c©u hái "vµnh gi¶ c+
-néi x¹ ph¶i vµ min-CS ph¶i cã lµ vµnh
liªn tôc ph¶i hay kh«ng?". Ngoµi çc kÕt qu¶ trªn, chóng t«i ®-a ra çc ®Æc
tr-ng cña vµnh Artin nöa ®¬n th«ng qua m«®un gi¶ c-néi x¹ vµ gi¶ c+
-néi
x¹. Vµnh R lµ Artin nöa ®¬n khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i gi¶ c-néi
x¹ lµ néi x¹, khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i cã hÖ sinh ®Õm ®-îc lµ gi¶
c+
-néi x¹. §©y lµ kÕt qu¶ më réng kÕt qu¶ cña B. Osofsky "vµnh R lµ Artin
nöa ®¬n khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i h÷u h¹n sinh lµ néi x¹".
Nh- ®· nªu ë trªn, mét ®Æc tr-ng quan träng cña vµnh QF lµ mäi m«®un
néi x¹ lµ x¹ ¶nh vµ mäi m«®un x¹ ¶nh lµ néi x¹. V× vËy, ta xÐt ®Õn kh¸i
niÖm ®èi ngÉu cña m«®un néi x¹, ®ã lµ m«®un x¹ ¶nh. Kh¸i niÖm nµy ®-îc
H. Cartan vµ S. Eilenberg ®-a ra vµo n¨m 1956. Sau ®ã, çc kh¸i niÖm më
réng cña nã còng ®· ®-îc çc t¸c gi¶ kh¸c nghiªn cøu, ch¼ng h¹n, m«®un
tùa x¹ ¶nh, m«®un rêi r¹c, m«®un tùa rêi r¹c, m«®un tháa m·n ®iÒu kiÖn
D1, D2, D3, ... M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ bÐ trong M, ký hiÖu lµ
N M, nÕu N + L = M th× L = M. M«®un P ®-îc gäi lµ phñ x¹ ¶nh
11

cña m«®un M nÕu P lµ x¹ ¶nh vµ tån t¹i toµn cÊu f : P → M sao cho
Kerf P. Ta biÕt r»ng kh«ng ph¶i mäi m«®un ®Òu cã phñ x¹ ¶nh, v× vËy,
H. Bass ([5]) ®· gäi vµnh R lµ hoµn chØnh ph¶i nÕu mäi R-m«®un ph¶i ®Òu
cã phñ x¹ ¶nh. NÕu mäi R-m«®un ph¶i h÷u h¹n sinh ®Òu cã phñ x¹ ¶nh th×
vµnh R ®-îc gäi lµ vµnh nöa hoµn chØnh. Sau ®ã, n¨m 1966, F. Kasch vµ
E. A. Mares ([28]) ®· chuyÓn kh¸i niÖm nµy sang m«®un vµ ®Æc tr-ng vµnh
hoµn chØnh, nöa hoµn chØnh th«ng qua m«®un cã phÇn phô (supplemented).
M ®-îc gäi lµ m«®un cã tÝnh chÊt mäi m«®un con ®Òu cã phÇn phô, ®-îc
gäi t¾t lµ m«®un cã phÇn phô, nÕu mäi m«®un con N cña M, tån t¹i L sao
cho N + L = M vµ N ∩ L L. Çc t¸c gi¶ trong [28] ®· chØ ra r»ng vµnh
R lµ hoµn chØnh ph¶i (t.-., nöa hoµn chØnh) nÕu mäi R-m«®un (t.-., h÷u h¹n
sinh) lµ m«®un cã phÇn phô, ®ång thêi vµnh R lµ nöa hoµn chØnh nÕu vµ
chØ nÕu RR lµ m«®un cã phÇn phô. Ngoµi ra, I. Al-Khazzi vµ P. F. Smith
([3]) ®· chøng minh r»ng, m«®un M lµ Artin khi vµ chØ khi M lµ m«®un
cã phÇn phô vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn çc m«®un con phÇn phô vµ
m«®un con bÐ.
Më réng kh¸i niÖm m«®un con bÐ, trong [51], Y. Zhou giíi thiÖu kh¸i
niÖm m«®un con δ-bÐ. M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ δ-bÐ trong M, ký
hiÖu lµ N δ M, nÕu N +L = M víi M/L suy biÕn th× L = M. Tõ ®ã t¸c
gi¶ nµy còng ®· ®-a ra tr-êng hîp më réng cña vµnh hoµn chØnh (t.-. nöa
hoµn chØnh) ®ã lµ vµnh δ-hoµn chØnh (t.-., δ-nöa hoµn chØnh). Sau ®ã, n¨m
2007, M. T. Kosan ([29]) ®· ®-a ra kh¸i niÖm m«®un δ-n©ng (δ-lifting) vµ
m«®un cã δ-phÇn phô (δ-supplemented), ®ång thêi ®Æc tr-ng vµnh δ-hoµn
chØnh, δ-nöa hoµn chØnh th«ng qua çc líp m«®un nµy. Cô thÓ, vµnh R lµ
δ-hoµn chØnh ph¶i (t.-., δ-nöa hoµn chØnh) khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i
(t.-., h÷u h¹n sinh) x¹ ¶nh lµ δ-n©ng, khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i (t.-.,
h÷u h¹n sinh) x¹ ¶nh lµ m«®un cã δ-phÇn phô. Trong [49], Y. Wang tiÕp tôc
kh¶o s¸t vÒ líp m«®un cã δ-phÇn phô, ®ång thêi chøng minh r»ng m«®un
12

M lµ Artin khi vµ chØ khi M lµ m«®un cã δ-phÇn phô nhiÒu vµ tháa m·n
®iÒu kiÖn DCC trªn çc m«®un con δ-phÇn phô vµ m«®un con δ-bÐ. Mét líp
con cña líp m«®un cã δ-phÇn phô còng ®· ®-îc çc t¸c gi¶ E. Buyukasik
vµ C. Lomp ([7]) kh¶o s¸t, ®ã lµ líp m«®un δ-®Þa ph-¬ng. §ång thêi çc
t¸c gi¶ trong [7] ®· ®-a ra çc ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét m«®un cã δ-phÇn phô lµ
m«®un cã phÇn phô, vµnh δ-nöa hoµn chØnh lµ nöa hoµn chØnh. N¨m 2013,
R. Tribak ([46]) tiÕp tôc kh¶o s¸t líp m«®un δ-®Þa ph-¬ng vµ còng ®· ®Æc
tr-ng vµnh δ-nöa hoµn chØnh, vµnh nöa hoµn chØnh th«ng qua líp m«®un
nµy.
N¨m 2011, D. X. Zhou vµ X. R. Zhang ([53]) ®· ®-a ra kh¸i niÖm më
réng kh¸i niÖm m«®un con δ-bÐ, ®ã lµ m«®un con bÐ cèt yÕu (essentially
small). M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ bÐ cèt yÕu trong M, ký hiÖu lµ
N e M, nÕu N + L = M víi L ≤e
M th× L = M. Theo ®ã, chóng
t«i ®-a ra kh¸i niÖm m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. M«®un M ®-îc gäi lµ
cã phÇn phô cèt yÕu nÕu mäi m«®un con N cña M, tån t¹i m«®un con L
sao cho M = N + L vµ N ∩ L e L. Çc líp con cña líp m«®un cã
phÇn phô cèt yÕu còng ®· ®-îc ®Ò xuÊt vµ kh¶o s¸t, ®ã lµ çc líp m«®un
n©ng cèt yÕu, ®Þa ph-¬ng cèt yÕu. M«®un M ®-îc gäi lµ n©ng cèt yÕu
nÕu víi mçi m«®un con N cña M, tån t¹i sù ph©n tÝch M = A ⊕ B sao
cho A ≤ N vµ N ∩ B e M. M«®un M ®-îc gäi lµ ®Þa ph-¬ng cèt yÕu
nÕu Rade(M) = {N ≤ M|N e M} lµ m«®un con cùc ®¹i vµ bÐ cèt
yÕu trong M. Çc kÕt qu¶ liªn quan ®· ®-îc c«ng bè trong bµi b¸o [38],
mét phÇn trong bµi b¸o [43] vµ ®-îc tr×nh bµy trong Ch-¬ng 3 cña luËn ¸n.
Chóng t«i ®· kh¶o s¸t çc tÝnh chÊt ®ång ®iÒu cña çc líp m«®un trªn vµ chØ
ra mèi liªn hÖ cña chóng víi çc líp m«®un δ-n©ng, m«®un cã δ-phÇn phô,
m«®un δ-®Þa ph-¬ng vµ m«®un ®Þa ph-¬ng. Cô thÓ, líp m«®un n©ng cèt yÕu
(t.-., m«®un cã phÇn phô cèt yÕu) lµ çc líp më réng cña líp m«®un δ-n©ng
(t.-., m«®un cã δ-phÇn phô). H¬n n÷a, líp m«®un n©ng cèt yÕu lµ më réng
13

thùc sù cña líp m«®un δ-n©ng, líp m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu chøa líp çc
m«®un ®Þa ph-¬ng mµ kh«ng lµ m«®un ®¬n. Bªn c¹nh ®ã, chóng t«i chøng
minh ®-îc r»ng, tæng trùc tiÕp cña mét m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu víi mét
m«®un nöa ®¬n lµ m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu vµ m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu
lµ tæng trùc tiÕp cña mét m«®un cyclic, ®Þa ph-¬ng cèt yÕu víi mét m«®un
nöa ®¬n. Mét ®Æc tr-ng quan träng cña m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu M ®ã
lµ M cã duy nhÊt mét m«®un con cèt yÕu cùc ®¹i vµ mçi m«®un con thùc
sù, cèt yÕu trong M chøa trong mét m«®un con cùc ®¹i. Cô thÓ:
§Þnh lý 3.2.10. Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng ®èi víi m«®un M:
(1) M lµ m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu;
(2) Rade(M) lµ m«®un con cùc ®¹i cña M vµ mçi m«®un con thùc sù, cèt
yÕu trong M chøa trong mét m«®un con cùc ®¹i;
(3) M cã duy nhÊt mét m«®un con cèt yÕu cùc ®¹i vµ mçi m«®un con thùc
sù, cèt yÕu trong M chøa trong mét m«®un con cùc ®¹i.
Tõ tÝnh nöa ®¬n cña m«®un M/ Rade(M), trong ®ã M lµ m«®un cã
phÇn phô cèt yÕu vµ ®Æc tr-ng Artin cña m«®un Rade(M) th«ng qua ®iÒu
kiÖn d©y chuyÒn trªn çc m«®un con bÐ cèt yÕu, chóng t«i chØ ra mét ®Æc
tr-ng Artin cña m«®un M:
§Þnh lý 3.3.7. Cho M lµ mét m«®un. Khi ®ã M lµ Artin khi vµ chØ khi M
lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn çc
m«®un con phÇn phô cèt yÕu vµ m«®un con bÐ cèt yÕu.
Ngoµi ra, mét sè ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét m«®un lµ m«®un cã phÇn phô cèt
yÕu nhiÒu (amply e-supplemented) còng ®· ®-îc chØ ra. Ch¼ng h¹n, m«®un
cã phÇn phô cèt yÕu vµ π-x¹ ¶nh lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu;
m«®un M h÷u h¹n sinh vµ mäi m«®un con cyclic cña M lµ m«®un cã phÇn
phô th× M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu;...
14

Ch-¬ng 1
KiÕn thøc chuÈn bÞ
1.1 Çc ký hiÖu vµ kh¸i niÖm c¬ b¶n.
Cho N lµ m«®un con cña M. M«®un con N ®-îc gäi lµ cèt yÕu (hay
m«®un con lín) trong M, ký hiÖu lµ N ≤e
M, nÕu N ∩ A = 0 víi mäi
m«®un con A kh¸c kh«ng cña M. M«®un con K cña M ®-îc gäi lµ ®ãng
trong M nÕu K kh«ng cã më réng cèt yÕu thùc sù, nghÜa lµ, nÕu L lµ mét
m«®un con cña M sao cho K ≤e
L th× K = L. M«®un con H cña M
®-îc gäi lµ phÇn bï cña N trong M nÕu H lµ m«®un con lín nhÊt trong
çc m«®un con Q cña M tho¶ m·n tÝnh chÊt Q ∩ N = 0 ([13, 1.10]). Sau
®©y lµ mét sè tÝnh chÊt cña m«®un con ®ãng:
Bæ ®Ò 1.1.1 ([13, 1.10]). Cho L, K, N lµ çc m«®un con cña m«®un M vµ
K ≤ L. Khi ®ã ta cã:
(1) Tån t¹i m«®un con ®ãng H cña M sao cho N ≤e
H.
(2) M«®un con K ®ãng trong M khi vµ chØ khi víi Q ≤e
M, K ≤ Q th×
Q/K ≤e
M/K.
(3) NÕu L ®ãng trong M th× L/K ®ãng trong M/K.
(4) NÕu K ®ãng trong L vµ L ®ãng trong M th× K ®ãng trong M.
(5) Gi¶ sö N lµ phÇn bï cña K. Khi ®ã K ®ãng trong M khi vµ chØ khi
K lµ phÇn bï cña N trong M.
M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ bÐ (hay ®èi cèt yÕu) trong M nÕu víi
mäi L ≤ M, N + L = M th× L = M. M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ
15

m«®un con cùc tiÓu nÕu N = 0 vµ N kh«ng chøa thùc sù bÊt kú m«®un con
kh¸c kh«ng nµo cña M. M«®un con L cña M ®-îc gäi lµ m«®un con cùc
®¹i nÕu L = M vµ L kh«ng thùc sù chøa trong bÊt kú m«®un con thùc sù
nµo cña M.
M«®un con Rad(M) = {N ≤ M|N M} ®-îc gäi lµ c¨n cña
m«®un M. §Õ cña m«®un M ®-îc ký hiÖu lµ Soc(M) vµ ®-îc x¸c ®Þnh
bëi Soc(M) = {N ≤ M|N ≤e
M}. §èi víi vµnh R, ta cã Rad(RR) =
Rad(RR), v× vËy c¨n cña vµnh R ®-îc ký hiÖu lµ J(R) = Rad(RR).
Víi R-m«®un M cho tr-íc vµ X ⊂ M, linh ho¸ tö ph¶i cña X trong
R ®-îc ký hiÖu lµ rR(X) vµ ®-îc x¸c ®Þnh bëi rR(X) = {r ∈ R| xr =
0 víi mäi x ∈ X}. Linh ho¸ tö tr¸i ®-îc ®Þnh nghÜa hoµn toµn t-¬ng
tù vµ ký hiÖu lµ lR(X). NÕu kh«ng sî nhÇm lÉn vÒ vµnh R, linh ho¸
tö ph¶i vµ tr¸i cña X trong R cã thÓ viÕt gän lµ r(X), l(X). Ký hiÖu
Z(M) = {m ∈ M|rR(m) ≤e
R} lµ m«®un con suy biÕn cña M, nÕu
M = Z(M) th× M ®-îc gäi lµ m«®un suy biÕn. NÕu Z(M) = 0 th× M
®-îc gäi lµ m«®un kh«ng suy biÕn.
M«®un M kh¸c kh«ng ®-îc gäi lµ ®Òu (uniform) nÕu bÊt kú hai m«®un
con kh¸c kh«ng cña M ®Òu cã giao kh¸c kh«ng, nghÜa lµ mäi m«®un con
kh¸c kh«ng ®Òu cèt yÕu trong M. M«®un M ®-îc gäi lµ cã chiÒu ®Òu (hay
chiÒu Goldie) lµ n, ký hiÖu lµ u. dim M = n, nÕu tån t¹i m«®un con V cèt
yÕu trong M sao cho V lµ tæng trùc tiÕp cña n m«®un con ®Òu. Ng-îc l¹i,
ta viÕt u.dim M = ∞. M«®un M ®-îc gäi lµ kh«ng ph©n tÝch ®-îc nÕu M
lµ m«®un kh¸c kh«ng vµ M kh«ng lµ tæng trùc tiÕp cña çc m«®un con kh¸c
kh«ng. M«®un M kh¸c kh«ng ®-îc gäi lµ ®¬n nÕu M chØ cã hai m«®un
con tÇm th-êng lµ 0 vµ M. M«®un M ®-îc gäi lµ nöa ®¬n nÕu M lµ tæng
trùc tiÕp cña çc m«®un ®¬n.
§Þnh nghÜa 1.1.1. Cho L lµ tËp çc m«®un con nµo ®ã cña m«®un M.
16

i) TËp L ®-îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn t¨ng (ACC) nÕu
víi mäi d·y L1 ≤ L2 ≤ · · · ≤ Ln ≤ . . . trong L, tån t¹i n ∈ N sao cho
Ln+i = Ln(i = 1, 2, ...).
ii) TËp L ®-îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn gi¶m (DCC) nÕu
víi mäi d·y L1 ≥ L2 ≥ · · · ≥ Ln ≥ . . . trong L, tån t¹i n ∈ N sao cho
Ln+i = Ln(i = 1, 2, ...).
Cho I lµ i®ªan cña vµnh R. NÕu víi mäi lòy ®¼ng f cña vµnh th-¬ng
R/I tån t¹i luü ®¼ng e cña vµnh R sao cho e−f ∈ I th× ta gäi çc lòy ®¼ng
n©ng ®-îc modulo I.
§Þnh nghÜa 1.1.2. PhÇn tö a cña vµnh R ®-îc gäi lµ chÝnh quy nÕu tån
t¹i phÇn tö x ∈ R sao cho axa = a. Vµnh R ®-îc gäi lµ chÝnh quy Von
Neumann nÕu mäi phÇn tö cña R lµ chÝnh quy. Vµnh R ®-îc gäi lµ nöa
chÝnh quy nÕu R/J(R) lµ vµnh chÝnh quy Von Neumann vµ çc luü ®¼ng
n©ng ®-îc modulo J(R).
TËp con I cña R ®-îc gäi lµ T-lòy linh tr¸i (t.-., ph¶i) nÕu mäi d·y
a1, a2, ... trong I, tån t¹i n sao cho a1.a2....an = 0 (t. -., an.....a2.a1 = 0).
I ®-îc gäi lµ lòy linh nÕu tån t¹i n ∈ N sao cho In
= 0.
§Þnh nghÜa 1.1.3. Vµnh R ®-îc gäi lµ nöa nguyªn s¬ nÕu R/J(R) lµ nöa
®¬n vµ J(R) lµ lòy linh. Vµnh R ®-îc gäi lµ nöa hoµn chØnh nÕu R/J(R)
lµ nöa ®¬n vµ çc lòy ®¼ng n©ng ®-îc modulo J(R). Vµnh R ®-îc gäi lµ
hoµn chØnh tr¸i (t.-., ph¶i) nÕu R/J(R) lµ nöa ®¬n vµ J(R) lµ T-lòy linh
tr¸i (t.-., ph¶i).
Theo ®Þnh nghÜa, vµnh nöa nguyªn s¬ lµ vµnh hoµn chØnh tr¸i hoÆc ph¶i.
Vµnh hoµn chØnh tr¸i hoÆc ph¶i lµ vµnh nöa hoµn chØnh.
17

1.2 M«®un néi x¹ vµ mét sè líp m«®un më réng cña nã.
§Þnh nghÜa 1.2.1. Cho M, N lµ c¸c R-m«®un. M ®-îc gäi lµ N-néi x¹ nÕu
víi mäi m«®un con A cña N, víi mçi ®ång cÊu tõ f : A → M, tån t¹i më
réng cña f tõ N vµo M. M«®un M ®-îc gäi lµ néi x¹ nÕu M lµ N néi x¹
víi mäi m«®un N. M«®un M ®-îc gäi lµ tùa néi x¹ nÕu M lµ M-néi x¹.
Vµnh R ®-îc gäi lµ tù néi x¹ ph¶i (t.-., tr¸i) nÕu RR (t.-., RR) lµ m«®un
tùa néi x¹.
§Þnh lý 1.2.1 (Tiªu chuÈn Baer). M«®un M lµ néi x¹ khi vµ chØ khi víi mäi
i®ªan ph¶i I cña R vµ ®ång cÊu β : I → M, tån t¹i ®ång cÊu f : RR → M
lµ më réng cña β.
Theo ®Þnh nghÜa, m«®un M lµ néi x¹ nÕu M lµ N-néi x¹ víi mäi m«®un
N. Tiªu chuÈn Baer chØ ra r»ng, R-m«®un M lµ néi x¹ khi vµ chØ khi M lµ
R-néi x¹. H¬n n÷a, kh¸i niÖm vµnh néi x¹ vµ vµnh tù néi x¹ lµ trïng nhau.
Sau ®©y lµ mét sè kh¸i niÖm më réng cña m«®un néi x¹:
§Þnh nghÜa 1.2.2 ([39]). Cho M vµ N lµ hai R-m«®un. M ®-îc gäi lµ gi¶
N-néi x¹ nÕu víi mäi m«®un con A cña N, víi mçi ®¬n cÊu tõ A vµo M,
®Òu më réng ®-îc ®Õn ®ång cÊu tõ N vµo M. M«®un M ®-îc gäi lµ gi¶
néi x¹ nÕu M lµ gi¶ M-néi x¹.
§Þnh nghÜa 1.2.3 ([32]). Cho M lµ R-m«®un.
i) M ®-îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn C1 (hay M lµ m«®un CS) nÕu mçi
m«®un con A cña M, A cèt yÕu trong h¹ng tö trùc tiÕp cña M.
ii) M ®-îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn C2 nÕu mçi m«®un con ®¼ng cÊu
víi h¹ng tö trùc tiÕp cña M lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M.
iii) M ®-îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn C3 nÕu víi A, B lµ hai h¹ng tö
18

trùc tiÕp cña M, A ∩ B = 0 th× A ⊕ B lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M.
iv) M ®-îc gäi lµ liªn tôc (t.-., tùa liªn tôc) nÕu M lµ CS vµ tho¶ ®iÒu
kiÖn C2 (t.-., C3).
Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy, nÕu m«®un M lµ tùa néi x¹ th× M lµ gi¶ néi x¹.
Çc t¸c gi¶ R. R. Hallett ([21]), K. S. Jain, S. Singh ([26]) vµ M. L. Teply
([40]) ®· chØ ra r»ng, líp m«®un gi¶ néi x¹ lµ më réng thùc sù cña líp
m«®un tùa néi x¹. Trong [12], Q. H. Dinh ®· chøng minh r»ng líp m«®un
gi¶ néi x¹ lµ líp con cña líp çc m«®un tháa m·n ®iÒu kiÖn C2.
§Þnh lý 1.2.2 ([12, Theorem 2.6]). NÕu M lµ gi¶ néi x¹ th× M tho¶ m·n
®iÒu kiÖn C2.
Mèi quan hÖ gi÷a m«®un néi x¹ vµ çc tr-êng hîp më réng cña nã ®-îc
thÓ hiÖn qua s¬ ®å sau:
Néi x¹ → tùa néi x¹ → liªn tôc → tùa liªn tôc → C1
↓ ↓ ↓
gi¶ néi x¹ → C2 → C3
Ngoµi çc líp m«®un trªn, çc líp m«®un sau còng lµ çc tr-êng hîp
më réng cña m«®un néi x¹:
§Þnh nghÜa 1.2.4. Cho M, N lµ çc R-m«®un.
i) M«®un M ®-îc gäi lµ N-néi x¹ ®¬n nÕu víi mäi m«®un con A cña
N, víi mçi ®ång cÊu f : A → M sao cho f(A) lµ m«®un con ®¬n, tån t¹i
®ång cÊu tõ N vµo M lµ më réng cña f. Vµnh R ®-îc gäi lµ néi x¹ ®¬n
ph¶i (t.-., tr¸i) nÕu RR (t.-., RR) lµ R-néi x¹ ®¬n ([34]).
ii) M«®un M ®-îc gäi lµ GQ-néi x¹ nÕu víi mäi m«®un con A ®¼ng
19

cÊu víi m«®un con ®ãng cña M, víi mçi ®ång cÊu tõ A vµo M ®Òu më
réng ®-îc ®Õn ®ång cÊu tõ M vµo M ([22]).
iii) M«®un N ®-îc gäi lµ M-c-néi x¹ nÕu víi mçi m«®un con ®ãng A
cña M vµ mçi ®ång cÊu tõ A vµo N ®Òu cã thÓ më réng ®Õn ®ång cÊu tõ
M vµo N. M«®un M ®-îc gäi lµ c-néi x¹ nÕu M lµ N-c-néi x¹ víi mäi
m«®un N. M«®un M ®-îc gäi lµ tùa c-néi x¹ nÕu M lµ M-c-néi x¹ ([11]).
Sau ®©y lµ tÝnh néi x¹ t-¬ng hç cña çc h¹ng tö trùc tiÕp cña m«®un gi¶
néi x¹ vµ m«®un tùa liªn tôc:
MÖnh ®Ò 1.2.3 ([12, Theorem 2.2]). NÕu M = K ⊕ N lµ gi¶ néi x¹ th× K
lµ N-néi x¹.
MÖnh ®Ò 1.2.4 ([32, Proposition 2.10]). NÕu M = K ⊕ N lµ tùa liªn tôc
th× K lµ N-néi x¹.
Ta biÕt r»ng, trong tr-êng hîp tæng qu¸t, tæng trùc tiÕp cña çc m«®un
tùa néi x¹ (t.-., tùa liªn tôc) ch-a h¼n lµ m«®un tùa néi x¹ (t.-., tùa liªn tôc).
Çc ®Þnh lý sau ®©y chØ ra mét ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó tæng trùc tiÕp çc m«®un
tùa néi x¹ (t.-., tùa liªn tôc) lµ tùa néi x¹ (t.-., tùa liªn tôc):
MÖnh ®Ò 1.2.5 ([32, Corollary 1.19]). M«®un ⊕n
i=1Mi lµ tùa néi x¹ khi vµ
chØ khi Mi lµ Mj-néi x¹ víi mäi i, j = 1, 2, ..., n. §Æc biÖt, Mn
lµ tùa néi
x¹ khi vµ chØ khi M lµ tùa néi x¹.
§Þnh lý 1.2.6 ([32, Theorem 2.13]). Cho {Mi : i ∈ I} lµ hä çc m«®un tùa
liªn tôc. Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
(1) M = ⊕i∈IMi lµ tùa liªn tôc;
(2) ⊕i∈IjMi lµ Mj-néi x¹.
20

§èi víi vµnh tù ®ång cÊu S cña m«®un liªn tôc M, t¸c gi¶ Y. Utumi ®·
chØ ra r»ng S/J(S) lµ vµnh chÝnh quy Von Neumann vµ liªn tôc ph¶i. H¬n
n÷a, S lµ vµnh nöa chÝnh quy:
§Þnh lý 1.2.7 ([34, Theorem 1.25]). Cho M lµ R-m«®un ph¶i liªn tôc. Khi
®ã
(1) S lµ nöa chÝnh quy vµ J(S) = {α ∈ S| Kerα ≤e
M},
(2) S/J(S) lµ liªn tôc ph¶i.
1.3 M«®un x¹ ¶nh vµ mét sè líp m«®un më réng cña nã.
§Þnh nghÜa 1.3.1 ([32]). Cho M, P lµ c¸c R-m«®un:
i) M«®un P ®-îc gäi lµ M-x¹ ¶nh nÕu víi mäi m«®un N vµ mäi toµn
cÊu α : M → N, víi mäi ®ång cÊu β : P → N, tån t¹i ®ång cÊu f : P → M
sao cho β = αf.
ii) M«®un P ®-îc gäi lµ x¹ ¶nh nÕu P lµ M-x¹ ¶nh víi mäi m«®un M.
M«®un P ®-îc gäi lµ tùa x¹ ¶nh nÕu P lµ P-x¹ ¶nh.
Sau ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt cña m«®un x¹ ¶nh:
MÖnh ®Ò 1.3.1 ([32, Proposition 4.31]). Cho P lµ M-x¹ ¶nh. NÕu A ≤ M
th× P lµ A-x¹ ¶nh vµ M/A-x¹ ¶nh.
MÖnh ®Ò 1.3.2 ([32, Lemma 4.32]). Cho P = ⊕i∈IAi. Khi ®ã, P lµ M-x¹
¶nh khi vµ chØ khi Ai lµ M-x¹ ¶nh víi mäi i ∈ I.
MÖnh ®Ò 1.3.3 ([32, Proposition 4.33]). M«®un P lµ (⊕n
i=1Ai)-x¹ ¶nh (n ∈
N) khi vµ chØ khi P lµ Ai-x¹ ¶nh víi mäi i = 1, 2, ..., n.
21

M«®un M ®-îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn D1 (hay M lµ m«®un n©ng)
nÕu mçi m«®un con N cña M, tån t¹i sù ph©n tÝch M = A ⊕ B sao cho
A ≤ N vµ N ∩ B B. M«®un M ®-îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn D2 nÕu
mçi m«®un con N cña M, M/N ®¼ng cÊu víi h¹ng tö trùc tiÕp cña M th×
N lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M. M«®un M ®-îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
D3 nÕu víi A, B lµ hai h¹ng tö trùc tiÕp cña M, A + B = M th× A ∩ B
lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M. M«®un M ®-îc gäi lµ rêi r¹c (t.-., tùa rêi r¹c)
nÕu M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn D1 vµ D2 (t.-., D1 vµ D3). M«®un con L ®-îc
gäi lµ phÇn phô cña N ≤ M nÕu L + N = M vµ N ∩ L L. M ®-îc
gäi lµ m«®un cã tÝnh chÊt mäi m«®un con ®Òu cã phÇn phô (supplemented),
®-îc gäi t¾t lµ m«®un cã phÇn phô, nÕu mäi m«®un con N cña M, tån t¹i
L lµ phÇn phô cña N trong M.
S¬ ®å sau thÓ hiÖn mèi quan hÖ gi÷a líp m«®un x¹ ¶nh vµ mét sè líp
m«®un më réng kh¸c:
X¹ ¶nh → tùa x¹ ¶nh → D2 → D3
↓
rêi r¹c → tùa rêi r¹c → D1 → cã phÇn phô
NhËn xÐt 1.3.2. M«®un tùa x¹ ¶nh ch-a h¼n lµ m«®un rêi r¹c. ThËt vËy,
xÐt Z-m«®un Z. Khi ®ã, Z lµ m«®un x¹ ¶nh vµ kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn
D1. Nh- vËy Z lµ m«®un tùa x¹ ¶nh vµ kh«ng lµ rêi r¹c.
Më réng kh¸i niÖm m«®un con bÐ, Y. Zhou ®· ®-a ra kh¸i niÖm m«®un
δ-bÐ vµ mét sè kh¸i niÖm liªn quan. M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ δ-bÐ
trong M, ký hiÖu lµ N δ M, nÕu N + L = M víi M/L suy biÕn th×
L = M. M«®un P ®-îc gäi lµ δ-phñ x¹ ¶nh cña m«®un M nÕu P lµ x¹
¶nh vµ tån t¹i toµn cÊu f : P → M sao cho Kerf δ P. Vµnh R ®-îc gäi
lµ δ-hoµn chØnh (t.-., δ-nöa hoµn chØnh) nÕu mäi R-m«®un (t.-., h÷u h¹n
sinh) ®Òu cã δ-phñ x¹ ¶nh ([52]). Sau ®ã, T. M. Kosan giíi thiÖu kh¸i niÖm
22

m«®un δ-n©ng vµ m«®un cã δ-phÇn phô, ®ång thêi ®Æc tr-ng vµnh δ-hoµn
chØnh vµ δ-nöa hoµn chØnh th«ng qua hai líp m«®un nµy:
§Þnh nghÜa 1.3.3 ([29]). Cho M lµ R-m«®un vµ N ≤ M.
i) M«®un con L ®-îc gäi lµ δ-phÇn phô cña N trong M nÕu M = N +L
vµ N ∩ L δ L.
ii) M ®-îc gäi lµ m«®un δ-n©ng (δ-lifting) nÕu víi mçi m«®un con N
cña M, tån t¹i sù ph©n tÝch M = A ⊕ B sao cho A ≤ N vµ B ∩ N δ M.
iii) M«®un M cã tÝnh chÊt mäi m«®un con ®Òu cã δ-phÇn phô, ®-îc gäi
t¾t lµ m«®un cã δ-phÇn phô (δ-supplemented), nÕu mäi m«®un con N cña
M tån t¹i L ≤ M sao cho L lµ δ-phÇn phô cña N trong M.
§Þnh lý 1.3.4 ([29, Theorem 1.1]). Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng ®èi
víi vµnh R:
(1) R lµ δ-hoµn chØnh (t.-., δ-nöa hoµn chØnh);
(2) Mäi R-m«®un (t.-., h÷u h¹n sinh) lµ cã δ-phÇn phô;
(3) Mäi R-m«®un x¹ ¶nh (t.-., h÷u h¹n sinh vµ x¹ ¶nh) lµ cã δ-phÇn phô;
(4) Mäi R-m«®un x¹ ¶nh (t.-., h÷u h¹n sinh vµ x¹ ¶nh) lµ δ-n©ng.
Çc t¸c gi¶ trong [46] vµ [7] tiÕp tôc nghiªn cøu líp m«®un cã δ-phÇn
phô vµ kh¶o s¸t çc líp con cña nã, ®ã lµ çc líp m«®un cã δ-phÇn phô
nhiÒu vµ m«®un δ-®Þa ph-¬ng. Tõ ®ã, R. Tribak ([46]) chØ ra mét ®Æc tr-ng
cña vµnh nöa hoµn chØnh th«ng qua m«®un δ-®Þa ph-¬ng:
§Þnh nghÜa 1.3.4. i) M ®-îc gäi lµ m«®un cã δ-phÇn phô nhiÒu (amply
δ-supplemented) nÕu mçi m«®un con A, B cña M sao cho A + B = M, tån
t¹i δ-phÇn phô P cña A sao cho P ≤ B ([46]).
23

ii) M«®un M ®-îc gäi lµ δ-®Þa ph-¬ng nÕu δ(M) = {N ≤ M|N δ
M} lµ m«®un con cùc ®¹i cña M vµ δ(M) δ M ([7]).
MÖnh ®Ò 1.3.5 ([46, Proposition 2.3]). Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng
®èi víi vµnh R:
(1) R lµ nöa hoµn chØnh;
(2) R/J(R) lµ nöa ®¬n, RR lµ tæng h÷u h¹n çc m«®un con ®¬n vµ δ-®Þa
ph-¬ng.
Çc líp m«®un δ-n©ng vµ m«®un cã δ-phÇn phô lµ çc líp më réng
thùc sù cña m«®un n©ng vµ m«®un cã phÇn phô (t-¬ng øng). Tuy nhiªn,
trong [7], çc t¸c gi¶ ®· chØ ra çc vÝ dô chøng tá hai líp m«®un ®Þa ph-¬ng
vµ m«®un δ-®Þa ph-¬ng lµ kh«ng chøa nhau. Sau ®©y lµ çc ®Æc tr-ng cña
m«®un δ-®Þa ph-¬ng:
MÖnh ®Ò 1.3.6 ([46, Proposition 2.17]). Cho M = N ⊕ K lµ mét m«®un.
Çc kh¼ng ®Þnh sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
(1) M lµ δ-®Þa ph-¬ng;
(2) a) N lµ δ-®Þa ph-¬ng, K lµ nöa ®¬n vµ x¹ ¶nh, hoÆc (b) K lµ δ-®Þa
ph-¬ng, N lµ nöa ®¬n vµ x¹ ¶nh.
MÖnh ®Ò 1.3.7 ([46, Proposition 2.19]). Cho M lµ mét m«®un. Khi ®ã,
çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
(1) M lµ δ-®Þa ph-¬ng;
(2) M = L ⊕ N sao cho L lµ m«®un cyclic, δ-®Þa ph-¬ng vµ N lµ nöa
®¬n, x¹ ¶nh.
24

Çc ®Æc tr-ng Artin cña m«®un Rad(M) vµ δ(M) th«ng qua ®iÒu kiÖn
d©y chuyÒn trªn çc m«®un con bÐ vµ δ-bÐ ®· ®-îc I. Al-Khazzi, P. F. Smith
vµ Y. Wang chøng minh:
§Þnh lý 1.3.8 ([3, Theorem 5]). Cho M lµ mét m«®un. Khi ®ã Rad(M) lµ
Artin khi vµ chØ khi M tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn çc m«®un con bÐ.
§Þnh lý 1.3.9 ([50, Theorem 2.5]). Cho M lµ mét m«®un. Khi ®ã δ(M) lµ
Artin khi vµ chØ khi M tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn çc m«®un con δ-bÐ.
Tõ ®ã, çc t¸c gi¶ trªn ®· ®-a ra çc ®Æc tr-ng cña m«®un Artin th«ng
qua m«®un con bÐ vµ m«®un con δ-bÐ:
§Þnh lý 1.3.10 ([3, Theorem 7]). Cho M lµ mét m«®un. Khi ®ã M lµ Artin
khi vµ chØ khi M lµ m«®un cã phÇn phô vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn
çc m«®un con phÇn phô vµ m«®un con bÐ.
§Þnh lý 1.3.11 ([50, Theorem 3.10]). Cho M lµ mét m«®un. Khi ®ã M lµ
Artin khi vµ chØ khi M lµ m«®un cã δ-phÇn phô nhiÒu vµ tháa m·n ®iÒu
kiÖn DCC trªn çc m«®un con δ-phÇn phô vµ m«®un con δ-bÐ.
1.4 M«®un vµ vµnh Artin, N¬te.
§Þnh nghÜa 1.4.1. i) M«®un M ®-îc gäi lµ N¬te nÕu mçi tËp kh¸c rçng çc
m«®un con nµo ®ã cña M ®Òu cã phÇn tö cùc ®¹i.
ii) M«®un M ®-îc gäi lµ Artin nÕu mçi tËp kh¸c rçng çc m«®un con
nµo ®ã cña M ®Òu cã phÇn tö cùc tiÓu.
iii) Vµnh R ®-îc gäi lµ N¬te ph¶i (t.-., tr¸i) nÕu m«®un RR (t.-., RR)
lµ N¬te.
25

iv) Vµnh R ®-îc gäi lµ Artin ph¶i (t.-., tr¸i) nÕu m«®un RR (t.-., RR)
lµ Artin.
M«®un M ®-îc gäi lµ h÷u h¹n sinh nÕu M cã tËp sinh h÷u h¹n. M«®un
M ®-îc gäi lµ h÷u h¹n ®èi sinh nÕu víi mäi A lµ tËp çc m«®un con nµo
®ã cña M vµ
A∈A
A = 0 th× tån t¹i tËp h÷u h¹n F ⊂ A sao cho
A∈F
A = 0.
Sau ®©y lµ mét sè ®Æc tr-ng cña m«®un Artin vµ N¬te:
§Þnh lý 1.4.1 ([1, §Þnh lý 1.1.3, trang 72]). Cho M lµ mét m«®un vµ
A ≤ M.
(I) Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
(1) M lµ Artin;
(2) A vµ M/A lµ Artin;
(3) M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn DCC ®èi víi tËp çc m«®un con;
(4) Mçi m«®un th-¬ng cña m«®un M h÷u h¹n ®èi sinh;
(5) Trong tËp {Ai, i ∈ I} = ∅ çc m«®un con cña m«®un M tån t¹i tËp
con h÷u h¹n {Ai, i ∈ I0} (nghÜa lµ I0 ⊆ I h÷u h¹n) sao cho
i∈I
Ai =
i∈I0
Ai.
(II) Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
(1) M lµ N¬te;
(2) A vµ M/A lµ N¬te;
(3) M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ACC ®èi víi tËp çc m«®un con;
26

(4) Mçi m«®un con cña m«®un M h÷u h¹n sinh;
(5) Trong tËp {Ai, i ∈ I} = ∅ çc m«®un con cña m«®un M tån t¹i tËp
con h÷u h¹n {Ai, i ∈ I0} (nghÜa lµ I0 ⊆ I h÷u h¹n) sao cho
i∈I
Ai =
i∈I0
Ai.
§Þnh lý 4.15 ([18]) chØ ra r»ng, nÕu R lµ vµnh Artin ph¶i th× R lµ N¬te
ph¶i. §iÒu nµy kh«ng ®óng ®èi víi m«®un. Tuy nhiªn, nÕu M lµ m«®un
nöa ®¬n th× M lµ N¬te khi vµ chØ khi M lµ Artin.
§Þnh lý 1.4.2 ([50, 31.3]). Cho M lµ m«®un nöa ®¬n. Çc ®iÒu kiÖn sau lµ
t-¬ng ®-¬ng:
(1) M lµ N¬te;
(2) M lµ Artin;
(3) M lµ h÷u h¹n sinh.
Ta biÕt r»ng, tæng h÷u h¹n cña çc m«®un néi x¹ lµ néi x¹ nh-ng tæng
v« h¹n çc m«®un néi x¹ ch-a h¼n lµ néi x¹. §Þnh lý sau chØ ra mét ®iÒu
kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tæng v« h¹n çc m«®un néi x¹ lµ néi x¹:
§Þnh lý 1.4.3 ([31, Therem 3.46]). Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng ®èi
víi vµnh R ®· cho:
(1) R lµ N¬te ph¶i;
(2) Tæng trùc tiÕp çc R-m«®un ph¶i néi x¹ lµ néi x¹;
(3) Tæng trùc tiÕp ®Õm ®-îc çc R-m«®un ph¶i néi x¹ lµ néi x¹.
Vµnh R ®-îc gäi lµ J-nöa ®¬n nÕu J(R) = 0. Vµnh R ®-îc gäi lµ
nöa ®¬n nÕu RR lµ m«®un nöa ®¬n. Trong [31], T. Y. Lam ®· chøng minh
27

r»ng, vµnh R lµ nöa ®¬n khi vµ chØ khi R lµ vµnh Artin ph¶i (hoÆc tr¸i)
vµ J(R) = 0. §Ó tr¸nh nhÇm lÉn víi vµnh J-nöa ®¬n, ng-êi ta th-êng gäi
vµnh nöa ®¬n lµ vµnh Artin nöa ®¬n. Ta biÕt r»ng, R lµ vµnh Artin nöa ®¬n
khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i lµ néi x¹. H¬n n÷a, B. Osofsky ®· chøng
minh r»ng, nÕu mäi R-m«®un ph¶i h÷u h¹n sinh lµ néi x¹ th× R lµ vµnh
Artin nöa ®¬n.
(1) R lµ Artin nöa ®¬n;
(2) Mçi R-m«®un ph¶i h÷u h¹n sinh lµ néi x¹;
(3) Mçi R-m«®un ph¶i cyclic lµ néi x¹.
1.5 Vµnh tùa Frobenius.
§Þnh nghÜa 1.5.1 ([34]). Vµnh R ®-îc gäi lµ tùa Frobenius nÕu R lµ vµnh
tù néi x¹ hai phÝa vµ Artin hai phÝa.
Sau ®©y lµ mét ®Æc tr-ng quan träng cña vµnh tùa Frobenius (§Þnh lý
Faith-Walker):
(2) Mäi R-m«®un ph¶i (hoÆc tr¸i) néi x¹ lµ x¹ ¶nh;
(3) Mäi R-m«®un ph¶i (hoÆc tr¸i) x¹ ¶nh lµ néi x¹.
28

ViÖc t×m çc ®iÒu kiÖn ®ñ, gi¶m nhÑ çc ®iÒu kiÖn tù néi x¹ hai phÝa vµ
Artin hai phÝa ®Ó ®Æc tr-ng cho vµnh tùa Frobenius th«ng qua çc líp vµnh
më réng cña vµnh tù néi x¹ ®· ®-îc nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu. Ch¼ng h¹n,
n¨m 1951, M. Ikeda ®· chøng minh r»ng nÕu vµnh R tù néi x¹ mét phÝa vµ
Artin (hoÆc N¬te) mét phÝa th× R lµ vµnh tùa Frobenius.
(2) R lµ tù néi x¹ ph¶i (hoÆc tr¸i) vµ Artin ph¶i (hoÆc tr¸i);
(3) R lµ tù néi x¹ ph¶i (hoÆc tr¸i) vµ N¬te ph¶i (hoÆc tr¸i).
Sau ®ã, n¨m 1965, Y. Utumi ([47]) ®Æc tr-ng vµnh tùa Frobenius th«ng
qua vµnh tiªn tôc:
(2) R lµ liªn tôc hai phÝa vµ Artin hai phÝa.
N¨m 1966, C. Faith ®· më réng kÕt qu¶ cña M. Ikeda, gi¶m nhÑ ®iÒu
kiÖn ®Æc tr-ng cho vµnh tùa Frobenius ®-îc nªu trong §Þnh lý 1.5.2:
29

(2) R lµ tù néi x¹ ph¶i (hoÆc tr¸i) vµ tho¶ ®iÒu kiÖn ACC trªn çc linh
ho¸ tö ph¶i (hoÆc tr¸i);
(3) R lµ tù néi x¹ ph¶i (hoÆc tr¸i) vµ tho¶ ®iÒu kiÖn DCC trªn çc linh
ho¸ tö ph¶i (hoÆc tr¸i).
Çc t¸c gi¶ B. Osofsky, W. K. Nicholson vµ M. F. Yousif còng ®· ®Æc
tr-ng vµnh tùa Frobenius th«ng qua vµnh hoµn chØnh tr¸i vµ vµnh néi x¹ ®¬n
hai phÝa:
(2) R lµ tù néi x¹ hai phÝa vµ hoµn chØnh tr¸i;
(3) R lµ néi x¹ ®¬n hai phÝa vµ hoµn chØnh tr¸i.
Mét ®Æc tr-ng cña vµnh tùa Frobenius th«ng qua vµnh liªn tôc vµ min-
CS, më réng kÕt qu¶ cña Y. Utumi (§Þnh lý 1.5.3) vµ cña C. Faith (§Þnh lý
1.5.4), ®· ®-îc W. K. Nicholson vµ M. F. Yousif chøng minh:
§Þnh nghÜa 1.5.2 ([34]). Cho vµnh R vµ M lµ R-m«®un.
i) M«®un M ®-îc gäi lµ min-CS nÕu mäi m«®un con ®¬n cña M ®Òu
cèt yÕu trong mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M.
ii) Vµnh R ®-îc gäi lµ min-CS ph¶i (t.-., tr¸i) nÕu RR (t.-., RR) lµ
min-CS.
NhËn xÐt 1.5.3. NÕu M lµ m«®un CS th× M lµ m«®un min-CS. §iÒu ng-îc
30

l¹i kh«ng ®óng. Ch¼ng h¹n, xÐt R =
Z4 Z4
0 Z4
, khi ®ã RR lµ min-CS
nh-ng kh«ng lµ CS ([34, trang 86]).
(2) R lµ liªn tôc ph¶i, min-CS tr¸i vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn çc
linh hãa tö ph¶i.
Ngoµi ra, mét sè t¸c gi¶ kh¸c còng ®· nghiªn cøu ®Æc tr-ng cña vµnh tùa
Frobenius theo çc h-íng më réng kh¸c, ch¼ng h¹n, J. Clark vµ D. V. Huynh
([9]); C. Faith vµ D. V. Huynh ([16]), ...
§Þnh lý 1.5.7 ([9, Theorem 1]). Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng ®èi víi
vµnh R ®· cho:
(2) R lµ tùa liªn tôc ph¶i vµ mçi R-m«®un ph¶i x¹ ¶nh lµ CS.
MÖnh ®Ò 1.5.8 ([16, Corollary 9.1]). Vµnh R lµ -néi x¹ ®Õm ®-îc ph¶i
khi vµ chØ khi R lµ vµnh tùa Frobenius.
Trong ®ã, vµnh R ®-îc gäi lµ -néi x¹ ®Õm ®-îc ph¶i nÕu R
(N)
R lµ néi
x¹ ([16]).
31

Ch-¬ng 2
m«®un vµ vµnh gi¶ C+
-néi x¹
Néi dung cña ch-¬ng nµy lµ çc kÕt qu¶ liªn quan ®Õn m«®un gi¶ c-néi
x¹ vµ gi¶ c+
-néi x¹. Çc tÝnh chÊt vµ mèi liªn hÖ gi÷a líp m«®un gi¶ c-néi
x¹, gi¶ c+
-néi x¹ vµ mét sè líp m«®un më réng kh¸c cña m«®un néi x¹ cã
liªn quan ®· ®-îc chØ ra. Çc kÕt qu¶ quan träng trong ch-¬ng nµy ®ã lµ çc
®Æc tr-ng cña m«®un néi x¹, m«®un tùa néi x¹, m«®un liªn tôc; ®Æc tr-ng
cña vµnh Artin nöa ®¬n th«ng qua tÝnh chÊt gi¶ c-néi x¹ vµ gi¶ c+
-néi x¹;
tÝnh chÝnh quy cña vµnh th-¬ng cña vµnh tù ®ång cÊu cña m«®un gi¶ c+
-néi
x¹ vµ çc ®Æc tr-ng cña vµnh tùa Frobenius th«ng qua vµnh gi¶ c+
-néi x¹.
2.1 M«®un gi¶ c-néi x¹.
Trong môc nµy, chóng t«i tr×nh bµy kh¸i niÖm vµ mét sè tÝnh chÊt cña
m«®un gi¶ c-néi x¹. Çc tÝnh chÊt c¬ b¶n cña líp m«®un nµy ®-îc chøng
minh trong MÖnh ®Ò 2.1.3 vµ MÖnh ®Ò 2.1.5. KÕt qu¶ chÝnh trong phÇn nµy
®ã lµ ®Æc tr-ng cña vµnh Artin nöa ®¬n th«ng qua m«®un gi¶ c-néi x¹ ®-îc
chøng minh ë §Þnh lý 2.1.6.
§Þnh nghÜa 2.1.1. Cho M, N lµ hai R-m«®un. N ®-îc gäi lµ gi¶ M-c-néi
x¹ nÕu víi mäi m«®un con ®ãng A cña M, mçi ®¬n cÊu tõ A vµo N ®Òu
më réng ®-îc ®Õn ®ång cÊu tõ M vµo N. M«®un M ®-îc gäi lµ gi¶ c-néi
x¹ nÕu M lµ gi¶ M-c-néi x¹. Vµnh R ®-îc gäi lµ gi¶ c-néi x¹ ph¶i (t.-.,
tr¸i) nÕu RR (t.-., RR) lµ gi¶ c-néi x¹.
NhËn xÐt 2.1.2. Tõ ®Þnh nghÜa suy ra:
(1) Mäi m«®un tùa c-néi x¹ hoÆc gi¶ néi x¹ lµ gi¶ c-néi x¹.
(2) Mäi m«®un CS lµ gi¶ c-néi x¹.
32

Nh¾c l¹i r»ng, m«®un con A cña M ®-îc gäi lµ bÊt biÕn hoµn toµn nÕu
f(A) ≤ A víi mäi f ∈ End(M). Bæ ®Ò sau ®©y lµ nh÷ng tÝnh chÊt c¬ b¶n
cña tÝnh gi¶ c-néi x¹:
Bæ ®Ò 2.1.1. Cho M, N lµ hai R-m«®un. Khi ®ã, ta cã:
(1) NÕu N lµ gi¶ M-c-néi x¹ vµ A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña N th× A lµ gi¶
M-c-néi x¹.
(2) NÕu N lµ gi¶ M-c-néi x¹ vµ B lµ m«®un con ®ãng cña M th× N lµ
gi¶ B-c-néi x¹.
(3) NÕu M lµ gi¶ c-néi x¹ vµ A lµ m«®un con ®ãng bÊt biÕn hoµn toµn
cña M th× A lµ gi¶ c-néi x¹.
(4) Gi¶ sö M ∼= M vµ N ∼= N . Khi ®ã, nÕu N lµ gi¶ M-c-néi x¹ th× N
lµ gi¶ M -c-néi x¹ vµ N lµ gi¶ M -c-néi x¹.
Chøng minh. (1). Gi¶ sö N = A ⊕ B, N lµ gi¶ M-c-néi x¹, K lµ m«®un
con ®ãng cña M vµ f : K → A lµ ®¬n cÊu. Khi ®ã, tån t¹i ®ång cÊu
g : M → N lµ më réng cña f. §Æt ϕ = πA ◦ g víi πA : N → A lµ toµn
cÊu chÝnh t¾c. Ta cã ϕ lµ ®ång cÊu tõ M vµo A. V× g(k) = f(k) ∈ A víi
mäi k ∈ K nªn ϕ(k) = g(k) = f(k) víi mäi k ∈ K. Do ®ã ϕ : M → A lµ
®ång cÊu më réng cña f. VËy A lµ gi¶ M-c-néi x¹.
(2). Gi¶ sö K lµ m«®un con ®ãng cña B vµ f : K → N lµ ®¬n cÊu. Ta cã
K lµ m«®un con ®ãng cña M. Theo gi¶ thiÕt, tån t¹i ®ång cÊu g : M → N
lµ më réng cña f. Khi ®ã g|B
: B → N lµ më réng cña f.
(3). Gi¶ sö K lµ m«®un con ®ãng cña A vµ f : K → A lµ ®¬n cÊu.
Ta cã K lµ m«®un con ®ãng cña M. Theo gi¶ thiÕt, tån t¹i ®ång cÊu
33

g : M → M lµ më réng cña f. V× A bÊt biÕn hoµn toµn nªn g(A) ≤ A.
Khi ®ã g|A
: A → A lµ më réng cña f.
(4). Gi¶ sö K lµ m«®un con ®ãng cña M vµ f : K → N lµ ®¬n cÊu.
Gäi ϕ : M → M, ψ : N → N lµ çc ®¼ng cÊu. Ta cã ϕ(K) ®ãng trong
M vµ ψf : K → N lµ ®¬n cÊu. §Æt g = ψfϕ−1
|ϕ(K)
: ϕ(K) → N. Theo
gi¶ thiÕt, tån t¹i h : M → N lµ më réng cña g. Khi ®ã ψ−1
hϕ : M → N
lµ më réng cña f. ThËt vËy, víi mçi k ∈ K, (ψ−1
hϕ)(k) = ψ−1
(hϕ(k)) =
ψ−1
(gϕ(k)) = ψ−1
(ψf(k)) = f(k).
Tõ Bæ ®Ò 2.1.1, ta cã:
HÖ qu¶ 2.1.2. Cho M lµ m«®un gi¶ c-néi x¹. Khi ®ã:
(1) H¹ng tö trùc tiÕp cña M lµ gi¶ c-néi x¹.
(2) NÕu N ∼= M th× N lµ gi¶ c-néi x¹.
MÖnh ®Ò 2.1.3. M«®un M lµ CS nÕu vµ chØ nÕu mäi R-m«®un lµ gi¶ M-c-
néi x¹.
Chøng minh. (⇒). §iÒu nµy lµ râ rµng v× mäi m«®un con ®ãng cña m«®un
CS M lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M.
(⇐). Gi¶ sö K lµ m«®un con ®ãng cña M. Theo gi¶ thiÕt, K lµ gi¶
M-c-néi x¹ nªn tån t¹i ®ång cÊu f : M → K lµ më réng cña ®¬n cÊu
1K : K → K. Do ®ã f ◦ ι = 1K víi ι : K → M lµ phÐp nhóng. Nh- vËy,
M = Kerf ⊕ Im ι = Ker f ⊕ K, hay K lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M.
MÖnh ®Ò 2.1.4. Cho M, N lµ çc R-m«®un, X = M ⊕ N vµ πM : X → M
lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c. Khi ®ã çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
(1) N lµ gi¶ M-c-néi x¹;
34

(2) Víi mçi m«®un con K cña X sao cho πM (K) lµ m«®un con ®ãng cña
M vµ K ∩ M = K ∩ N = 0, tån t¹i C ≤ X sao cho K ≤ C vµ
X = N ⊕ C.
Chøng minh. (1) ⇒ (2). Gi¶ sö K lµ m«®un con cña X sao cho K ∩ M =
K ∩ N = 0 vµ πM (K) lµ m«®un con ®ãng cña M. Ta cã N ⊕ K =
N ⊕ πM (K). Víi mçi k ∈ K, k = m + n, víi m ∈ M, n ∈ N. Gäi
ϕ : πM (K) → πN (K) lµ ®ång cÊu x¸c ®Þnh bëi ϕ(m) = n. Cã thÓ kiÓm
tra ®-îc r»ng ϕ lµ ®¬n cÊu. V× N lµ gi¶ M-c-néi x¹ nªn tån t¹i ®ång
cÊu ψ : M → N lµ më réng cña ϕ. §Æt C = {m + ψ(m)|m ∈ M}.
Khi ®ã X = N ⊕ C vµ K ≤ C. ThËt vËy, víi mçi x ∈ X, ta cã x =
m + n = (n − ψ(m)) + (m + ψ(m)) trong ®ã m ∈ M, n ∈ N. Râ rµng
m + ψ(m) ∈ C, n − ψ(m) ∈ N. Gi¶ sö c = m + ψ(m) ∈ C. NÕu
m + ψ(m) ∈ N th× m + ψ(m) − ψ(m) ∈ N, hay m ∈ N. Do ®ã m = 0
vµ c = 0. Ngoµi ra, víi mäi k ∈ K, k = m + n víi m ∈ M, n ∈ N. Ta cã
k = m + ϕ(m) = m + ψ(m) ∈ C.
(2) ⇒ (1). Gi¶ sö A lµ m«®un con ®ãng cña M vµ ϕ : A → N lµ
®¬n cÊu. §Æt K = {a − ϕ(a)|a ∈ A}. Râ rµng πM (K) = A. H¬n n÷a,
K ∩ M = K ∩ N = 0. ThËt vËy, nÕu a − ϕ(a) ∈ M ∩ K víi a ∈ A th×
ϕ(a) = a − (a − ϕ(a)) ∈ M, do ®ã ϕ(a) = 0 hay a = 0. T-¬ng tù nÕu
a − ϕ(a) ∈ N ∩ K víi a ∈ A th× a = ϕ(a) + a − ϕ(a) ∈ N, do ®ã a = 0.
Ngoµi ra, ta cã N ⊕K = N ⊕πM (K) = N ⊕A. Theo gi¶ thiÕt, tån t¹i m«®un
con C cña X vµ K ≤ C sao cho X = N ⊕ C. Gäi π : X = N ⊕ C → N
lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c. Khi ®ã víi mäi a ∈ A, a = a − ϕ(a) + ϕ(a), do ®ã
π(A) = ϕ(a) hay π|M
lµ më réng cña ϕ.
Trong [12], H. Q. Dinh ®· chøng minh r»ng nÕu M ⊕ N lµ gi¶ néi x¹
th× N lµ M-néi x¹. §èi víi m«®un gi¶ c-néi x¹ ta cã kÕt qu¶ t-¬ng tù:
35

MÖnh ®Ò 2.1.5. NÕu M ⊕ N lµ gi¶ c-néi x¹ th× N lµ M-c-néi x¹.
Chøng minh. XÐt A lµ m«®un con ®ãng cña M vµ f : A → N lµ mét ®ång
cÊu. §Æt g : A → M ⊕ N, g(a) = (a, f(a)) víi mäi a ∈ A. Khi ®ã g lµ
®¬n cÊu vµ A ®ãng trong M ⊕ N. V× M ⊕ N lµ gi¶ c-néi x¹ nªn theo Bæ
®Ò 2.1.1, M ⊕ N lµ gi¶ M-c-néi x¹. Do ®ã, tån t¹i h : M → M ⊕ N lµ
më réng cña g. Gäi πN : M ⊕ N → N lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c. Khi ®ã
πN ◦ h : M → N lµ më réng cña f.
Tæng trùc tiÕp cña hai m«®un gi¶ c-néi x¹ ch-a h¼n lµ m«®un gi¶ c-néi
x¹. VÝ dô sau chØ ra ®iÒu nµy:
VÝ dô 2.1.3. Cho p lµ sè nguyªn tè vµ M = Z/pZ vµ N = Z/p3
Z lµ c¸c
Z-m«®un. Khi ®ã M, N lµ c¸c m«®un ®Òu nªn lµ gi¶ c-néi x¹. Tuy nhiªn
M ⊕ N kh«ng lµ gi¶ c-néi x¹. ThËt vËy, xÐt K = (1, p)Z = (1 + pZ, p +
p3
Z)Z. Khi ®ã K lµ m«®un con ®ãng cña M ⊕ N ([13, Section 7]). XÐt
®ång cÊu: f : K → M ⊕ N ®-îc x¸c ®Þnh bëi f(1, p) = (0, 1). Râ rµng f
lµ ®¬n cÊu. Gi¶ sö tån t¹i g lµ më réng cña f vµ
g(1+Zp, 0+p3
Z) = (a+pZ, b+p3
Z), g(0+pZ, 1+p3
Z) = (c+pZ, d+p3
Z).
Khi ®ã (0 + pZ, 0 + p3
Z) = pg(1 + pZ, 0 + p3
Z) = (0 + pZ, pb + p3
Z), do
®ã b lµ béi cña p2
. MÆt kh¸c,
f(1 + pZ, p + p3
Z) = g(1 + pZ, p + p3
Z)
= g(1 + pZ, 0 + p3
Z) + pg(0 + pZ, 1 + p3
Z)
= (a + pZ, b + p3
Z) + (0 + pZ, pd + p3
Z) = (0, 1).
Do ®ã, 1 − (b + pd) ∈ p3
Z. V× b lµ béi cña p2
nªn p − p2
d ∈ p3
Z. NghÜa lµ
víi mçi x ∈ Z, p − p2
d = p3
x hay 1 = pd + p2
x = p(d + px), ®iÒu nµy m©u
thuÉn.
36

Nh¾c l¹i r»ng, m«®un M ®-îc gäi lµ cã h¹ng h÷u h¹n nÕu bao néi x¹
E(M) lµ tæng h÷u h¹n cña çc m«®un con kh«ng ph©n tÝch ®-îc ([18, trang
95]). Theo [18, Corollary 5.18], mäi m«®un N¬te ®Òu cã h¹ng h÷u h¹n.
§Þnh lý sau ®©y lµ mét ®Æc tr-ng cña vµnh Artin nöa ®¬n, ®ã lµ vµnh mµ
mäi m«®un gi¶ c-néi x¹ (trªn vµnh ®ã) lµ néi x¹.
§Þnh lý 2.1.6. Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng ®èi víi vµnh R ®· cho:
(2) Tæng trùc tiÕp cña hai R-m«®un gi¶ c-néi x¹ lµ gi¶ c-néi x¹;
(3) Mäi R-m«®un gi¶ c-néi x¹ lµ néi x¹;
(4) Tæng trùc tiÕp cña çc R-m«®un gi¶ c-néi x¹ lµ gi¶ c-néi x¹.
Chøng minh. (1) ⇒ (2). V× R lµ nöa ®¬n nªn mäi R-m«®un lµ néi x¹. Do
®ã ta cã (2).
(2) ⇒ (3). Gi¶ sö M lµ gi¶ c-néi x¹. Theo gi¶ thiÕt, tæng trùc tiÕp (ngoµi)
M ⊕ E(M) lµ gi¶ c-néi x¹. XÐt i : M → M ⊕ E(M) víi i(m) = (0, m).
Theo Bæ ®Ò 2.1.1, M lµ gi¶ M ⊕ E(M)-c-néi x¹. Do ®ã, tån t¹i ®ång cÊu
α : M ⊕ E(M) → M lµ më réng cña 1M . Khi ®ã α ◦ i = 1M . Ta cã i = ι2ι
víi ι : M → E(M), ι2 : E(M) → M ⊕ E(M) lµ çc phÐp nhóng. Do ®ã
1M = (αι2)ι. Nh- vËy M lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña E(M) hay M lµ néi x¹.
(3) ⇒ (1). Gi¶ sö S lµ m«®un nöa ®¬n. V× mçi m«®un con cña S
lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña S nªn S lµ gi¶ c-néi x¹. Theo gi¶ thiÕt S lµ néi
x¹. XÐt (Si)i∈N lµ hä çc m«®un ®¬n vµ Ei = E(Si) lµ bao néi x¹ cña Si.
Khi ®ã ⊕i∈NSi lµ néi x¹. Do ®ã, ⊕i∈NSi lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña ⊕i∈NEi.
Nh-ng ⊕i∈NSi ≤e
⊕i∈NEi nªn ⊕i∈NSi = ⊕i∈NEi. Nh- vËy ⊕i∈NEi lµ néi
x¹. Theo §Þnh lý 1.4.3, R lµ N¬te ph¶i. Do ®ã RR cã h¹ng h÷u h¹n. Khi
37

®ã, E(RR) = K1 ⊕ K2 ⊕ · · · ⊕ Kn víi Ki lµ çc R-m«®un ph¶i kh«ng
ph©n tÝch ®-îc. H¬n n÷a, çc m«®un Ki lµ néi x¹. XÐt x ∈ Ki, x = 0 víi
i = 1, 2, .., n. V× Ki ®Òu nªn xR ®Òu. Do ®ã xR lµ gi¶ c-néi x¹. Theo
gi¶ thiÕt xR lµ néi x¹. Nh- vËy xR lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña Ki vµ do ®ã
xR = Ki. Nh- vËy Ki lµ ®¬n víi mäi i = 1, 2, .., n. NghÜa lµ E(RR) lµ nöa
®¬n. Tõ ®ã suy ra RR lµ nöa ®¬n.
(1) ⇒ (4) ⇒ (2) lµ râ rµng.
2.2 M«®un gi¶ c+
-néi x¹.
Trong môc nµy, chóng t«i tr×nh bµy çc kÕt qu¶ vÒ líp m«®un gi¶ c+
-néi
x¹. Çc tÝnh chÊt vµ mèi liªn hÖ gi÷a líp m«®un nµy vµ çc líp m«®un më
réng kh¸c cña m«®un néi x¹ ®· ®-îc chØ ra trong çc HÖ qu¶ 2.2.3; §Þnh
lý 2.2.5; §Þnh lý 2.2.6; HÖ qu¶ 2.2.7 vµ §Þnh lý 2.2.31. Çc tÝnh chÊt quan
träng ®èi víi líp m«®un nµy ®ã lµ tÝnh néi x¹ t-¬ng hç cña çc h¹ng tö
trùc tiÕp vµ tÝnh chÝnh quy cña vµnh th-¬ng End(M)/J(End(M)). Çc tÝnh
chÊt nµy ®-îc chøng minh trong §Þnh lý 2.2.11 vµ §Þnh lý 2.2.21. §ång
thêi çc ®Æc tr-ng cña líp m«®un néi x¹, m«®un vµ vµnh tù néi x¹, m«®un
vµ vµnh liªn tôc th«ng qua m«®un vµ vµnh gi¶ c+
-néi x¹ còng ®· ®-îc chØ
ra trong MÖnh ®Ò 2.2.1, HÖ qu¶ 2.2.12, HÖ qu¶ 2.2.14 vµ §Þnh lý 2.2.16.
KÕt qu¶ chÝnh trong môc nµy ®ã lµ ®Æc tr-ng cña vµnh Artin nöa ®¬n vµ çc
®Æc tr-ng cña vµnh tùa Frobenius th«ng qua vµnh gi¶ c+
-néi x¹. Çc ®Æc
tr-ng nµy ®-îc chøng minh trong HÖ qu¶ 2.2.13, §Þnh lý 2.2.20 vµ §Þnh lý
2.2.33.
§Þnh nghÜa 2.2.1. Cho M, N lµ çc R-m«®un. M«®un N ®-îc gäi lµ gi¶
M-c+
-néi x¹ nÕu víi mäi m«®un con A cña M, A ®¼ng cÊu víi m«®un con
®ãng cña M, víi mçi ®¬n cÊu tõ A vµo N ®Òu më réng ®-îc ®Õn ®ång cÊu
38

tõ M vµo N (trong c¸c bµi b¸o [2]; [37] vµ [44], N ®-îc gäi lµ m«®un gi¶
M-c∗
-néi x¹). M«®un M ®-îc gäi lµ gi¶ c+
-néi x¹ nÕu M lµ gi¶ M-c+
-néi
x¹. Vµnh R ®-îc gäi lµ gi¶ c+
-néi x¹ ph¶i (t.-., tr¸i) nÕu RR (t.-., RR) lµ
gi¶ c+
-néi x¹.
NhËn xÐt 2.2.2. Tõ ®Þnh nghÜa, ta cã:
(1) NÕu M lµ m«®un gi¶ néi x¹ th× M lµ gi¶ c+
-néi x¹.
(2) NÕu M lµ m«®un gi¶ c+
-néi x¹ th× M lµ gi¶ c-néi x¹.
(3) NÕu M lµ m«®un GQ-néi x¹ th× M lµ gi¶ c+
-néi x¹.
VÝ dô sau chØ ra r»ng líp m«®un vµ vµnh gi¶ c-néi x¹ réng h¬n h¼n so
víi líp m«®un vµ vµnh gi¶ c+
-néi x¹.
VÝ dô 2.2.3. (1) XÐt M = Z ⊕ Z lµ Z-m«®un. Khi ®ã, M lµ m«®un CS vµ
gi¶ c-néi x¹ nh-ng kh«ng ph¶i lµ m«®un gi¶ c+
-néi x¹. ThËt vËy, xÐt
A = {(2n, 0) ∈ M|n ∈ Z} vµ B = M. Khi ®ã B lµ m«®un con ®ãng
cña M vµ A ∼= B. XÐt f : A → B, f(2n, 0) = (n, n) víi mäi n ∈ Z.
Ta cã f lµ ®¼ng cÊu. Gi¶ sö tån t¹i g : M → M lµ më réng cña f
vµ g(1, 0) = (x, y) víi x, y ∈ Z. Khi ®ã, f(2, 0) = g(2, 0) = (2x, 2y).
Suy ra (1, 0) = (2x, 2y). Tõ ®ã suy ra 1 = 2x, ®iÒu nµy m©u thuÉn. Do
®ã M kh«ng lµ gi¶ c+
- néi x¹.
(2) XÐt R = Z. Khi ®ã R lµ vµnh gi¶ c-néi x¹ ph¶i nh-ng kh«ng lµ
vµnh gi¶ c+
-néi x¹ ph¶i. ThËt vËy, ZZ chØ cã hai m«®un con ®ãng lµ
0 vµ Z. Do ®ã, dÔ thÊy ZZ lµ gi¶ c-néi x¹. Tuy nhiªn, víi ®¬n cÊu
f : nZ → Z, f(nz) = z (n > 1), kh«ng tån t¹i më réng nµo cña f tõ
Z vµo Z.
(3) Cho F lµ mét tr-êng. Khi ®ã vµnh R =
F F
0 F
lµ vµnh CS hai
39

phÝa nh-ng kh«ng tháa ®iÒu kiÖn C2. ThËt vËy, ta cã:
J =
0 F
0 0
∼=
0 0
0 F
=
0 0
0 1
R.
Tuy nhiªn J kh«ng ph¶i lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña R. Nh- vËy, R lµ vµnh
gi¶ c-néi x¹ ph¶i nh-ng kh«ng lµ gi¶ c+
-néi x¹ ph¶i.
Ta ®· biÕt r»ng, m«®un M lµ néi x¹ nÕu M lµ N-néi x¹ víi mäi R-
m«®un N. MÖnh ®Ò sau ®©y chØ ra mét ®iÒu kiÖn gi¶m nhÑ ®èi víi m«®un
néi x¹ M th«ng qua ®iÒu kiÖn gi¶ c+
-néi x¹ vµ gi¶ c-néi x¹:
MÖnh ®Ò 2.2.1. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng ®èi víi R-m«®un M:
(1) M lµ néi x¹;
(2) M lµ gi¶ N-c+
-néi x¹ víi mäi R-m«®un N;
(3) M lµ gi¶ N-c-néi x¹ víi mäi R-m«®un N.
Chøng minh. (1) ⇒ (2) ⇒ (3) lµ râ rµng.
(3) ⇒ (1). XÐt tæng trùc tiÕp ngoµi M ⊕ E(M) víi M lµ gi¶ c-
néi x¹. Khi ®ã M lµ m«®un con ®ãng cña M ⊕ E(M). XÐt ®ång cÊu
i : M → M ⊕E(M) ®-îc x¸c ®Þnh bëi i(m) = (0, m). Theo gi¶ thiÕt, M lµ
gi¶ M ⊕ E(M)-c-néi x¹. Do ®ã, tån t¹i ®ång cÊu α : M ⊕ E(M) → M sao
cho α◦i = 1M . Ta cã i = ι2ι víi ι : M → E(M), ι2 : E(M) → M ⊕E(M)
lµ c¸c phÐp nhóng chÝnh t¾c. Do ®ã 1M = (αι2)ι. Nh- vËy M lµ h¹ng tö
trùc tiÕp cña E(M) hay M lµ néi x¹.
Bæ ®Ò 2.2.2. Cho M, N lµ hai m«®un. Khi ®ã ta cã:
(1) NÕu N lµ gi¶ M-c+
-néi x¹ vµ A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña N th× A lµ
gi¶ M-c+
-néi x¹.
40

(2) NÕu N lµ gi¶ M-c+
-néi x¹ vµ B lµ m«®un con ®ãng cña M th× N lµ
gi¶ B-c+
-néi x¹.
(3) NÕu M lµ gi¶ c+
-néi x¹ vµ A lµ m«®un con ®ãng bÊt biÕn hoµn toµn
cña M th× A lµ gi¶ c+
-néi x¹.
(4) Gi¶ sö M ∼= M vµ N ∼= N . Khi ®ã, nÕu N lµ gi¶ M-c+
-néi x¹ th×
N lµ gi¶ M -c+
-néi x¹.
Chøng minh. T-¬ng tù Bæ ®Ò 2.1.1.
HÖ qu¶ 2.2.3. Cho M lµ m«®un gi¶ c+
-néi x¹. Khi ®ã:
(1) H¹ng tö trùc tiÕp cña M lµ gi¶ c+
-néi x¹.
(2) NÕu N ∼= M th× N lµ gi¶ c+
-néi x¹.
MÖnh ®Ò 2.2.4. NÕu X = Πi∈INi lµ gi¶ M-c+
-néi x¹ th× Ni lµ gi¶ M-c+
-néi
x¹ víi mäi i ∈ I.
Chøng minh. Gi¶ sö X = Πi∈INi lµ gi¶ M-c+
-néi x¹, A lµ m«®un con
®¼ng cÊu víi m«®un con ®ãng cña M vµ fi : A → Ni lµ ®¬n cÊu. Gäi
ηi : Ni → X lµ phÐp nhóng tù nhiªn vµ πi : X → Ni lµ phÐp chiÕu chÝnh
t¾c, ta cã gi = ηi ◦ fi : A → X lµ ®¬n cÊu. Khi ®ã, tån t¹i ®ång cÊu
ϕi : M → X lµ më réng cña gi. §Æt ψi = πi ◦ gi, ta cã thÓ kiÓm chøng ψi
lµ ®ång cÊu më réng cña fi. VËy Ni lµ gi¶ M-c+
-néi x¹.
Trong [12], H. Q. Dinh ®· chøng minh r»ng, m«®un gi¶ néi x¹ th× tháa
m·n ®iÒu kiÖn C2. KÕt qu¶ nµy vÉn ®óng ®èi víi líp m«®un gi¶ c+
-néi x¹:
§Þnh lý 2.2.5. NÕu M lµ gi¶ c+
-néi x¹ th× M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn C2.
41

Chøng minh. Gi¶ sö M lµ gi¶ c+
-néi x¹, B lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M vµ
A ≤ M, A ∼= B. Khi ®ã, tån t¹i ®¼ng cÊu f : A → B. Theo Bæ ®Ò 2.2.2, B
lµ gi¶ M-c+
-néi x¹. Do ®ã, tån t¹i ®ång cÊu α : M → B lµ më réng cña
f. Gäi i : A → M lµ ®ång cÊu bao hµm, ta cã (f−1
◦ α) ◦ i = 1A. Tõ ®ã
suy ra A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M.
§iÒu ng-îc l¹i cña §Þnh lý 2.2.5 lµ kh«ng ®óng. ThËt vËy, ta cã ph¶n
vÝ dô sau:
VÝ dô 2.2.4. XÐt R = {
a v
0 a
|a ∈ F, v ∈ V }, víi F lµ mét tr-êng vµ V
lµ mét kh«ng gian vect¬ hai chiÒu trªn F. Khi ®ã R lµ vµnh giao ho¸n, ®Þa
ph-¬ng, Artin vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn C2 (xem [34, Example 5.12]) nh-ng
kh«ng lµ gi¶ c+
-néi x¹. ThËt vËy, gi¶ sö V cã c¬ së lµ {u, v}. Ký hiÖu
u =
0 u
0 0
, khi ®ã uR =
0 uF
0 0
. Ta cã uR lµ i®ªan ®ãng trong R.
XÐt ®ång cÊu:
f : uR → R
0 ua
0 0
→
0 va
0 0
.
Khi ®ã, kh«ng tån t¹i ®ång cÊu tõ R vµo R lµ më réng cña f v× v /∈ uF.
Nh- vËy, vµnh R kh«ng ph¶i lµ gi¶ c-néi x¹ do ®ã kh«ng lµ gi¶ c+
-néi x¹.
§Þnh lý sau lµ mét ®Æc tr-ng cña m«®un vµ vµnh liªn tôc th«ng qua
m«®un gi¶ c+
-néi x¹:
§Þnh lý 2.2.6. M«®un M lµ liªn tôc nÕu vµ chØ nÕu mäi m«®un lµ gi¶
M-c+
-néi x¹.
Chøng minh. (⇒). Gi¶ sö M lµ liªn tôc. Khi ®ã mäi m«®un con ®¼ng cÊu
42

víi m«®un con ®ãng cña M lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M. Tõ ®ã suy ra mäi
m«®un lµ gi¶ M-c+
-néi x¹.
(⇐). Theo §Þnh lý 2.2.5, M tháa m·n ®iÒu kiÖn C2. Theo MÖnh ®Ò
2.1.3, M lµ CS. VËy M lµ m«®un liªn tôc.
Tõ §Þnh lý 2.2.6 vµ §Þnh lý 2.2.5 ta suy ra:
HÖ qu¶ 2.2.7. M«®un M lµ liªn tôc nÕu vµ chØ nÕu M lµ gi¶ c+
-néi x¹ vµ
CS.
Tõ çc kÕt qu¶ ë trªn, ta cã s¬ ®å thÓ hiÖn mèi liªn hÖ gi÷a m«®un gi¶
c+
-néi x¹ vµ çc tr-êng hîp më réng kh¸c cña m«®un néi x¹:
gi¶ néi x¹
Néi x¹ → tùa néi x¹ → GQ - néi x¹ → gi¶ c+
- néi x¹ → C2
liªn tôc ↓
↓
tùa c - néi x¹ → gi¶ c - néi x¹
NhËn xÐt 2.2.5. Theo Q. H. Dinh ([12, Remark 2.7; Remark 2.9]), hai líp
m«®un gi¶ néi x¹ vµ líp m«®un liªn tôc lµ kh«ng chøa nhau. Do ®ã, líp
m«®un gi¶ c+
-néi x¹ lµ më réng thùc sù cña líp m«®un gi¶ néi x¹ vµ líp
m«®un liªn tôc. H¬n n÷a, theo VÝ dô 2.2.3 vµ VÝ dô 2.2.4, líp m«®un gi¶
c+
-néi x¹ lµ líp con thùc sù cña líp m«®un tháa m·n ®iÒu kiÖn C2 vµ líp
m«®un gi¶ c-néi x¹.
MÖnh ®Ò 2.2.8. Cho M, N lµ çc m«®un vµ X = M ⊕ N. Khi ®ã çc ®iÒu
kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
43

(1) N lµ gi¶ M-c+
-néi x¹;
(2) Víi mçi m«®un con K cña X sao cho K ®¼ng cÊu víi mét m«®un con
®ãng cña M vµ K ∩ M = K ∩ N = 0, tån t¹i C ≤ X sao cho K ≤ C
vµ X = N ⊕ C.
Chøng minh. (1) ⇒ (2). Cho K ≤ X lµ m«®un con ®¼ng cÊu víi m«®un con
®ãng cña X víi K ∩ M = K ∩ N = 0. Gäi πM : X → M, πN : X → N lµ
c¸c phÐp chiÕu chÝnh t¾c. Khi ®ã N⊕K = N⊕πM(K). Do ®ã πM (K) ∼= K.
Ta cã πM (K) ®¼ng cÊu víi phÇn bï cña mét m«®un con cña M. Víi mçi
k ∈ K, k = m + n víi m ∈ M, n ∈ N. XÐt ®ång cÊu ϕ : πM (K) → πN (K)
®-îc x¸c ®Þnh bëi ϕ(m) = n. DÔ dµng kiÓm tra ®-îc ϕ lµ ®¬n cÊu. V× N
lµ gi¶ M-c+
-néi x¹ nªn tån t¹i ®ång cÊu ψ : M → N lµ më réng cña ϕ.
§Æt C = {m + ψ(m)|m ∈ M}. T-¬ng tù nh- chøng minh trong MÖnh ®Ò
2.1.4, ta cã X = N ⊕ C vµ K ≤ C.
(2) ⇒ (1). Gi¶ sö A ≤ M lµ m«®un con ®¼ng cÊu víi m«®un con ®ãng
cña M vµ ϕ : A → N lµ ®¬n cÊu. §Æt K = {a − ϕ(a)|a ∈ A}. Khi ®ã
πM (K) = A, K ∩ M = 0 vµ N ⊕ K = N ⊕ πM (K) = N ⊕ A. Tõ ®ã suy
ra K ∼= A. Theo gi¶ thiÕt, tån t¹i m«®un con C cña X vµ K ≤ C sao cho
X = N ⊕ C. Gäi π : X → N lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c. Khi ®ã ta cã π|M
lµ
mét më réng cña ϕ.
NhËn xÐt 2.2.6. M«®un con ®¼ng cÊu víi m«®un con ®ãng cña m«®un M
ch-a h¼n lµ ®ãng trong M. §iÒu nµy ®óng khi m«®un M lµ gi¶ c+
-néi x¹.
ThËt vËy, ta cã vÝ dô vµ bæ ®Ò sau:
VÝ dô 2.2.7. (1) XÐt M = Z lµ Z-m«®un vµ A = nZ, n > 1. Khi ®ã
A ∼= M nh-ng A kh«ng ®ãng trong M.
(2) XÐt vµnh R =
F F
0 F
trong ®ã F lµ mét tr-êng. Khi ®ã, i®ªan ph¶i
44

J =
0 F
0 0
®¼ng cÊu víi i®ªan ph¶i ®ãng cña R lµ I =
F F
0 0
.
Tuy nhiªn J kh«ng ph¶i lµ i®ªan ph¶i ®ãng cña R.
Bæ ®Ò 2.2.9. Cho M lµ m«®un gi¶ c+
-néi x¹. Khi ®ã, mäi m«®un con ®¼ng
cÊu víi mét m«®un con ®ãng cña M lµ m«®un con ®ãng cña M.
Chøng minh. Gi¶ sö A lµ m«®un con ®ãng cña M vµ K ∼= A. Khi ®ã, tån
t¹i ®¼ng cÊu f : K → A. V× M lµ gi¶ c+
-néi x¹ nªn tån t¹i ϕ : M → M
lµ më réng cña f. Gäi L lµ më réng cèt yÕu cùc ®¹i cña K trong M. Khi
®ã L lµ m«®un con ®ãng cña M vµ ϕ(K) ≤ ϕ(L). H¬n n÷a, ϕ|L
lµ ®¬n
cÊu. ThËt vËy, nÕu Kerϕ|L
= 0 th× tån t¹i x ∈ L, x = 0 vµ ϕ(x) = 0.
Ta cã xR ∩ K = 0 do ®ã tån t¹i y ∈ K, y = 0 vµ y = xr víi r ∈ R.
Khi ®ã ϕ(y) = 0, ®iÒu nµy m©u thuÉn. V× vËy ϕ|L
lµ ®¬n cÊu. MÆt kh¸c
A = f(K) = ϕ(K) nªn A ≤e
ϕ(L). Tõ ®ã suy ra A = ϕ(L). Nh- vËy
K = L, hay K lµ m«®un con ®ãng cña M.
Bæ ®Ò 2.2.10 ([13, Lemma 7.5]). Cho M, N lµ c¸c m«®un vµ X = M ⊕N.
Khi ®ã c¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
(1) N lµ M-néi x¹;
(2) Víi mçi m«®un con K cña X sao cho K ∩ N = 0, tån t¹i C ≤ X sao
cho K ≤ C vµ X = C ⊕ N.
§èi víi m«®un liªn tôc M ⊕ N, S. H. Mohamed, B. J. Muller ®· chØ
ra r»ng M lµ N-néi x¹ ([32, Theorem 3.16]). T¸c gi¶ H. Q. Dinh còng ®·
chøng minh ®-îc kÕt qu¶ t-¬ng tù ®èi víi tr-êng hîp M ⊕ N lµ gi¶ néi x¹
([12, Theorem 2]). KÕt qu¶ nµy vÉn ®óng ®èi víi m«®un gi¶ c+
-néi x¹, tuy
nhiªn, ph-¬ng ph¸p chøng minh cña S. H. Mohamed, B. J. Muller vµ H. Q.
Dinh kh«ng ¸p dông ®-îc ®èi víi tr-êng hîp nµy.
45

§Þnh lý 2.2.11. NÕu M ⊕ N lµ gi¶ c+
-néi x¹ th× M lµ N-néi x¹.
Chøng minh. Gi¶ sö X = M ⊕ N, K ≤ X sao cho K ∩ M = 0 vµ C lµ
phÇn bï cña M trong X chøa K. Gäi πN : X → N lµ phÐp chiÕu chÝnh
t¾c. Khi ®ã M ⊕ πN (C) = M ⊕ C. Do ®ã πN (C) ≤e
N vµ C ∼= πN (C).
V× X lµ gi¶ c+
-néi x¹ nªn theo Bæ ®Ò 2.2.9, πN (C) lµ m«®un con ®ãng cña
X. Nh- vËy, πN (C) = N vµ X = M ⊕ C. Theo Bæ ®Ò 2.2.10, M lµ N-néi
x¹.
Tõ §Þnh lý 2.2.11, ta cã çc hÖ qu¶ sau:
HÖ qu¶ 2.2.12. Cho n lµ sè nguyªn, n ≥ 2. M lµ tùa néi x¹ khi vµ chØ khi
Mn
lµ gi¶ c+
-néi x¹.
HÖ qu¶ 2.2.13. Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng ®èi víi vµnh R:
(2) Mçi R-m«®un ph¶i cã hÖ sinh ®Õm ®-îc lµ gi¶ c+
-néi x¹.
Chøng minh. (1) ⇒ (2) lµ râ rµng.
(2) ⇒ (1). XÐt M lµ R-m«®un ph¶i cyclic. Khi ®ã (M ⊕ RR)(N) ∼=
(M ⊕ RR)(N)
⊕ (M ⊕ RR)(N)
cã hÖ sinh ®Õm ®-îc nªn lµ gi¶ c+
-néi x¹.
Theo §Þnh lý 2.2.11, (M ⊕ RR)(N)
lµ tùa néi x¹. Do ®ã M ⊕ RR lµ tùa
néi x¹. §iÒu nµy suy ra M lµ néi x¹. Theo §Þnh lý 1.4.4, R lµ Artin nöa
®¬n.
HÖ qu¶ 2.2.14. Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng ®èi víi vµnh R:
(1) R lµ tù néi x¹ ph¶i;
46

(2) (R ⊕ R)R lµ gi¶ c+
-néi x¹.
Tõ HÖ qu¶ 2.2.14 vµ §Þnh lý 1.5.4, ta cã ®Æc tr-ng cña vµnh tùa Frobenius
th«ng qua tÝnh chÊt gi¶ c+
-néi x¹:
HÖ qu¶ 2.2.15. Vµnh R lµ tùa Frobenius nÕu vµ chØ nÕu R tháa m·n ®iÒu
kiÖn ACC trªn çc linh hãa tö ph¶i (hoÆc tr¸i) vµ (R ⊕ R)R lµ gi¶ c+
-néi
x¹.
Sau ®©y lµ mét ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó m«®un gi¶ c+
-néi x¹ lµ liªn tôc:
§Þnh lý 2.2.16. Gi¶ sö M = ⊕i∈IMi, Mi lµ çc m«®un ®Òu. Khi ®ã M lµ
liªn tôc khi vµ chØ khi M lµ gi¶ c+
-néi x¹.
Chøng minh. (⇒) lµ râ rµng.
(⇐). Gi¶ sö M = ⊕i∈IMi lµ gi¶ c+
-néi x¹. Theo §Þnh lý 2.2.5, M
tháa m·n ®iÒu kiÖn C2 vµ do ®ã çc Mi còng tháa m·n ®iÒu kiÖn C2. H¬n
n÷a, Mi lµ m«®un ®Òu nªn Mi lµ liªn tôc. MÆt kh¸c, víi mçi j ∈ I, theo
§Þnh lý 2.2.11, ⊕i∈IjMi lµ Mj-néi x¹. Do ®ã M lµ CS theo §Þnh lý 1.2.6.
VËy M lµ liªn tôc.
M«®un M ®-îc gäi lµ -CS (t.-., h÷u h¹n, ®Õm ®-îc) nÕu tæng trùc
tiÕp (t.-., h÷u h¹n, ®Õm ®-îc) çc b¶n sao cña M lµ CS ([13, trang 92]).
Vµnh R ®-îc gäi lµ -CS (t.-., h÷u h¹n, ®Õm ®-îc) ph¶i nÕu m«®un RR lµ
-CS (t.-., h÷u h¹n, ®Õm ®-îc). Râ rµng, vµnh -CS ph¶i lµ vµnh -CS
®Õm ®-îc ph¶i. T¸c gi¶ D. V. Huynh ([23]) ®· chØ ra r»ng, nÕu R lµ -CS
®Õm ®-îc ph¶i vµ nöa hoµn chØnh th× R lµ -CS ph¶i:
Bæ ®Ò 2.2.17 ([23, Theorem 1]). Çc ®iÒu kiÖn sau lµ ®-¬ng ®-¬ng ®èi víi
vµnh R:
47

(1) R lµ -CS ph¶i;
(2) R lµ -CS ®Õm ®-îc ph¶i vµ nöa hoµn chØnh.
Bæ ®Ò 2.2.18 ([34, Lemma 4.26]). Cho M lµ R-m«®un vµ M = U1 ⊕ U2 ⊕
· · · ⊕ Un, trong ®ã Ui lµ c¸c m«®un ®Òu víi mäi i = 1, 2, ..., n. NÕu mçi
®¬n cÊu tõ M vµo M lµ toµn cÊu th× End(M) lµ vµnh nöa hoµn chØnh.
M«®un M ®-îc gäi lµ Hopfian (t.-., co-Hopfian) nÕu mçi toµn cÊu (t.-.,
®¬n cÊu) tõ M vµo M lµ ®¼ng cÊu.
Bæ ®Ò 2.2.19 ([44, Corollary 2.8]). Cho M lµ m«®un gi¶ c+
-néi x¹. NÕu
M lµ Hopfian hoÆc cã chiÒu Goldie h÷u h¹n th× M lµ co-Hopfian.
§Þnh lý Faith-Walker chØ ra r»ng, nÕu mäi R-m«®un ph¶i x¹ ¶nh lµ néi
x¹ th× R lµ vµnh tùa Frobenius. Ngoµi ra, C. Faith ([16]) còng ®· chøng
minh r»ng nÕu R
(N)
R lµ néi x¹ (hay R lµ -néi x¹ ®Õm ®-îc ph¶i) th× R
lµ vµnh tùa Frobenius. Trong [23], D. V. Huynh còng ®· chøng minh r»ng,
nÕu R lµ vµnh tùa liªn tôc, -CS ®Õm ®-îc ph¶i vµ nöa hoµn chØnh th× R
lµ vµnh tùa Frobenius. §Þnh lý sau ®©y chØ ra c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó vµnh R
lµ vµnh tùa Frobenius th«ng qua vµnh gi¶ c+
-néi x¹:
(2) Mçi R-m«®un ph¶i x¹ ¶nh lµ gi¶ c+
-néi x¹;
(3) R
(N)
R lµ gi¶ c+
-néi x¹;
(4) R lµ -CS ®Õm ®-îc ph¶i víi chiÒu Goldie h÷u h¹n vµ lµ gi¶ c+
-néi
x¹ ph¶i.
48

Chøng minh. (1) ⇒ (2) ⇒ (3) vµ (1) ⇒ (4) lµ râ rµng.
(3) ⇒ (1). Theo §Þnh lý 2.2.11 vµ MÖnh ®Ò 1.5.8.
(4) ⇒ (1). Theo gi¶ thiÕt, R lµ vµnh liªn tôc ph¶i. H¬n n÷a, theo Bæ
®Ò 2.2.19, mçi ®¬n cÊu tõ RR vµo RR lµ toµn cÊu. Theo Bæ ®Ò 2.2.18, R lµ
vµnh nöa hoµn chØnh. Nh- vËy, R lµ -CS ph¶i theo Bæ ®Ò 2.2.17, nghÜa
lµ mäi R-m«®un ph¶i x¹ ¶nh lµ CS. Nh- vËy, R lµ tùa Frobenius theo §Þnh
lý 1.5.7.
§Þnh lý sau lµ mét më réng kÕt qu¶ cña Y. Utumi (§Þnh lý 1.2.7) vÒ
tÝnh chÝnh quy cña vµnh th-¬ng cña vµnh c¸c tù ®ång cÊu cña m«®un:
§Þnh lý 2.2.21. Cho M lµ m«®un gi¶ c+
-néi x¹ vµ S = End(M). Khi
®ã S/J(S) lµ vµnh chÝnh quy Von Neumann vµ J(S) = ∆(S) = {s ∈
S| Kers ≤e
M}.
Chøng minh. XÐt a, b ∈ ∆(S) vµ α ∈ S. Khi ®ã, Kera ≤e
M, Kerb ≤e
M.
V× Kera∩Kerb ≤ Ker(a−b) vµ Kera ≤ Kerαa nªn Ker(a−b) vµ Ker αa
lµ c¸c m«®un con cèt yÕu cña M. Do ®ã (a − b) ∈ ∆(S) vµ αa ∈ ∆(S).
VËy ∆(S) lµ i®ªan tr¸i cña S.
Víi mäi s ∈ ∆(S), v× Kers ∩ Ker(1 − s) = 0 vµ Kers ≤e
M nªn
Ker(1 − s) = 0. Do ®ã (1 − s)M ≤⊕
M. MÆt kh¸c, ta cã (1 − s)M ≤e
M
v× Ker s ≤ (1 − s)M. Do ®ã (1 − s)M = M. Nh- vËy, (1 − s) kh¶ nghÞch
trong S. Tõ ®ã suy ra s ∈ J(S). Nh- vËy ∆(S) ≤ J(S).
Víi mçi λ ∈ S, gäi L lµ phÇn bï cña Kerλ trong M. Khi ®ã L lµ
m«®un con ®ãng cña M. XÐt ¸nh x¹ φ : λ(L) → M, φ(λ(x)) = x víi mäi
x ∈ L. Khi ®ã φ lµ ®ång cÊu vµ λ(L) ∼= L. V× M lµ gi¶ c+
-néi x¹ nªn
tån t¹i θ ∈ S lµ më réng cña φ. Ta cã Kerλ + L ≤ Ker(λφλ − λ) vµ
49

Kerλ ⊕ L ≤e
M. Nh- vËy λφλ − λ ∈ ∆(S). §Æc biÖt, nÕu λ ∈ J(S) th×
(1 − θλ)(L) = 0. Tõ ®ã suy ra L = 0. Khi ®ã Ker λ ≤e
M, hay λ ∈ ∆(S).
VËy J(S) = ∆(S) vµ S/J(S) lµ chÝnh quy Von Neumann.
HÖ qu¶ 2.2.22. NÕu R lµ vµnh gi¶ c+
-néi x¹ ph¶i th× R/J lµ vµnh chÝnh
quy Von Neumann vµ J(R) = Z(RR).
Bæ ®Ò 2.2.23. Cho M lµ R-m«®un vµ S = End(M). Gi¶ sö víi mäi d·y
con {s1, s2, ...} ⊂ S, d©y chuyÒn Kers1 ≤ Kers2s1 ≤ · · · lµ dõng. Khi ®ã:
(1) ∆(S) = {s ∈ S| Ker s ≤e
M} lµ T-lòy linh ph¶i.
(2) S/∆(S) kh«ng chøa tËp v« h¹n çc lòy ®¼ng ®«i mét trùc giao vµ kh¸c
kh«ng.
Chøng minh. (1). Víi mçi si ∈ ∆(S), i = 1, 2, ..., ta cã
Kers1 ≤ Ker s2s1 ≤ · · · .
Nh- vËy Ker(sn · · ·s1) = Ker(sn+1sn · · · s1) víi n > 0 nµo ®ã. Do ®ã,
Ker(sn+1) ∩ (sn · · · s1)M = 0. V× sn+1 ∈ ∆(S) nªn Ker sn+1 cèt yÕu trong
M. V× vËy (sn · · · s1)M = 0. Do ®ã sn · · · s1 = 0. VËy ∆(S) lµ T-lòy linh
ph¶i.
(2). V× ∆(S) lµ T-lòy linh ph¶i nªn tËp çc lòy ®¼ng trùc giao cña
S/∆(S) cã thÓ n©ng ®-îc ®Õn tËp çc lòy ®¼ng trùc giao cña S. Gi¶
sö (2) kh«ng ®óng, khi ®ã S/∆(S) chøa tËp {ti} gåm v« h¹n çc lòy
®¼ng ®«i mét trùc giao víi nhau vµ kh¸c kh«ng. Ta cã t2
i = ti ∈ S vµ
titj = 0 víi mäi i = j. §Æt si = 1S − (t1 + · · ·ti), i = 1, 2, · · · . Víi
mçi i ta cã si+1 = si − siti+1si, si+1ti+1 = 0 vµ siti+1 = ti+1 = 0. Tõ
®ã suy ra si(ti+1M) = ti+1M vµ si+1(ti+1M) = 0. Do ®ã ti+1M = 0.
Do ®ã Kersi < Ker si+1 víi mäi i = 1, 2, .... §Æt b1 = 1S − ti, khi ®ã
50

si = bibi−1 · · · b1, i = 1, 2, · · · . Do ®ã ta cã d·y t¨ng thùc sù Kerb1 <
Kerb2b1 < · · · . §iÒu nµy m©u thuÉn.
Bæ ®Ò 2.2.24 ([17, Corollary 2.16]). Vµnh chÝnh quy R lµ nöa ®¬n khi vµ
chØ khi R kh«ng chøa tËp v« h¹n çc lòy ®¼ng trùc giao.
-néi x¹ vµ S = End(M). Çc ®iÒu
kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
(1) S lµ vµnh hoµn chØnh ph¶i;
(2) Víi mäi d·y v« h¹n s1, s2, ... ∈ S, d©y chuyÒn Kers1 ≤ Kers2s1 ≤ · · ·
lµ dõng.
Chøng minh. (1) ⇒ (2). XÐt si ∈ S, i = 1, 2, ... V× S lµ hoµn chØnh ph¶i
nªn S tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn çc i®ªan tr¸i h÷u h¹n sinh. V× vËy,
d©y chuyÒn Ss1 ≥ Ss2s1 ≥ · · · lµ d·y dõng. Tøc lµ, tån t¹i n > 0 sao cho
Ssnsn−1...s1 = Ssksk−1...s1 víi mäi k > n. Tõ ®ã suy ra
Ker(snsn−1...s1) = Ker(sksk−1...s1)
víi mäi k > n.
(2) ⇒ (1). Theo §Þnh lý 2.2.21, Bæ ®Ò 2.2.23 vµ Bæ ®Ò 2.2.24.
M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ M-linh hãa tö (hay N lµ m«®un con
linh hãa tö cña M) nÕu N = rM (A), trong ®ã A ≤ S = End(M).
Bæ ®Ò 2.2.26 ([54, Lemma 22]). Cho M lµ R-m«®un vµ S = End(M).
NÕu M tháa m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn çc M-linh hãa tö th× ∆(S) = {s ∈
S| Kers ≤e
M} lµ lòy linh.
-néi x¹ vµ S = End(M). NÕu M
tháa m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn çc M-linh hãa tö th× S lµ nöa nguyªn s¬.
51

Chøng minh. Theo §Þnh lý 2.2.21 vµ Bæ ®Ò 2.2.26, J(S) lµ lòy linh. Tõ HÖ
qu¶ 2.2.25 suy ra S lµ nöa nguyªn s¬.
HÖ qu¶ 2.2.28. NÕu R lµ vµnh gi¶ c+
-néi x¹ ph¶i vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn
ACC trªn çc linh hãa tö ph¶i th× R lµ nöa nguyªn s¬.
Bæ ®Ò 2.2.29 ([4, Proposition 29.1]). NÕu vµnh R tháa m·n ®iÒu kiÖn ACC
trªn çc linh hãa tö ph¶i vµ I lµ T-lòy linh ph¶i th× I lµ lòy linh.
MÖnh ®Ò 2.2.30. NÕu R lµ vµnh gi¶ c+
-néi x¹ ph¶i vµ R/ Soc(RR) tháa
m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn çc linh hãa tö ph¶i th× J(R) lµ lòy linh.
Chøng minh. Gi¶ sö R/ Soc(RR) tháa m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn çc linh hãa
tö ph¶i. §Æt S = Soc(RR) vµ ký hiÖu R = R/S, a = a + S víi a ∈ R.
Víi mçi a1, a2, ... trong J(R), ta cã
rR(a1) ≤ rR(a2.a1) ≤ · · · ≤ rR(an...a2.a1)
Theo gi¶ thiÕt, tån t¹i sè nguyªn d-¬ng m sao cho:
rR(an...a2.a1) = rR(am...a2.a1)
víi mäi n > m. Víi mçi n ∈ N, v× an+1an...a1 ∈ J(R) = Z(RR) nªn
r(an+1an...a1) ≤e
RR. Do ®ã S ≤ r(an+1an...a1).
Ta sÏ chøng minh
rR(an...a2.a1) ≤ r(an+1an...a1)/S ≤ rR(an+1...a2.a1)
ThËt vËy, gi¶ sö b + S ∈ rR(an...a2.a1), khi ®ã an...a1b ∈ S. Nh-ng S ≤
r(an+1) nªn an+1an...a1b = 0. VËy b ∈ r(an+1an...a1). Tõ ®ã ta cã b + S ∈
r(an+1an...a1)/S. Râ rµng ta cã r(an+1an...a1)/S ≤ rR(an+1...a2.a1). Nh-
vËy, r(am+1an...a1)/S = r(am+2am+1...a1)/S. Khi ®ã:
r(am+1an...a1) = r(am+2am+1...a1).
52

V× vËy am+1am...a1R ∩ r(am+2) = 0. Ngoµi ra r(am+2) lµ i®ªan ph¶i cèt
yÕu cña R nªn am+1am...a1 = 0. Tãm l¹i J(R) lµ T-lòy linh ph¶i vµ i®ªan
(J(R) + S)/S lµ T-lòy linh ph¶i.
Theo Bæ ®Ò 2.2.29, (J(R) + S)/S lµ lòy linh. Khi ®ã, tån t¹i sè nguyªn
d-¬ng k sao cho J(R)k
≤ S. Suy ra J(R)k+1
≤ SJ(R) = 0. VËy J(R) lµ
lòy linh.
Vµnh R ®-îc gäi lµ di truyÒn ph¶i nÕu mäi i®ªan ph¶i cña R lµ R-
m«®un x¹ ¶nh. Vµnh R ®-îc gäi lµ nöa di truyÒn ph¶i nÕu mäi i®ªan ph¶i
h÷u h¹n sinh cña R lµ R-m«®un x¹ ¶nh ([31, Definition 2.28]). Theo [31,
Theorem 3.22], vµnh R lµ di truyÒn ph¶i khi vµ chØ khi mäi m«®un th-¬ng
cña R-m«®un ph¶i néi x¹ lµ néi x¹. T-¬ng tù kÕt qu¶ trªn, ta cã kÕt qu¶
sau:
(1) Mçi i®ªan ph¶i ®ãng cña R lµ x¹ ¶nh;
(2) Mçi m«®un th-¬ng cña m«®un gi¶ RR-c+
-néi x¹ lµ gi¶ RR-c+
-néi x¹;
(3) Mçi m«®un th-¬ng cña m«®un gi¶ RR-néi x¹ lµ gi¶ RR-c+
-néi x¹;
(4) Mçi m«®un th-¬ng cña m«®un néi x¹ lµ gi¶ RR-c+
-néi x¹.
Chøng minh. (2) ⇒ (3) ⇒ (4) lµ râ rµng.
(1) ⇒ (2). Gi¶ sö E lµ m«®un gi¶ RR-c+
-néi x¹ vµ π : E → B lµ mét
toµn cÊu. XÐt f : I → B lµ ®¬n cÊu, víi I lµ i®ªan ph¶i ®ãng cña R. XÐt
53

biÓu ®å sau:
0
↓
0 −→ I
i
−→ R
g f ↓
E
π
−→ B −→ 0
víi i lµ ®¬n cÊu chÝnh t¾c.
Theo (1) th× I lµ x¹ ¶nh. Khi ®ã, tån t¹i ®ång cÊu g : I → E sao cho
πg = f. V× E lµ gi¶ RR-c+
-néi x¹ nªn tån t¹i ®ång cÊu h : R → E sao cho
hi = g. §Æt ϕ = πg : R → B, khi ®ã ϕi = f. §iÒu nµy chøng tá B lµ gi¶
RR-c+
-néi x¹.
(4) ⇒ (1). Cho I lµ i®ªan ph¶i ®ãng cña R. Ta xÐt toµn cÊu h : A → B
vµ ®ång cÊu α : I → B. Gäi ψ : B = h(A) → A/ Ker h lµ ®¼ng cÊu x¸c
®Þnh bëi ψ(h(a)) = a + Kerh vµ ι1 : A/ Ker h → E(A)/ Kerh lµ ®¬n cÊu
chÝnh t¾c. §Æt j = ι1ψ vµ xÐt biÓu ®å sau:
I
i
−→ R
↓ α
A
h
−→ B −→ 0
↓ j
E(A)
p
−→ E(A)/ Kerh −→ 0
Theo (4), E(A)/ Kerh lµ gi¶ RR-c+
-néi x¹. Khi ®ã, tån t¹i ®ång cÊu
α : R → E(A)/ Kerh sao cho α i = jα. V× RR lµ x¹ ¶nh nªn tån t¹i
®ång cÊu α : R → E(A) sao cho pα = α . §Æt h = α i : I → E(A).
DÔ dµng thÊy ®-îc h (I) ≤ A, v× vËy tån t¹i ®ång cÊu ϕ : I → A sao cho
ϕ(x) = h (x) víi mäi x ∈ I.
B©y giê ta sÏ chøng minh hϕ = α. ThËt vËy, víi mçi x ∈ I, ta cã
54

jα(x) = α (i(x)) = α (x) = pα (x) = ph (x) = pα(x). V× α lµ toµn cÊu
nªn α(x) = h(a) víi a ∈ A nµo ®ã. Khi ®ã jα(x) = j(h(a)) = a + Kerh.
V× vËy a + Kerh = ϕ(x) + Ker h, hay h(a − ϕ(x)) = 0. Tõ ®ã suy ra
ϕ(x) = h(a) = α(x). §iÒu nµy chøng tá I lµ x¹ ¶nh.
Mét hä çc m«®un con (Ni)i∈I ®-îc gäi lµ ®éc lËp nÕu tæng çc Ni lµ
tæng trùc tiÕp, ®iÒu nµy t-¬ng ®-¬ng, ¸nh x¹ ⊕i∈INi → i∈I Ni lµ ®¼ng
cÊu ([18, Trang 70]). Mét hä çc m«®un con ®éc lËp (Ni)i∈I cña m«®un M
®-îc gäi lµ h¹ng tö trùc tiÕp ®Þa ph-¬ng nÕu víi bÊt kú tËp h÷u h¹n I0 ⊂ I,
⊕i∈I0
Ni lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M ([13, page 66]).
Bæ ®Ò 2.2.32 ([13, Lemma 8.1.(1)]). Cho M lµ R-m«®un ph¶i. NÕu R tháa
m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn çc linh hãa tö ph¶i r(m), m ∈ M th× mçi h¹ng
tö trùc tiÕp ®Þa ph-¬ng cña M lµ ®ãng trong M.
Trong [34], çc t¸c gi¶ ®· chØ ra r»ng vµnh R lµ tùa Frobenius khi vµ chØ
khi R lµ vµnh liªn tôc ph¶i, min-CS tr¸i vµ tho¶ ACC trªn çc linh ho¸ tö
ph¶i. KÕt qu¶ sau lµ mét ®Æc tr-ng cña vµnh tùa Frobenius th«ng qua vµnh
gi¶ c+
-néi x¹:
(2) R lµ gi¶ c+
-néi x¹ ph¶i, min-CS hai phÝa vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ACC
trªn çc linh ho¸ tö ph¶i.
Chøng minh. (1) ⇒ (2) lµ râ rµng.
(2) ⇒ (1). V× R lµ vµnh gi¶ c+
-néi x¹ ph¶i vµ tho¶ ACC trªn çc
linh hãa tö ph¶i nªn R lµ vµnh nöa nguyªn s¬ theo HÖ qu¶ 2.2.28. Gi¶ sö
55

Soc(RR) = ⊕i∈ISi víi Si lµ ®¬n. V× Si ®¬n vµ R lµ min-CS ph¶i nªn tån t¹i
çc phÇn tö lòy ®¼ng fi cña R sao cho Si ≤e
fiR. Ngoµi ra, hä (Si)i∈I ®éc
lËp nªn (fiR)i∈I ®éc lËp vµ Soc(RR) ≤ ⊕i∈IfiR. V× vËy, ⊕i∈IfiR ≤e
RR.
V× R lµ vµnh gi¶ c+
-néi x¹ ph¶i nªn RR tháa m·n ®iÒu kiÖn C2. Do ®ã
⊕i∈IfiR lµ h¹ng tö trùc tiÕp ®Þa ph-¬ng cña RR. MÆt kh¸c, R tháa m·n
®iÒu kiÖn ACC trªn çc linh hãa tö ph¶i nªn theo Bæ ®Ò 2.2.32, ⊕i∈IfiR lµ
m«®un con ®ãng cña RR. MÆt kh¸c, v× ⊕i∈IfiR ≤e
RR nªn RR = ⊕i∈IfiR.
Do ®ã RR = ⊕n
i=1fiR (víi n lµ sè nguyªn d-¬ng nµo ®ã) vµ fiR lµ ®Òu víi
mäi i = 1, 2, ..., n. Theo MÖnh ®Ò 2.2.16, R lµ vµnh liªn tôc ph¶i. Nh- vËy,
R lµ vµnh tùa Frobenius theo §Þnh lý 1.5.6.
KÕt luËn cña ch-¬ng 2
Néi dung ch-¬ng 2 lµ çc kÕt qu¶ liªn quan ®Õn hai líp m«®un gi¶ c-néi
x¹ vµ gi¶ c+
-néi x¹. Mét çch tù nhiªn, tõ kh¸i niÖm m«®un gi¶ néi x¹ vµ
tùa c-néi x¹, chóng t«i ®-a ra kh¸i niÖm gi¶ c-néi x¹. §©y lµ líp m«®un
më réng cña çc líp m«®un c-néi x¹. Çc kÕt qu¶ chñ yÕu cña ch-¬ng 2
liªn quan ®Õn líp m«®un gi¶ c+
-néi x¹, ®©y lµ líp m«®un më réng thùc sù
cña çc líp m«®un gi¶ néi x¹, GQ-néi x¹, liªn tôc vµ lµ líp con thùc sù cña
çc líp m«®un gi¶ c-néi x¹ vµ líp m«®un tháa m·n ®iÒu kiÖn C2. Ngoµi
viÖc nghiªn cøu çc tÝnh chÊt néi t¹i cña hai líp m«®un nµy vµ mèi liªn hÖ
gi÷a chóng víi mét sè tr-êng hîp më réng kh¸c cña m«®un néi x¹. Th«ng
qua tÝnh gi¶ c-néi x¹ vµ gi¶ c+
-néi x¹, chóng t«i ®· ®-a ra çc ®Æc tr-ng
më réng cña m«®un néi x¹ (MÖnh ®Ò 2.2.1), m«®un vµ vµnh tù néi x¹ (HÖ
qu¶ 2.2.12; HÖ qu¶ 2.2.14), m«®un vµ vµnh liªn tôc (§Þnh lý 2.2.6; §Þnh
lý 2.2.16), m«®un CS (MÖnh ®Ò 2.1.3). TÝnh chÊt quan träng cña m«®un
gi¶ c+
-néi x¹ M ®ã lµ tÝnh néi x¹ t-¬ng hç cña çc h¹ng tù trùc tiÕp cña
M vµ tÝnh chÝnh quy cña vµnh End(M)/J(End(M)) (§Þnh lý 2.2.11; §Þnh
lý 2.2.21). Çc kÕt qu¶ quan träng trong ch-¬ng 2 ®ã lµ çc ®Æc tr-ng
56

cña vµnh Artin nöa ®¬n th«ng qua tÝnh gi¶ c-néi x¹ vµ tÝnh gi¶ c+
-néi x¹
(§Þnh lý 2.1.6; HÖ qu¶ 2.2.13); c¸c ®Æc tr-ng cña vµnh tùa Frobenius th«ng
qua m«®un vµ vµnh gi¶ c+
-néi x¹ (HÖ qu¶ 2.2.15; §Þnh lý 2.2.20; §Þnh lý
2.2.33). HÖ qu¶ 2.2.13 lµ mét kÕt qu¶ më réng cña B. Osofsky (§Þnh lý
1.4.4) vÒ ®Æc tr-ng cña vµnh Artin nöa ®¬n. §Þnh lý 2.2.20 lµ kÕt qu¶ më
réng cña C. Faith (§Þnh lý 1.5.8) vÒ ®Æc tr-ng cña vµnh tùa Frobenius.
57

Ch-¬ng 3
Çc tr-êng hîp më réng cña m«®un x¹ ¶nh
Néi dung cña ch-¬ng 3 lµ çc kÕt qu¶ liªn quan ®Õn çc líp m«®un
th«ng qua kh¸i niÖm m«®un con bÐ cèt yÕu. Cô thÓ lµ çc líp m«®un n©ng
cèt yÕu, m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ ®Þa ph-¬ng cèt yÕu. Çc tÝnh chÊt
cña çc líp m«®un trªn vµ mèi liªn hÖ cña chóng víi çc líp m«®un δ-n©ng,
m«®un cã δ-phÇn phô, δ-®Þa ph-¬ng vµ m«®un ®Þa ph-¬ng còng ®· ®-îc chØ
ra. KÕt qu¶ chÝnh cña ch-¬ng 3 ®ã lµ çc ®Æc tr-ng cña m«®un ®Þa ph-¬ng
cèt yÕu vµ ®Æc tr-ng cña m«®un Artin th«ng qua m«®un cã phÇn phô cèt
yÕu vµ ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn trªn çc m«®un con bÐ cèt yÕu.
3.1 M«®un n©ng cèt yÕu vµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu.
Trong môc nµy, chóng t«i tr×nh bµy kh¸i niÖm m«®un n©ng cèt yÕu vµ
cã phÇn phô cèt yÕu. §©y lµ çc líp m«®un më réng cña çc líp m«®un
δ-n©ng vµ m«®un cã δ-phÇn phô (t-¬ng øng) ®· ®-îc t¸c gi¶ T. M. Kosan
([29]) ®-a ra. Çc tÝnh chÊt vÒ ®ång ®iÒu cña çc líp m«®un nµy ®· ®-îc
chØ ra, cô thÓ chóng t«i kh¶o s¸t vÒ h¹ng tö trùc tiÕp (MÖnh ®Ò 3.1.3; HÖ
qu¶ 3.1.14), m«®un th-¬ng (MÖnh ®Ò 3.1.4; MÖnh ®Ò 3.1.15) vµ tæng trùc
tiÕp (§Þnh lý 3.1.6; MÖnh ®Ò 3.1.7; HÖ qu¶ 3.1.14) cña m«®un n©ng cèt yÕu
vµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. H¬n n÷a, nÕu M lµ m«®un cã phÇn phô cèt
yÕu th× M/ Rade(M) lµ m«®un nöa ®¬n (Bæ ®Ó 3.1.9). Ngoµi ra chóng t«i
kh¶o s¸t líp m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu vµ ®-a ra çc ®iÒu kiÖn ®ñ
®Ó mét m«®un lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu (MÖnh ®Ò 3.1.17; §Þnh
lý 3.1.19).
Tr-íc tiªn lµ kh¸i niÖm m«®un con bÐ cèt yÕu (essentially small), kh¸i
58

niÖm nµy ®-îc D. X. Zhou vµ X. R. Zhang ([53]) ®-a ra vµo n¨m 2011.
M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ bÐ cèt yÕu trong M, ký hiÖu lµ N e M,
nÕu víi mçi L ≤e
M, N + L = M th× L = M. Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n
cña m«®un con bÐ cèt yÕu còng ®· ®-îc D. X. Zhou vµ X. R. Zhang chøng
minh:
Bæ ®Ò 3.1.1 ([53, Proposision 2.3; Proposision 2.5]). Cho M lµ R-m«®un
vµ N, K ≤ M. Khi ®ã:
(1) NÕu N e M vµ K ≤ N, th× K e M vµ N/K e M/K.
(2) N + K e M khi vµ chØ khi N e M vµ K e M.
(3) Cho N e M vµ M = X + N. Khi ®ã M = X ⊕ Y víi Y lµ m«®un
con nöa ®¬n cña M.
(4) NÕu K e M vµ f : M → M lµ mét ®ång cÊu th× f(K) e M . §Æc
biÖt, nÕu K e M ≤ M th× K e M .
(5) Cho K1 ≤ M1 ≤ M, K2 ≤ M2 ≤ M vµ M = M1 ⊕ M2. Khi ®ã
K1 ⊕ K2 e M1 ⊕ M2 khi vµ chØ khi K1 e M1 vµ K2 e M2.
§Þnh nghÜa 3.1.1. M«®un M ®-îc gäi lµ n©ng cèt yÕu nÕu víi mäi N ≤ M,
tån t¹i sù ph©n tÝch M = A ⊕ B sao cho A ≤ N vµ N ∩ B e M.
M«®un n©ng cèt yÕu cã thÓ ®-îc ®Þnh nghÜa mét c¸ch t-¬ng ®-¬ng bëi
bæ ®Ò sau:
Bæ ®Ò 3.1.2. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng ®èi víi m«®un M:
(1) M lµ n©ng cèt yÕu;
(2) Víi mçi N ≤ M, tån t¹i sù ph©n tÝch N = A ⊕ B sao cho A lµ h¹ng
tö trùc tiÕp cña M vµ B e M;
59

(3) Víi mçi m«®un con N cña M, tån t¹i h¹ng tö trùc tiÕp A cña M sao
cho A ≤ N vµ N/A e M/A.
Chøng minh. (1)⇒(2) ®-îc suy ra tõ ®Þnh nghÜa.
(2)⇒(3). Cho N ≤ M. Theo gi¶ thiÕt, ta cã ph©n tÝch N = A ⊕ B,
trong ®ã A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M vµ B e M. XÐt π : M → M/A lµ
phÐp chiÕu chÝnh t¾c. V× B e M nªn π(B) e M/A theo Bæ ®Ò 3.1.1,
tøc lµ N/A e M/A.
(3)⇒(1). Víi mçi m«®un con N cña M, theo gi¶ thiÕt, tån t¹i sù ph©n tÝch
M = A ⊕ B sao cho A ≤ N vµ N/A e M/A. V× N = A ⊕ (N ∩ B)
nªn M/A ∼= B vµ N/A ∼= N ∩ B. Tõ gi¶ thiÕt N/A e M/A suy ra
N ∩ B e B. Do ®ã N ∩ B e M.
MÖnh ®Ò 3.1.3. H¹ng tö trùc tiÕp cña m«®un n©ng cèt yÕu lµ n©ng cèt yÕu.
Chøng minh. Cho M lµ m«®un n©ng cèt yÕu, N lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M
vµ A ≤ N. Khi ®ã, tån t¹i h¹ng tö trùc tiÕp K cña M sao cho K ≤ A,
M = K ⊕ T vµ A ∩ T e M. Ta cã N = K ⊕ (N ∩ T). V× N lµ h¹ng tö
trùc tiÕp cña M nªn theo Bæ ®Ò 3.1.1, A ∩ (N ∩ T) = A ∩ T e N. VËy
N lµ n©ng cèt yÕu.
M«®un M ®-îc gäi lµ ph©n phèi nÕu A ∩ (B + C) = (A ∩ B)+(A ∩C)
víi mäi m«®un con A, B, C cña M. MÖnh ®Ò sau lµ mét ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó
m«®un th-¬ng cña m«®un n©ng cèt yÕu lµ n©ng cèt yÕu:
MÖnh ®Ò 3.1.4. Cho M lµ m«®un n©ng cèt yÕu vµ X ≤ M. NÕu mét trong
c¸c ®iÒu kiÖn sau ®-îc tháa m·n:
(1) Víi mçi h¹ng tö trùc tiÕp K cña M, (K + X)/X lµ h¹ng tö trùc tiÕp
cña M/X.
60

(2) M lµ m«®un ph©n phèi.
(3) Víi mçi e2
= e ∈ End(M), eX ≤ X. §Æc biÖt, X bÊt biÕn hoµn toµn
trong M.
th× M/X lµ n©ng cèt yÕu.
Chøng minh. (1). Gi¶ sö X ≤ A vµ A ≤ M. V× M lµ n©ng cèt yÕu nªn
theo Bæ ®Ò 3.1.2, tån t¹i h¹ng tö trùc tiÕp K cña M sao cho K ≤ A vµ
A/K e M/K. Theo gi¶ thiÕt, (K + X)/X lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M/X.
Râ rµng ta cã (K + X)/X ≤ A/X. V× A/K e M/K nªn theo Bæ ®Ò
3.1.1, A/(K + X) = (A/K)/((K + X)/K) e (M/K)/((K + X)/K) =
M/(K + X). V× vËy M/X lµ n©ng cèt yÕu.
(2). Gi¶ sö M = K ⊕ L. Ta cã M/X = ((K + X)/X) + ((L + X)/X)
vµ M lµ m«®un ph©n phèi nªn X = X + (K ∩ L) = (X + K) ∩ (X + L).
Do ®ã M/X = ((K + X)/X) ⊕ ((L + X)/X). VËy (K + X)/X lµ h¹ng
tö trùc tiÕp cña M/X. Theo (1), M/X lµ n©ng cèt yÕu.
(3). Gi¶ sö M = K ⊕ L. Khi ®ã K = eM vµ L = (1 − e)M víi
e2
= e ∈ End(M). Theo gi¶ thiÕt, eX ≤ X vµ (1 − e)X ≤ X. Víi mäi
x ∈ X ∩ K, ta cã x = ey ∈ eM nªn ex = ey ∈ eX. Do ®ã, X ∩ K ≤ eX.
Tõ ®ã suy ra, eX = X ∩ K. T-¬ng tù, (1 − e)X = X ∩ L. Ta cã
X = eX ⊕(1−e)X = (X ∩K)⊕(X ∩L) vµ do ®ã K +X = K ⊕(X ∩L).
Nh- vËy, (K + X)/X = (K ⊕ (X ∩ L))/X vµ M = K + X + L + X =
(K⊕(X∩L))+L+X. Tõ ®ã ta cã M/X = (K⊕(X∩L))/X+(L+X)/X.
MÆt kh¸c, v× (K ⊕ (X ∩ L)) ∩ (L + X) = (X ∩ L) ⊕ (X ∩ K) = X nªn
M/X = (K ⊕ (X ∩ L))/X ⊕ (L + X)/X. Nh- vËy (L + X)/X lµ h¹ng tö
trùc tiÕp cña M/X, theo (1) M/X lµ n©ng cèt yÕu.
61

Bæ ®Ò 3.1.5 ([50, Proposition 41.14]). Gi¶ sö M = M ⊕M , c¸c ®iÒu kiÖn
sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
(1) M lµ M -x¹ ¶nh.
(2) Víi mçi m«®un con N cña M sao cho M = N + M , tån t¹i m«®un
con N ≤ N sao cho M = N ⊕ M .
§Þnh lý 3.1.6. NÕu M1 lµ m«®un nöa ®¬n, M2 lµ n©ng cèt yÕu vµ x¹ ¶nh
t-¬ng hç víi M1, th× M = M1 ⊕ M2 lµ n©ng cèt yÕu.
Chøng minh. Gi¶ sö N lµ m«®un con kh¸c 0 cña M. §Æt K = M1 ∩ (N +
M2). Ta xÐt c¸c tr-êng hîp:
i) Tr-êng hîp K = 0. Ta cã M1 = K ⊕ K víi K lµ m«®un con cña
M1. V× vËy M = K ⊕ K ⊕ M2 = N + (K ⊕ M2). V× M1 lµ tùa x¹ ¶nh
vµ M2-x¹ ¶nh, theo MÖnh ®Ò 1.3.1, MÖnh ®Ò 1.3.2 vµ MÖnh ®Ò 1.3.3, K lµ
(K ⊕ M2)-x¹ ¶nh. Theo Bæ ®Ò 3.1.5, tån t¹i m«®un con N1 cña N sao cho
M = N1 ⊕ (K ⊕ M2). Cã thÓ gi¶ sö N ∩ (M2 ⊕ K ) = 0. Víi L ≤ M2, ta
cã N ∩ (L + K ) ≤ L ∩ (N + K ) + K ∩ (N + L). V× K ∩ (N + L) ≤
K ∩(N +M2) = K ∩K = 0 nªn N ∩(L+K ) = L∩(N +K ). T-¬ng tù,
L ∩ (N + K ) ≤ N ∩ (L + K ), do ®ã N ∩ (L + K ) = L ∩ (N + K ). MÆt
kh¸c, M2 lµ n©ng cèt yÕu nªn tån t¹i X ≤ M2 ∩(N +K ) = N ∩(M2 ⊕K )
sao cho M2 = X ⊕ Y vµ Y ∩ (N + K ) e M2 víi Y ≤ M2. Do ®ã
M = (N1⊕X)⊕(Y ⊕K ). Ta cã N1⊕X ≤ N vµ N∩(Y ⊕K ) = Y ∩(N+K )
vµ Y ∩ (N + K ) e Y. Nh- vËy N ∩ (Y ⊕ K ) e Y ⊕ K . Tãm l¹i M lµ
m«®un n©ng cèt yÕu.
ii) Tr-êng hîp K = 0. Khi ®ã N ≤ M2. V× M2 lµ n©ng cèt yÕu nªn
tån t¹i X ≤ N sao cho M2 = X ⊕ Y vµ Y ∩ N e Y víi Y ≤ M2.
Do ®ã M = X ⊕ (M1 ⊕ Y ) vµ N ∩ (M1 ⊕ Y ) = N ∩ Y e Y . Do ®ã
62

N ∩ (M1 ⊕ Y ) e M1 ⊕ Y . Nh- vËy M lµ n©ng cèt yÕu.
MÖnh ®Ò 3.1.7. Cho M = M1 ⊕ M2 lµ m«®un sao cho mäi m«®un con cña
M lµ bÊt biÕn hoµn toµn. NÕu M1 vµ M2 lµ çc m«®un n©ng cèt yÕu th×
M lµ m«®un n©ng cèt yÕu.
Chøng minh. Gi¶ sö M1 vµ M2 lµ çc m«®un n©ng cèt yÕu. XÐt L lµ m«®un
con cña M. Khi ®ã L = (L ∩ M1) ⊕ (L ∩ M2). Víi mçi i ∈ {1, 2}, tån t¹i
h¹ng tö trùc tiÕp Di cña Mi sao cho Mi = Di ⊕ Di víi Di ≤ L ∩ Mi vµ
L∩Di e Di. V× vËy M = (D1⊕D1)⊕(D2⊕D2) = (D1⊕D2)⊕(D1⊕D2).
Ta cã D1 ⊕ D2 ≤ L vµ L ∩ (D1 ⊕ D2) e D1 ⊕ D2. Tãm l¹i, M lµ m«®un
n©ng cèt yÕu.
§Þnh nghÜa 3.1.2. Cho N, L lµ çc m«®un con cña M. L ®-îc gäi lµ phÇn
phô cèt yÕu cña N trong M nÕu M = N + L vµ N ∩ L e L. M ®-îc gäi
lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu (e-supplemented) nÕu mäi m«®un con N cña
M tån t¹i phÇn phô cèt yÕu L cña N trong M.
Bæ ®Ò sau ®©y chØ ra ®iÒu kiÖn t-¬ng ®-¬ng ®èi víi phÇn phô cèt yÕu
cña mét m«®un con:
Bæ ®Ò 3.1.8. Cho M = N + L. Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
(1) N ∩ L e L;
(2) Víi mçi m«®un con K cña L víi K ≤e
L vµ M = N + K th× K = L.
Chøng minh. (1) ⇒ (2). Gi¶ sö K lµ m«®un con cña L víi K ≤e
L vµ
M = N + K. Khi ®ã L = L ∩ M = (L ∩ N) + K. V× L ∩ N e L nªn
K = L.
63

Luận án: Lớp mở rộng của modun nội xạ, xạ ảnh và ứng dụng

Luận án: Lớp mở rộng của modun nội xạ, xạ ảnh và ứng dụng

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (17)

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620 (20)

Luận án: Lớp mở rộng của modun nội xạ, xạ ảnh và ứng dụng